Capitolul 3Varietat i patratice3.1. Varietat i patraticeFie (En, En) un spat iul euclidian n dimensional, n = 2 sau n = 3.Denit ia 3.1 Se numeste varietate patratica submult imea a punctelor din En ale caror coordonateintr-un reper cartezian R = (O, B) verica o ecuat ie de forman

i,j=1aijxixj+ 2n

i=1bixi+c = 0,unde aij, bi, c R, aij = aji si coecient ii aij nu sunt tot i nuli.Se demonstreaza ca denit ia este corecta, adica proprietatea enunt ata este invariantain raport cuschimbarea reperelor carteziene.Pentru n = 2 aceste obiecte geometrice se numesc conice sau curbe de gradul doi, pentru n = 3 elese numesc cuadrice sau suprafet e de gradul doi, iar pentru n > 3 se numesc hipercuadrice. NotamA =a11a12... a1na12a22... a2n... ... ... ...a1na2n... ann, = det A, =a11a12... a1na12a22... a2n... ... ... ...a1na2n... ann,B = _ b1b2... bn _,F_x1, x2, ..., xn_=n

i,j=1aijxixj+ 2n

i=1bixi+c.Ecuat ia varietat ii patratice se poate scrie sub forma matriceala rtB A rB + 2 B rB +c = 0,unde r _x1, ..., xn_reprezinta vectorul de pozit ie,in raport cu reperul R, al unui punct situatin , iar rB = _x1, ..., xn_t.Intersect ia dintre o varietate patratica a lui En cu un subspat iu an de dimensiune n1, n1 En,este o varietate patratica in n1.Varietatea patratica admite un centru unic de simetrie daca si numai daca = 0. Daca = 0,atunci e ca admite o innitate de centre de simetrie, e nu admite centre de simetrie. Centrele desimetrie ale hipercuadricei sunt punctele ale caror coordonate verica sistemulFx1 = 0, ..., Fxn = 0sau (n scriere matriceala) rtB A+B = 0tB,Originea reperului de coordonate este centru de simetrie al lui daca si numai daca, n ecuat ia lui avem b1 = ... = bn = 0.6970 Capitolul 3Varietatea patratica se numeste nedegenerata sau degenerata dupa cum = 0 sau = 0.Direct ia denita de un vector v_v1, ..., vn_, v = 0, se numeste asimptotica sau neasimptotica nraport cu varietatea patratica dupa cumn

i,j=1aijvivj= 0 saun

i,j=1aijvivj= 0.Hiperplanul diametral (planul diametral, pentru n = 3, diametru, pentru n = 2) al lui conjugatcu direct ia neasimptotica v_v1, ..., vn_ este dat de ecuat iav1 Fx1 +... +vn Fxn = 0sau, matriceal,_ rtB A+B_ vB = 0.In cazul unei conice, daca n = 2, v1= 0 si m = v2v1, ecuat ia diametrului conjugat se scrieFx1 +mFx2 = 0.Dreapta d, care trece prin punctul C_x10, ..., xn0_si are vectorul director v_v1, ..., vn_, este generatoarerectilinie a varietat ii patratice (d ), daca si numain

