GM30 Classement d’arcs · En octobre 2000, Mike Horn a terminé son tour du monde «Latitude...

Mathématiques 10e © CIIP – LEP, 2012

Lignes, surfaces et théorème de PythagoreGrandeurs et mesures

γ = 260°

G

H

I

GH = 2,9

Aα = 100°

B

C

AB = 3,1

δ = 100°

F

D

E

ED = 3

A

α = 150°

B

C

AC = 3

δ = 148°

F

D

E

DE = 3

γ = 152°

G

H

IGI = 3

δ = 150°

F

D

E

DE = 4

γ = 320°G

H

IGH = 2

A

B

C

AB = 3

α = 200°

Colorie en rouge les arcs de cercle �BC, �EF et �HI, puis classe-les par ordre croissant de leur longueur en indiquant comment tu procèdes. unité : le cm

GM30 Classement d’arcs

a)

b)

c)



Calcule la longueur de ces deux arcs de cercle.

a) Le rayon du premier mesure 3,5 cm et son angle au centre 55°.

b) Le diamètre du cercle déterminant le second mesure 9 m et son angle au centre 260°.

GM31 Calculs d’arcs



Plusieurs gâteaux circulaires ont été découpés pour être vendus ; ils sont représentéspar les dessins ci-dessous. Les mesures des rayons sont exprimées en décimètres.

Classe ces gâteaux selon leurs aires, du plus petit au plus grand, en indiquantcomment tu procèdes.

1,5

1,5

2

284°

130°

284°

GM32 Qui est le plus grand ?

a) A B C

1,7

1,6

1,9 115°146°

163°

b) A B C



Calcule l’aire de ces deux secteurs.

a) Le rayon du premier mesure 3,5 cm et son angle au centre 55°.

b) Le diamètre du cercle déterminant le second mesure 9 m et son angle au centre 260°.

GM33 Calculs de secteurs



Calcule :

a) la longueur d’un arc appartenant à un cercle de 30 cm de diamètre etdont l’angle au centre mesure 265° ;

b) l’aire du secteur circulaire correspondant ;

c) le périmètre de ce secteur circulaire.

GM34 Arc et secteur



GM35 Estimation d’arcs et de secteurs

Complète le tableau suivant en indiquant le calcul que tu fais et l’unité de la réponse.

Utilise 3 comme valeur approximative de π.

Rayon du disque Angle au centre Longueur de l’arc Aire du secteur

2 mm 180°

6 cm 60°

12 m 90°

360° 48 dm2

4 cm 6 cm

L’arc et la flèche sont apparus sans doute dès20000 ans av. J.-C. Constitué d’un manche, enbois tendu, ou en collage de cornes, d’os, denerfs et de tendons, l’arc connut différents développements suivant les régions et les civilisations.

Utilisés tant pour la guerre que pour lachasse, voire la pêche, les arcs permettaientde disposer, avant les armes à feu, d’un équi-pement léger et donne la possibilité d’attein-dre une cible à grande distance. Indiens Tscholovoni chassant dans la baie de San Francisco.



GM36 Périmètre d’un secteur

Prends les mesures nécessaires et calcule le périmètre de la figure ci-dessous.



Dans cette figure :

– l’angle ~AOB est droit ;

– l’angle ~BOC mesure 120° ;

– le rayon OB mesure 3,5.

Détermine la mesure de l’arc �AC etl’aire de la surface colorée.

GM37 Un p’tit bout !

C

O

B

A



GM38 Secteurs et arcs

Calcule le périmètre et l’aire des figures colorées.

a) b)

Le rayon du cercleest de 3 cm.

Le côté du carrémesure 5 cm.

c)

e)

d)

f)

Les rayons des cerclessont de 9 cm et 12 cm.

Le diamètre du granddemi-cercle est de 14 cm.Le côté du carré

mesure 4 cm.

Le côté du carrémesure 8 cm.



Sachant que le côté du triangle équilatéral au centrede la figure mesure 2,4 cm, calcule.

a) La longueur de la spirale AB.

b) L’aire de la surface colorée en bleu.

A

B

GM39 En spirale

En 1908, dans une plaine de l’île deCrète où se trouvent les ruines dupalais de Phaïstos, les archéologuesont mis au jour un disque recouvert,sur ses deux faces, de symbolesétranges, non pas gravés, mais faitsavec un tampon. Impossible à daterde façon précise, on le situe entre leXVIIe et le XIVe siècle avant notre ère.

