Graaﬁd - kodu.ut.eekodu.ut.ee/~nestra/mat/inf/p/aa/09s/s/graafid.pdf · 4 Kauguste analüüs 4.2...

1

Graafid

1 Sissejuhatus 2

Sissejuhatus

1 Sissejuhatus 3

Orienteeritud graaf matemaatikas

Orienteeritud graaf (ingl directed graph v digraph) on süsteem(V, E, (σ, τ )), kus

– V on nn tippude (ingl vertex) hulk;

– E on nn kaarte (ingl arc) hulk;

– σ, τ : E → V seavad igale kaarele vastavusse tema algustipu(ingl source) ja lõpptipu (ingl target).

1 Sissejuhatus 4

Orienteerimata graaf matemaatikas

Orienteerimata graaf on analoogne süsteem, kus

– hulga E elemendid ei määra algus- ja lõpptippu, vaid otstipud(neid võib olla 1 või 2)

– ja hulga E elemente nimetatakse servadeks (ingl edge).

1 Sissejuhatus 5

Graaf andmestruktuurina

Graafi andmestruktuurina võib vaadelda kui puu üldistust, kus tipudsaavad olla seotud suvaliselt.

– Orienteerimata graafi puhul lisandub tingimus, et seos alati vas-tastikune.

– Võrreldes senivaadeldud andmestruktuuridega on graaf erilineselle poolest, et peale tippude võivad ka kaared-servad kandaomaette infot.

∗ Tippudevahelised seosed (viidad) senivaadeldud andmest-ruktuurides kas tulenevad andmestruktuuri invariandist võikujunevad lihtsalt juhuslikult välja.

1 Sissejuhatus 6

Tee

Tee (ingl walk) graafis on järjend (v0, e1, v1, . . . , el, vl), kus v0, . . . , vl

on tipud ning e1, . . . , el kaared/servad, nii et iga i = 1, . . . , l korral ei

on kaar, mis läheb tipust vi−1 tippu vi.

– Tippu v0 nimetatakse selle tee algustipuks (ingl initial ver-tex) ja tippu vl lõpptipuks (ingl terminal vertex).

– Tee pikkuseks (ingl length) nimetatakse arvu l, st kaar-te/servade arvu (loetuna koos kordustega).

1 Sissejuhatus 7

Ahel, lihtahel, kinnisus, tsükkel, lihttsükkel

Ahel (ingl path) on tee, milles kaared/servad ei kordu.

Lihtahel on ahel, milles ka tipud ei kordu, v.a algus- ja lõpptipp, mistohivad omavahel kokku langeda.

Kinnine (ingl closed) on tee, mille algus- ja lõpptipp langevad kokku.

Tsükkel (ingl cycle) graafis on mittetühi kinnine ahel.

Lihttsükkel on tsükkel, milles tipud, v.a algus- ja lõpptipp omavahel,on erinevad.

1 Sissejuhatus 8

Järglane, eellane, saavutatavus

Orienteeritud graafis tipp v on tipu u järglane (u on v eellane), kuileidub mittetühi tee algustipuga u lõpptipuga v.

Samas tipp v on tipu u vahetu järglane (u on v vahetu eellane),kui leidub kaar algustipuga u lõpptipuga v.

Tipp v on saavutatav (ingl reachable) u-st, kui leidub tee algusti-puga u lõpptipuga v.

– Järglase, eellase mõisted on analoogsed vastavate mõistetegapuul.

1 Sissejuhatus 9

Sisendaste, väljundaste, aste

Orienteeritud graafis

– tipu väljundaste (ingl out-degree) on kaarte arv, mille algus-tipp ta on;

– tipu sisendaste (ingl in-degree) on kaarte arv, mille lõpptippta on.

Orienteerimata graafis

– tipu aste (ingl degree) on servade arv, mille otstipuks ta on,kusjuures servi, millel on ainult üks otstipp (nn silmused), loe-takse kahekordselt.

1 Sissejuhatus 10

Loomulik esitus

Esitame graafi seotud paigutusega, kus tippudes on kirjed ja kaari/servitähistavad vastavate tippude vahel hoitavad viidad.

– Iga tipu vahetuid järglasi võib hoida järjendis.