i,j=1aijvivj= 0n

i=1vi Fxi_x10, ..., xn0_= 0F_x10, ..., xn0_= 0.Matriceal aceste condit ii se scriu: vtB A vB = 0_( r0)tBA+b vB = 0F_x10, ..., xn0_= 0,Ecuat ia hiperplanului tangent la n punctul C , C ( r0)_x10, ..., xn0_, se obt ine din ecuat ia varietat iipatratice prin dedublare: rtB A ( r0)B +B ( rB + ( r0)B) +c = 0.Ecuat ia hiperplanului polar asociat unui punct oarecare n raport cu varietatea patratica se obt inetot prin dedublarea ecuat iei acesteia.Fie o varietate patratican spat iul euclidian punctual (En, En) . Matricea A ind simetrica, existao baza ortonormata formata cu vectori proprii ai lui A.Pentru n > 3, hiperplanele de simetrie ale lui sunt hiperplanele diametrale conjugate cu direct iileproprii ale lui A, corespunzatoare la valori proprii nenule. Analog se denesc planele de simetrie dacan = 3 si axele de simetrie daca n = 2.Fie 1, ..., n valorile proprii ale lui A si B = { e1, ..., en} o baza ortonormata de vectori proprii.Direct iile denite de vectorii e1, ..., en se numesc direct iile principale ale varietat ii patratice. Ecuat iavarietat ii patratice raportata la direct iile principale (scrisa ntr-un reper cu baza B) este de forma:1_x1_2+... +n (xn)2+ 2b1x1+... + 2bnxn+c = 0.Propozit ia 3.1 Oricare ar cuadrica din E3 exista un reper ortonormat in care ecuat ia cuadriceiare una din formele canonice:VARIETAT I PATRATICE 711._x1_2a21+_x2_2a22+_x3_2a23+ 1 = 0 (elipsoid imaginar);2._x1_2a21+_x2_2a22+_x3_2a23 1 = 0 (elipsoid real);3._x1_2a21+_x2_2a22 _x3_2a23 1 = 0 (hiperboloid cu o panza);4._x1_2a21 _x2_2a22 _x3_2a23 1 = 0 (hiperboloid cu doua panze);5._x1_2a21+_x2_2a22+_x3_2a23= 0 (con imaginar);6._x1_2a21+_x2_2a22 _x3_2a23= 0 (con real);7._x1_2a21+_x2_2a22 2x3= 0 (paraboloid eliptic);8._x1_2a21 _x2_2a22 2x3= 0 (paraboloid hiperbolic);9._x1_2a21+_x2_2a22+ 1 = 0 (cilindru eliptic imaginar);10._x1_2a21+_x2_2a22 1 = 0 (cilindru eliptic real);11._x1_2a21 _x2_2a22 1 = 0 (cilindru hiperbolic);12._x1_2a21+_x2_2a22= 0 (pereche de plane imaginare care se taie dupa o dreapta reala);13._x1_2a21 _x2_2a22= 0 (pereche de plane secante);14._x1_2a21 2x2= 0 (cilindru parabolic);15._x1_2a21+ 1 = 0 (pereche de plane paralele imaginare);16._x1_2a21 1 = 0 (pereche de plane paralele, reale);17. _x1_2= 0 (pereche de plane confundate);(am scris n paranteza denumirea cuadricei denita de tipul de ecuat ie corepunzator).Ecuat iile 1-4 denesc cuadrice cu centru, nedegenerate ( = 0, = 0); ecuat iile 5,6 denesccuadrice cu centru degenerate ( = 0, = 0); ecuat iile 7, 8 denesc cuadrice fara centru, nedegenerate( = 0, = 0); ecuat iile 9-17 denesc cuadrice fara centru, degenerate ( = 0, = 0). Hiperboloidulcu o panza (3) si paraboloidul hiperbolic (8) sunt singurele cuadrice nedegenerate riglate (care admitgeneratoare rectilinii).Hiperboloidul cu o p anza admite doua familii de generatoare rectilinii:x1a1 x3a3 = _1 x2a2__x1a1 + x3a3_= 1 + x2a2six1a1 x3a3 = _1 + x2a2__x1a1 + x3a3_= 1 x2a2, R.72 Capitolul 3Paraboloidul hiperbolic admite doua familii de generatoare rectilinii:x1a1 x2a2 = 2x3_x1a1 + x2a2_= 1six1a1 x2a2 = _x1a1 + x2a2_= 2x3, R.Propozit ia 3.2 Oricare ar conica din E2 exista un reper ortonormat in care ecuat ia conicei areuna din formele canonice:1._x1_2a21+_x2_2a22+ 1 = 0 (elipsa imaginara);2._x1_2a21+_x2_2a22 1 = 0 (elipsa reala);3._x1_2a21 _x2_2a22 1 = 0 (hiperbola);4._x1_2a21+_x2_2a22= 0 (pereche de drepte imaginare care se taie intr-un punct real);5._x1_2a21 _x2_2a22= 0 (pereche de drepte reale concurente);6._x1_2a21 2x2= 0 (parabola);7._x1_2a21+ 1 = 0 (pereche de drepte paralele, imaginare);8._x1_2a21 1 = 0 (pereche de drepte paralele, reale);9. _x1_2= 0 (pereche de drepte confundate).O conica este de tip eliptic daca si numai daca > 0; o conica este de tip hiperbolic daca si numaidaca < 0; o conica este de tip parabolic daca si numai daca = 0.A preciza genul unei conice nseamna a spune daca ea este nedegenerata sau degenerata.Daca conica este o hiperbola cu centru C_x10, x20_, asimptotele ei sunt dreptele de direct ieasimptotica care trec prin C.Ecuat ia globala a asimptotelor esteF_x1, x2_F_x10, x20_= 0.Daca este o parabola, axa ei de simetrie are ecuat iaa12 Fx1 +a22 Fx2 = 0.Fie o varietate patratica a spat iului euclidian E data ntr-un reper ortonormat prin ecuat ia rtB A rB + 2B rB +c = 0. (3.1)Proprietat ile varietat ii patratice invariante n raport cu transformarile grupului O(E) se numescinvariant i metrici sau invariant i ortogonali.Ecuat iei (3.1) i se asociaza polinomeleP () = det (AIn)= 1 +... + (1)n1n1n1+ (1)nnVARIETAT I PATRATICE 73siQ() = det_ AInBtB c_= 1 +... + (1)n1n1n1+ (1)ncn.Observat