GEOMETRIJA I Vojislav Petrovi 2 1.OSNOVNI POJMOVI osnovni objekti take :A, B, C, ...prave :a, b, c, ...ravni :, , , ...osnovne relacije incidencija (pripadnost) raspored (poredak) podudarnost (kongruencija) osnovna tvrenjaaksiome 3 2. AKSIOME INCIDENCIJE I1Za svake dve take postoji bar jedna prava koja je incidentna sa svakom od njih. I2Za svake dve take postoji najvie jedna prava koja je incidentna sa svakom od njih. I3Za svaku pravu postoje bar dve take koje su s njom incidentne. Postoje tri take koje nisu incidentne ni sa jednom pravom. I4Za svake tri take koje nisu incidentne sa istom pravom postoji bar jedna ravan koja je incidentna sa svakom od njih. Svaka ravan je incidentna s bar jednom takom. 4 I5Za svake tri take koje nisu incidentne sa istom pravom postoji najvie jedna ravan koja je incidentna sa svakom od njih. I6Ako su dve take neke prave incidentne s nekom ravni, tada su sve take te prave incidentne s tom ravni. I7Ako su dve ravni incidentne s nekom takom, tada postoji bar jo jedna taka s kojom su obe ravni incidentne. I8Postoje etiri take koje nisu incidentne s jednom ravni. 5 kolinearne takeincidentne sa istom pravom komplanarne takeincidentne sa istom ravni AesAes c A, B, C, ... es s (A, B, C, ... ) A, B, C, ... e (A, B, C, ... ) ABC s B A C 6 TEOREMA 1. Za svaku taku A i svaku pravu s, takvu da Aes, postoji jedna i samo jedna ravan , takva da Ae i s c . prave a i b se seku u taki O a b = {O} TEOREMA 2. Za svake dve prave a i b koje se seku postoji jedna i samo jedna ravan , takva da a c i b c . O a b 7 TEOREMA 4. Ako za ravni i postoji taka A, takva da Ae i Ae, tada postoji prava s, takva da Aes, s c i s c . TEOREMA 3. Ako su etiri take nekomplanarne, tada su svake tri od njih nekolinearne. TEOREMA 5. Svaka ravan sadri tri nekolinearne take. 8 3. AKSIOME RASPOREDA taka B je izmeu taaka A i C ABC II1Ako je ABC, tada su A, B, C tri razliite kolinearne take i pritom je ABC. II2Za svake dve take A i B postoji taka C, takva da je ABC. II3Za svake tri kolinearne take A, B, C vai najvie jedna od relacija ABC,BCA,CAB. BC s A 9 s II2 (Pasch) Neka su A, B, C tri nekolinearne take i neka je s prava ravni ABC, takva da A, B, C e s. Ako je prava s incidentna s takom X, takvom da je AXB, tada je ona incidentna s takom Y, takvom da je BYC ili s takom Z, takvom da je CZA. BA C s X Y Z 10 TEOREMA 6. Za svake dve take A i B postoji taka C, takva da je ACB. TEOREMA 7. Za svake tri kolinearne take A, B, C vai tano jedna od relacija ABC,BCA,CAB. TEOREMA 8. (Pasch) Neka su A, B, C tri nekolinearne take i neka je s prava ravni ABC, takva da A, B, C e s. Ako je prava s incidentna s takom X, takvom da je AXB, tada je ona ili incidentna s takom Y, takvom da je BYC ili s takom Z, takvom da je CZA. 11 TEOREMA 9. Ako su A, B, C, D etiri kolinearne take, tada vae tvrenja: (a)ABC . BCD ABD . ACD;(b)ABC . ACD ABD . BCD. TEOREMA 10. Ako su A, B, C, O etiri kolinearne take, takve da je AOB i AOC, tada (BOC).TEOREMA 11. Ako su A, B, C, O etiri kolinearne take, takve da je (AOB) i (BOC), tada (AOC).12 3.1. Poluprava, poluravan, poluprostor poluprava s OAB qO (A, B) (AOB) A i B sa iste strane O C qO (A, B) qO (A, C) AOC A, B O A, C O 