Capitolul 2Aplicat ii ane2.1. Aplicat ii aneFie E unul din spat iile euclidiene punctuale E1, E2, E3 si E spatiul vectorial euclidian al vectorilorliberi corespunzator.Denit ia 2.1 Aplicat ia t : E E se numeste aplicat ie ana dacat(A+B) = t(A) +t(B),pentru orice puncte A, B E si orice numere reale , , cu + = 1.Observat ie. Din denit ia data rezulta imediat ca daca P, Q, R sunt trei puncte coliniare distinctedin E si t(P), t(Q), t(R) sunt puncte distincte din E, atunci t(P), t(Q), t(R) sunt coliniare si (PQ |R) = (t(P)t(Q) | t(R)), (adica aplicat ia ana t pastreaza coliniaritatea si raportul simplu a trei punctecoliniare). Intr-adevar, (PQ | R) = k este echivalent cuR =11 kP k1 kQ,Propozit ia 2.1 Fie : E E o aplicat ie ana, k N, k 2, P1, ..., Pk E, 1, ..., k R,k

i=1i = 1.Atunci_k

i=1iPi_=k

i=1i(Pi).Demonstrat ie. Prin induct ie dupa k. Pentru k = 2, proprietatea este adevarata conform denit iei.Sa presupunem proprietatea adevarata pentru un n 2 si e P1, ..., Pn+1 E, 1, ..., n+1 R,n+1

i=1 i = 1Propozit ia 2.2 Fie : E E o aplicat ie ana si A, B, C, D E. Daca AB = CD atunci(A)(B) = (C)(D).(O aplicat ie ana duce segmente orientate echipolente n segmente orientate echipolente.)Fie : E E o aplicat ie ana. Acestei aplicat ii ane i se poate asocia in mod natural o aplicat ieT : E E. Daca x E si A este un punct xat in E, atunci exista punctul unic B E astfel inc atAB = x. Consideram, prin denit ie,T( x) = (A)(B).Aplicat ia T este corect denita. Intr-adevar, daca (C, D) x, avem AB = CD si, conform propozit ieianterioare, (A)(B) = (C)(D), deci T ( x) nu depinde de alegerea reprezentantului pentru vectorul x.Propozit ia 2.3 Daca : E E este o aplicat ie ana, atunci aplicat ia asociata T : E E este oaplicat ie liniara.Aplicat ia liniara Tse numeste aplicat ia liniara asociata aplicat iei ane sau aplicat ia liniaraindusa de aplicat ia ana . Daca : E E este o aplicat ie oarecare si O un punct xat in E, denimaplicat ia TO : E E prin condit iaTO( x) = (O)(P), () x = OP E.4546 Capitolul 2Propozit ia 2.4 Aplicat ia : E E este o aplicat ie ana daca si numai daca exista un punct O Eastfel incat aplicat ia TO : E E este liniara.O aplicat ie ana : E E este unic determinata de aplicat ia liniara asociata si de imaginea prin a unui punct din E.Propozit ia 2.5 Fie : E E o aplicat ie ana si T : E E aplicat ia liniara asociata.(i) aplicat ia este injectiva daca si numai daca T este o aplicat ie liniara injectiva.(ii) aplicat ie este surjectiva daca si numai daca T este o aplicat ie surjectiva.Propozit ia 2.6 Fie : E E o aplicat ie ana si T : E E aplicat ia liniara asociata. Daca estebijectiva atunci aplicat ia 1: E E este ana si aplicat ia liniara asociata este T1.Propozit ia 2.7 Fie

,

: E E, doua aplicat ii ane si T

, T

: E E, aplicat iile liniare asociate,respectiv, lui

si

. Atunci

: E E este o aplicat ie ana si are ca aplicat ie liniara asociataaplicat ia T

T

: E E.Propozit ia 2.8 Fie : E E o aplicat ie ana si T : E E aplicat ia liniara asociata, A1, A2 Esubspat ii ane al lui E, cu subspat iile vectoriale directoare W1, W2 E, respectiv, si astfel incatA2 Im() = . Atunci:(i) (A1) este subspat iu an in E, cu subspat iul vectorial director T(W1);(ii) 1(A2) este subspat iu an in E, cu subspat iul vectorial director T1(W2).Propozit ia 2.9 Fie : E E o aplicat ie ana injectiva si A1, A2 doua subspat ii ane ale lui E.Daca A1 si A2 sunt paralele, atunci subspat iile ane (A1) si (A2) sunt paralele.Fie : E E o aplicat ie ana, T : E E aplicat ia liniara asociata si R = (O, B = { e1, ..., en}),unde n {1, 2, 3}, un reper cartezian in E. Notam cu r raza vectoare a unui punct M E, cu r

razavectoare a punctului (M) si cu a raza vectoare a punctului (O). Atunci avem r

= O (M) = O (O) + (O) (M)= a +T_OM_= a +T ( r) ,deci r

= T( r) + a. (2.1)Prin urmare aplicat ia ana duce punctul de raza vectoare r in punctul de raza vectoare a + T( r).Ecuat ia (2.1) deneste aplicat ia ana si ea se numeste ecuat ia vectoriala a aplicat iei ane . Din(2.1) rezulta r

B = TB rB + aB. (2.2)Daca r =n

i=1xi ei, r

=n

i=1yi ei, a =n

i=1ai ei si TB = _tij_, din (2.2) obt inem ecuat iile scalare aleaplicat iei ane in reperul cartezian R :yi=n