ie. Coecientul i este egal cu suma minorilor diagonali de ordin n i ai matricei A;coecientul i este suma minorilor diagonali de ordinul n + 1 i ai matricei D = _ A BtB c_,obt inut i prin eliminarea a i linii si i coloane din matricea A inclusa n D.Propozit ia 3.3 Coecient ii , 1, ..., n1 ai polinomului P () si primul coecient nenul al polino-mului Q() (scris in ordinea crescatoare a puterilor lui ) sunt invariant i ortogonali.Observat ie. Evident, si radacinile 1, ..., n ale ecuat iei caracteristice P () = 0 sunt invariant iortogonali. Invariant ii , i, i = 1, n 1 si i, i = 1, n nu sunt independent i datorita relat iilor cunoscutentre radacini si coecient i.Deoarece invariant ii ortogonali , 1, ..., n1 si primul coecient nenul al polinomului Q() (sau1, ..., n si primul coecient nenul al polinomului Q()) determina n mod unic ecuat ia canonica avarietat ii patratice , se spune ca ei constituie un sistem complet de invariant i ortogonali.Exprimarea ecuat iilor canonice ale conicelor si cuadricelor cu ajutorul invariant ilor ortogonaliesteprecizata n tabelele urmatoare.In planul euclidian E2, n reper ortonormat, cercul de centru C_x10, x20_ si raza R este dat prinecuat ia:_x1x10_2+_x2x20_2= R2,ecuat ie care, cu notat ii corespunzatoare, se mai scrie: :_x1_2+_x2_2+ 2b1x1+ 2b2x2+c = 0.Evident, C (b1, b2) si R2= b21 +b22c.Puterea punctului M (, ) fat a de cercul , dat prin ecuat ia de mai sus, este numarulP (M, ) = 2+2+ 2b1 + 2b2 +c.Punctele necoliniare Mi_x1i, x2i_, i = 1, 3, denesc n mod unic un cerc. Ecuat ia lui este_x1_2+_x2_2x1x21_x11_2+_x21_2x11x211_x12_2+_x22_2x12x221_x13_2+_x23_2x13x231= 0.In spat iul euclidian E3, n reper ortonormat, sfera de centru C_x10, x20, x30_si raza R este data prinecuat ia:_x1x10_2+_x2x20_2+_x3x30_2= R2,ecuat ie care, cu notat ii corespunzatoare, se mai scrie:S :_x1_2+_x2_2+_x3_2+ 2b1x1+ 2b2x2+ 2b3x3+c = 0.Evident, C (b1, b2, b3) si R2= b21 +b22 +b23c.Puterea punctului M (, , ) fat a de sfera S, data prin ecuat ia de mai sus, este numarulP (M, S) = 2+2+2+ 2b1 + 2b2 + 2b3 +c.74 Capitolul 3Punctele necoplanare Mi_x1i, x2i, x3i_, i = 1, 4, denesc n mod unic o sfera. Ecuat ia ei este_x1_2+_x2_2+_x3_2x1x2x31_x11_2+_x21_2+_x31_2x11x21x311_x12_2+_x22_2+_x32_2x12x22x321_x13_2+_x23_2+_x33_2x13x23x331_x14_2+_x24_2+_x34_2x14x24x341= 0.Se obisnuieste ca un cerc, n spat iul E3, sa e dat analitic prin ecuat ia planului care cont ine cerculsi ecuat ia unei sfere care cont ine cercul. Ecuat iile cercului determinat de trei puncte necoliniare Mi,i = 1, 3, vor ecuat ia planului (M1M2M3) si ecuat ia sferei care trece prin punctele M1, M2, M3, M4,unde M4 este un punct oarecare nesituat n planul (M1M2M3) .O conica n spat iul E3, ind considerata ca o sect iune plana ntr-o cuadrica, este data analitic prindoua ecuat ii: ecuat ia liniara a planului co-nicei si ecuat ia de gradul al doilea a cuadricei. Tipul uneiconice se pastreaza prin proiect ia ei pe un plan (direct ia de proiect ie neind paralela cu planul conicei).Folosirea teoriei fasciculelor de conice poate simplica rezolvarea multor probleme. In acest sensamintim ca:1. familia conicelor care trec prin punctele Ai (xi, yi) , i = 1, 4, este determinata de ecuat iaf12 f34 +f13 f24 = 0, , R, 2+2= 0,fij = 0 reprezent and ecuat ia dreptei AiAj;2. familia conicelor tangente la dreapta d1 : f1 = 0,in punctul A1 si la dreapta d2 : f2 = 0in punctulA2 (conice bitangente) este determinata de ecuat iaf1 f2 + (f12)2= 0, , R, 2+2= 0;3. parabolele care au axa de simetrie f1 = 0 si tangenta in v arf f2 = 0 sunt date de ecuat ia(f1)2+f2 = 0, , R, 2+2= 0;4. hiperbolele care au asimptotele f1 = 0 si f2 = 0 sunt date de ecuat iaf1 f2 + = 0, , R, 2+2= 0.3.2. Aplicat ii3.2.1. CONICEIn exercit iile urmatoare, daca nu se precizeaza altfel, consideram planul euclidian punctual E2 raportatla un reper ortonormat R = (O, { e1, e2}) si notam cu (x, y) sau _x1, x2_ coordonatele unui punct inacest reper.Exercit iul 3.1 In plan, intr-un reper ortonormat, se dau punctul A(2, 4), dreapta d : 3x+4y+10 =0, cercul : x2+y24x 2y 4 = 0. Se cere:a) sa se scrie ecuat ia cercului cu centrul in punctul A, de raza egala cu 5;b) sa se determine centrul si raza cercului ;c) sa se scrie ecuat ia cercului cu centrul in punctul A, tangent dreptei d;d) sa se scrie ecuat iile cercurilor cu centrul in punctul A si tangente cercului .Solut ie. a) (x + 2)2+ (y 4)2= 52.b) Ecuat ia cercului se scrie (x2)2+(y 1)2= 9, deci centrul cercului este punctul C(2, 1), iarraza sa este r = 3.c) Raza cercului este egala cu distant a de la punctul A la dreapta d, (A, d) =|3(2) + 4 4 + 10| /9 + 16 = 4. Ecuat