MATHEMATHIK

Mathematik

Klasse 10.

Epoche 1

Maximilian Ernestus

Konstruktion von DreieckenIn einem Dreieck bezeichnen wir die länge der seiten mit a,b,c und die Winkel mit α,β,δ gemessen in Grad.

C

A B

a

c

b

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Frage: Welche Größen müssen im Dreieck angegeben sein um es Konstruieren zu können?

Antwort: Eindeutiges Lösungsdreieck im Falle WSW, SSS, SWS, SSW, SWW. Im Fall SSW kann es zwei Lösungsdreiecke geben, wenn der Winkel an der längeren Seite liegt. Der Fall WWW lässt unendlich viele Lösungsdreiecke zu.

Merke: Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180°.

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Ähnlichkeit

Wenn wir alle Seiten eines Ausgangsdreiecks verschieben, entsteht ein neues sog. Bilddreieck mit denselben Winkeln. Die beiden Dreiecke haben die gleiche Gestallt, aber eine unterschiedliche Größe. Figuren mit dieser Eigenschaft heißen ähnlich.Bei ähnlichen Dreiecken, deren entsprechende Seiten Parallel sind, schneiden sich die Verbindungslinien entsprechender Punkte im sog. Ähnlichkeitspunkt. Aufgrund dieser Eigenschaft heißen diese Dreiecke zentrisch- ähnlich. Als Vergrößerungsfaktor bezeichnet man das Verhältnis.

Z

A

C

B

A’

C’

B’

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Beispiel:Konstruiere auf 3 Arten ein Quadrat in einem Dreieck.

//Einführung in das Vermessungspraktikum

Vermessung

Wenn man ein Gelände vermessen will, muss man zunächst einige Pflöcke setzen, die als Anhaltspunkte dienen. Danach werden die Entfernungen der Pflöcke zuei-nander und die Winkel vermessen. Diese werden auf einer Karte (meist in einem Verkleinerten Maßstab) eingetragen, so dass man einige Hilfslinien zur Verfügung hat. Wenn dann einen einzelnen Punkt berechnen will, so muss man zunächst einen Punkt auf einer der Hilfslinien finden, zu dem ein rechter Winkel zwischen der Ver-bindungslinie und der Linie zwischen dem Punkt und dem zu vermessenden Punkt entsteht. Jetzt kann man die Abstände zwischen den entsprechenden Punkten mes-sen. Nach diesen Daten können die Punkte in die Karte eingezeichnet werden.

Fachbegriffe:

- man sagt, dass die Pflöcke einen Polygonzug bilden. Wörtlich übersetzt heißt das Wort Vielwinkelstrecke.

- die Verbindung zwischen zwei Pflöcken bezeichnet man als Fluchtlinie.

C

A B A B

C

C

BA

a) b)

c)

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Das Dreieck mit Überraschungen//Bild

Wenn man ein Ähnliches Dreieck zu einem Ausgangsdreieck konstruieren möchte, muss man zunächst einen Punkt Z an einer beliebigen stelle festlegen. Man verbin-det dann die Punkte A, B und C des Ausgangsdreiecks mit dem Punkt Z. Danach muss man sich einen beliebigen Vergrößerungsfaktor K ausdenken (bei Schwierig-keiten Ran#*10 am Taschenrechner drücken), um den das ähnliche Dreieck ver-größert werden soll. Man findet den Punkt A’ auf AZ [AZ x K] entfernt von A. Genau-so findet man C’ und B’.Wenn man genügend Mittelsenkrechten in ein Dreieck malt, kann man die weiteren ähnlichen Dreiecke [ABD], [DCG], [ACE] und [EBG] finden.

Die Strahlensätze

Zwei ähnliche Dreiecke lassen sich ineinander schieben.Es entsteht die Sog. Strahlensatzfigur mit dem gemeinsamen Scheitelpunkt S. Die aufeinander fallenden Seiten werden zu Strahlen. Die jeweils 3. Seite wird zu einem Abschnitt auf den beiden Parallelen.

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1. Strahlensatz

2. Strahlensatz

Die Parallelabschnitte verhalten sich wie die Strahlenabschnitte.Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sie wie die Abschnitte auf dem 2. Strahl.

Beispiel:

Der Schatten eines Turms ist 4,2 Meter lang. Ei 1,5 Meter großer Mensch wirft zur selben Zeit einen schatten von 90 cm. Wie hoch ist der Turm?

€

B'C'BC

=SC'SC'

€

SC'SC

=SB'SB

0.9m

4,2m

Turm

1,5m

€

4,20,9

•1,5 = Turm

Turm = 7m

€

1,50,9

• 4,2 = Turm

Turm = 7m

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Streckenverhältnisse in einer Figur

Bei zwei Dreiecken ist es ausreichend, für die Ähnlichkeit die Winkel zu überprüfen.Das ist bei Vierecken nicht der Fall.

Bei diesen Rechtecken stimmen die Winkel überein, die beiden Figuren sind trotz-dem nicht ähnlich. Neben dein Winkel müssen nämlich auch die Streckenverhältnis-se übereinstimmen.