– Mingid tipud (kui tippe üldse on) peavad olema eraldi andmest-ruktuurist kättesaadavad.

Algoritmid tihti eeldavad, et kõik tipud on eraldi kättesaadavad.

∗ Kõik tipud võivad paikneda omaette järjendis. See vastabtäiendatud graafikontseptsioonile, kus on üks infot mittekandev “juurtipp”, millest läheb kaar igasse teise tippu,kuid kuhu sisse ei tule ühtki kaart.

1 Sissejuhatus 11

Naabrusmaatriks matemaatikas

Graafi naabrusmaatriks (ingl adjacency matrix) on ruutmaatriks,mille

– read ja veerud vastavad graafi tippudele;

– antud rea ja veeru ristumiskoha elemendiks on kaarte arv realevastavast tipust veerule vastavasse tippu (orienteerimata graafisservade arv nende tippude vahel).

1 Sissejuhatus 12

Esitus tabelina

Kui graafi tippude arv ei muutu, siis võib graafi arvuti mälus esitadanaabrusmaatriksi põhimõttel tabelina.

– Nt tipud on kättesaadavad järjekorranumbri järgi ühest massii-vist ja kaarte/servade info järjekorranumbrite paaride järgi tei-sest, kahemõõtmelisest massiivist.

– See esitus tasub ära, kui kaari/servi on suhteliselt palju; muiduon tabel suures osas tühi ja võtab liiga palju ruumi.

2 Läbimine 13

Läbimine

2 Läbimine 14

Üldine läbimisülesanne

Läbida antud graafi kõik teatud tippudest saavutatavad tipud ja teosta-da nende kõigiga antud protseduur.

– Sisend: graaf, tema mingid tipud või nende struktuur, protse-duur.

2 Läbimine 15

Lahendused

Lahendusi on väga palju erinevaid:

– laiuti;

– sügavuti (siin omakorda ees- ja lõppjärjestus);

– topoloogiline järjestus;

– . . .

2 Läbimine 16

Ühine tuumalgoritm: lisaatribuutika

Lisaks põhisisendile on antud:

– iga tipu kohta infoväli töödelduse ülesmärkimiseks;

– kaare/serva töötlusprotseduur (rakendatakse kaartele/servadele,mida pidi liigutakse järgmisse tippu);

– abistruktuur (järjend) Q graafi tippude ja kaarte/servade salves-tamiseks.

2 Läbimine 17

Ühine tuumalgoritm: algseis

Kõik tipud on “töötlemata”.

Abistruktuur Q sisaldab sisendis märgitud tipud.

– Näiteks kõik tipud.

– Kui kasutatakse juurtippu, kust läheb kaar igasse tippu, siis võibQ-s tippe mitte hoida ja alguses on seal juurtipust (sisendtippu-desse) väljuvad kaared.

See lähenemine teeb algoritmid lihtsamini kirjeldatavaks.

2 Läbimine 18

Ühine tuumalgoritm: töö põhikäik (tehakse tsüklis)

Kui Q on tühi, siis lõpetada tsükkel (ja kogu algoritm).

Muidu tõmmata Q-st välja järgmine kaar/serv e; olgu tema lõpp-tipp/otstipp v.

Kui v on “töötlemata”, siis

– töödelda kaar/serv e ning rakendada sisendprotseduur tipule v;

– märkida, et v on “töödeldud”;

– lisada Q-sse kõik tipust v väljuvad kaared/servad (piisab neist,mille lõpptipp/teine otstipp on “töötlemata”).

2 Läbimine 19

Lisakavalus

Kordsete kaarte/servade puhul on tüüpiliselt vajalik ainult üks neist.Ülejäänusid pole mõtet Q-sse kunagi lisadagi. Nii saab läbimisalgorit-mi tööd kiirendada.

Edasistes keerukushinnangutes seda kavalust ei arvestata; keerukus-hinnangute ümbertegemiseks tuleb neis kaarte/servade arvu asemelevõtta nende tipupaaride arv, mille vahel on kaar/serv, ja lisada liideta-vana kaarte/servade koguarv.

– Mh log m asemel võib O-hinnangus lugeda log n (kus n ja mon tippude ja kaarte/servade arv).