j=1tijxj+ai, i = 1, n. (2.3)In particular, pentru n = 3,intr-un reper cartezian R = (O, B = { e1, e2, e3}), o aplicat ie ana a unuispat iului euclidian tridimensional E3 este data prin ecuat ii de formay1= t11x1+t12x2+t13x3+a1y2= t21x1+t22x2+t23x3+a2y3= t31x1+t32x2+t33x3+a3,o aplicat ie ana a planului euclidian E2 este data prin ecuat ii de forma:_ y1= t11x1+t12x2+a1y2= t21x1+t22x2+a2,APLICATII AFINE 47iar o aplicat ie ana a dreptei euclidiene este data printr-o ecuat ie de forma:y = tx +a.2.1.1. PROBLEMEFie E unul din spat iile euclidiene punctuale E1, E2, E3 si E spatiul vectorial euclidian al vectorilorliberi corespunzator, n = dimE, n {1, 2, 3}.Exercit iul 2.1 Sa se arate ca daca : E E este o aplicat ie liniara atunci este o aplicat ie ana.Solut ie. Deoarece este aplicat ie liniara rezulta ca( x + y) = ( x) +( y),pentru orice x, y A, , R, in particular pentru , R, cu + = 1, deci este o aplicat ieana.Exercit iul 2.2 Fie : E E o aplicat ie ana cu proprietatea = (in acest caz se numesteproiector an). Sa se arate ca:a) operatorul liniar asociat T : E E este un proiector vectorial (T T = T);b) aplicat ia reprezinta proiect ia lui E pe subspat iul an A = Im(), in direct ia subspat iului vectorialker (T) .c) aplicat ia s : E E,s(M) = 2(M) M, () M E,este o aplicat ie ana si s s = 1E.Solut ie. a) Fie O E. Daca v V, atunci exista un punct M E, unic, astfel inc at v = OM.Aplic and denit ia operatorului T deducemT (T ( v)) = T_T_OM__= T_ (O) (M)_= ( (O)) ( (M)) = (O) (M) = T_OM_= T ( v) .Rezulta ca T T ( v) = T ( v) , pentru orice v V, adica T este un proiector vectorial.b) Sa observam ca Im() = {M A | (M) = M}. Intr-adevar, daca M

Im() atunci existaM A astfel inc at M

= (M) . Rezulta ca (M

) = ( (M)) = (M) = M

. Deci Im() {M E | (M) = M}. Incluziunea inversa este evidenta.Pentru orice M E rezulta ca (M) A siT_M (M)_= (M) ( (M)) = (M) (M) = 0,adica M (M) ker T, deci reprezinta proiect ia lui E pe subspat iul an A = Im(), in direct iasubspat iului vectorial ker (T) .c) Aplicat ia ind ana, rezulta ca s este aplicat ie ana. Avems (s(M)) = s (2(M) M) = 2 (2(M) M) (2(M) M)= 4 ( (M)) 2 (M) 2(M) +M = M,pentru orice M E,adica s s = 1E.Exercit iul 2.3 Fie : E E o aplicat ie ana cu proprietatea = 1A ( se numeste automorsman involutiv). Sa se arate ca:a) operatorul liniar asociat T : V V este o simetrie vectoriala (T T = 1V );b) aplicat ia p : E E,p(M) = 12M + 12(M), () M A,este un proiector an;48 Capitolul 2c) aplicat ia reprezinta simetria lui E fat a de subspat iul an A = Im(p), in direct ia data desubspat iul vectorial ker (1V +T) .Solut ie. a) Fie O E. Daca v V, atunci exista un punct M E, unic, astfel inc at v = OM.Aplic and denit ia operatorului T deducemT (T ( v)) = T_T_OM__= T_ (O) (M)_= ( (O)) ( (M)) = OM = v.Rezulta ca T T ( v) = v, pentru orice v V, adica T este o simetrie vectoriala.b) Avemp (p(M)) = p(12M + 12(M))=12_12M + 12(M)_+ 12_12M + 12(M)_=14M + 14(M) + 14 (M) + 14 ((M))=12M + 12(M) = p (M) ,pentru orice M E, adica p p = p.c) Sa observam ca pentru M Im(p) avem p (M) = M, de unde rezulta12M + 12(M) = M,deci (M) = M. Deducem caIm(p) = {M E | (M) = M}.In plus, daca T este operatorul liniar asociat aplicat iei ane p, atunciker T = ker_12 (1V +T)_= ker (1V +T) .Pentru orice M E rezulta ca12M + 12(M) A si (M) = 2p (M) M,de undeM (M) = 2Mp (M) MM = 2Mp (M) ker T.Exercit iul 2.4 In spat iul an real (A, V, ) de dimensiune n, se considera reperul cartezian R =(O, B = { e1, ..., en}) , hiperplanul : a1x1+.... +anxn+a0= 0si dreapta d, d , de vector director v =n

i=1vi ei.a) Sa se scrie ecuat iile proiect iei : A A a spat iului an A pe hiperplanul , in direct ia drepteid.b) Sa se scrie ecuat iile simetriei s : A A a spat iului an A fat a de hiperplanul , in direct iadreptei d.Solut ie. a) Condit ia d implican

i=1viai= 0. Pentru M A, OM =n

i=1xi ei, notam M

= (M),OM

=n

i=1yi ei. Punctul M

este determinat de condit iile (i) M

si (ii) vectorii v, MM

sunt liniardependent i, adica exista t R, t = 0, astfel nct MM

= t v. Exprimand n ecuat ii cele doua condit iirezultayj= xj+tvj, j = 1, n,n

i=1yiai+a0= 0.(2.4)APLICATII AFINE 49Prin eliminarea parametrului real t din (2.4) se obt in ecuat iile proiect iei n reperul R :yj= xjn

i=1xiai+a0n

i=1viaivj, j = 1, n. (2.5)b) Conform E 2.2, simetria fat a de hiperplanul n direct ia v este aplicat ia s, denita prins(M) = 2 (M) M, pentru orice M A. In consecint a, ecuat iile simetriei suntyj= xj2n

