Gewmetria b Lykeiou Taexeiola Gr

7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ

1

8η ΕΚ∆ΟΣΗ



2



3

ΠΕΡΙΕΧΕΙ

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΕΜΒΑ∆Α

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ



4



5

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

∆ύο ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroαταα γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα β δ

όταν ο λόγος του α προς το β ισούται microε το λόγο του γ προς το δ

δγ

βα

=

bull Η παραπάνω ισότητα λέγεται αναλογία

bull Τα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα α β γ δ λέγονται ανάλογα ή αντίστοιχα

bull Τα τmicroήmicroατα α δ λέγονται άκροι όροι

bull Τα τmicroήmicroατα β γ λέγονται microέσοι όροι

bull αγβγβ

βα

βγαδδγ

βα

=hArr==hArr= 2

bull δβ

γα

δγ

βα

=hArr=

bull δγ

γβα

αδγ

βα

δδγ

ββα

δγ

βα

plusmn=

plusmnhArr=

plusmn=

plusmnhArr=

bull λδβκγα

λκ

δγ

βα

++++++

====

Ένα σηmicroείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ σε λόγο λ αν και microόνο αν

λ=ΜΒΜΑ

Το σηmicroείο Μ είναι microοναδικό

Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέmicroνουν δύο άλλες ευθείες ορίζουν σε αυτές

τmicroήmicroατα ανάλογα

∆ηλαδή Αν 321 εεε τότε ΕΗΑΓ

=ΖΗΒΓ

=ΕΖΑΒ



6

Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία

ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε

ΖΗΕΖ

=ΒΓΑΒ

τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε

Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο

άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα

Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια

τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου

∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο

λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β

∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι

συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆

Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα

∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ

=ΖΗΛΜ

=ΕΖΚΛ

Όπου ΒΓ∆Ε ε

∆Β∆Α

=ΓΒΓΑ



7


Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το

λόγο των προσκείmicroενων πλευρών

Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς

σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των

προσκείmicroενων πλευρών

∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ

ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β

∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του

τριγώνου ΑΒΓ ισχύει

ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες

που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία

Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας

τους

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές

αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια

bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση

bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους

bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια

bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους

bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων

τους

bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων

τους




9


ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ

Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε

microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το

γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος

microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα

Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι

ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε

90=Αand

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα

∆ΓsdotΒ∆=Α∆2

Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής

Α στην υποτείνουσα ΒΓ

Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και

Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10

bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=

bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

τότε ισχύει 222

111

αυγβ=+ και βγαυα =

bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α

δίνεται από τον τύπο 2

3sdot=α

υ

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το

άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο

γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή

∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ

and

και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β

τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το

άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο





11

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες

bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ

and

bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α

and

bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ

and

Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το

τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των

άλλων δύο πλευρών

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση

Αsdotminus+= συνβγγβα 2222

Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο

( )( )( )γτβταττα

υα minusminusminus=2

όπου ( )γβατ ++=2

1

Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ

Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του

τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το

microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς

∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ

and

και

Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β

τότε ισχύει

Α∆sdot++= βγβα 2222




12

∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει

2

22

222 αmicroγβ α +=+

Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους

2

22

222 γmicroβα γ +=+

22

2222 β

microγα β +=+

Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της

τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή

Μ∆sdot=minus αγβ 222

Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο

θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ

Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει

Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ




13

Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ

Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση

Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι

Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και

συmicroβολίζεται

( )2222

RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ

bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R

bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R

bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R

bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση


bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να

είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση

Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ

ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2

( )( ) 22 RRR minus=+minus

=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ

δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του

τριγώνου αυτού είναι

Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε

2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και

Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι

i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα

ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ

3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand

=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί

ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and

ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap

ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία

ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ

5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά

τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆

6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι

22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ

7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω

περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί

να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85

8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt

τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο

9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο

10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να

αποδειχθεί ότι 90Οand

ltΑ

11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ

τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι

2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15

12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής

γωνίας εξΓ

and

αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ

Να αποδειχθεί ότι i)4

α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ

13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα

τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆

14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση

2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2

βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =

15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand

=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ

α) Να αποδειχθεί ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του

τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α

and

να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών

του τριγώνου ΑΒΓ

16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222

αγβ micromicromicro =+

17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ

and

και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να

αποδειχθεί ότι 4

22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ

18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand

=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)

κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ

19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον

περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου

Να δειχθεί ότι i)4

2α=Μ∆sdotΜΑ ii)

ΘΟ∆ )( R )(

9

1 222 γβα ++minus=

iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆

20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα

τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να

αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ

21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των

διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι

i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ





16

22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ

προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο

τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι

i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22

23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και

Λ2

R

εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του

κύκλου

Λ2

R

φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι

ΜΓΜ∆=ΜΑ2

24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι

περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ

στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α

25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α

και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε

και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)

ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α

2) iii) το άθροισmicroα

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ

είναι σταθερό

26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2

3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η

οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της

χορδής ΑΒ

27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ

αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2

13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι

i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900

28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να

αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του

τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2

29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ

2=2α

2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να

αποδειχθεί ότι i)and

Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4

30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να

αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E

2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2

31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-

πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν

2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17

32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι

i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16

263 222 βminusγ+α

33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι

i) ο120=Α

and

ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου

iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα

34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου

ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην

ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ

35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α

and

ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο

της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8

5α Να αποδειχθεί

ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64

5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ

36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α

and

α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της

πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε

i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21

ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5

iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21

(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)




18

ΕΜΒΑ∆Α

ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ

Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο

Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν

έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια

Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά

Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου

πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του

ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων

Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1

∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα

Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του

στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο

Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από

τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται

τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό

∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα

αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα




19

ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε

Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε

Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος

που αντιστοιχεί σε αυτή

βα υβυα sdot=sdot=Ε

Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος

γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2

1

2

1

2

1

Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το

ύψος του υβsdot

+Β=Ε

2

Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του

bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4

32α=Ε

bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του

bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους

ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του

bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα

bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία

ισεmicroβαδικά τρίγωνα

bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι





20

ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2

γβατ

++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου

ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε

Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2

1

2

1

2

1

ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των

αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο

των αντίστοιχων βάσεων

Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του

λόγου οmicroοιότητας

Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου

οmicroοιότητας

Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου

τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων

των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές





21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και

Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε

2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη

από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να

υπολογιστεί το εmicroβαδό του

3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο

∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου

τριγώνου ∆ΕΖ είναι

Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε

4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and

∆ΑΒ =30ο να

υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ

β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ

5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε

β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός

αυτού

α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά

β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆

6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα

Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)

7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ

παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των

σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε

ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε

8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ

και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)

9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την

πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων

Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31

2

2 ΕsdotΕ=Ε

10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ

φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία

Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι

α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)

β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22

11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and

∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ

θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των

ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν

α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆

β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ

γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ

12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α

and

α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του

β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2

1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου

ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ

γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό

του τριγώνου ΑΕΗ

13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες

ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄

Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι

α) οι γωνίες and

Γ και and

ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές

β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)

14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and

οψx zand

οψ xzand

ο και πάνω στις

ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και

ΟΓ=8

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand

x zand

οψ xzand

ο

β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και

Γ∆

γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)

δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311

15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α

αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2

1(ΑΒΓ∆)

β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ

16 Λ

Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα

Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα

Να αποδείξετε ότι

Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε

β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ

και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά




23

17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆

and

α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆

β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4

1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη

διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του

τριγώνου ΕΖΗ

γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ

18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι

το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4

1

19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α

and

και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου

κύκλου 3

7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του

20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β

Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m

90ο=∆=Αandand

Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο

οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα

α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆

β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆

γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο

ΑΕ∆

δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)

21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆

να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8

3ΑΒΓ∆

22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α

and

) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ

και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3

ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι

(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24

23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς

∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι

α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)

γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)

24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε

microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων

Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα

25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and

Α Αν

( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ

26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5

8=ΑΓ Αν 80=Α

and

να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ

27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β

and

και η γωνία and

Α να είναι το 3

1 της ορθής Αν

∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β

and

να

βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ




25


ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του

ίσες

Γωνία κανονικού ν-γώνου ν

φν

360

180 minus=

Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν

ων

360=

Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2

22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1

όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν

∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια

Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο

αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι

bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου

bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου

bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου

κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου

Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και

το λόγο των αποστηmicroάτων τους

∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26

ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ

ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ

ΑΠΟΣΤΗΜΑ να

2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360

2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ

cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα

( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap

ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του

εξαγώνου αυτού είναι

Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ

2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των

πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε

ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του

είναι 641 += RR

3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να

αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί

το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R

4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν

ο60=ΒΟΑand

τότε το microήκος της ακτίνας R είναι

Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)