Le disque de Phaïstos, un peu irrégulier, est en argile cuite, trèsfine. Son diamètre varie de 15,8 cm à

16,5 cm, son épaisseur de 16 mm à21 mm.

Sur chaque face, une ligne en spi-rale fait fonction de guide, comme leslignes d’un cahier d’écolier. Sur uneface, 122 hiéroglyphes sont tracés, en31 groupes séparés l’un de l’autre parun trait vertical ; sur l’autre, 199 en30 groupes séparés semblablement.

Aucune interprétation convaincanten’a pu être produite sur la significationde ces spirales de symboles.



GM40 Mesures manquantes

Complète les cases vides de ce tableau présentant des valeurs estimées pour quatre disques.

Fais tes calculs mentalement en utilisant 3 comme valeur approximative de π.

Rayon Diamètre Périmètre Aire

a) 4 cm

b) 6 cm

c) 48 cm

d) 75 cm2



En mars 1999, le Breitling Orbiter 3 de Brian Jones et Bertrand Piccard futle premier ballon à air chaud à réaliser le tour du monde sans escale.

En octobre 2000, Mike Horn a terminé son tour du monde «Latitude zéro»en 15 mois et 11 jours.

En imaginant que le Breitling Orbiter 3 ait survolé à une altitude moyennede 6000 m le chemin parcouru par Mike Horn, combien de kilomètressupplémentaires aurait-il effectués?

GM41 En vol

En mars 1999, Brian Jones et Bertrand Piccard ont réussiun fantastique exploit à bord d’un ballon de 55m de haut:le premier tour du monde en ballon de l’histoire, en19 jours, 1 heure et 49 minutes. Ils ont ainsi parcouru42810 km.Partis, en direction de l’Est, de Château-d’Œx dans le

canton de Vaud, l’aérostier suisse et son collègue anglaisont profité de vents rapides de très haute altitude pour réa-liser ce tour qui s’est achevé en Egypte.



Le plancher d’une cabane a une forme carrée, de 4 m de côté.

Marguerite, la vache d’Aloys, est attachée à une corde de 8 m de long,fixée au sol, à l’un des angles de la cabane et à l’extérieur de celle-ci.

Quelle est l’aire de la surface herbeuse à disposition de Marguerite?

GM42 Miam-miam



Quelle fraction de la cible est peinte en jaune?

En rouge?

En bleu?

En noir?

GM43 La cible

A B DC E

A B C D E

0 10 20 30 40 cm

Le tir à l’arc est un sport de précision quiconsiste, pour le compétiteur, à envoyerses flèches le plus au centre d’une cibleau moyen d’un arc. Abandonné en 1920après cinq éditions, il fut réintroduit dansles compétitions olympiques en 1972.

Les arcs utilisés aujourd’hui n’ont plusrien à voir avec ceux du début du XXe siè-cle. Fibres de verre ou de carbone et alu-minium ont remplacé le bois, et ils sontdésormais équipés notamment d’un viseur, d’un repose-flèche, de stabilisa-teurs et d’amortisseurs.

1930… … et aujourd’hui.



Parmi ces quatre chemins qui mènent de A à B,lequel est le plus court?

GM44 Tous les chemins mènent à B

A B

2

2

3

3

44

1

1



Dans un triangle rectangle, on découpe unsecteur circulaire comme indiqué dans lafigure ci-contre.

Quel est le pourcentage de chute?

GM45 Chute !

A

BC

= 270°α= 45°β

4



Calcule le périmètre et l’aire de la figure colorée.

GM46 En formes

A

AB 5 8 m

BC 5 28 m

CD ø 36 m

DE 5 18 m

EF 5 31,2 m

120°

B C D

E

F

GH



Tous les cercles ont un rayon de 2 cm.

En te déplaçant uniquement sur les cercles ou les rayons dessinés, quelle est la longueurdu plus court chemin menant de A à B?

GM47 Au plus court

A

B



Madame Seguin veut faire brouter sa chèvre sur une parcelle carrée contenant une mare circulairede 2 m de diamètre. Elle clôture le tour de la parcelle, un carré de 8 m de côté, et celui de la mare.

a) Quelle est l’aire de la surface herbeuse que peut brouter la chèvre?

b) Quelle est la longueur totale de la clôture?

GM48 La chèvre de madame Seguin



Faire le pointFaire le point

1 Voici le croquis d’une piste d’athlétisme.Quel est le prix du revêtement de cette piste si 1 m2 coûte Fr. 100.– ?

On veut entourer cette rizière d’un muret afin deretenir l’eau. Quelle sera la longueur de ce muret ?AC est exprimé en hectomètres.