i=1xiai+a0n

i=1viaivj, j = 1, n. (2.6)In cazul particular n = 3, ecuat iile proiect iei spat iului an A3 pe planul : a1x1+a2x2+a3x3+a0=0 n direct ia v = v1 e1 +v2 e2 +v3 e3, sunty1= x1 a1x1+a2x2+a3x3+a0a1v1 +a2v2 +a3v3v1,y2= x2 a1x1+a2x2+a3x3+a0a1v1 +a2v2 +a3v3v2,y3= x3 a1x1+a2x2+a3x3+a0a1v1 +a2v2 +a3v3v3,iar ecuat iile simetriei fat a de planul , n direct ia v, sunty1= x12a1x1+a2x2+a3x3+a0a1v1 +a2v2 +a3v3v1,y2= x22a1x1+a2x2+a3x3+a0a1v1 +a2v2 +a3v3v2,y3= x32a1x1+a2x2+a3x3+a0a1v1 +a2v2 +a3v3v3.Daca n = 2, ecuat iile proiect iei spat iului an A2 pe dreapta d : a1x1+ a2x2+ a0= 0 n direct ia v = v1 e1 +v2 e2, sunty1= x1 a1x1+a2x2+a0a1v1 +a2v2v1,y2= x2 a1x1+a2x2+a0a1v1 +a2v2v2,iar ecuat iile simetriei fat a de dreapta d, n direct ia v, sunty1= x12a1x1+a2x2+a0a1v1 +a2v2v1,y2= x22a1x1+a2x2+a0a1v1 +a2v2v2.Exercit iul 2.5 In spat iul an real (A3, V3, ) se considera reperul cartezian R = (O, B = { e1, e2, e3}) ,planul : a1x1+a2x2+a3x3+a0= 0 si dreapta d care trece prin punctul P ( r0) si are vectorul director v, astfel incat d .a) Sa se scrie ecuat iile proiect iei : A A a spat iului an A pe dreapta d, paralela cu planul .b) Sa se scrie ecuat iile simetriei s : A A a spat iului an A fat a de dreapta d, paralela cu planul.50 Capitolul 2Solut ie. a) Fie v = v1 e1+v2 e2+v3 e3, vectorul director al dreptei d. Condit ia d implica v1a1+v2a2+v3a3= 0. Pentru M A, OM = x1 e1 +x2 e2 +x3 e3, notam M

= (M), OM

= y1 e1 +y2 e2 +y3 e3.Punctul M

este determinat de condit iile (i) M

d si (ii) dreapta MM

este paralela cu planul .Exprimand n ecuat ii cele doua condit ii rezulta_ yj= xj0 +tvj, j = 1, 3,_y1x1_a1+_y2x2_a2+_y3x3_a3= 0.(2.7)Prin eliminarea parametrului real t din (2.7) se obt in ecuat iile proiect iei n reperul R :yj= xj0 +3

i=1_xixi0_aiv1a1 +v2a2 +v3a3vj, j = 1, 3. (2.8)b) Conform E 2.2, simetria fat a de dreapta d, paralela cu planul , este aplicat ia s, denita prins(M) = 2 (M) M, pentru orice M A. In consecint a, ecuat iile simetriei suntyj= 2xj0xj+ 23

i=1_xixi0_aiv1a1 +v2a2 +v3a3vj, j = 1, 3. (2.9)Exercit iul 2.6 In spat iul euclidian E3, in reperul cartezian R = (O, B = { e1, e2, e3}) se consideravectorul v(2, 1, 1) si planul : 2x1x2+ 3x3+ 6 = 0.a) Sa se scrie ecuat iile proiect iei : E3 E3 a spat iului E3 pe planul , paralela cu v.b) Sa se scrie ecuat iile simetriei s : E3 E3 a spat iului an E3 fat a de planul paralela cu v.Exercit iul 2.7 In spat iul an real E3, in reperul cartezian R = (O, B = { e1, e2, e3}) se consideraplanul : 2x13x2+x3+ 6 = 0 si dreapta d data prin ecuat iile_ 2x1+x2+x33 = 0x1x2+ 2x3= 0.a) Sa se scrie ecuat iile proiect iei : E3 E3 a spat iului E3 pe dreapta d, paralela cu planul .b) Sa se scrie ecuat iile simetriei s : E3 E3 a spat iului E3 fat a de dreptei d, paralela cu planul .2.2. Transformari aneFie E unul din spat iile euclidiene punctuale E1, E2, E3 si E spatiul vectorial euclidian al vectorilorliberi corespunzator.Denit ia 2.2 O aplicat ie bijectiva : E E se numeste transformare geometrica a spat iului E.Denit ia 2.3 O transformare geometrica : E E se numeste transformare ana (sau anitate)daca este o aplicat ie ana.Operatorul liniar T : E E asociat unei transformari ane este bijectiv. Imaginea unui subspat iuan de dimensiune p al lui E printr-o transformare ana este un subspat iu an de dimensiune p allui E. In particular, imaginea unei drepte printr-o transformare ana este o dreapta (se spune ca otransformare ana duce drepte in drepte), iar imaginea unui plan printr-o transformare ana este unplan. Proprietatea unei transformari geometrice a spat iului an E, dimE 2, de a duce drepte indrepte este caracteristica pentru not iunea de transformare ana.Teorema 2.10 Transformarea geometrica : E E, dimE 2, este o transformare ana a spat iuluiE daca si numai daca transforma drepte in drepte.APLICATII AFINE 51Propozit ia 2.11 Daca {A0, ..., An}, {B0, ..., Bn} sunt doua sisteme de cate n + 1 puncte an inde-pendente din En, atunci exista o transformare ana unica, : En En, astfel inc at (Ai) = Bi,i = 0, n.Denit ia 2.4 Submult imile F1, F2 ale lui E se numesc an echivalente daca exista o transformareana : E E astfel inc at (F1) = F2.O submult ime a lui E se mai numeste si gura. Despre doua guri an echivalente se mai spune sica sunt guri ane. Sistemele {A0, ..., Ap}, {B0, ..., Bp} E, 0 p n, formate din c ate p +1 punctean independente sunt mult imi an echivalente.Denit ia 2.5 Fie : E E o transformare ana. Punctul M E se numeste punct x al transformariiane (sau punct invariant in raport cu ) daca (M) = M.Punctele xe ale transformarii ane , data ntr-un reper cartezian prin ecuat ia r