2 Läbimine 20

Keerukus

• Iga tipp satub sisendprotseduuri argumendiks ülimalt üks kord.

• Iga kaar/serv satub nimekirja Q ülimalt üks kord.

• Täpne keerukus sõltub struktuuri Q olemusest, mis määrab sinnalisamise ja sealt väljatõmbamise keerukuse.

– Näiteks kui Q on järjestamata lihtahel ja sisendprotseduur on kee-rukusega O(1), siis kogu algoritmi keerukus on O(n + m), kus nja m tähistavad graafi tippude ja kaarte/servade arvu.

2 Läbimine 21

Laiuti ja sügavuti läbimine

Laiuti (ingl breadth-first) läbimisega on tegu, kui Q on järjekord (stFIFO-järjend).

– Laiuti läbimine on ülalkirjeldatud viisil sisuliselt mõttekas ainultjuhul, kui Q sisaldab alguses vaid mõned üksikud tipud (nt igastsidususkomponendist üks esindaja).

Sügavuti (ingl depth-first) läbimisega on tegu, kui Q on magasin (stLIFO-järjend).

2 Läbimine 22

Sügavuti läbimine rekursiivselt: lisaatribuutika, algseis

Ütleme, et sisendiks on kaarte/servade järjend.

– Nt “juurtipust” vajalikesse tippudesse minevad kaared.

Lisaks põhisisendile on ette antud

– iga tipu kohta infoväli külastatuse märkimiseks; algselt kõigiskirjas “külastamata”;

– kaare/serva töötlusprotseduur.

2 Läbimine 23

Sügavuti läbimine rekursiivselt

Läbida sisendiks saadud kaarte/servade järjend, tehes iga kaarega/ser-vaga e järgmist.

Olgu v tema lõpptipp/otstipp. Kui v on “külastamata”, siis

– töödelda kaar/serv e ning rakendada sisendprotseduur tipule v;

– märkida v kui “külastatud”;

– rakendada sama algoritmi, võttes sisendkaarteks tipust v välju-vad kaared/servad (piisab neist, mille lõpptipp/teine otstipp on“külastamata”).

2 Läbimine 24

Eesjärjestus vs lõppjärjestus

Esitatud sügavutiläbimise algoritmid töötlevad graafi tippe eesjärjes-tuses, sest protseduuri rakendatakse tipule enne nende järglasi.

Rekursiivselt on võimalik ka töötlus lõppjärjestuses.

– Selleks tuleb töötlus viia tsükli keha algusest üle lõppu.

3 Minimaalse toese leidmine 25

Minimaalse toese leidmine


Kontekst

On antud orienteerimata graaf G, mille servadele on omistatud posi-tiivsed reaalarvulised kaalud.

Kaal kandub üle alamgraafidele.

– G alamgraafi kaal on temasse kuuluvate servade kaalude summa.


Toes, alusmets

Graafi G toes ehk alusmets (ingl spanning forest) on mets (graafi-teoreetilises mõttes), mille

– tippude hulk võrdub G tippude hulgaga,

– servad on G mingid servad, kusjuures suvalise G serva lisamiselpoleks enam tegu metsaga (tekiks tsükkel).


Minimaalne toes

Minimaalne toes on toes, mille kaal on graafi kõigi toeste seas mi-nimaalne.

Erijuhul, kui kõik servad on võrdse kaaluga, on kõik toesed võrdsekaaluga, sest (graafiteooriast tuntud fakti põhjal) kõigis toestes on ühe-palju servi.

– St sel juhul on kõik toesed võrdselt minimaalsed.


Aluspuu

Kui graaf on sidus, siis alusmets koosneb ühest puust, mida nimetatak-se aluspuuks (ingl spanning tree).


Ülesanne

Leida antud graafi mingi minimaalne toes.

– Sisend: orienteerimata graaf kaalutud servadega.

– Väljund: graafi alusmets (siin mets tähendab tsükliteta graafi).


Erijuht

Kui kaale pole (või on kõik servad võrdse kaaluga), on minimaalsetoese leidmine samaväärne lihtsalt mingi toese leidmisega.


Lahendus kaaludeta juhul

Rakendame graafi sügavutiläbimist, kus

– magasinis Q (või argumentjärjendis) on algselt kõik graafi tipud;

– servatöötlusprotseduur lisab serva toesesse (koos tipuga, misseal veel pole); tiputöötlusprotseduur midagi lisaks ei tee.