5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό

του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ

6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος

ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται

β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων

7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι

Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15

8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του

είναι 80cm Να υπολογιστούν

α) η ακτίνα R του κύκλου

β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου

9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε

διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που

εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων

10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την

κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου

τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ

11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε

σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το

εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου

ΑΒΓ




28

12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6

προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως

συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος

που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ

δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει

κορυφές τα ΑΒΓ∆

13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο

Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε

α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ

β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ

14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων

ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το

αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται

microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆

15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α

and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με

κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο

το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η

περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ

16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε

κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η

περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου

17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α

and

) microε ΒΓ = 2R

Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε

άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου

microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό

18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική

πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα

έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας

του χόρτου που microπορεί να κοπεί

19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο

Να υπολογίσετε

α) το εmicroβαδό του κύκλου

β) την πλευρά του τριγώνου

γ) το εmicroβαδό του τριγώνου

δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου

20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και

8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου




29

21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας

κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο

αυτόν

22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με

κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap

AB στο σηmicroείο Γ Να

βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ

23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ

cap

Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την

εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του

microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ




30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά

ΑΒ είναι

Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω

(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ

2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and

Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω

ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε

Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2

3a Ε Κανένα από τα παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 3η

Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε

i) ΒΕ =2

5α Σ Λ

ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ

ισούται microε

Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5

1 Ε Κανένα από τα

παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η

Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε

i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ

- Ο λόγος ∆Γ∆Β


Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3

(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)

ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ

iii) Να αποδείξετε ότι 2

1=

∆Γ∆Ε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ



31

ΑΣΚΗΣΗ 5η

∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ

κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι

i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆

ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του

τριγώνου ΑΒΜ

ΑΣΚΗΣΗ 6η

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος

αγβ +

ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3

1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα

ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)

ΑΣΚΗΣΗ 8η

Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο

ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι

12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα

θα χρειαστούmicroε

12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η

∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη

προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι

i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)

ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 10η

Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι

i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ

iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα

x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η

Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ

που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της

∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι

α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)

β) β2(ΑΕΖ) = γ

2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η

Θεωρούmicroε γωνία yxand

Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις

Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι

α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)

β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)

γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η

Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις

πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α

(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε

α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε

Ε1 και Ε

Ε2

β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2

121

ΑΣΚΗΣΗ 14η

∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3

Να βρεθεί

i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆

ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 15η

Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να

βρεθεί

i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆

ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆

iii) Ο λόγος )(

)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η

∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand

ΒΓ ακτίνας R

α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία

β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε

δύο ισεmicroβαδικά χωρία

γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε





33

ΑΣΚΗΣΗ 17η

Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap

ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap

ΒΓ και έστω

Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap

ΒΑ όταν το

εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα

τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap

ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η

∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε

( 1ΑΟΒand

)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ

α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap

ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το

εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap

ΑΓ

β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand

είναι 150ο πόσο είναι το S

γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο

Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η

Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής

διαγωνίου του Β∆

i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε

ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να

δειχθεί ότι 2

3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η

Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β

όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην

πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2

γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το

χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο

δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί

να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα

στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2

ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα

συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση

Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και

διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει

Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την

Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι

i) ZB= 2

1ZΓ

ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)

iii) Να αποδειχθεί ότι 8

3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ

α) i) Να αποδείξετε ότι 2

3αmicroα =

ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and

Β

iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ

iv) Να βρείτε τη γωνία and

Β

β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι

i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η

Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο

ηmicroικύκλιο cap

ΑΒΓ

α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆

συναρτήσει της ακτίνας R

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι

i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆

ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆

γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2

maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4

3ΑΓ και

σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4

1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου

ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ

ΑΣΚΗΣΗ 25η

Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2

αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς

α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3

Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222

γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε

2 όπου

Ε το εmicroβαδό του




35

ΑΣΚΗΣΗ 26η

Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις

όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των

πλευρών του

i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η

Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο

στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+

2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η

Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για

την κατασκευή δρόmicroου

i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε

ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου

ήταν 10000000 δρχ

ΑΣΚΗΣΗ 29η

Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7

i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του

ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ

iii) Να υπολογιστεί η γωνία and

Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ

πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2


ΑΣΚΗΣΗ 31η

Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and

Α =90ο) microε

and

Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και

ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ

γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν

i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ

ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ

iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ




36

ΑΣΚΗΣΗ 32η

Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆

πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί

για κατασκευή εργατικών κατοικιών

Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30

ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ

έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα

χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z

για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου

microπάσκετ 30 70

α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων

β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ

γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του

ΑΣΚΗΣΗ 33η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =

and

και ΑΒ=y ΑΓ=β

Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ

i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις

β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α

ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip

2

2

βy

=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β

ii) Να δειχθεί ότι 111

222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί

ότι

i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)

