Grundwissen Mathematik 10. Klasse

10.A Die Kreiszahl π

Der Kreis

Alle Kreise sind zueinander ähnlich. Umfang: KreisU 2 rπ= ⋅

Fläche: 2KreisA rπ= ⋅

Kreiszahl: 3,14...π =

Der Kreissektor

Bogenlänge:

Sektorb 2 r360

µπ= ⋅ ⋅

°

Sektorfläche:

2SektorA r

360

µπ= ⋅ ⋅

°

Beispiel:

Ein Kreissektor hat den Radius 6 cm und den Mittelpunktswinkel 135°. Berechne die Fläche und den Umfang des Kreissektors:

π°

= ⋅ ⋅ =°

2 2Sektor

135A (6 cm) 42,4 cm

360

π

= +

°= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

°

=

Sektor Sektoru b 2 r

1352 6 cm 2 6 cm

360

26,1 cm

Die Kugel

Alle Kugeln sind zueinander ähnlich.

Oberfläche: π= ⋅ 2KugelO 4 r

Volumen: 34Kugel 3

V rπ= ⋅

10.B Trigonometrie /

Trigonometrische Funktionen

Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für

beliebige Winkel zwischen 0° und 360°

Für Winkel ϕ über 90° liefert

• der Quadrant das Vorzeichen• die Differenz zwischen ϕ und 180° bzw.

360° den zugehörigen spitzen Winkel.

Beispiele:

• ° = ° − °

= ° = 32

sin(120 ) sin(180 120 )

sin(60 )

• ° = − ° − °

= − ° = − 22

cos(225 ) cos(225 180 )

cos(45 )

• ° = ° − °

= ° = 33

tan(390 ) tan(390 360 )

tan(30 )

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß a eines Winkels ϕ ist die Länge

des zugehörigen Bogens im Einheitskreis:

a180

ϕπ= ⋅

°

ϕ 30° 60° 90° 180° 270° 360°

a π16

π13 π1

2 π π3

2 π2

Der Sinussatz

a sin

b sin

α

β=

b sin

c sin

β

γ=

a sin

c sin

α

γ=

Beispiel:

Im Dreieck ABC ist a 7 cm= , c 5 cm= und

30γ = ° . Berechne α .

a sin

c sin

α

γ=

⇒ α γ= ⋅ =

= ⋅ ° =

ac

sin sin

7 cmsin(30 ) 0,7

5 cm

⇒ 11 sin 0,7 44,4α −= = ° UND

α = ° − ° = °2 180 44,0 135,6

Der Kosinussatz

2 2 2a b c 2b c cosα= + − ⋅

2 2 2b a c 2a c cos β= + − ⋅

2 2 2c a b 2ab cos γ= + − ⋅

Beispiel:

Im Dreieck ABC ist a 6 cm= , b 7 cm= und

c 5 cm= . Berechne den Innenwinkel α :

α+ −

= =

+ −= =

2 ⋅ ⋅

2 2 2

2 2 2

b c acos

2 b c(7 cm) (5 cm) (6 cm)

0,5437 cm 5 cm

⇒ α = cos−1(0,543) = 57,1°

(weitere Übung: Berechne auch β und γ .)

Sinus- und Kosinusfunktion

y sinx= y cosx=

Defini-tions-

menge: D f = ℝ D f = ℝ

Werte- menge:

W f 1; 1= − + W f 1; 1= − +

Periode: sin(x+2 ) sinxπ = cos(x+2 ) cos xπ =

Symme-trie:

Punktsymmetrie zum Ursprung

sin( x) - sin(x)− =

Achsen- symmetrie

zur y-Achse cos( x) cos(x)− =

Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Sinuskurve

y a sin b (x c) d= ⋅ ⋅ − +

ist gegenüber der „normalen“ Sinuskurve

y sin x=

• um c in x-Richtung verschoben.

• Die Periodenlänge ist2

b

π.

• Die Amplitude ist |a|. Die y-Werte liegenzwischen a− und a+ .

Bei negativem a wird die Kurve an derx-Achse gespiegelt.

• Die Sinuskurve wird um d nach obenverschoben.

Beispiele: (y sin x= ist gepunktet)

• 2

y sin (x )π= −

• y sin (2x)=

• y 1,5 sin x= ⋅

10.C Die Bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition: PB(A) ist die Wahrscheinlichkeit fur das Eintreten vonA unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist.

B B

A A A A

P (B)

PB(A)

Beispiel: In einem Betrieb kommt es an 1% aller Arbeitstagezu einem Brand (B). In 90% dieser Falle wird ein automatischerAlarm ausgelost (A). Liegt kein Brand vor, so gibt es mit einerWahrscheinlichkeit von 5% einen Fehlalarm.