Keerukus on O(n + m), kus n ja m on graafi tippude ja servade arvud.


Primi algoritm

Rakendame graafi läbimist, kus

– Q on eelistusjärjekord kaalu järgi;

– Q-s on algselt kõik graafi tipud, nende kaaluks loetakse ∞;

– servatöötlusprotseduur lisab serva toesesse (koos tipuga, misseal veel pole); tiputöötlusprotseduur midagi lisaks ei tee.


Märkus

Primi algoritm on nn ahne (ingl greedy); see tähendab, et algoritmvalib igal sammul hetkel parimana näiva jätku.

– Selline algoritm on tavaliselt lihtne, kuid raskesti põhjendatav.


Realisatsioon ja keerukus

Eelistusjärjekorra võib realiseerida kuhjana.

Siis on esitatud variandi keerukus O(n + m log m).


Kruskali algoritm: eeltöö

Alguses pannakse tulemusmetsa kõik G tipud.

Koostatakse klassijaotuse struktuur, millesse lisatakse kõik G tipud ük-siku klassina.

Koostatakse ahel, milles on parajasti G kõik servad järjestatuna kaalu-de järgi.


Kruskali algoritm: tsükkel

Kuni ahelas on veel servi, korratakse järgmist:

– tõmmatakse ahelast esimene serv välja;

– kui tipud, mida ta ühendab, asuvad erinevates klassides, siis

∗ lisatakse serv metsa;

∗ ühendatakse otstippude klassid.

Ka see algoritm on ahne.



Klassijaotust võib realiseerida binomiaalmetsadega või Galler-Fische-ri meetodil.

Siis on Kruskali algoritmi keerukus O(n + m log m), kus n ja m ongraafi tippude ja servade arv.

4 Kauguste analüüs 39

Kauguste analüüs


Kontekst

On antud orienteeritud graaf G, mille kaartele on omistatud positiivsedreaalarvulised hinnad (kaalud).

Hind kandub üle teedele:

– G suvalise tee hind on temasse kuuluvate kaarte hindade summa.

Interpretatsioon: hind on kaare/tee läbimise maksumus. Huvitavadodavaimad teed.


Kaugused

Tipu v kaugus tipust u on

– odavaima u-st v-sse viiva tee hind, kui v on u-st saavutatav;

– ∞ vastasel korral.

4 Kauguste analüüs

4.1 Kauguste puu leidmine

42

Kauguste puu leidmine



43

Kauguste puu

Kauguste puu (ingl shortest path tree) tipust v on graaf, kus

– tipud on antud graafi need tipud, mis antud graafis on v-st saa-vutatavad;

– kaarte hulk on antud graafi kaarte hulga alamhulk;

– igasse tippu viib v-st täpselt üks tee ja see on antud graafis oda-vaim tee v-st sinna tippu.



44

Ülesanne

Leida antud graafi tippude kaugused ühest antud tipust ja koostadakauguste puu.

– Sisend: orienteeritud graaf kaalutud kaartega, graafi tipp.

– Tulemus: arvutatud kõigi tippude kaugused sisendtipust ja leitudkaarte alamhulk, mis koos sisendtipust saavutatavate tippudegamoodustab kauguste puu.



45

Dijkstra algoritm

Sisendtipu kauguseks panna 0, ülejäänute kauguseks algul ∞.

Edasi rakendada graafi läbimist, kus

– alustatakse sisendis antud tipust;

– abistruktuur Q on eelistusjärjekord, kus kaarte võtmeks on kaa-re hinna ja tema algustipu kauguse summa (sisendtipp on ainustipp, mis Q-sse satub, tema võti on 0);

– kaaretöötlusprotseduur kirjutab kaare lõpptipu kauguseks algus-tipu kauguse ja kaare hinna summa (st kaare võtme) ja lisab kaa-re väljaantavasse hulka; tiputöötlusprotseduur midagi ei lisa.

Ka sel algoritmil on ahnuse tunnused.



46


Kui eelistusjärjekord realiseerida kuhjana, on esitatud variandi keeru-kus O(n + m log m), kus n ja m on vastavalt graafi tippude ja kaartearv.