= T( r) + a, sedetermina rezolv and ecuat ia r = T( r) + a.Propozit ia 2.12 Daca punctele an independente A0, ..., Ap E sunt puncte xe ale transformariiane : E E, atunci orice punct al subspat iului an A, de dimensiune p, determinat de puncteleA0, ..., Ap, este x in raport cu .Denit ia 2.6 Subspat iul an A E este invariant in raport cu transformarea ana : E E, daca(A) = A.Propozit ia 2.13 Daca : E E este o transformare ana cu punct x unic, atunci orice subspat iuan invariant prin trece prin punctul x.Denit ia 2.7 Dreapta d A se numeste dreapta de direct ie invarianta in raport cu transformareaana , daca (d) este paralela cu d sau (d) = d.Direct iile invariante n raport cu transformarea ana sunt date de vectorii proprii ai operatoruluiliniar asociat.Mult imea Aff(E) a transformarilor ane ale spat iului euclidian E este grup in raport cu operat iade compunere a transformarilor ane. Acest grup se numeste grupul an (sau grupul transformarilorane sau grupul anitat ilor) al spat iului euclidian E.Geometria ana studiaza toate proprietat ile gurilor din E care sunt invariantein raport cu grupulan (adica invariante in raport cu orice transformare ana a spat iului A). O proprietate invariantainraport cu grupul an se numeste invariant an. Se evident iaza urmatorii invariant i ani:1) proprietatea unui sistem de puncte de a an independent sau dependent (in particular coliniar-itatea a trei puncte, coplanaritatea a patru puncte);2) proprietatea unei submult imi a lui E de a subspat iu an de dimensiune p;3) proprietatea a doua subspat ii ane de a paralele;4) proprietatea unui punct de a impart i un segment intr-un raport dat.Denit ia 2.8 Fie a E. Aplicat ia t a : E E denita prin condit iaMt a(M) = a, () M E,se numeste translat ia de vector a a spat iului euclidian E.Mult imea T (E) a translat iilor spat iului euclidian E formeaza, relativ la operat ia de compunere aaplicat iilor, un subgrup comutativ al grupului an, numit subgrupul translat iilor. Grupul (T (E), )este izomorf cu grupul (E, +). Daca R = (O, B) este un reper cartezian, M( r), t a(M)( r

), ecuat iavectoriala a translat iei de vector a se scrie r

= r + a.Daca r =n

i=1xi ei, r

=n

i=1yi ei, a =n

i=1ai ei, obt inem ecuat iile scalare ale translat ieiyi= xi+ai, i = 1, n.52 Capitolul 2Denit ia 2.9 Fie O un punct din A. Transformarea ana Aff(E) se numeste centro-anitate decentru O daca (O) = O.Mult imea AffO(E) = { Aff(E) | (O) = O} a transformarilor centro-ane cu centrul O esteun subgrup al grupului Aff(E), izomorf cu grupul Aut(V ).Propozit ia 2.14 Fie Aff(E) si O E. Atunci se poate scrie in mod unic sub forma: = 12,1 T (E), 2 AffO(E).Fie C A si k R, k = 0.Denit ia 2.10 Se numeste omotetie de centru C si coecient k aplicat ia : E E care asociazaecarui punct M E punctul (M) dat de condit ia C(M) = kCM.O omotetie se numeste contract ie sau dilatare dupa cum |k| < 1 sau, respectiv, |k| > 1. O omotetieeste o transformare ana, iar aplicat ia liniara asociata este o omotetie vectoriala.Omotetia de centru C si coecient k = 1 se numeste simetria lui E fat a de punctul C.Daca R = (O, B) este un reper cartezian, C( r0), M( r), (M)( r

), atunci ecuat ia vectoriala aomotetiei este r

= k r + (1 k) r0.Daca r0 =n

i=1xi0 ei, r =n

i=1xi ei, r

=n

i=1yi ei, obt inem ecuat iile scalare ale unei omotetiiyixi0 = k(xixi0), i = 1, n.Mult imea omotetiilor spat iuluieuclidian Enu formeaza grup fat a de operat ia de compunere aaplicat iilor,insa mult imea translat iilor si omotetiilor spat iului euclidian E este un subgrup al grupuluian (numit subgrupul translat iilor si omotetiilor).Daca C este un punct xat in E, mult imea omotetiilor cu centrul C constituie un subgrup anizomorf cu grupul multiplicativ R.2.2.1. PROBLEMEFie E unul din spat iile euclidiene punctuale E1, E2, E3 si E spat iul vectorial euclidian al vectorilorliberi corespunzator, si n = dimE, n {1, 2, 3}.Exercit iul 2.8 Sa se arate ca daca o transformare ana a spat iului euclidian E are doua punctexe, distincte, atunci ea are o innitate de puncte xe.Solut ie. Fie A si B E, A = B, doua puncte xe pentru . Fie C un punct arbitrar pe dreapta ABsi e (AB | C) = k. Deoarece raportul simplu este un invariant an, rezulta((A)(B) | (C)) = (AB | (C)) = k.Din unicitatea punctului careimparte un segmentintr-un raport dat deducem (C) = C.In concluzie,(C) = C, pentru orice punct C AB.Exercit iul 2.9 Fie : E E o transformare ana. Sa se arate ca daca = 1E, atunci admitecel put in un punct x.Solut ie. Daca = 1E, orice punct al lui E este punct x in raport cu .Presupunem ca = 1E. Atunci exista A E astfel inc at A = (A) = B. Intruc at ((A)) = A,avem (B) = A. Sa notam cu M mijlocul segmentului [AB]. Rezulta ca(M) = _12A+ 12B_= 12 (A) + 12 (B) = 12A+ 12B = M,adica M este punct x pentru .Observat ie. O transformare ana : E E av and proprietatea = 1E se numeste transformareinvolutiva (sau involut ie).APLICATII AFINE 53Exercit iul 2.10 Fie : E3 E3 o transformare ana. Daca are un punct x unic C atunci oricedrapta invarianta in raport cu trece prin C si orice plan invariant in raport cu trece prin punctulC.Exercit iul 2.11 Sa se arate ca daca o transformare ana : E2 E2 are un unic punct x C, atunciorice dreapta invarianta in raport cu trece prin C.Solut ie. Presupunem prin absurd ca C / d. Atunci putem alege un reper cartezian cu originea C siaxa Cx paralela cu dreapta d. Punctul C(0, 0) ind x pentru transformarea , ecuat iile lui sunt_ x

= a11x +a12yy

= a21x +a22y.In plus, punctul x este unic. Atunci a111 a12a21a221= 0. (2.10)Fie y = a, a = 0, ecuat ia dreptei d n reperul ales. T in and seama ca dreapta d este invarianta n raportcu avem (M) = M