2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η

∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α

and

ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ

η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα

εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των

τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)

ΑΣΚΗΣΗ 36η

Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις

τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το

ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η

∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α

Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και

η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3

10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η

Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται

σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α

φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3

2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2

1 α) Αν το εmicroβαδό ∆

του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β

Γ

εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ

ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των

τεσσάρων αγροτεmicroαχίων

ΑΣΚΗΣΗ 39η

∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά

που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το

χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 40η

Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ

την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και

ο90=∆=Αandand

Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ

∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος

θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆

και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί

το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να

βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆

γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο

ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β

ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου

∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)

ΑΣΚΗΣΗ 41η

∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν

Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ

Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ

ΑΣΚΗΣΗ 42η

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο

κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι

α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η

Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε

ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι

i) ΒΓ=ΑΒ =λ3

ii) η γωνία and

ΑΟΓ είναι αmicroβλεία

iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7

2

iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2

1=

ΑΟΓΒΟΓ

και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου

and

ΑΟΓ

v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και

το microέτρο του τόξου cap

ΒΓ




39



40



2



3

ΠΕΡΙΕΧΕΙ

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ


ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ


ΕΜΒΑ∆Α




4



5

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ



δγ

βα

=





bull αγβγβ

βα

βγαδδγ

βα

=hArr==hArr= 2

bull δβ

γα

δγ

βα

=hArr=

bull δγ

γβα

αδγ

βα

δδγ

ββα

δγ

βα

plusmn=

plusmnhArr=

plusmn=

plusmnhArr=

bull λδβκγα

λκ

δγ

βα

++++++

====


λ=ΜΒΜΑ





=ΖΗΒΓ

=ΕΖΑΒ



6



ΖΗΕΖ

=ΒΓΑΒ












=ΖΗΛΜ

=ΕΖΚΛ


∆Β∆Α

=ΓΒΓΑ



7








ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β



ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



3

ΠΕΡΙΕΧΕΙ

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ


ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ


ΕΜΒΑ∆Α




4



5

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ



δγ

βα

=





bull αγβγβ

βα

βγαδδγ

βα

=hArr==hArr= 2

bull δβ

γα

δγ

βα

=hArr=

bull δγ

γβα

αδγ

βα

δδγ

ββα

δγ

βα

plusmn=

plusmnhArr=

plusmn=

plusmnhArr=

bull λδβκγα

λκ

δγ

βα

++++++

====


λ=ΜΒΜΑ





=ΖΗΒΓ

=ΕΖΑΒ



6



ΖΗΕΖ

=ΒΓΑΒ












=ΖΗΛΜ

=ΕΖΚΛ


∆Β∆Α

=ΓΒΓΑ



7








ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β



ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



4



5

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ



δγ

βα

=





bull αγβγβ

βα

βγαδδγ

βα

=hArr==hArr= 2

bull δβ

γα

δγ

βα

=hArr=

bull δγ

γβα

αδγ

βα

δδγ

ββα

δγ

βα

plusmn=

plusmnhArr=

plusmn=

plusmnhArr=

bull λδβκγα

λκ

δγ

βα

++++++

====


λ=ΜΒΜΑ





=ΖΗΒΓ

=ΕΖΑΒ



6



ΖΗΕΖ

=ΒΓΑΒ












=ΖΗΛΜ

=ΕΖΚΛ


∆Β∆Α

=ΓΒΓΑ



7








ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β



ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



5

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ



δγ

βα

=





bull αγβγβ

βα

βγαδδγ

βα

=hArr==hArr= 2

bull δβ

γα

δγ

βα

=hArr=

bull δγ

γβα

αδγ

βα

δδγ

ββα

δγ

βα

plusmn=

plusmnhArr=

plusmn=

plusmnhArr=

bull λδβκγα

λκ

δγ

βα

++++++

====


λ=ΜΒΜΑ





=ΖΗΒΓ

=ΕΖΑΒ



6



ΖΗΕΖ

=ΒΓΑΒ












=ΖΗΛΜ

=ΕΖΚΛ


∆Β∆Α

=ΓΒΓΑ



7








ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β



ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



6



ΖΗΕΖ

=ΒΓΑΒ












=ΖΗΛΜ

=ΕΖΚΛ


∆Β∆Α

=ΓΒΓΑ



7








ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β



ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



7








ισχύει

ΑΓΑΒ

=∆Γ∆Β



ΑΓΑΒ

=ΕΓΕΒ



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



8

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ




τους











τους


τους




9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



9









Γ∆Β∆

=ΑΓ

ΑΒ2

2




90=Αand







Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2




10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



10




111




3sdot=α

υ






and









11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



11



and


and


and










1







and

και







12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



12


2

22



2

22


22

2222 β

microγα β +=+












13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



13






( )2222










ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2



δδδ





14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15





ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ



ότι 222

4

3ΒΓ=ΑΓ+Β∆

















ltΑ



2

3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆




15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



15


γωνίας εξΓ

and



α=ΓΖ ii)

2

7α=ΑΕ





βmicro +2

γmicro =2

2 αmicro

β) 2

3αmicroα =

2

3γmicroβ =

2

3βmicroγ =




4



and






and



22 ΄ΑΒsdotΑΓ+

ΒΓ=ΑΜ








ΘΟ∆ )( R )(

9


iii) AB2+AΓ

2=2ΑΜsdotΑ∆











16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



16






Λ2

R


κύκλου

Λ2

R


ΜΓΜ∆=ΜΑ2







ΜΓ2+Μ∆

2 = 2(R

2+α


∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ





χορδής ΑΒ




i) ΖΓ2+Ζ∆

2+ΓΕ

2+∆Ε

2=5R

2 ii)

and

Ε∆Ζ = 900





2=2α



Α lt900 ii) AE =

γα2

2

και ΑΜ = 2

3α iii) ΕΖ =

γαβ4

Ζ∆ = β

αγ4



2 = 2A∆

2 ndash AE

2 ii) AB

2 + 2AΓ

2 = 3AE

2 +

6∆E2



2 ndash 1

ii) α = 4 β = 5 γ = 3

iii) α = 11 β = 13 γ = 12




17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



17


i) Ε∆=2

1ΑΒ ii) ΕΖ

2 =

16



i) ο120=Α

and







and




ότι i) ΓΡ2 =

16

5 2α ii) ΡΚ

2 =

64



and










18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



18

ΕΜΒΑ∆Α





















19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



19









1

2

1

2

1



+Β=Ε

2



32α=Ε












20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



20



γβατ


ρτ sdot=Ε

R4

γβα sdotsdot=Ε


1

2

1

2

1
















21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ









Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20



∆ΑΒ =30ο να





αυτού














2

2 ΕsdotΕ=Ε





β) (ΑΒ΄Γ΄) = (ΑΒΓ)

γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)




22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



22









and











Γ και and



γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)


οψx zand

οψ xzand



ΟΓ=8


x zand

οψ xzand

ο


Γ∆





1(ΑΒΓ∆)


16 Λ










23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



23


and









1


and


κύκλου 3


20

∆ Ζ Γ

υ

Α Ε Η Β


90ο=∆=Αandand






ΑΕ∆




3ΑΒΓ∆


and




(ΜΝΒ)= )(3

1ΑΒΓ




24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



24



α) (ΑΒ∆)= )(2

1ΑΒΓ∆

β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)






Α Αν



8=ΑΓ Αν 80=Α

and



and





and

να





25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



25




ίσες


φν

360

180 minus=


ων

360=


22

4R=+ ν

ν

λα

νν λν sdot=Ρ

ννν αsdotΡ=Ε2

1











∆ηλαδή

ν

ν

ν

ν

αα

λλ

==R

R




26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



26


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΚΑΝΟΝΙΚΟ

ΕΞΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

ΤΡΙΓΩΝΟ



2

24

R=α

2

36

R=α

23

R=α

RL sdot= π2

180

microπ sdotsdot=

Rl ή Rl sdot=α

180

microαπ

=

2Rsdot=Ε π

( )360


cap R ή ( )