4.2 Kauguste maatriksi leidmine

47

Kauguste maatriksi leidmine



48

Kõigi tippude vaheliste kauguste leidmiste ülesanne

Leida antud graafi iga tipupaari jaoks kummagi kaugus teisest.

– Sisend: orienteeritud graaf kaalutud kaartega, graafi tipp.

– Väljund: samade tippudega graaf, mis näitab tippudevahelisikaugusi sisendgraafis.

Erinevused eelmise ülesandega:

– leiab kõigi tipupaaride vahelised kaugused;

– ei leia kauguste puid.



49

Floyd-Warshalli algoritm: algseis

Alguses määratakse iga tipupaari (i, j) jaoks j kauguseks i-st:

– 0, kui i = j;

– tipust i tippu j mineva minimaalse hinnaga kaare hind, kui selli-ne kaar leidub;

– ∞ ülejäänud juhtudel (st kui tipust i ei lähe kaari tippu j).



50

Floyd-Warshalli algoritm: põhitöö

Läbitakse graafi tipud, iga tipuga t tehakse järgmist:

– vaadatakse läbi kõik tipupaarid; iga paari (i, j) korral:

∗ määratakse j kauguseks i-st t kauguse i-st ja j kauguse t-stsumma, kui see on väiksem senileitud j kaugusest i-st.



51


Floyd-Warshalli algoritmi on mugavaim realiseerida, kui graaf on esi-tatud naabrusmaatriksina.

Keerukus on siis Θ(m + n3), kus n on tippude arv.

5 Topoloogiline järjestamine 52

Topoloogiline järjestamine


Kontekst

On antud orienteeritud tsükliteta graaf G.

Vaatame ka rakendusi, kus tippudele on omistatud hinnad (kaalud).


Topoloogiline järjestus

Orienteeritud graafi G tippude topoloogiliseks järjestuseks (ingltopological ordering) nimetatakse järjendit, kus

– komponentideks on parajasti G kõik tipud, igaüks üks kord,

– G iga kaare e korral e algustipp paikneb lõpptipust eespool.


Tingimus kandub üle teedele

Kui tipp v on tipu u järglane, siis igas topoloogilises järjestuses esinebv pärast u-d.


Vaid tsükliteta graafid kvalifitseeruvad

Graafi tippudel leidub topoloogiline järjestus parajasti siis, kui graafon tsükliteta.


Fakte tsükliteta graafide kohta

• Tsükliteta graafis on iga tipp saavutatav mõnest tipust, mille sisend-aste on 0.

• Järelikult mittetühjas tsükliteta graafis leidub tipp, mille sisendasteon 0.


Topoloogilise järjestamise ülesanne

Järjestada antud tsükliteta graafi tipud topoloogiliselt.

– Sisend: tsükliteta orienteeritud graaf.

– Väljund: graafi tippude topoloogiline järjestus.


Kahni algoritm: lisaatribuutika, algseis

• Iga tipu jaoks luuakse lisaväli, mille algväärtus on võrdne tipu si-sendastmega.

• Struktuur Q; algul sisaldab parajasti need tipud, mille lisavälja väär-tus on 0.


Kahni algoritm: töö käik

Kui Q on tühi, siis lõpetatakse.

Vastasel korral:

– võetakse Q-st suvaline tipp v;

– lisatakse v tulemusjärjendi lõppu;

– vähendatakse iga v-st väljuva kaare lõpptipu lisavälja väärtust 1võrra; need, millel see saab 0-ks, lisatakse Q-sse.


Keerukus

Kahni algoritm on keerukusega Θ(n + m), kus n ja m on vastavalttippude ja kaarte arv.

5 Topoloogiline järjestamine

5.1 Eeldusgraafi analüüs

62

Eeldusgraafi analüüs



63

Eeldusgraaf

Eeldusgraaf (ingl prerequisite graph) on orienteeritud tsüklitetagraaf G, mille tippudele on omistatud positiivsed hinnad (kaalud).

Võimalik tähendus:

– graaf väljendab projekti;

– tipud on tööd;

– tipu hind tähendab temale kuluvat aega;

– kaar tipust teise näitab, et teise alustamise eelduseks on esimeseläbitus.