ia cercului este (x + 2)2+ (y 4)2= 16.d) Razele celor doua cercuri sunt egale cu (A, C) +r si, respectiv, (A, C) r.VARIETAT I PATRATICE 75Exercit iul 3.2 Sa se determine puterea punctului A(x0, y0) fat a de cercul : x2+y22ax 2by +c = 0.Solut ie. Fie C(a, b) si r =a2 +b2c centrul si respectiv raza cercului . Puterea punctului M fat ade cercul esteP(A, ) = |AC|2r2= (x0a)2+ (y0b)2a2b2+c.DeciP(A, ) = x20 +y202ax02by0 +c.Exercit iul 3.3 Sa se determine locul geometric al punctelor din E2 care au puteri egale fat a de cer-curile neconcentricei : x2+y22aix 2biy +ci = 0, i = 1, 2.Solut ie. Fie M(x, y) un punct al locului geometric. Din egalitatea P(M, 1) = P(M, 2) rezulta caecuat ia locului geometric este2(a1a2)x + 2(b1b2)y (c1c2) = 0.Aceasta ecuat ie reprezinta o dreapta de vector director v (b1b2, a2a1) . Centrele C1 (a1, b1) ,C2 (a2, b2) denesc vectorul C1C2 (a2a1, b2b1) . Cum C1C2 v, rezulta ca dreapta este perpen-diculara pe linia centrelor C1C2.Observat ie. Dreapta obt inuta ca loc geometric se numeste axa radicala a cercurilor neconcentrice1 si 2.Exercit iul 3.4 Sa se scrie ecuat iile cercurilor 1 si 2 intr-un reper ortonomat in care axa Ox coincidecu linia centrelor cercurilor, iar axa Oy coincide cu axa radicala a cercurilor neconcentrice 1 si 2.Solut ie. Fiei : x2+y22aix 2biy +ci = 0, i = 1, 2,ecuat iile celor doua cercuri n reperul considerat. Cum centrele cercurilor 1 si 2 sunt situate pe axaOx deducem ca b1 = b2 = 0. Din ipoteza ca axa Oy coincide cu axa radicala a cercurilor 1 si 2rezulta ca c1 = c2 = c, iar a1 = a2. Decii : x2+y22aix +c = 0, i = 1, 2,cu a1 = a2.Exercit iul 3.5 Sa se exprime analitic condit ia de ortogonalitate a cercurilori : x2+y22aix 2biy +ci = 0, i = 1, 2.Sa se gaseasca ecuat ia locului geometric al centrelor cercurilor ortogonale simultan cercurilor 1 si 2.Solut ie. Sa notam cu Oi(ai, bi) centrul si cu ri raza cercului i, i = 1, 2, iar cu P unul dintre punctelede intersect ie ale celor doua cercuri. Cercurile 1 si 2 sunt ortogonale daca si numai daca triunghiulPO1O2 este dreptunghic, cu FO1PO2 = /2. Deducem ca r21 + r22 = |O1O2|2, de unde se obt inecondit ia (necesara si sucienta) de ortogonalitate2(a1a2 +b1b2) (c1 +c2) = 0.Fie M(x0, y0) un punct al locului geometric si e : (x x0)2+ (y y0)2= r2,un cerc cu centrul n punctul M care este ortogonal cercurilor date. Elimin and pe r din cele douacondit ii de ortogonalitate2(aix0 +biy0) _x20 +y20r2+ci_= 0, i = 1, 2,76 Capitolul 3si renot and cu (x, y) coordonatele punctului M se obt ine2(a1a2)x + 2(b1b2)y (c1c2) = 0.Relat ia obt inuta reprezinta ecuat ia uneidrepte d n care este inclus loculgeometric.Fie acumM(x0, y0) d. Atunci cercul cu centrul n punctul M si av and raza r, cur2= x20 +y20 +ci2(aix0 +biy0),unde i = 1 sau i = 2, este ortogonal cercurilor 1 si 2. Locul geometric este deci dreapta d.Observat ie. Locul geometric d coincide cu axa radicala denita n E 3.3.Exercit iul 3.6 Sa se determine ecuat ia cercului care taie ortogonal cercurilei : x2+y22aix 2biy +ci = 0, i = 1, 3,aceste cercuri neavand centrele coliniare.Solut ie. Fiex2+y22mx 2my +p = 0 (3.2)ecuat ia cercului cautat. Condit iile de ortogonalitate sunt2mai + 2nbip ci = 0, i = 1, 3. (3.3)Condit ia de compatibilitate a sistemului dat de ecuat iile (3.2), (3.3), n necunoscutele m, n, p, estex2+y2x y 1c1a1b11c2a2b21c3a2b31= 0. (3.4)Cuma1b11a2b21a3b31= 0, ecuat ia (3.4) este chiar ecuat ia cercului cautat. Prin transformari elementare(3.4), se poate scrie si sub formax2+y2c1x a1y b1c2c1a2a1b2b1c3c1a3a1b3b1= 0.Observat ie. Cercul ortogonal cercurilor 1, 2, 3 se numeste cercul ortotomic asociat celor treicercuri date.Exercit iul 3.7 Fie M1 (x1, y1) , M2 (x2, y2) , M3 (x3, y3) trei puncte necoliniare date intr-un reperortonormat. Sa se arate ca cercul circumscris triunghiului M1M2M3 este denit de ecuat iax2+y2x y 1x21 +y21x1y11x22 +y22x2y21x23 +y23x2y31= 0.Solut ie. Fiex2+y22ax 2by +c = 0 (3.5)ecuat ia cercului six2i +y2i 2axi2byi +c = 0, i = 1, 3, (3.6)condit iile Mi , i = 1, 3.VARIETAT I PATRATICE 77Sistemul format din ecuat iile (3.5) si (3.6), cu necunoscutele a, b, c este compatibil daca si numaidacax2+y2x y 1x21 +y21x1y11x22 +y22x2y21x23 +y23x2y31= 0. (3.7)Cumx1y11x2y21x3y31= 0, ecuat ia (3.7) deneste un cerc. Acesta, evident, trece prin punctele date.Exercit iul 3.8 Sa se scrie ecuat ia cercului care trece prin punctele A(1, 1) , B(0, 2) si este tangentcercului : (x 5)2+ (y 5)2= 16.Solut ie. Fie C (5, 5) centrul lui si 1 cercul cerut. Centrul sau C1 (x0, y0) se gaseste pe mediatoareasegmentului [AB] :x0y0 + 1 = 0si (C1, A) + 4 = (C1, C) .Se obt in doua solut ii:

1: (x 1)2+ (y 2)2= 1,

1: (x 4)2+ (y 5)2= 25.Exercit iul 3.9 Sa se scrie ecuat ia cercului tangent la axa Ox in punctul O si tangent la cercul : (x 6)2+ (y 13)2= 25.Solut ie. Fie C (6, 13) centrul lui si C1 (0, ) centrul cercului cautat. Se determina din condit ia|| + 5 =_36 + ( 13)2.Se obt ine solut ia:1 : x2+ (y 5)2= 25.Exercit iul 3.10 Sa se scrie ecuat iile tangentelor la cercul : (x a)2+ (y b)2= r2,de aceeasi direct ie cu dreapta d : Ax +By +C = 0.Solut ie. Fie M (x0, y0) . Tangenta n M la este dreapta : (x0a) (x a) + (y0b) (y b) r2= 0.Dreptele d si au aceeasi direct ie daca si numai dacax0aA= y0bB.Rezulta(x0a)2A2= (y0b)2B2=r2A2 +B2,de unde avemx0a = rAA2 +B2, y0b = rBA2 +B2.Revenind la ecuat ia tangentei obt inem:A(x a) +B(y b) r_A2 +B2 = 0.Exista doua tangente la av and aceeasi direct ie cu d.78 Capitolul 3Exercit iul 3.11 Se considera cercul : x2+ y2 r2= 0 si punctul M (x0, y0) exterior lui . DacaMT1 si MT2, T1, T2 , sunt tangentele duse din M la , sa se scrie ecuat ia dreptei T1T2.Solut ie. Dreapta T1T2 este polara punctului M n raport cu . Ecuat ia ei se obt ine prin dedublare:xx0 +yy0r2= 0.Exercit iul 3.12 Fie cercul de centru O si raza r.a) Sa se determine punctul M E2 care are cea mai mica putere fat a de .b) Sa se determine locul geometric al punctelor din E2 a caror putere fat a de este egala cu constantadata p (p R) .Solut ie. a) Fie (M, ) puterea punctului M fat a de . Cum (M, ) = OM2r2,rezulta ca (O, ) = r2= minME2 (M, ) .b) Din (M, ) = p rezultaOM2= p +r2.Deci locul geometric este:- un cerc concentric cu , de raza _p +r2, daca p > r2;- mult imea {O} daca p = r2;- mult imeavida daca p < r2.Exercit iul 3.13 In plan, in reper ortonormat, se considera elipsa E : x2a2 + y2b2 = 1. Se cere:a) Sa se scrie ecuat ia tangentei la elipsa in punctul A(x0, y0) E.b) Sa se scrie ecuat ile tangentelor la elipsa E, avand coecientul unghiular m.Solut ie. a)xx0a2+ yy0b2= 1. b) Fie d : y = mx +n. Dreapta d este tangenta la elipsa E daca si numaidaca discriminantul ecuat iei(m2a2+b2)x2+ 2a2mnx +a2(n2b2) = 0 (3.8)este nul. Se obt ine n = m2a2 +b2. Ecuat iile tangentelor cerute sunty = mx _m2a2 +b2.Exercit iul 3.14 Sa se gaseasca locul geometric al punctelor din care se pot duce tangente perpendic-ulare la elipsa E : x2a2 + y2b2 = 1.Solut ie. Punctele (a, b), (a, b), (a, b), (a, b) apart in locului geometric. Fie M(x0, y0) un punctapart in and locului geometric, diferit de cele patru puncte ment ionate si e d : y y0 = m(x x0),m = 0, o dreapta care trece prin punctul M. Dreapta d este tangenta la elipsa E daca si numai dacadiscriminantul ecuat iei 3.8, unde n = y0mx0, este nul. Se obt ine condit ia (y0mx0)2= m2a2+b2,sau, echivalent,(a2x20)m2+ 2mx0y0 + (b2y20) = 0. (3.9)Daca discriminantul ecuat iei (3.9) este pozitiv, i.e.4a2b2_x20a2 + y20b2 1_> 0,atunci exista doua tangente distincte la elipsa, corespunzatoare solut iilor reale distincte m1, m2 aleecuat iei (3.9). Cele doua tangente sunt perpendiculare daca m1m2 = 1, deci (b2y20) = (a2x20).Se obt ine astfel ecuat ia locului geometricx2+y2= a2+b2.Locul geometric este un cerc, cu centrul n origine. Acest cerc este circumscris dreptunghiului culaturile paralele cu axele de coordonate care ncadreaza elipsa si se numeste cercul lui Monge.VARIETAT I PATRATICE 79Exercit iul 3.15 In plan, intr-un reper cartezian ortonormat, se considera hiperbola H : x2a2 y2b2 = 1.Se cere:a) Sa se scrie ecuat ia tangentei la hiperbola in punctul A(x0, y0) H.b) Sa se scrie ecuat iile tangentelor la hiperbola H, avand coecientul unghiular m.Solut ie. a)xx0a2 yy0b2= 1. b) Fie d : y = mx + n. Dreapta d este tangenta la hiperbola H daca sinumai daca direct ia ei este neasimptotica _a2m2b2= 0_si discriminantul ecuat iei(m2a2b2)x2+ 2a2mnx +a2(n2+b2) = 0 (3.10)este nul. Se obt ine n = m2a2b2, n ipoteza m2a2b2> 0.Deci pentru m _ba, ba_nu exista tangente la hiperbola. Cum m1 = ba, m2 = ba sunt coecient iiunghiulari ai asimptotelor, rezulta ca o paralela dusa prin O la orice tangenta la H este inclusa ndomeniul determinat de asimptote care nu cont ine hiperbola.Exercit iul 3.16 Sa se gaseasca locul geometric al punctelor din care se pot duce tangente perpendic-ulare la hiperbola H : x2a2 y2b2 = 1.Solut ie. Procedand ca n exercit iul 3.14, se obt ine ecuat ia locului geometricx2+y2= a2b2.Locul geometric este mult imea vida (un cerc imaginar) daca a < b, un punct daca a = b, si un cerccu centrul n origine daca a > b. Acest cerc se numeste, ca si la elipsa, cercul lui Monge.Exercit iul 3.17 In plan, in reper ortonormat, se considera parabola P : y2= 2px. Se cere:a) Sa se scrie ecuat ia tangentei la parabola in punctul A(x0, y0) P.b) Sa se scrie ecuat iile tangentelor la parabola P, avand coecientul un-ghiular m.Solut ie. a) yy0 = p(x +x0). b) y = mx +p2m.Exercit iul 3.18 Sa se gaseasca locul geometric al punctelor din care se pot duce tangente perpendic-ulare la parabola P : y2= 2px.Solut ie. Fie M(x0, y0) un punct apart in and locului geometric, si e d : y y0 = m(x x0), m =0, o dreapta care trece prin punctul M. Dreapta d este tangenta la parabola daca si numai dacap22pm(y0mx0) = 0, sau, echivalent,2x0m22my0 +p = 0. (3.11)Daca y202px0 > 0, atunci exista doua tangente distincte la parabola, co-respunzatoare solut iilor realedistincte m1, m2 ale ecuat iei (3.11). Cele doua tangente sunt perpendiculare daca m1m2 = 1, decip2x0 = 1. Se obt ine astfel ecuat ia locului geometric x = p2. Locul geometric este dreapta directoarea parabolei.Exercit iul 3.19 Sa se gaseasca locul geometric al mijloacelor coardelor paralele cu o direct ie neasimp-totica data duse in elipsa E : x2a2 + y2b2 = 1. (Hiperbola H : x2a2 y2b2 = 1 sau parabola P : y2= 2px).Solut ie. Presupunem direct ia coardelor data prin coecientul unghiular m. Fie M(x0, y0) un punct allocului geometric. Ecuat ia unei secante prin M care determina o astfel de coarda AB este y = mx+n,unde n = y0 mx0. Inlocuind pe y n ecuat ia elipsei se obt ine ecuat ia (3.8) ale carei solut ii realex1, x2 constituie abscisele extremitat ilor coardei AB. Mijlocul coardei AB are abscisa x0 = x1+x22=a2mnm2a2+b2. Locul geometric este inclus n dreaptad : b2x +a2my = 0.Ecuat ia (3.8) are doua solut ii reale pentru orice m R daca si numai dacax20a2 + y20b2 1 0. Prinurmare locul geometric este segmentul dreptei d inclus n E Int (E) .80 Capitolul 3Pentru hiperbola H se obt ine ca locul geometric este inclus n dreaptad