13 TEOREMA 12. qOje relacija ekvivalencije na skupu s {O}. TEOREMA 13. qOvri particiju (razbijanje) skupa s {O} na tano dve klase ekvivalencije otvorene poluprave.AO s B CB CA CA = pp (O, A)CB = pp (O, B)pp [O, A) = pp (O, A){O}zatvorena poluprava s poetkom O 14 poluravan A C s A i B sa iste strane sqs (A, B)qs (A, B) (AsB) qs (A, C) AsC A, B s A, C s B 15 TEOREMA 14. qsje relacija ekvivalencije na skupu o s. TEOREMA 15. qsvri particiju (razbijanje) skupa o s na tano dve klase ekvivalencije otvorene poluravni.A B s CA CB CA = pr (s, A) CB = pr (s, A)pr [s, A) = pr (s, A)s zatvorena poluravan sa ivicom s 16 poluprostor A C A i B sa iste strane q (A, B)q (A, B) (AB) q (A, C) AC A, B A, C B 17 TEOREMA 16. qje relacija ekvivalencije na skupu P . TEOREMA 17. qvri particiju (razbijanje) skupa P na tano dve klase ekvivalencije otvoreni poluprostori. A B CA CB CA = ppr (, A) CB = ppr (, B)ppr [, A) = ppr (, A) zatvoreni poluprostor sa ivicom 18 3.2. Ugao, trougao ugao O a b a, b kraci O teme (vrh) Z aOb Z ab Z O Z AOB ab O ravan (opruen) ugao 19 * * a b int ZaOb = unutranjost ugla ext ZaOb = ** spoljanjost ugla TEOREMA 18. Unutranjost ugla koji nije opruen je konveksna, a spoljanjost nije. O 20 trougao BA C A ABC A, B, Ctemena (vrhovi) c ba AB = c BC = a CA = b stranice Z BAC = Z CBA = Z ACB = uglovi 21 A C B * * * int A ABC = unutranjost trougla ext ZaOb = *** spoljanjost trougla TEOREMA 19. Unutranjost trougla je konveksna, a spoljanjost nije. 22 s TEOREMA 20. Ako prava sadri unutranju taku trougla, tada s tim trouglom ima dve i samo dve zajednike take. A C B s M A C B M 23 b a O s TEOREMA 21. Poluprava koja izlazi iz temena ugla i pripada njegovoj unutranjosti see svaku du iji su krajevi na kracima ugla. 24 4. AKSIOME PODUDARNOSTI III1Za svaku du AB i svaku polupravu s sa poetkom A', postoji taka B'es, takva da je AB ~ A'B'. "je podudarno"~ III2Ako je A'B' ~ AB i A"B" ~ AB, tada je A'B' ~ A"B". III3Neka su A, B, C i A', B' C' dve trojke kolinearnih taaka, takvih da je ABC i A'B'C' . Ako je AB ~ A'B' i BC ~ B'C', tada je AC ~ A'C'. 25 III4Neka je Z aOb proizvoljan ugao, s proizvoljna prava, O' proizvoljna taka prave s, a' jedna od polupravih prave s sa poetkom O' i jedna od poluravni sa ivicom s. Tada u poluravni postoji jedna i samo jedna poluprava b' sa poetkom O', takva da je Z aOb ~ Z a'O'b'. III5Ako za A ABC i A A'B'C' vai AB ~ A'B' , AC ~ A'C' , Z BAC ~ Z B'A'C' ,tada je Z ABC ~ Z A'B'C'. Podudarnost uglova je refleksivna relacija. 26 TEOREMA 22. Podudarnost dui je relacija ekvivalencije. TEOREMA 23. Taka B' iz III1 je jedinstvena. TEOREMA 24. Neka su A, B, C i A', B' C' dve trojke kolinearnih taaka, takvih da je ABC i A'B'C' . Ako je AB ~ A'B' i AC ~ A'C', tada je BC ~ B'C'. 27 TEOREMA 26. Ako za A ABC i A A'B'C' vai AB ~ A'B', Z BAC ~ Z B'A'C', Z ABC ~ Z A'B'C', tada je A ABC ~ A A'B'C'. TEOREMA 25. Ako za A ABC i A A'B'C' vai AB ~ A'B' , AC ~ A'C' , Z BAC ~ Z B'A'C' ,tada je A ABC ~ A A'B'C'. A ABC ~ A A'B'C' AB ~ A'B', BC ~ B'C', CA ~ C'A',Z A ~ Z A', Z B ~ Z B', Z C ~ Z C' 28 TEOREMA 27. Ako za A ABC i A A'B'C' vai AB ~ A'B' , BC ~ B'C' , CA ~ C'A',tada je A ABC ~ A A'B'C'. TEOREMA 28. Podudarnost uglova je relacija ekvivalencije. 