64

Eeldusgraafi analüüsimise ülesanne

Leida antud eeldusgraafi kirjeldatud projekti varaseim võimalik lõpu-aeg ning arvutada ühtlasi iga tipu kohta tema varaseim võimalik lõpu-aeg ja hiliseim võimalik algusaeg, mille korral projekti lõpuaeg ei viibi(kõik ajad on kogu projekti algusaja suhtes).

– Sisend: eeldusgraaf.



65

Domineerivus

Igas tipus kehtib:

– varaseim lõpuaeg pole hilisem kui hiliseima algusaja ja tipulekuluva aja summa.



66

Kriitiline töö

Kriitiline töö on tipp, kus varaseim lõpuaeg on võrdne hiliseima al-gusaja ja tipule kuluva aja summaga.

– Kriitilised tööd on need, mis ei kannata venitamist. (Kohe, kuisaab tegema hakata, tuleb tegema hakata.)

– Kriitiliste tööde kindlakstegemiks eeldusgraafi analüüsi järel pii-sab lihtsast läbivaatusest.



67

Kriitiline tee

Kriitiline tee (ingl critical path) on eeldusgraafi ahel, mille

– tipud on kriitilised tööd,

– algustipu hiliseim algusaeg on kogu projekti algusaeg 0 (st kohealgul tuleb tegema hakata),

– lõpptipu varaseim lõpuaeg on kogu projekti varaseim lõpuaeg (stenne kogu projekti lõppu pole lootust valmis saada),

– iga kaare algustipu varaseim lõpuaeg võrdub selle kaare lõpptipuhiliseima algusajaga (st uut tööd peab kohe eeldustöö lõpetamisejärel tegema hakkama).

Iga kriitiline töö asub mingil kriitilisel teel.



68

Algoritm: varaseimad lõpuajad

Leitakse eeldusgraafi tippude topoloogiline järjestus.

Läbides tipud topoloogilises järjestuses, iga tipu korral:

– määrata tipu varaseim lõpuaeg kui tema vahetute eellaste (ju-ba leitud) varaseimatest lõpuaegadest hiliseima (kui eellasi pole,võetakse selleks kogu projekti alguseg ehk 0) ja jooksva tipuhinna summa.



69

Algoritmi jätk: hiliseimad algusajad

Leitakse kogu projekti varaseim lõpuaeg kui maksimum tippude vara-seimatest lõpuaegadest.

Läbides tipud ümberpööratud topoloogilises järjestuses, iga tipu kor-ral:

– määrata tipu hiliseim algusaeg kui tema vahetute järglaste (jubaleitud) hiliseimatest algusaegadest varaseima (kui järglasi pole,võetakse selleks kogu projekti eeldatav ehk varaseim lõpuaeg)ja jooksva tipu hinna vahe.



70

Keerukus

Eeldusgraafi analüüs käib sama keerukusega mis topoloogilise järjes-tuse leidmine ehk Θ(n + m).

6 Sidususkomponentide leidmine 71

Sidususkomponentide leidmine


Sidusus

Binaarne relatsioon, mis märgib tippude omavahelist ühendatust, si-dusust, on ekvivalents.

Sidususkomponent (ingl connected component) on selle ekviva-lentsiseose klass.


Variandid

• Sidusus orienteerimata graafis.

• Nõrk sidusus orienteeritud graafis.

• Tugev sidusus orienteeritud graafis.

6 Sidususkomponentide leidmine

6.1 Sidususkomponentide leidmine orienteerimata graafis

74

Sidususkomponentide leidmineorienteerimata graafis



75

Sidusus

Orienteerimata graafis on tipud u ja v seotud, kui leidub tee ühest tei-se.

– Siis automaatselt leidub tee ka vastassuunas.

– Seotus on (sümmeetrilise) binaarse relatsiooni “tippude vahel onserv” refleksiivne transitiivne sulund.



76

Ülesanne

Leida antud orienteerimata graafi sidususkomponendid.

– Sisend: orienteerimata graaf.

– Tulemus: tekib tippude klassijaotus vastavuses sidususkompo-nentidega.



77

Otsene lahendus

Läbida graaf sügavuti, võttes servatöötlusprotseduuriks serva otstippu-de klasside ühendamise klassijaotuses.