: b2x a2my = 0.Pentru parabola P locul geometric este inclus n dreapta d

: my p = 0, cu restrict ia x >p2m2.Observat ie. Dreapta d care include locul geometric este chiar diametrul conjugat cu direct ia neasimp-totica mn raport cu elipsa E. Ecuat ia lui se obt ine din formula:Fx +mFy = 0,unde F (x, y) = 0 este ecuat ia elipsei.Analog pentru dreptele d

s d

.Exercit iul 3.20 Sa se scrie ecuat ia parabolei care trece prin punctele O(0, 0) , A(1, 0) , B(0, 1) ,C (2, 3) .Exercit iul 3.21 Sa se determine locul geometric al punctelor din planul euclidian E2 pentru careraportul distant elor la un punct x O si la o dreapta xa h, O / h, este constant.Solut ie. Consideram reperul ortonormat cu originea n O si cu axa Oy paralela cu h. Dreapta h areecuat ia x a = 0, a = 0. Daca M (x, y) apart ine locului geometric, din (M, O) (M, h) = k, k > 0, rezulta_x2 +y2|x a|= k,sau_1 k2_x2+y2+ 2ak2x k2a2= 0. (3.12)Pentru k = 1, se obt iney2= 2ax +a2,ecuat ie ce reprezinta o parabola.Pentru k = 1, ecuat ia (3.12) se poate scrie_x +ak21 k2_2+y21 k2 k2a2(1 k2)2 = 0. (3.13)Considerand schimbarea de coordonatex