2

Aide-mémoire• Périmètre et aire d’une surface • Périmètre et aire d’un disque• Longueur d’un arc de cercle et aire d’un secteur circulaireRessources en ligne

AC = 3

= 226°

A

C

c

α

AC = 3

= 226°

A

C

c

α

SUITE �

Rizières en terrasses au Viêt-Nam.

Pages 199 et 200



3 Prends les mesures nécessaires et calcule l’aire de la figure ci-dessous.

> Corrigé en fin de fichier

4 Un disque a un périmètre de 25,13 cm. Quelle est l’aire de ce disque ?



Telle est la seule indication qui accompagne ces figures, imaginées parBhaskara (école indienne, 1050).

Mais qu’y a-t-il à voir?

GM52 Voyez !

Il ne faut pas confondre ce mathématicien indien (1114-1185) avec un autre Bhaskara qui a vécu vers la fin duVIe siècle. On parle de Bhaskara I pour évoquer lemathématicien homonyme, alors que c’est Bhaskara IIqui nous intéresse ici.

On lui doit de nombreux petits problèmes, notam-ment celui-ci: «Quel est le plus petit entier qui dans ladivision par 6 donne un reste égal à 5, dans la divisionpar 5 donne un reste égal à 4, dans la division par 4donne un reste égal à 3, et dans la division par 3 donneun reste égal à 2?»

1. 2. 3. 4.

Extrait du manuscrit Lilavati, d’après le nom de la fille de Bhaskara II, illustrant le théorème de Pythagore.



Les triangles ci-dessous sont-ils rectangles?

GM53 Etre ou ne pas être rectangle

a) b) c)

La vie et l’œuvre de Pythagore,mathématicien et philosophe grec,connu avant tout pour le théorèmede géométrie qui porte son nom,sont entourées de mystère.Pythagore est ne dans l’île de

Samos et a vécu au VIe siècle av. J.-C.Il séjourna en Egypte, a Babylone,en Grèce et en Sicile, avant de s’ins-taller a Crotone, colonie grecque du

sud de l’Italie. Il créa une école religieuse, philosophique etscientifique, qui influença fortement la société qui l’entou-rait. Ses membres, des citoyens de toutes classes sociales,

pratiquaient des rites secrets et proposaient un style de viequi stimulait la maîtrise de soi, le courage et la disciplinecollective. Ils prêtaient en outre le serment de ne pas divul-guer les découvertes fondamentales qui leur étaientrévélées.Leur devise était «Tout est nombre»: ils cherchèrent a

expliquer les couleurs, la musique, l’univers et l’être humainpar les nombres entiers positifs, les négatifs n’ayant pas desens a cette époque.Pythagore fut assassine avec de nombreux disciples,

environ 500 ans av. J.-C. Malgré cela, les activités scienti-fiques de sa communauté se poursuivirent durant deuxsiècles encore.



Ces deux mêmes tapis carrés ont été décorés à l’aide de quatre trianglesrectangles isométriques.

a) Quel est le motif qui nécessite le plus de laine blanche?

b) Quelle relation peux-tu établir entre a, b et c?

GM54 Deux pour un !

I

IV

IIIII

c

a

a

b

b

I

IV

II

a

a

b

bIII



a) Construis un triangle MNP tel que les longueurs de ses côtés valent : MN = 9,6 cm,MP = 4 cm et NP = 10,3 cm. A vue d’œil, ce triangle est-il rectangle?

b) Vérifie ta réponse en utilisant le théorème de Pythagore.

GM55 Prouvons !



Les triangles ci-dessous sont-ils rectangles?

GM56 Triangles rectangles ?

a) b)

e) f)

c) d)



GM57 Troisième côté

Complète le tableau suivant relatif à trois triangles ABC rectangles en C.

C

A B

Triangle AB AC BC

1 12 5

2 53 28

3 12,5 9,5



Sur la figure ci-dessous, le triangle CDB est-il rectangle?

GM58 Aussi rectangle ?

A B4,2 cm

5 cm

1,4 cm

2,4 cm

C

D



Calcule, si possible, la ou les mesures manquantes des côtés de chaque triangle.

GM59 Possible ou non ?

825 12

8

6

a) b) c)



Peux-tu dire si les triangles ci-dessous sont rectangles ou non?

GM60 Rectangles ou pas ?

