MAT 2300 : devoir 2 Surfaces - Université de Montréal

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MAT 2300 : devoir 2 Surfaces Date de remise : 21 octobre 2014 dans le casier du prof ` a midi ou avant Il y a des questions bonus et vous pouvez donc obtenir 12/10. (1) 1. (a) Soit la fonction γ(u, v)=(a cos v, a sin v, 0)+ u(cos v 2 cos v, cos v 2 sin v, sin v 2 ) pour a>0 et u et v des nombres r´ eels. Montrer que γ(u, v + )= γ(-u, v). (1) (b) Soit la surface de obius S = {γ(u, v) | u R et v [0, 2π)}. Calcu- ler γ u et γ v et montrer qu’en tout point (u, v) R × [0, 2π), ils engendrent un sous-espace de dimension 2. (1) (c) Montrer que S est une surface r´ egl´ ee. (1) (d) Soit une surface r´ egl´ ee d´ ecrite par μ(u, v)= α(v)+ u ^ δ(v) o` u u R, v I R et α(v), ^ δ(v) R 3 pour tout v I. Le vecteur ^ δ est choisi unitaire. La courbe de striction β(v)= α(v)+ f(v) ^ δ(v) est une courbe appartenant ` a la surface im μ telle que β 0 (v) · ^ δ 0 (v)= 0 pour tout v. Calculer la courbe de striction pour la surface de obius S. Note : l’utilit´ e de ce concept est que les points singuliers d’une surface r´ egl´ ee C 1 , s’il y en a, appartiennent toujours ` a la courbe de striction. La surface de M¨ obius n’a que des points eguliers. Remarquons enfin que S s’auto-intersecte le long de la droite x =-a et y = z. (2) 2. Montrer : Th´ eor` eme de Beltrami-Enneper : La valeur absolue de la torsion d’une courbe asymptotique de courbure non-nulle est |τ| = -K o` u K est la courbure gaussienne. (2) 3. La carte avec (u, v) R 2 σ(u, v)=(u - 1 3 u 3 + uv 2 ,v - 1 3 v 3 + vu 2 ,u 2 - v 2 ) efinit la surface d’Ennerper. Note : des repr´ esentations pour deux points de vue diff´ erents sont donn´ ees ci-dessous. La surface d’Ennerper n’est pas strictement une surface au sens du cours, car elle s’intersecte. Il est cependant possible de limiter le domaine de (u, v) pour en faire une surface lisse. Calculer les coefficients de sa premi` ere forme fondamentale, de sa seconde forme fonda- mentale et ses courbures principales. 1

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MAT 2300 : devoir 2 Surfaces Date de remise : 21 octobre 2014 dans le casier du prof a midi ou avant Il y a des questions bonus et vous pouvez donc obtenir 12/10.
(1) 1. (a) Soit la fonction
γ(u, v) = (a cos v, a sin v, 0) + u(cos v 2
cos v, cos v 2
sin v, sin v 2 )
pour a > 0 et u et v des nombres reels. Montrer que γ(u, v+ 2π) = γ(−u, v).
(1) (b) Soit la surface de Mobius S = {γ(u, v) | u ∈ R et v ∈ [0, 2π)}. Calcu- ler γu et γv et montrer qu’en tout point (u, v) ∈ R × [0, 2π), ils engendrent un sous-espace de dimension 2.
(1) (c) Montrer que S est une surface reglee.
(1) (d) Soit une surface reglee decrite par µ(u, v) = α(v) + uδ(v) ou u ∈ R, v ∈ I ⊂ R et α(v), δ(v) ∈ R3 pour tout v ∈ I. Le vecteur δ est choisi unitaire. La courbe de striction β(v) = α(v) + f(v)δ(v) est une courbe appartenant a la surface imµ telle que β ′(v) · δ ′(v) = 0 pour tout v. Calculer la courbe de striction pour la surface de Mobius S.
Out[119]=
Note : l’utilite de ce concept est que les points singuliers d’une surface reglee C1, s’il y en a, appartiennent toujours a la courbe de striction. La surface de Mobius n’a que des points reguliers. Remarquons enfin que S s’auto-intersecte le long de la droite x = −a et y = z.
(2) 2. Montrer : Theoreme de Beltrami-Enneper : La valeur absolue de la torsion d’une courbe asymptotique de courbure non-nulle est |τ| =
√ −K ou K est la courbure gaussienne.
(2) 3. La carte avec (u, v) ∈ R2
σ(u, v) = (u− 1 3 u3 + uv2, v− 1
3 v3 + vu2, u2 − v2)
definit la surface d’Ennerper. Note : des representations pour deux points de vue differents sont donnees ci-dessous. La surface d’Ennerper n’est pas strictement une surface au sens du cours, car elle s’intersecte. Il est cependant possible de limiter le domaine de (u, v) pour en faire une surface lisse. Calculer les coefficients de sa premiere forme fondamentale, de sa seconde forme fonda- mentale et ses courbures principales.
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4. anamorphose : du grec ancien, transformation. Quoique l’Encyclopedie (1751) la definit comme une projection monstrueuse ou une re- presentation defiguree , elle est, pour le Larousse, une œuvre graphique [...] dont les formes sont distordues , mais dont la configuration veritable peut etre restituee en la re- gardant sous un angle particulier ou a l’aide de miroir deformant. Les anamorphoses ap- paraissent en art des la Renaissance, par exemple dans la fameuse toile Les ambassadeurs de Hans Holbein. La gravure d’Escher ci-dessous en donne un exemple plus recent. Les lois de la reflexion de la lumiere sur une surface s’enoncent aisement. Un faisceau lumi- neux incident voyage le long d’une droite de vecteur unitaire vinc. Il est reflechi en un point P d’une surface et voyage apres le long d’une droite de vecteur unitaire vref. Les deux regles suivantes determinent le vecteur vref : (i) le vecteur reflechi est dans le plan determine par le vecteur incident vinc et la normale n a la surface en P et (ii) l’angle entre vref et n egale a celui entre n et vinc.
Out[1183]=
Etudions la situation geometrique choisie par Escher dans sa gravure Main avec une sphere reflechissante. L’oeil d’Escher est a l’origine O et regarde dans un miroir hemispherique de rayon 1. Soit P le plan contenant l’origineO et qui est parallele a celui contenant l’equateur du miroir hemispherique. Le centre du miroir est en (d, 0, 0).
(1) (a) Determiner, en fonction de d, l’aire sur l’hemisphere de l’image du plan P (infini) vu par l’oeil en O.
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(1) (b) Deux cadres apparaissent dans la gravure, completement a droite de l’hemisphere. Sont- ils devant ou derriere Escher ? Justifier.
(1) (c) Soit a ∈ R3 un vecteur unitaire. La reflexion par rapport au plan a⊥ = {x ∈ R3 | x · a = 0} est la transformation lineaire qui laisse les points de a⊥ fixes, mais qui change a en −a. Monrer que cette reflexion ra : R3 → R3 est donnee par ra(x) = x− 2(x · a)a.
(1) (d) Soit ~x : U → H une parametrisation reguliere de l’hemisphere H et Q un point du plan P . Determiner les coordonnees (u, v) ∈ U du point P qui est l’image de Q vue par O. Remarque : une reponse implicite de la forme f(Q, (u, v)) = 0 est acceptable. Suggestion : ecrire vref comme la reflexion de vinc pour un certain vecteur unitaire a a choisir.
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