Format l b l/b lxb

DIN A0 1188 840 1,41428571429 997920

DIN A1 840 594 1,41414141414 498960

DIN A2 594 420 1,41428571429 249480

DIN A3 420 297 1,41414141414 124740

DIN A4 297 210 1,41428571429 62370

DIN A5 210 148,2 1,41700404858 31122

DIN A6 148,2 105 1,41142857143 15561

DIN A7 105 74,1 1,41700404858 7780,5

Wird ein DIN-A-Format geeignet halbiert, so erhält man das nächste Format in dieser Reihe.Alle DIN-A-Formate haben das selbe Streckenverhältnis L/B.

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Wir berechnen deren Streckenverhältnis:

Die Proportion

€

LängeBreite

soll übereinstimmen

€

lb

=2•bl

€

l •b• lb

=2•b•b• l

l

€

l • l = 2•b•b

€

lb

•lb

= 2

€

lb

•

lb

= 2

€

lb

= 2

Die DIN-A-Reihe beginnt mit den DIN-A-0 Format, dass 1m^2 Fläche hat.

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Die WinkelfunktionenRechtwinklige Dreiecke spielen in sehr vielen Aufgabenstellungen eine Rolle. Man hat deshalb Streckenverhältnisse in Rechtwinkligen Dreiecken bestimmt, die dann auch für alle ähnlichen Dreiecke gelten, die ebenfalls rechtwinklig sind, und auch sonst in den Winkeln übereinstimmen.

Winkel

0 ° 0 0 1

10° 0,17632698071 0,17364817767 0,98480775301

20° 0,36397023427 0,34202014333 0,9998522876

30° 0,57735026919 0,5 0,86602540378

40° 0,83909963118 0,64278760969 0,76604444312

50° 1,19175359259 0,76604444312 0,64278760969

60° 1,73205080757 0,86602540378 0,5

70° 2,74747741945 0,93969262079 0,34202014333

80° 5,67128181962 0,98480775301 0,17364817767

90° ∞ 1 0

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1. Beispiel:Ein Papierdrachen fliegt an einer 80, langen Schnur, die mit dem Boden den Winkel α = 70° einschließt.Wie hoch fliegt der Drache?

€

y80

= sin(70°)

y = sin(70°)•80y = 75,17540966287my = 75,18m

2. BeispielBei einer Laderampe misst man länge L=3,5m und einen Steigungswinkel α = 10°.

• Berechnen sie bis zu welcher höhe die Rampe reicht. H=sin(10°)·3,5 H=0,60m• Berechnen Sie die Entfernung des Auflagepunktes vom Wagen. B=cos(10°)·3,5 B=3,45m

3. BeispielEine Zahnradbahn führt von einer Talstation A zu einer Bergstation B. Sie überwindet 336 Höhenmeter.

• Wie groß ist der Steigungswinkel α, wenn die Entfernung laut einer Karte 400m be-trägt? 336÷400=tan(α) α=40,03°• Welche Strecke fährt die Bahn tatsächlich? 336÷hyp=sin(40,03°) hyp=519,49m• Wie groß ist die Steigung in %? x=100·(400÷336)

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Abkürzungen

Für die Seitenverhältnisse an man folgende Abkürzungen eingeführt:

€

TANGENS(α) =GKAK

SINUS(α) =GKHYP

COSINUS(α) =AKHYP

4. BeispielAus 1,5m Augenhöhe erblickt man die Spitze eines Turmes unter dem Erhebungs-winkel α = 20°. Die Entfernung zum Turm beträgt 200m. Wie hoch ist der Turm?

tan(20°) ·200=h

Antwort:Der Turm ist 72+1,5 = 73,5m hoch.

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Eigenschaften der Winkelfunktionen

• Die Tangenswerte beginnen bei 0 und werden immer größer. Merke:

€

tan(45°) =1• Die Sinuswerte beginnen bei 0 und steigen bis 1 an Merke:

€

sin(30°) = 0,5• Die Cosinuswerte beginnen bei 1 uns sinken bis 0 Merke:

€

cos(60°) = 0,5•

€

sin(α) =GKHYP

€

cos(α) =AKHYP

Mit dem Taschenrechner lässt sich zu jedem Winkel die entsprechende Winkelzahl finden. zB 50°.Es lassen sich auch für die Verhältniszahlen die entsprechenden Winkel finden.Bei den Anwendungsaufgaben werden häufig folgende Begriffe verwendet.

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Der SinussatzEin Schiff peilt einen Leuchtturm an. Zuerst misst es einen Winkel α = 43° und nach einer Fahrt von 7,5 Seemeilen (1 sm = 1,852 km) den Winkel 58°.

//bild

a) um b zu berechnen, zeichne wir die Höhe ha

//viele formeln

b) um a auszurechnen, zeichnen wir die Höhe hb

//viele formeln

Ergebnisse:

//viele formeln

Das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem nicht rechtwinkligen Dreieck stets gleich.

1. Beispiel

Von Den Helder kommt man mit einer Fähre nach Texel. A ist die Anlegestelle in Den Helder, B ist die Anlegestelle in Texel. C ist ein weiterer Punkt auf dem Festland. Wie weit ist es von Den Helder bis Texel?//bild//ausrechnung

2. Beispiel

Die Höhe eines Berges soll bestimmt werden.

//zeichnung

//ausrechnung

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