29 DC AB < CD(- D1) (CD1D) (AB ~ CD1) 4.1. Relacije < , > za dui i uglove D1 AB relacija strogog poretka irefleksivna (a a)a asimetrinaa b (b a) tranzitivnaa b.b c a c 30 TEOREMA 29. CD CD < AB TEOREMA 31. >je relacija strogog poretka na skupu svih dui. 31 Z aOb < Z cO'd (-d1) (d1 c int Z cOd ) (Z aOb ~ Z cOd1) d1 d c O' O a b TEOREMA 32. | , * > |* > , |* > * > , * > | 36 |1 |3 |2 |4 1 3 2 4 transferzalni uglovi b a s s transferzala unutranji 2, 3, |1, |4 spoljanji 1, 4, |2, |3 saglasni 1 spoljanji i 1 unutrani sa iste strane snaizmenini 2 spoljanja ili 2 unutranja sa raznih strana ssuprotni 2 spoljanja ili 2 unutranja sa iste strane sTEOREMA 37. Ako su dva saglasna ili dva naizmenina ugla podudarna ili ako je zbir dva suprotna ugla ravan ugao, tada se prave a i b ne seku. 37 AB 4.3. Sredina dui, simetrala ugla, nejednakosti stranica i uglova trougla sredina dui S 1.ASB 2.AS ~ BS LEMA 1. Ako za A ABC i A A'B'C' vai AB ~ A'B', Z BAC ~ Z B'A'C', Z ACB ~ Z A'C'B', tada je A ABC ~ A A'B'C'. TEOREMA 38. Svaka du ima jedinstvenu sredinu. 38 s O a b simetrala (bisektrisa) ugla 1. s c int Z aOb , O poetak 2. Z aOs ~ Z bOs TEOREMA 39. Svaki ugao ima jedinstvenu simetralu. 39 TEOREMA 40. Naspram podudarnih stranica trougla lee podudarni uglovi i obratno. TEOREMA 41. Naspram vee stranice trougla lei vei ugao i obratno. TEOREMA 42. Svaka stranica trougla manja je od zbira druge dve. 40 4.4. Prav ugao, normalne prave a* prav ugao Z aOb ~ Z a*Ob TEOREMA 44. Ugao podudaran pravom uglu je prav. TEOREMA 45. Svi pravi uglovi su podudarni. TEOREMA 43. Prav ugao postoji. prav ugaod a O b 41 normalne (ortogonalne) prave O a b a b Z aOb = d TEOREMA 46. Za svaku taku A i svaku pravu s postoji jedna i samo jedna prava t, takva da Aet i t s. 42 otar ugao < d tup ugao > d < *, > *, ~ * = d, *naporedni O b a*a * O b a*a * TEOREMA 47. U svakom trouglu najvie jedan ugao je prav ili tup i najmanje dva ugla su otra. O b a*a * 43 TEOREMA 48. (a) Normala povuena iz take kraka otrog ugla na pravu kojoj pripada drugi krak, see drugi krak. (b) Normala povuena iz take kraka tupog ugla na pravu kojoj pripada drugi krak, see produetak drugog kraka. a* b a O a b O M' M' M M 44 4.5. Normalnost u prostoru o s a bc s o1. s o = {O} 2. s a, b, c, ... a(O), b(O), c(O) ... c TEOREMA 49. Prava s je normalna na ravan ako i samo ako je see i normalna je na dve prave ravni koje prolaze kroz taku preseka. O 45 TEOREMA 50. Za svaku taku A i svaku pravu s postoji jedna i samo jedna ravan , takva da Ae i s. c b | o Dokaz. 1oA e s | | (s) b b (A) s , b c |c c (A) s , c c o o (b, c) s o s A 2oA e s (s) s A O 46 TEOREMA 51. Za svaku taku A i svaku ravan postoji jedna i samo jedna prava s, takva da Aes i s . Dokaz. 