– Lugedes, et klassijaotuse manipulatsioonid on topeltoptimeeri-tud Galler-Fischeri meetodi korral praktiliselt konstantse kesk-mise keerukusega, on selle lahenduse keerukus O(n + m), kus non tippude ja m servade arv.



78

Lahendus: Kruskali algoritmi teisend

Kruskali algoritmis abistruktuuris välja kujunev tippude klassijaotuson parajasti jaotus sidususkomponentideks.

– Seega võib lahenduseks lihtsalt realiseerida Kruskali algoritmilma servade järjestamise (kaale ju pole) ja toese ehitamiseta.

Lugedes, et klassijaotuse iga manipulatsioon on praktiliseltkonstantse keerukusega, on selle lahenduse keerukus O(n + m),kus n on tippude ja m servade arv.


6.2 Nõrga sidususe komponentide leidmine

79

Nõrga sidususe komponentide leidmine



80

Nõrk sidusus

Orienteeritud graafis on tipud u ja v nõrgalt seotud, kui alusgraafis(st kaarte suuna unustamisel, nende asendamisel servadega) leidub teeühest teise.

– Nõrk sidusus on binaarse relatsiooni “tippude vahel on kaaremmas-kummas suunas” (ehk relatsiooni “leidub kaar esimesesttipust teise” ja tema pöördrelatsiooni ühendi) refleksiivne transi-tiivne sulund.



81

Ülesanne

Leida antud orienteeritud graafi nõrga sidususe komponendid.

– Sisend: orienteeritud graaf.

– Tulemus: tekib tippude klassijaotus vastavuses nõrga sidususekomponentidega.



82

Otsene lahendus

Läbida graaf sügavuti, võttes kaaretöötlusprotseduuriks kaare otstip-pude klasside ühendamise klassijaotuses.

– Kaar tuleb töödelda ka siis, kui tema lõpptipp on juba külastatud!

– Lugedes, et klassijaotuse manipulatsioonid on topeltoptimeeri-tud Galler-Fischeri meetodi korral praktiliselt konstantse kesk-mise keerukusega, on selle lahenduse keerukus O(n + m), kus non tippude ja m kaarte arv.


6.3 Tugeva sidususe komponentide leidmine

83

Tugeva sidususe komponentide leidmine



84

Tugev sidusus

Orienteeritud graafis on tipud u ja v tugevalt seotud, kui leidub teekummastki tipust teise.

– Tugev sidusus on binaarse relatsiooni “leidub kaar esimesest ti-pust teise” ja tema pöördrelatsiooni refleksiivsete transitiivsetesulundite lõige.



85

Tugeva sidususe komponentide graaf

Lugedes tugevalt seotud tipud ekvivalentseks, saame orienteeritudgraafi, milles

– tippudeks on algse graafi tugeva sidususe komponendid,

– kaar ühest komponendist teise leidub parajasti siis, kui leiduvadalgse graafi tipud vastavates komponentides, mille vahel on vas-tavas suunas kaar.

Tugeva sidususe komponentide graaf on orienteeritud tsükliteta.



86

Ülesanne

Leida antud orienteeritud graafi tugeva sidususe komponendid.

– Sisend: orienteeritud graaf.

– Tulemus: tekib tippude klassijaotus vastavuses tugeva sidususekomponentidega.



87

Lahendus kauguste maatriksi abil

Tugeva sidususe komponendid on võimalik kätte saada kauguste maat-riksist.

– Tipud, mille kaugused teineteisest on lõplikud, asuvad samas tu-geva sidususe komponendis.

Kuid kauguste maatriksi leidmine on ebaefektiivne.

– Nt Floyd-Warshalli algoritm töötab kuupkeerukusega.

Kauguste maatriks sisaldab palju rohkem infot kui sidususkom-ponendid. Sidususkomponente on võimalik lihtsamalt tuvastada.



88

Kosaraju algoritm: eeltöö

Läbida graaf lõppjärjestuses, tiputöötluseks lisamine ahela algusse,mis algul on tühi.

– St tekitada tagurpidi lõppjärjestus.

Tekitada iga tipu jaoks omaette klass.

Märkida kõik tipud kui “vaatlemata”.