(x

, a) d, oricare ar M(x, a) d. Decia = a21x +a22a,oricare ar x R. Obt inem a21 = 0, a22 = 1, ceea ce contrazice (2.10).Exercit iul 2.12 Fie Aff(E2) o transformare ana fara puncte xe astfel inc at (d)d sau (d) =d, pentru orice dreapta d E2. Sa se arate ca este o translat ie.Solut ie. Fie A E2. Imaginea dreptei A (A) prin este inclusa in dreapta care trece prin (A) siare vectorul director A (A), deci (A (A)) = A (A).Daca B / A (A) , atunci dreptele A (A) si B (B) sunt paralele. Intr-adevar, daca presupunemprin absurd ca A (A) B (B) = {M},atuncirezulta ca (M) (A (A)) (B(B)) A(A) B(B) = {M}, adica M este punct x, ceea ce contrazice ipoteza. Din AB(A)(B) siA (A) B (B) rezultaA(A) = B(B) (2.11)Daca B A(A), e C E2 astfel inc at C / A(A). Din (2.11) rezultaC(C) = A(A), C(C) = B(B),deci A(A) = B(B). Prin urmare daca xam punctul A E2, pentru orice punct B E2, avemA(A) = B(B) = a.Transformarea este translat ia de vector a.Exercit iul 2.13 O transformare ana : E E este translat ie sau omotetie daca si numai dacaorice direct ie este invarianta in raport cu .Solut ie. Evident, daca este translat ie sau omotetie, pentru orice dreapta d avem (d)d sau (d) = d.Reciproc, presupunem ca pentru orice dreapta d avem (d)d sau (d) = d.Fie T : E E operatorul liniar asociat lui . RezultaT( v) = ( v) v, ( v) R, () v = 0, v V.Demonstram ca ( v) este constant.Fie a,b E doi vectori liniar independent i. Din T( a +b) = T( a) +T(b) rezulta_( a +b) ( a)_ a +_( a +b) (b)_b = 0,54 Capitolul 2deci ( a) = (b).Daca b = a, atunci din T(b) = T( a), rezulta ( a) = (b).Deducem ca ( v) = 0, constant, 0 = 0 (T este bijectiv) si T( v) = 0 v, () v V. Ecuat ia lui ,ntr-un reper cartezian cu originea O, este r

= 0 r +O(O),Transformarea este translat ie daca 0 = 1 si omotetie pentru 0 = 1.Exercit iul 2.14 O transformare ana : E3 E3 este translat ie sau omotetie daca si numai daca() sau () = pentru orice plan E3.Exercit iul 2.15 Fie O E si : E E o transformare ana. Sa se arate ca se poate scrie in modunic ca o compunere dintre o translat ie si o transformare centroana, cu centrul in punctul O.Solut ie. Fie 1 translat ia de vector O(O) si 2 = 11 . Atunci2(O) = 11((O)) = O,deci 2 Aff(E). Evident = 1 2.Exercit iul 2.16 Fie C E, v E si R, = 1. Se noteaza cu O,C omotetia de centru C sicoecient , iar cu t v translat ia de vector v. Sa se arate ca O,C t v este o omotetie de centru C1 sicoecient , unde punctul C1 este determinat de relat iaCC1 =1 v.Solut ie. Consideram reperul cartezian R = (C, B). In raport cu acest reper, ecuat iile vectoriale aletransformarilor ane date suntO,C: r

= r,t v: r

= r + v.Rezulta ca ecuat ia vectoriala a produsului O,C t v esteO,C t v : r

= r + v. (2.12)Sa observam ca transformarea O,C t v are un punct x. Din r0 = r0 + v, deducem r0 =1 v,deci punctul C1( r0) este punct x pentru O,C t v. Ecuat ia (2.12) se poate scrie sub formaO,C t v : r

r0 = ( r r0),adica O,C t v este omotetia de centru C1 si coecient .Exercit iul 2.17 Fie 1, 2 doua omotetii de centre C1, C2 respectiv. Daca 1 2 este o omotetie decentru C3 atunci punctele C1, C2, C3 sunt coliniare.Solut ie. Consideram reperul cartezian R = (O, B). In raport cu acest reper, ecuat iile vectoriale aletransformarilor ane date sunt1= Ok1,C1 : r

OC1 = k1( r OC1),1= Ok2,C2 : r

OC2 = k2( r OC2),Rezulta ca ecuat ia vectoriala a produsului 1 2 este r

= k1k2 r + (1 k1)OC1 +k1(1 k2)OC2.APLICATII AFINE 55De asemenea avem k1k2 = 1. Altfel, pentru k1k2 = 1 transformarea 1 2 este o translat ie de vector(1 k1)OC1 +k1(1 k2)OC2,ceea ce contrazice ipoteza.Din condit ia ca C3 sa e punct x al transformarii ane 1 2, i.e.OC3 = k1k2OC3 + (1 k1)OC1 +k1(1 k2)OC2,rezulta caOC3 = (1 k1)1 k1k2OC1 + k1(1 k2)1 k1k2 OC2. (2.13)Deoarece(1 k1)1 k1k2 + k1(1 k2)1 k1k2= 1,relat ia (2.13) implicaC3 = (1 k1)1 k1k2C1 + k1(1 k2)1 k1k2 C2,adicapunctele C1, C2, C3sunt coliniare. Punctul C3mparte segmentul [C1C2]nraportulk1 (1 k2)1 k1.Exercit iul 2.18 In planul euclidian E2, se considera reperul cartezian R = (O, { e1, e2}) . Sa se deter-mine ecuat iile transformarii ane : E2 E2, care duce punctul A(1, 2) in punctul A

(3, 5) , vectorul u(2, 1) in u

(1, 2) si v (1, 1) in v

(2, 5) .Solut ie. Fie T : V2 V2 operatorul liniar asociat transformarii ane . Din T( u) = u

; T( v) = v

,rezulta_ T(2 e1 + e2) = e12 e2T( e1 e2) = 2 e1 + 5 e2,deci T( e1) = e1 + e2, T( e2) = e14 e2. Ecuat ia matriceala este_ y1y2_=_ 1 11 4__ x1x2_+_ a1a2_,adica_ y1= x1x2+a1y2= x14x2+a2.Condit ia (A) = A

implica a1= 4, a2= 12.Exercit iul 2.19 In planul E2, se considera reperul cartezian R = (O, { e1, e2}). Sa se determineecuat iile transformarii ane : E2 E2, care duce punctul A(1, 1) in punctul A