1oA e o a a (A) c o | | (A) a t | o = t s s (A) c | , s t s o teorema 49, 1o o A 47 b (B) c o , b a b c (B) c o , c b c a (A, B) , B e o a B 2oA e o | (a, c) | s (A) c | , s c s o !? AOBC ~ ABOA AAOC ~ ACBA ZAOC = ZCBA = 90o (b a) s OC , s c s o C C e b , BC = AOs O o A 48 TEOREMA 52. (tri normale) Prava a je normalna na ravan o i see je u taki A. Neka je b prava ravni o koja sadri taku A i neka je B taka prave b, B = A. Neka je c prava ravni o koja sadri taku B i normalna je na b. Tada je BX c za svaku taku Xea. c b B o a A X 49 TEOREMA 53. (obratna o tri normale) Prava a je normalna na ravan o i see je u taki A. Neka je B taka ravni o, B = A, i neka je c prava ravni o koja sadri taku B i normalna je na XB, Xea. Tada je AB c. c o a A X B 50 o | a - a c o | a | TEOREMA 54. Ako je |, tada je i | . o | s b Dokaz.o | = s a s = {S} b (S) c | b s | o b o a S 51 TEOREMA 55. Neka je o |,o | = s, a c o ia s. Tada jea |.Dokaz. o | a s a s = {A} a | | o - b1c |, a1 o b1 s = {B1} a o | s A b1 B1 X o | s = B1 b1 a A 1oA = B1 a s,a b1 2oA = B1 Xeb1 ,X = B1 a s,a AX (teorema 3 norm.) a | 52 TEOREMA 56. Ako je i | i | = s, tada jes . Dokaz. s o | s1 s2 a b S S e s s1(S) c o , s1 a s2(S) c | , s2 b s1 s1 = s s2 s2 = s ,s2 = s1 o = a | = b Pretp.s . s1(S) , s2(S) , s1 = s2 53 TEOREMA 57. Ako prava s nije normalna na ravan o, tada postoji jedna i samo jedna ravan |, takva da s c | i | o. Dokaz. o s t | S e s 1oegzistencija t (S) o , t = s | (s, t) o 2ojedinstvenost Iz teoreme 56. S 54 TEOREMA 58. Dve normale na istu ravan su komplanarne. Dokaz. o b | B a A b' a b a = {A}b = {B} pretp. a i b nekomplanarne | (a, B) b . | | = s (A, B) b' (B) c |b' s s b' = b b' (teorema 55) b (B) b' (B) b = b' (teorema 51) 55 AB B4 5. AKSIOME NEPREKIDNOSTI IV1 (Arhimed) Neka su AB i CD dve proizvoljne dui. Tada postoji prirodan broj n i take B1, B2, ... , Bn na polupravoj AB, takvi da je AB1 ~ B1B2 ~ ... ~ Bn1Bn ~ CD AB1B2 ... Bn iABBn . B1 B2 B3 CD n = 4 AB CD B1 n = 1 56 ......A3 B3 IV2 (Kantor) Neka je A1B1, A2 B2, ... beskonaan sistem kolinearnih dui koje zadovoljavaju sledee uslove: (a) svaka sledea du je u unutranjosti prethodne, tj.Ai+1Bi+1 c int Ai Bi , i = 1, 2, ...; (b) za svaku du PQ postoji prirodan broj n, takavda je An Bn < PQ. Tada postoji taka X, takva da je AiXBi za svako i. A2 B2 A1 B1 X 57 TEOREMA 59. Taka X iz Kantorove aksiome je jedinstvena. Dokaz. ...B1 B3 B2 A1 A2 X ...Y A3 pretp.-Y , AiYBi , i = 1, 2, ... Y = X XY c Ai Bi , i = 1, 2, ... XY < Ai Bi , i = 1, 2, ... XY = PQ IV2 (b) 58 TEOREMA 60.(Arhimed) Neka su Z aOb i Z cO'd dva proizvoljna ugla. Tada postoji prirodan broj n i poluprave b1, b2, ... , bn koje ishode iz temena O i lee u unutranjosti Z aOb, takve da je b1 c int Z aOb2 ,bi c int Z bi1Obi+1 za i = 2, 3, ... , n1 Z aOb1 ~ Z b1Ob2 ~ ... ~ Z bn1Obn ~ ZcO'd i b c int Z aObn. b1 b2 b3 b4 c d O' a O b O a b O' c d b1 n = 4n = 1 59 x a2 b2 a3 b3 TEOREMA 61.(Kantor) Neka je Z a1Ob1, Z a2Ob2, ... beskonaan sistem uglova koji zadovoljavaju sledee uslove: (a) svaki sledei ugao je sadran u unutranjosti prethodnog, Z ai+1Obi+1 c int Z aiObi , i = 1, 2, ...; (b) za svaki ugao Z pq postoji prirodan broj n, takav da je Z aiObi < Z pq.Tada postoji poluprava x koja ishodi iz temena O, takva da x c int Z aiObi za svako i.a1 b1 O 60 TEOREMA 62. Poluprava x iz teoreme 61 je jedinstvena. Dokaz.Slian dokazu teoreme 59. TEOREMA 63. Neka su AB i CD proizvoljne dui i neka je A1B1 =AB, A2B2 =A1B1, ... , Ai Bi =Ai1Bi1 ... . 1 2 1 2 1 2 Tada postoji prirodan broj n, takav da je An Bn < CD. Dokaz.An Bn = AB 1 2n pretp. CD < An Bn , n CD n > n

(teorema o spoljanjem uglu) (teorema 64)