cap

sdot=ΟΑΒ 2

2

1Rα


ε




27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



27

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



Α ρ Β 2

3ρ Γ 2ρ ∆

3

32ρ Ε

3

2ρ









ο60=ΒΟΑand









Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15














ΑΒΓ




28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



28
















and

) microε ο60=Β

and

και ΒΓ=α Με








and

) microε ΒΓ = 2R



















29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



29



αυτόν






cap







30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η


ΑΒ είναι



ΑΣΚΗΣΗ 2η


2 = 2β

2 Τότε

i) Α and

Α gt90ο Β

and

Β gt 90ο Γ

and

Β lt 90ο ∆

and



Α 4

a Β

2

a Γ

4

3a ∆

2



ΑΣΚΗΣΗ 3η


i) ΒΕ =2

5α Σ Λ



Α 5

2 Β

4

5 Γ

4

1 ∆

5


παραπάνω


Α Β

E

Z

∆ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 4η





Α 2

1 Β

3

1 Γ

3

2 ∆

4

3 Ε

2

3




1=

∆Γ∆Ε




31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



31

ΑΣΚΗΣΗ 5η



i) (ΑΒΜ)=2

)(ΒΓ∆



ΑΣΚΗΣΗ 6η


αγβ +


1 ∆

2


παραπάνω


ΑΣΚΗΣΗ 7η



ΑΣΚΗΣΗ 8η





12m

13m

ΑΣΚΗΣΗ 9η





ΑΣΚΗΣΗ 10η


i) (ΑΕ∆)=4

)(ΑΒΓ

ii) (ΒΘΓ)= 3

)(ΑΒΓ


x

x x

x




32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



32

ΑΣΚΗΣΗ 11η




α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)


2(∆ΕΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 12η






γ) (ΒΟΓ∆)=2

1(ΟΑ)(ΒΓ)

ΑΣΚΗΣΗ 13η





Ε1 και Ε

Ε2


121

ΑΣΚΗΣΗ 14η


Να βρεθεί



ΑΣΚΗΣΗ 15η


βρεθεί




)(

ΒΓ∆ΑΒ∆

ΑΣΚΗΣΗ 16η











33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



33

ΑΣΚΗΣΗ 17η





ΒΑ όταν το



ΒΑ

ΑΣΚΗΣΗ 18η


( 1ΑΟΒand





ΑΓ




Β

Γ

φ

Α1 Α

ΑΣΚΗΣΗ 19η






3Ε=ΑΖsdotΑΘ

ΑΣΚΗΣΗ 20η













Κ

Ο




34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



34

ΑΣΚΗΣΗ 21η



i) ZB= 2

1ZΓ



3

)(

)(=

ΑΒΖΕΜΓ

ΑΣΚΗΣΗ 22η



3αmicroα =


Β



Β


i) Α∆ = 3

β

ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)

ΑΣΚΗΣΗ 23η



ΑΒΓ





ii) (ΑΜΓ∆) = 2

2Μ∆


maxmin EE +

ΑΣΚΗΣΗ 24η


3ΑΓ και




ΑΣΚΗΣΗ 25η



α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3



2 όπου





35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



35

ΑΣΚΗΣΗ 26η




i) 3 57

ii) 8 4 2

iii) 7 6 85

ΑΣΚΗΣΗ 27η



2

22 γβ

ΑΣΚΗΣΗ 28η






ΑΣΚΗΣΗ 29η





Α

ΑΣΚΗΣΗ 30η




ΑΣΚΗΣΗ 31η


Α =90ο) microε

and










36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



36

ΑΣΚΗΣΗ 32η













ΑΣΚΗΣΗ 33η


and






2

2

βy



222 νβ=+

y Β ν ∆ κ Γ

ΑΣΚΗΣΗ 34η


ότι


2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ

ΑΣΚΗΣΗ 35η


and





ΑΣΚΗΣΗ 36η



ΜΕ

ΑΣΚΗΣΗ 37η




10=

∆ΖΜ∆

+ΓΕΜΓ




37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



37

Ζ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 38η




2

ΒΕ= ΒΓ4

1και ΓΖ= ΑΓ

2



Γ




ΑΣΚΗΣΗ 39η




ΑΣΚΗΣΗ 40η



ο90=∆=Αandand











ΑΣΚΗΣΗ 41η




ΑΣΚΗΣΗ 42η



α) 6

3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3




38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



38

ΑΣΚΗΣΗ 43η



i) ΒΓ=ΑΒ =λ3




2


1=

ΑΟΓΒΟΓ


and

ΑΟΓ



ΒΓ




39



40



39



40



40

Gewmetria b Lykeiou Taexeiola Gr

Documents

Transcript of Gewmetria b Lykeiou Taexeiola Gr