B B

A A A A

0, 01 0, 99

0, 9 0, 1 0, 05 0, 95

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur dass es wirklich brennt, wenn ein Alarmausgelost wird?

PA(B) =P (A ∩ B)

P (A)=

0, 01 · 0, 90, 01 · 0, 9 + 0, 99 · 0, 05

= 0, 154

10.D Die Exponentialfunktion f(x) = b · ax (a > 0, a 6= 1)

Allgemeine Eigenschaften:

• Definitionsmenge ist D = R.

• Schnittpunkt mit der y-Achse ist P (0|b).• Die x-Achse ist waagrechte Asymptote.

• Mit wachsendem x nehmen die Funktions-werte fur

a < 1 ab (exponentielle Abnahme),a > 1 zu (exponentielle Zunahme).

• b heißt Startwert und a Wachstums- bzw.Abnahmefaktor.

Beispiel: Eine Meerschweinchenpopulation be-steht aus 50 Tieren. Unter optimalen Bedingun-gen kann sich die Population in einem Jahr ver-doppeln. ⇒ b = 50, a = 2, x ist die Zeit inJahren und f(x) = 50 ·2x ist die Zahl der Tiere.

x

f(x)

100

200

300

0 1 2−1−210.E Der Logarithmus

Definition: Der Logarithmus von u zur Basis a ist die-jenige Zahl r, mit der man a potenzieren muss, um u zuerhalten:

ar = u ⇐⇒ loga u = r

23 = 8 ⇐⇒ log2 8 = 3

Aus a0 = 1 folgt loga 1 = 0 bzw. aus a1 = a folgt loga a = 1.

Rechenregeln• log2(4·32) = log2 4+log2 32 = 7

• log218

= log2 1 − log2 8 = −3

• log2 83 = 3 · log2 8 = 9

10.F Verhalten im Unendlichen

Konvergenz Nahern sich die Funktionswerte f(x) fur x → ±∞ einer Zahl a beliebig genau,so heißt a Grenzwert (Limes) der Funktion f .Beispiel: f(x) = 3 −

(110

)x

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

[

3 −(

110

)x

︸ ︷︷ ︸

→0

]

= 3

Divergenz Wachsen die Funtionswerte f(x) fur x → ±∞ unbegrenzt nach +∞ oder sinkensie unbegrenzt nach −∞, so sagt man, die Funktion divergiert bestimmt.Beispiel: f(x) = 3 −

(110

)x

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

[

3 −(

110

)x

︸ ︷︷ ︸

→+∞

]

= −∞

Neben der bestimmten Divergenz gibt es noch die unbestimmte Divergenz. Beispiel: f(x) =sin(x) schwankt standig zwischen 1 und −1 hin und her.

10.G Ganzrationale Funktionen

Definition und Eigenschaften: Ein Term derForm anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 mit an 6= 0

heißt Polynom n-ten Grades. Eine Funktion, derenFunktionsterm als Polynom geschrieben werdenkann, nennt man ganzrationale Funktion n-tenGrades.Tritt in der faktorisierten Form eine Nullstellexk ungeradzahlig oft auf, so wechselt f(x) beixk das Vorzeichen, tritt sie geradzahlig oft auf,so wechselt f(x) bei xk das Vorzeichen nicht.Je haufiger die Nullstelle auftritt, desto mehrschmiegt sich der Graph bei xk an die x-Achse an.

Beispiel: f(x) = (x + 1)x3(x − 2)2

besitzt bei x = −1 eine einfache, beix = 0 eine dreifache und bei x = 2 einedoppelte Nullstelle.

x

f(x)

1

2

−1

1 2−1

10.H Die Polynomdivision

Problem: Lose die Gleichung x3 − 6x2 + 7x + 2 = 0.

• Finde eine Losung x1 durch geschicktes Raten: x1 = 2

• Teile das Polynom durch x − x1:

(x3 −6x2 +7x +2) : (x − 2) = x2 − 4x − 1

−(x3 −2x2)

−4x2 +7x

−(−4x2 +8x)

−x +2

−(−x +2)

0

• Setze das Restpolynom gleich Null und lose diese Gleichung:x2 − 4x − 1 = 0 → x2 = 2 +

√5 x3 = 2 −

√5

10.I Symmetrie von Funktionsgraphen

f(−x) = f(x) ⇐⇒ Achsen-symmetrisch bzgl. der y-Achse

x

1

2

1−1−2 x−x

f(x)f(−x)

f(−x) = −f(x) ⇐⇒ Punkt-symmetrisch zum Ursprung.

x

1

−1

1−1−2

x

−x

f(x)

f(−x)