(2, 1) , vectorul u(1, 2) in u

(2, 6) si v (2, 1) in v

(4, 2). Sa se determine punctele xe si direct iile invariante aletransformarii .Solut ie. Procedand ca la exercit iul anterior, se obt ine ca ecuat iile transformarii ane n reperulconsiderat sunt_ y1= 2x1y2= 2x1+ 2x2+ 5.Punctele xe se obt in rezolv and sistemul_ x1= 2x1x2= 2x1+ 2x2+ 5.Rezulta ca tranformarea admite unicul punct x C(0, 5).56 Capitolul 2Matricea operatorului liniar asociat transformarii , n raport cu baza {e1, e2}, esteA =_2 02 2_.Valorile proprii ale matricei A sunt 1 = 2 = 2, iar vectorul propriu corespunzator este a = e2.Tranformarea are o unica dreapta invarianta d, care trece prin punctul x C si are vectorul director a. Ecuat ia dreptei invariante este d : x1= 0.Exercit iul 2.20 In planul euclidian E2, se considera reperul cartezian R = (O, { e1, e2}). Sa se de-termine ecuat iile transformarii ane : E2 E2, care duce punctele A(1, 0), B(2, 1) , C (1, 2) inpunctele A

(2, 1) , B

(3, 2) , C

(1, 4) respectiv.Solut ie. Ecuat iile lui sunt de forma_ x

= a11x +a12y +a1y

= a21x +a22y +a2.Din condit iile (A) = A

, (B) = B

, (C) = C

se obt ine a11 =12, a12 = 12, a21 =52, a22 =32,a1 = 32, a2 32.Exercit iul 2.21 In planul E2 se considera punctele necoliniare A, B, C si transformarea ana :E2 E2 cu proprietatea ca (A) = B, (B) = A, (C) = C. Sa se determine punctele xe, direct iileinvariante si dreptele invariante ale lui si sa se interpreteze geometric transformarea .Solut ie. Alegem reperul cartezian R =_C; {CA, CB}_. In acest reper, coordonatele punctelor datesunt A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0). T in and seama de ipoteza obt inem ecuat iile transformarii_ y1= x2y2= x1.Punctele xe sunt P(, ), R, adica punctele dreptei CD, unde D este mijlocul segmentului [AB].Matricea transformarii esteM =_ 0 11 0_.Valorile proprii ale operatorului liniar asociat lui sunt 1 = 1, 2 = 1, iar vectorii proprii core-spunzatori sunt a1(1, 1), a2(1, 1).Transformarea admite doua direct ii invariante: direct ia dreptei CD si direct ia dreptei AB.In raportcu aceasta transformare sunt invariante toate dreptele fasciculului de drepte paralele cu ABx1+x2+ = 0, Rsi dreapta CD : x1x2= 0.Astfel, transformarea este simetria planului E2 fat a de dreapta x1= x2, adica fat a de dreaptaCD,in direct ia dreptei AB.Exercit iul 2.22 In planul E2 se considera trei puncte necoliniare A, B, C.a) sa se determine punctele xe si dreptele invariante ale transformarii ane : E2 E2, care ducepunctele A, B, C in punctele B, C, A respectiv.b) sa se determine semnicat ia geometrica a transformarii ane care transforma varfurile tri-unghiului ABC in mijloacele laturilor opuse, respectiv.Solut ie. Alegem reperul cartezian R = (A, {AB, AC}). Coordonatele punctelor date n raport cuacest reper sunt A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1).a) T in and seama de ipoteza obt inem ecuat iile transformarii_ y1= x1x2+ 1y2= x1.APLICATII AFINE 57Punctul x este G(13, 13), adica centrul de greutate al sistemului {A, B, C}.Matricea transformarii esteM =_ 1 11 0_si ecuat ia caracteristica asociata nu are radacini reale. Deci nu are direct ii invariante.b) Notam cu A

, B

, C

, respectiv mijloacele segmentelor [BC], [CA], [AB]. Coordonatele acestorpuncte n reperul R sunt A

(12, 12), B

(0, 12), C

(12, 0). T in and seama de ipoteza obt inem ecuat iiletransformarii_ y1= 12x1+ 12y2= 12x2+ 12sau_ y1 13 = 12_x1 13_y2 13 = 12_x2 13_ .Punctul x este G(13, 13), adica centrul de greutate al sistemului {A, B, C}.Transformarea ana este omotetia de centru G si coecient k = 12. Orice direct ie din plan esteinvarianta n raport cu si orice dreapta care trece prin G este invarianta n raport cu .Exercit iul 2.23 Sa se determine semnicat ia geometrica a transformarii ane a spat iului E3 caretransforma varfurile tetraedrului ABCD in centrele de greutate ale fet elor opuse, respectiv.Solut ie. Alegem reperul cartezian R = {A; AB, AC, AD}. Coordonatele punctelor date n acest repersunt A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1). Notam cu A

, B

, C

, D

, respectiv, centrele de greutateale triunghiurilor [BCD], [CDA], [DAB], [ABC]. Coordonatele acestor puncte n reperul R suntA

_13, 13, 13_, B

_0, 13, 13_, C

_13, 0, 13_, D

_13, 13, 0_.T in and seama de ipoteza (A) = A

, (B) = B

, (C) = C

, (D) = D

, obt inem ecuat iile trans-formarii y1= 13x1+ 13y2= 13x2+ 13y3= 13x3+ 13.Ele se pot scrie sub formay1 14 = 13_x1 14_y2 14 = 13_x2 14_y3 14 = 13_x3 14_.Punctul x este G(14, 14, 14), adica centrul de greutate al sistemului {A, B, C, D}. Transformarea ana este omotetia de centru G si coecient k = 13.2.3. IzometriiFie E unul din spat iile euclidiene punctuale E1, E2, E3 si E spat iul vectorial euclidian al vectorilorliberi corespunzator, si n = dimE, n {1, 2, 3}.Denit ia 2.11 Aplicat ia : E E se numeste izometrie a lui E (sau transformare ortogonala a luiE) daca pastreaza distant ele intre puncte, ((P) , (Q)) = (P, Q) , () P, Q E.Propozit ia 2.15 Orice izometrie : E E este o transformare ana a spat iului euclidian E.Propozit ia 2.16 Transformarea ana : E E este o izometrie daca si numai dac a operatorulliniar T : E E, asociat lui , este un operator ortogonal.58 Capitolul 2Fie R = (O; B) un reper ortonormat al lui E si : E E transformarea ana data n R prinecuat ia matriceala r