4

3

57,5 7,5

8

10

45°

a) b) c)



Parmi les triangles suivants, lesquels sont rectangles? S’ils le sont, indique quel côté est l’hypoténuse.

a) AB = 15 cm, BC = 17 cm et AC = 8 cm.

b) EF = 8 m, FG = 5,5 m et EG = 9,2 m.

c) XY = 19,2 mm, YZ = 9,2 mm et XZ = 284 mm.

GM61 Où est l’hypoténuse ?



Marie-Christine veut rendre visite à son Roméo. Pour y parvenir, elle doit passer par lafenêtre de sa chambre, qui est située à 6 m au-dessus du sol. Marie-Christine positionneune échelle de telle manière que le haut de celle-ci arrive juste au bas de la fenêtre. Lespieds de l’échelle se retrouvent alors à une distance horizontale de 2 m du mur.

Quelle est la longueur de l’échelle?

GM62 Rendez-vous galant

Chaque année, la ville de Vérone,en Italie, voit défiler un flot de tou-ristes, non seulement des amateursd’opéra qui profitent des spectaclesdonnés dans les arènes romainesde la ville, mais aussi de nombreuxvisiteurs qui viennent s’attardersous le balcon des amants deVérone, Roméo et Juliette, couplemythique, héros malheureux d’unetragédie de l’auteur anglais Shakes-peare.

La maison de Juliette à Vérone.



Tu viens d’acheter une armoire que tu dois monter dans ta chambre.

Les dimensions de cette armoire sont les suivantes : hauteur = 236 cm, largeur = 100 cm et profondeur = 60 cm.

Etant seul pour la monter, tu la construis couchée sur le sol.

Pourras-tu, une fois qu’elle sera montée, la redresser sachant que ta chambrea une hauteur de 2,5 m?

GM63 Montage et démontage



Dans la consigne d’une gare, on trouve des casiers dont les dimensionssont : 80 cm de large, 150 cm de haut et 60 cm de profondeur.

Nathanaël peut-il y déposer ses skis de 1,70 m?

GM64 Consigne



Bill s’entraîne sur la piste rectangulaire et John sur l’unedes pistes triangulaires schématisées ici.

Ils courent à la même vitesse et pendant la même durée.

Bill fait douze tours de piste.

Et John?

GM65 Jogging



Reproduis cette «spirale» et continue sa construction.

Quelle sera la mesure de l’hypoténuse h15?

Donne les numéros d’ordre de deux hypoténuses successives dont la différence des mesuresest inférieure à un millième.

1

1

1

h1

h2h3

h4

1 1

1

GM66 L’escargot



A (2 ; 4), B (14 ; 3) et C (9 ; 14) sont les trois sommets d’un triangle,tout comme les points : E (1 ; 1), F (2 ; 7) et G (12 ; 5).

Que dire de chacun de ces triangles?

GM67 En es-tu certain ?



GM68 Angles droits et polygones

Calcule l’aire de chacun de ces polygones.

Trapèze rectangle

Mesures exprimées en millimètres

Triangle rectangle

Losange

Parallélogramme



a) Les diagonales d’un losange mesurent 15 cm et 20 cm.

Quel est le périmètre de ce losange? Et son aire?

b) Les diagonales d’un carré mesurent 12 cm.

Quel est le périmètre de ce carré? Et son aire?

GM69 En diagonale



a) Le triangle ABC, rectangle en C, est tel que AC = 6 cm et AB = 10 cm.

Quelle est la mesure de la hauteur issue du sommet C?

b) Les dimensions d’un rectangle sont 8 cm et 15 cm.

Quelle est la distance entre un sommet et la diagonale ne passant pas par ce sommet?

GM70 D’un triangle à un rectangle



Faire le pointFaire le point

1 Calcule, si possible, la mesure des côtésmanquants des triangles suivants.

a)

Des deux triangles suivants, y en a-t-il un qui soit rectangle ? Justifie.

• EFG tel que EF = 1 cm, EG = 1,2 cm et FG = 2 cm.

• HIJ tel que HI = 14,4 cm, IJ = 14,5 cm et HJ = 1,7 cm.

2

Aide-mémoire• Triangle remarquable• Triangle rectangle – vocabulaire• Somme des angles d’un triangle• Théorème de Pythagore• Périmètre et aire d’une surfaceRessources en ligne

4 cm

4 cm

7 cm

6 cm

b)

4 cm

4 cm

7 cm

6 cm

SUITE �

Pages 204 et 205



3 Calcule l’aire de la figure comprise entre un cercle de 24 m de diamètre etun hexagone régulier inscrit dans ce cercle. Représente la situation à l’aide d’un croquis.

> Corrigé en fin de fichier

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