= x +ak21 k2, y

= y,ecuat ia (3.13) se scrie(x

)2k2a2(1k2)2+ (y

)2k2a21k21 = 0.Deci locul geometric cerut este o elipsa pentru k < 1 si este o hiperbola pentru k > 1.Observat ie. Raportul constant k se numeste excentricitatea conicei, punctul O se numeste focar, iardreapta d se numeste directoare.Exercit iul 3.22 a) Sa se scrie ecuat ia elipsei E :x2a2 + y2b2 1 = 0 intr-un reper polar cu polul infocarul stang F

(c, 0) si av and drept axa polara axa Ox.b) Sa se scrie ecuat ia ramurii din dreapta a hiperbolei H : x2a2 y2b2 1 = 0 intr-un reper polar cu polulin focarul F (c, 0) si avand drept axa polara axa Ox.c) Sa se scrie ecuat ia parabolei P : y2= 2px intr-un reper polar cu polul in focarul parabolei si avanddrept axa polara axa Ox.VARIETAT I PATRATICE 81Solut ie. a) Se arata prin calcul ca daca M (x, y) este un punct al elipsei atunci __F

M__ = cx +a2a.Legatura dintre coordonatele carteziene init iale si coordonatele polare indicate n enunt este data deformulele_ x = cos cy = sin.Cum __F

M__= , se obt ine =ba21 ca cos sau =p1 e cos ,unde p =ba2. Marimea p se numeste parametrul focal al elipsei, iar e =ca < 1 este excentricitateaelipsei.b) Se obt ine =p1 e cos ,unde p =ba2 si e = ca > 1.c) Se obt ine =p1 cos .Exercit iul 3.23 Se considera conicax212xy 4y2+ 12x + 8y + 5 = 0.Se cere:a) sa se scrie ecuat iile axelor de simetrie;b) sa se ecuat iile asimptotelor conicei;c) sa se aduca ecuat ia la forma canonica, precizand schimbarile de repere necesare.Solut ie. a) Valorile proprii ale matricei formei patratice asociate conicei sunt 1 = 5, 2 = 8, iarf1 = (3, 2) , f2 (2, 3) sunt, respectiv, vectori proprii corespunzatori. Axele de simetrie sunt diametriconjugat i cu direct iile f1, f2. Ecuat iile lor sunt:3 (2x 12y + 12) + 2 (12x 8y + 8) = 0,2 (2x 12y + 12) + 3 (12x 8y + 8) = 0b) Conica are centru unic de simetrie, punctul C (0, 1) . Direct iile asimptotice a_a1, a2_ sunt datede condit ia_a1_212a1a24_a2_2= 0.Se obt ine a

_6 + 210, 1_, a

_6 210, 1_. Ecuat iile asimptotelor suntx6 + 210= y 1x6 210= y 1.Putem proceda si altfel. Ecuat ia globala a asimptotelor estef (x, y) f (x0, y0) = 0,unde x0, y0 sunt coordonatele centrului. Obt inemx212xy 4y2+ 12x + 8y 4 = 082 Capitolul 3saux =_6 210_(y 1) .c) Din = 40 < 0 rezulta ca ecuat ia este de tip hiperbolic. In urma schimbarii de coordonate_ x

= xy

= y 1se obt ine ecuat ia_x

_212x

y

4_y

_2+ 9 = 0.Vectorii g1 =f1__ f1__ =_313,213_, g2 =f2__ f2__ =_213,313_constituie o baza ortonormata de vectori proprii. Consider and schimbarea de coordonate_ x

y

_=_ 313213213313__ x

y

_,n noul reper ecuat ia conicei se scrie5_x

_28_y

_2+ 9 = 0.Ecuat ia are forma canonica(x

)295+ (y

)2981 = 0si reprezinta o hiperbola.Exercit iul 3.24 Se considera conica : 9x24xy + 6y2+ 16x 8y 2 = 0.Se cere:a) sa se scrie ecuat iile axelor de simetrie;b) sa se determine locul geometric al mijloacelor coardelor paralele cu dreapta d : x +y = 0;c) sa se aduca ecuat ia la forma canonica, precizand schimbarile de repere necesare.Solut ie. a) Valorile proprii ale matricei asociate sunt 1 = 10, 2 = 5, iar f1 = (2, 1) , f2 (1, 2) sunt,respectiv, vectorii proprii corespunzatori. Axele de simetrie sunt diametri conjugat i cu direct iilef1,f2. Ecuat iile lor sunt, respectiv,2x y + 2 = 0 si x + 2y = 0.b) Locul geometric cautat este diametrul conjugat cu direct ia v (1, 1) a dreptei d, deci este inclusn dreapta de ecuat ie(18x 4y + 16) (4x + 12y 8) = 0.c) Conica are centru unic de simetrie, punctul C_45, 25_.In urma schimbarii de coordonate, prin care se trece de la reperul init ial R = (O, B) la reperulR