B = TB ( rB) + aB, (2.14)sau prin ecuat iile scalareyi=n

j=1tijxj+ai, i = 1, n. (2.15)Propozit ia 2.17 Transformareaanaesteoizometriedacasi numai dacamatriceaTB=_tij_i,j=1,n este ortogonala.Rezulta det TB = 1.Mult imea izometriilor spat iului euclidian punctual E formeaza grup n raport cu operat ia de com-punere a aplicat iilor. Acest grup se numeste grupul ortogonal asociat spat iului E si se noteaza cu O(E) .Evident O(E) este un subgrup al grupului an Aff (E) .Denit ia 2.12 Transformarea O(E) se numeste izometrie de tipul unu (sau deplasare) sau izome-trie de tipul doi (sau antideplasare) dupa cum det TB = 1 sau det TB = 1 (B ind o baza ortonormataa lui E).Mult imea izometriilor de tipul unu ale spat iului E este un subgrup al lui O(E) si se noteaza cuO+(E) . De asemenea, se noteaza cu O (E) mult imea izometriilor de tipul doi ale lui E (O (E) nueste grup!).Deoarece operatorul ortogonal T pastreaza sau schimba orientarea spat iului E, dupa cum det TB = 1sau det TB = 1, vom spune ca o deplasare pastreaza orientarea spat iului euclidian punctual E, iar oantideplasare schimba orientarea lui E.Grupul translat iilor lui E este un subgrup al grupului O+(E) .Teorema 2.18 (de clasicare a izometriilor dreptei euclidiene E1) Daca este o izometrie a drepteieuclidiene E1 atunci este e o translat ie a lui E1, e simetria lui E1 fat a de un punct.Teorema 2.19 (de clasicare a izometriilor planului euclidian E2)1. Daca este o izometrie de tipul unu a planului euclidian E2 atunci ea este data intr-un reperortonormat prin ecuat ii de forma_ y1= x1cos x2sin +a1y2= x1sin +x2cos +a2. (2.16)Daca nu este o translat ie, atunci reprezinta rotat ia planului eucli-dian E2 de unghi , in jurulpunctului x unic al transformarii.2. Daca este o izometrie de tipul doi, atunci ea este data intr-un reper ortonormat prin ecuat ii deforma_ y1= x1cos +x2sin +a1y2= x1sin x2cos +a2(2.17)si este compunerea simetriei planului fat a de o dreapta cu o translat ie de vector paralel cu axa desimetrie. Axa de simetrie trece prin punctul C_a12 , a22_si are direct ia data de un vector propriu v corespunzator valorii proprii = 1. Notand cu a vectorul de coordonate_a1, a2_, vectorul u detranslat ie este u = pr v a = < a, v > v2 v. (2.18)Fie O(E3) izometria data, ntr-un reper ortonormat, prin ecuat iiley1= 11x1+12x2+a13x3+a1y2= 21x1+22x2+a23x3+a2y3= 31x1+32x2+a33x3+a3. (2.19)APLICATII AFINE 59MatriceaA =111213212223313233este ortogonala si det A = 1.Teorema 2.20 (de clasicare a izometriilor spat iului euclidian E3)1. Daca este o izometrie de tipul unu a spat iului euclidian E3 si nu este o translat ie, atunci este compunerea rotat iei spat iului E3 in jurul unei drepte cu o translat ie de vector paralel cu axa derotat ie. Axa de rotat ie are direct ia data de un vector propriu v corespunzator valorii proprii = 1a matricei A. Vectorul de translat ie u_u1, u2, u3_ este dat de proiect ia vectorului a_a1, a2, a3_ pedirect ia axei de rotat ie u = pr v a = < a, v > v2 v. (2.20)Axa de rotat ie este mult imea punctelor xe ale transformarii t u , obt inuta compun and pe cu translat ia de vector u, data de ecuat iiley1= 11x1+12x2+a13x3+a1u1y2= 21x1+22x2+a23x3+a2u2y3= 31x1+32x2+a33x3+a3u3.Unghiul de rotat ie este dat de condit iacos = tr A12= 11 +22 +3312. (2.21)2. Daca este o izometrie de tipul doi si tr A = 1, atunci izometria este compunerea rotat ieispat iului in jurul unei drepte cu simetria spat iului fat a de un plan perpendicular pe axa de rotat ie.Axa de rotat ie si planul de simetrie trec prin punctul x unic al transformarii. Direct ia axei derotat ie si direct ia normala a planului de simetrie sunt date de un vector propriu v corespunzatorvalorii proprii = 1 a matricei A. Unghiul de rotat ie este dat de condit iacos = tr A+ 12= 11 +22 +33 + 12. (2.22)Daca vectorii e1 si v nu sunt coliniari, atunci (0, ) sau (, 2) , dupa cum sistemul devectori { e1, T ( e1) , v} este direct orientat sau invers orientat.3. Daca det A = 1 si tr A = 1, atunci izometria este compunerea simetriei spat iului fat a de unplan cu o translat ie de vector paralel cu planul de simetrie. Planul de simetrie trece prin punctulC_a12 , a22 , a32_ si are direct ia normala data de un vector propriu v, corespunzator valorii proprii = 1 a lui A. Notand cu a vectorul de coordonate_a1, a2, a3_, vectorul u de translat ie este datde formula u = a pr v a = a a v v2 v. (2.23)2.3.1. PROBLEMEExercit iul 2.24 Sa se arate ca grupul izometriilor O(E) este divizor normal al grupului asemanarilorspat iului euclidian punctual E. Grupul factor cores-punzator este izomorf cu grupul omotetiilor decentru dat si coecient pozitiv.Solut ia 1. Daca este o asemanare de coecient k > 0 si o izometrie atunci 1este oizometrie. Intr-adevar, pentru orice puncte P, Q E avem((P), (Q)) = k(P, Q),((P), (Q)) = (P, Q),60 Capitolul 2prin urmare( 1(P), 1(Q)) = k( 1(P), 1(Q))= k(1(P), 1(Q))= k 1k(P, Q)= (P, Q).Conform denit iei, rezulta ca grupul izometriilor O(E) este divizor normal al grupului asemanarilor.Solut ia 2. Consideram aplicat ia f : Asem(E) R+, denita prin f () = k, pentru orice asemanare de coecient k.Aplicat ia f este un homomorsm surjectiv de grupuri multiplicative. Prin urmare, nucleul lui feste subgrup normal al grupului Asem(E). Acest subgrup este format din asemanari de coecient 1,deci este subgrupul izometriilor.Homomormul f ind surjectiv, aplic and prima teorema de izomorsm pentru grupuri rezultaca grupul factor Asem(E)/O(E) este izomorf cu grupul multiplicativ _R+, _. Se stie ca _R+, _ esteizomorf cu grupul omotetiilor de centru xat si coecient pozitiv.Exercit iul 2.25 Grupul translat iilor T (E) estedivizornormal ingrupul O+(E) al deplasarilorspat iului euclidian punctual E, de dimensiune n.Solut ie. Fie R = (O, B) un reper ortonormat n spat iul E. Fie T T (E) o translat ie si O+(E) odeplasare.Daca A este matricea ortogonala asociata izometriei n reperul R, atunci matricea asociataizometriei T 1este A In A1= In. Rezulta ca T 1este o translat ie, pentru oriceT T (E) si O+(E), deci subgrupul T (E) este divizor normal n grupul O+(E).Exercit iul 2.26 Fie A si B doua puncte distincte ale planului euclidian real E2 si e A