Tekitada pööratud kaartega graaf.



89

Kosaraju algoritm: põhitöö

Läbida saadud ahel päripidi, iga tipuga v teha järgmist:

– kui v on “vaatlemata”, siis

∗ läbida pööratud kaartega graaf alustades tipust v, iga läbi-tud tipuga u teha järgmist:

· kui u on “vaatlemata”, siis· märkida u “vaadelduks”,· ühendada tipu u klass tipu v klassiga.



90

Komponentide avastamise järjestus

Kosaraju algoritm avastab tugeva sidususe komponendid järjestuses,mis vastab tagurpidi lõppjärjestusele tugeva sidususe komponentidegraafis.



91

Keerukus

Lugedes, et klassijaotuse manipulatsioonid on topeltoptimeeritud Gal-ler-Fischeri meetodi korral praktiliselt konstantse keskmise keeruku-sega, on selle lahenduse keerukus O(n + m), kus n on tippude ja mkaarte arv.



92

Tarjani algoritm: abiväljad

Abiks kasutatakse:

– välju iga tipu järjekorranumbri hoidmiseks;

– välju iga tipu samma tugeva sidususe komponenti kuuluva eel-lase (eelnevalt külastatud tipu) numbri hoidmiseks;

– magasini külastatud tippude hoidmiseks.



93

Tarjani algoritm: graafi läbimine

Läbida graaf korraga ees- ja lõppjärjestuses.

– St on töötlusprotseduurid, millest üht rakendatakse tipu esma-kordsel külastusel ja teist tipu juurest lahkumisel.

Rekursiivse algoritmi puhul pole probleem nii teha. Üks protse-duur tehakse enne rekursiivset pöördumist, teine pärast.



94

Tarjani algoritm: eesjärjestuse protseduur

Eesjärjestuses teostatakse järgmist:

– tipu numbri väärtustamine järjekorranumbriga eesjärjestuses;

– tipu eellasenumbri algväärtustamine sama numbriga;

– tipu lisamine magasini.



95

Tarjani algoritm: eellasenumbri vähendamine

N-ö “keskjärjestuses” tegevus (pärast iga väljuva kaare töötlust).

– Iga kaar, mis läheb jooksvast tipust sellisesse juba külastatud tip-pu, mis ei kuulu veel ühtegi klassi ja mille number on jooksvatipu omast väiksem, toob kaasa eellasenumbri muutumise selletipu numbriks.

– Iga kaar, mis läheb alles läbimata tippu, toob pärast järglase tööt-luse lõppu kaasa eellasenumbri muutumise võrdseks selle järg-lase eellasenumbriga, kui see on jooksva tipu eellasenumbristväiksem.



96

Tarjani algoritm: lõppjärjestuse protseduur

Lõppjärjestuses teostatakse järgmist:

– kui tipu eellasenumber pole alanenud (võrdub jätkuvalt tipu endanumbriga), siis luuakse uus klass, mille ainus tipp on jooksevtipp;

– samma klassi pannakse kõik need tipud magasinist, mis on sinnapandud pärast seda tippu;

– kõik uue klassi tipud ühtlasi eemaldatakse magasinist.



97

Komponentide avastamise järjestus

Tarjani algoritm avastab tugeva sidususe komponendid järjestuses, misvastab lõppjärjestusele tugeva sidususe komponentide graafis.



98

Keerukus

Lugedes, et klassijaotuse manipulatsioonid on topeltoptimeeritud Gal-ler-Fischeri meetodi korral praktiliselt konstantse keskmise keeruku-sega, on selle lahenduse keerukus O(n + m), kus n on tippude ja mkaarte arv.

– Tarjani algoritm võib siiski Kosaraju algoritmist mingi kordajajagu kiiremini joosta, sest saab hakkama graafi ühekordse läbi-vaatusega.

Graaﬁd - kodu.ut.eekodu.ut.ee/~nestra/mat/inf/p/aa/09s/s/graafid.pdf · 4 Kauguste analüüs 4.2...

Documents

Transcript of Graaﬁd - kodu.ut.eekodu.ut.ee/~nestra/mat/inf/p/aa/09s/s/graafid.pdf · 4 Kauguste analüüs 4.2...