= (C, B),_ x

= x + 45y

= y 25,se obt ine ecuat ia9_x

_24x

y

+ 6_y

_210 = 0.VARIETAT I PATRATICE 83Vectorii g1 =f1__ f1__ =_ 25, 15_, g2 =f2__ f2__ =_ 15,25_constituie o baza ortonormata de vectori proprii. Efectuand schimbarea de coordonate de la reperulR

la reperul R

= (C, B

= { g1, g2}) , data de ecuat iile_ x

y

_=_2515 1525__ x

y

_,se obt ine ecuat ia10_x

_2+ 5_y

_210 = 0.Ecuat ia are forma canonica_x

_2+ (y

)221 = 0si reprezinta o elipsa.Exercit iul 3.25 Sa se determine asimptotele si axele de simetrie ale conicei : x24xy +y2+ 3x 3y + 2 = 0.Solut ie. Intruc at = 5, conica este de tip hiperbolic si are centru unic punctul C_12, 12_.Daca a_a1, a2_ este o direct ie asipmtotica, atunci_a1_24a1a2+_a2_2= 0,deci a1=_2 5_a2. Conica admite doua asimptote, drepteled1 :x + 122 +5 = y 12si d2 :x + 122 5 = y 12.Valorile proprii ale matricei asociate conicei sunt 1 = 3 si 2 = 1, iar subspat iile proprii core-spunzatoare sunt generate, respectiv, de vectorii proprii v1 (1, 1) si v2 (1, 1) . Conica admite doua axede simetrie de ecuat ii(2x 4y + 3) (4x + 2y 3) = 0si(2x 4y + 3) + (4x + 2y 3) = 0.Exercit iul 3.26 Se considera conica : 4x24xy +y23x + 4y 7 = 0.Se cere:a) sa se scrie ecuat iile axelor de simetrie;b) sa se ecuat ia tangentei in varful conicei;c) sa se aduca ecuat ia la forma canonica, precizand schimbarile de repere necesare.Solut ie. a) Valorile proprii ale matricei asociate conicei sunt 1 = 5 si 2 = 0, iar subspat iile propriicorespunzatoare sunt generate, respectiv, de vectorii proprii v1 (2, 1) si v2 (1, 2) . Conica are o unicaaxa de simetrie de ecuat ied1 : 2 (8x 4y 3) (4x + 2y + 4) = 0adica 2x y 1 = 0. Sistemul_ 2x y 1 = 04x24xy +y23x + 4y 7 = 084 Capitolul 3are solut ia unica x = 2, y = 3, deci are un unic v arf, punctul V (2, 3) . Tangenta n V la are ecuat iax + 2y 8 = 0.c) Fie B

= {f1, f2}, f1 = _ 25, 15_,f2 = _ 15,25_ o baza ortonormata formata din vectoriproprii. Efectuand succesiv schimbarile de repere R = (O, B) R

= (V, B) si R

R

= (V, B

)date de formulelex

= x 2, y

= y 3,si respectiv_ x

y

_=_2515 1525__ x

y

_,se obt ine ecuat ia canonica5_x

_2+55y

= 0.Conica este o parabola.Exercit iul 3.27 (e6.22) Se considera conica : x24xy + 4y22x + 2y + 1 = 0.Se cere:a) sa se scrie ecuat ia tangentei in punctul M (1, 0);b) sa se scrie ecuat iile tangentelor paralele cu dreapta d : x +y = 0.Solut ie. a) Ecuat ia tangentei n punctul M (x0, y0) la conica , obt inuta prin dedublare, estexx02 (xy0 +x0y) + 4yy0(x +x0) + (y +y0) + 1 = 0,In particular, pentru M (1, 0) se obt ine tangenta de ecuat ie y = 0.b) Fie d : x + y + = 0, R, o dreapta paralela cu d. Dreapta d este tangenta la daca sinumai daca sistemul_ x +y + = 0x24xy + 4y22x + 2y + 1 = 0are solut ie dubla. Se obt ine = 136 .Exercit iul 3.28 Se considera familia de conice : x22y +(y22x) = 0, R.Sa se discute tipul si genul conicelor dupa .Solut ie. Avem = si = 31.Pentru R {0, 1} rezulta = 0, = 0, deci conica este cu centru, nedegenerata, si areecuat ia canonica metricaX2+Y2 3+ 1= 0.Daca > 0 conica este o elipsa, iar daca < 0 conica este o hiperbola.Pentru = 1, ecuat ia conicei se poate scrie sub forma(x y) (x +y + 2) = 0,deci este reuniunea a doua drepte concurente n punctul C (1, 1) .Pentru = 0, conica este o parabola.VARIETAT I PATRATICE 85Exercit iul 3.29 Se considera familia de conice, : xy +(x +y 2)(4x +y 4) = 0, , R, 2+2= 0.a) Sa se arate ca centrele de simetrie ale conicelor din familie sunt situate pe o conica.b) Sa se determine valorile parametrilor reali , pentru care conica , nu are centre de simetrie.c) Sa se determine valorile parametrilor reali , pentru care conica , este degenerata.Solut ie. a) Coordonatele centrelor de simetrie ale conicelor din familie (atunci c and exista) suntsolut iile sistemului_ y + (8x + 5y 12) = 0x + (5x + 2y 6) = 0, (3.14)echivalent cu_ 8x + ( + 5) y = 12( + 5) x + 2y = 6. (3.15)Elimin and , din ecuat iile (3.14) rezulta ca centrele de simetrie sunt situate pe conica de ecuat ie8x22y212x + 6y = 0.b) Conica , nu are centre de simetrie daca sistemul (3.14) nu are solut ii. Din condit iile de incom-patibilitate (= ( + 9) ( +)) = 0 si + = 0 se obt ine = 9, = 0. Deci conica9xy + (x +y 2)(4x +y 4) = 0nu are centre. Pentru = 0 si + = 0 conica , corespunzatoarexy + (x +y 2)(4x +y 4) = 0are o innitate de centre de simetrie, situate pe dreapta 2x +y 3 = 0.c) Condit ia = 0 implica45+265+2 36 3 8= 22 22= 0.Se obt in solut iile = 0 sau = 0 sau + = 0.