MAT 2300 : devoir 2SurfacesDate de remise : 21 octobre 2014 dans le casier du prof a midi ou avantIl y a des questions bonus et vous pouvez donc obtenir 12/10.

(1) 1. (a) Soit la fonction

γ(u, v) = (a cos v, a sin v, 0) + u(cos v2

cos v, cos v2

sin v, sin v2)

pour a > 0 et u et v des nombres reels. Montrer que γ(u, v+ 2π) = γ(−u, v).

(1) (b) Soit la surface de Mobius S ={γ(u, v) | u ∈ R et v ∈ [0, 2π)}. Calcu-ler γu et γv et montrer qu’en tout point(u, v) ∈ R × [0, 2π), ils engendrent unsous-espace de dimension 2.

(1) (c) Montrer que S est une surface reglee.

(1) (d) Soit une surface reglee decrite parµ(u, v) = α(v) + uδ(v) ou u ∈ R, v ∈I ⊂ R et α(v), δ(v) ∈ R3 pour tout v ∈ I.Le vecteur δ est choisi unitaire. La courbede striction β(v) = α(v) + f(v)δ(v) est unecourbe appartenant a la surface imµ telleque β ′(v) · δ ′(v) = 0 pour tout v. Calculerla courbe de striction pour la surface deMobius S.

Out[119]=

Note : l’utilite de ce concept est que les points singuliers d’une surface reglee C1, s’il y ena, appartiennent toujours a la courbe de striction. La surface de Mobius n’a que des pointsreguliers. Remarquons enfin que S s’auto-intersecte le long de la droite x = −a et y = z.

(2) 2. Montrer :Theoreme de Beltrami-Enneper : La valeur absolue de la torsion d’une courbe asymptotiquede courbure non-nulle est |τ| =

√−K ou K est la courbure gaussienne.

(2) 3. La carte avec (u, v) ∈ R2

σ(u, v) = (u− 13u3 + uv2, v− 1

3v3 + vu2, u2 − v2)

definit la surface d’Ennerper. Note : des representations pour deux points de vue differentssont donnees ci-dessous. La surface d’Ennerper n’est pas strictement une surface au sensdu cours, car elle s’intersecte. Il est cependant possible de limiter le domaine de (u, v) pouren faire une surface lisse.Calculer les coefficients de sa premiere forme fondamentale, de sa seconde forme fonda-mentale et ses courbures principales.

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4. anamorphose : du grec ancien, transformation.Quoique l’Encyclopedie (1751) la definit comme une � projection monstrueuse ou une re-presentation defiguree �, elle est, pour le Larousse, une � œuvre graphique [...] dont lesformes sont distordues �, mais dont la configuration veritable peut etre restituee en la re-gardant sous un angle particulier ou a l’aide de miroir deformant. Les anamorphoses ap-paraissent en art des la Renaissance, par exemple dans la fameuse toile Les ambassadeurs deHans Holbein. La gravure d’Escher ci-dessous en donne un exemple plus recent.Les lois de la reflexion de la lumiere sur une surface s’enoncent aisement. Un faisceau lumi-neux incident voyage le long d’une droite de vecteur unitaire vinc. Il est reflechi en un pointP d’une surface et voyage apres le long d’une droite de vecteur unitaire vref. Les deux reglessuivantes determinent le vecteur vref : (i) le vecteur reflechi est dans le plan determine parle vecteur incident vinc et la normale n a la surface en P et (ii) l’angle entre vref et n egale acelui entre n et vinc.

Out[1183]=

Etudions la situation geometrique choisie par Escher dans sa gravure Main avec une spherereflechissante. L’oeil d’Escher est a l’origine O et regarde dans un miroir hemispherique derayon 1. Soit P le plan contenant l’origineO et qui est parallele a celui contenant l’equateurdu miroir hemispherique. Le centre du miroir est en (d, 0, 0).

(1) (a) Determiner, en fonction de d, l’aire sur l’hemisphere de l’image du plan P (infini) vu parl’oeil en O.

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(1) (b) Deux cadres apparaissent dans la gravure, completement a droite de l’hemisphere. Sont-ils devant ou derriere Escher ? Justifier.

(1) (c) Soit a ∈ R3 un vecteur unitaire. La reflexion par rapport au plan a⊥ = {x ∈ R3 | x · a = 0}est la transformation lineaire qui laisse les points de a⊥ fixes, mais qui change a en −a.Monrer que cette reflexion ra : R3 → R3 est donnee par ra(x) = x− 2(x · a)a.

(1) (d) Soit ~x : U → H une parametrisation reguliere de l’hemisphere H et Q un point duplan P . Determiner les coordonnees (u, v) ∈ U du point P qui est l’image de Q vue par O.Remarque : une reponse implicite de la forme f(Q, (u, v)) = 0 est acceptable. Suggestion :ecrire vref comme la reflexion de vinc pour un certain vecteur unitaire a a choisir.

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