si B

douapuncte astfel ca (A, B) = (A

, B

) . Sa se demonstreze ca exista o deplasare si numai una caretransforma pe A in A

si pe B in B

. Utiliz and acest rezultat, sa se arate ca exista o antideplasare alui E2 si numai una care transforma pe A in A

si pe B in B

.Solut ie. Fie E2 spat iul vectorial euclidian director al lui E2.Deoarece (A, B) = (A

, B

) , rezulta ca exista si este unica o transformare ortogonala de primultip T : E2 E2, astfel nc at T_AB_= A

B

. Intr-adevar, matricea asociata unui operator ortogonalT de tipul I, n raport cu o baza ortonormata B = { e1, e2}, are forma:M =_ cos tsintsint cos t_.Pentru orice v = v1 e1 + v2 e2 E2, rezulta T ( v) = _v1cos t v2sint_ e1 + (v1sint + v2cos t) e2, v = T ( v) si< v, T ( v) >= v2cos t.Deducem cacos t = cos

( v, T ( v)) , () v E2.Din T_AB_= A

B

rezulta< T_AB_, AB >=< A

B

, AB >,de undecos t = < AB, A

B

>__AB__2.Prin urmare t este unic determinat n [0, ] de condit ia T_AB_= A

B

,__AB__=__A

B

__.Fie : E2 E2 transformarea ana unic determinata de faptul ca (A) = A

si ca T este aplicat ialiniara indusa de . DinA

(B) = (A) (B) = T_AB_= A

B

APLICATII AFINE 61deducem (B) = B

. Prin urmare este o deplasare care satisface condit iile (A) = A

, (B) = B

.Din unicitatea lui T rezulta unicitatea lui .Compunerea deplasarii cu simetria planului fat a de dreapta AB este o antideplasare cu propri-etatea ceruta.Observat ie. Orice antideplasare a lui E2 poate considerata ca produsul unei deplasari cu simetriafat a de o dreapta data.Presupunem ca exista doua antideplasari D1, D2 care duc A n A

si B n B

si D1 = 1 S1,D2 = 2 S2, cu 1, 2 deplasari si S1, S2 simetrii axiale. AtunciD1 D12= 1 S1 S2 12.Dar S1 S2 este o izometrie de tipul I, deci 1 S1 S2 12este o deplasare care duce A

n A

si B

n B

. Punctele A

si B

ind distincte, rezulta ca D1 D12= 1E2, deci D1 = D2.Exercit iul 2.27 Sa se arate ca, intr-un reper ortonormat, rotat ia de unghi (0, 2) a planului injurul punctului C (x0, y0) , are ecuat iile_ x

x0 = (x x0) cos (y y0) siny

y0 = (x x0) sin + (y y0) cos .Solut ie. Ecuat iile rotat iei sunt de forma (2.16). Condit ia ca C sa e punct x implica_ x0 = x0 cos y0 sin +a1y0 = x0 sin +y0 cos +a2. (2.24)Elimin and a1, a2ntre (2.16) si (2.24) se obt ine concluzia.Exercit iul 2.28 In planul euclidian E2, intr-un reper ortonormat, se cere sa se scrie ecuat iile rotat ieiplanului de unghi = 56in jurul punctului C(2, 5).Solut ie. Ecuat iile rotat iei sunt:_ x

2 = (x 2) cos 56 (y + 5) sin 56y

+ 5 = (x 2) sin 56 + (y + 5) cos 56.Exercit iul 2.29 In planul euclidian E2, intr-un reper ortonormat, se considera dreapta d care treceprin punctul P ( r0) si are vectorul director v. Sa se scrie ecuat iile simetriei ortogonale a planului fat ade dreapta d.Solut ie. Pentru M ( r) E2 notam M

( r

) proiect ia ortogonala a punctului M pe dreapta d si M

( r

)simetricul lui M fat a de dreapta d. Deducem ca r + r

= 2 r

si exista t R astfel nc at r

= r0 +t v.Din condit ia MM

d se obt ine< r r0t v, v >= 0,de unde rezultat = < r r0, v >< v, v >.Rezulta ca ecuat ia vectoriala a simetriei este r

= 2_ r0 + < r r0, v >< v, v > v_ r. (2.25)Observat ie. Direct ia de proiect ie este data vectorul normal n al dreptei d. Ecuat iile simetriei se scriusub forma: r

= r 2< r r0, n >< n, n > n. (2.26)62 Capitolul 2Exercit iul 2.30 Sa se scrie ecuat iile simetriei ortogonale a planului euclidian E2 fat a de dreapta dataintr-un reper ortonormat prin ecuat ia x +y 2 = 0.Solut ie. Dreapta data trece prin punctul P (2, 0) si are vectorul normal n(1, 1) . Aplic and formulele(2.26) rezulta ca ecuat iile simetriei cerute sunt_ x

= y + 2y

= x + 2.Exercit iul 2.31 In planuleuclidian E2, in reperulortonormat R=(O, { e1, e2}) ,se considerapunctele A(1, 0), B(0, 1). Sa se determine izometriile planului care duc punctele A, O in puncteleO, B respectiv. Sa se determine elementele geometrice asociate acestor izometrii.Solut ie. Daca este o izometrie de tipul I, ecuat iile sale sunt de forma_ x

= xcos y sin +a1y

= xsin +y cos +a2.Din condit ia (A) = O rezulta a1 = 0, a2 = 1, iar din condit ia (O) = B se obt ine sin = 1,cos = 0. Ecuat iile izometriei se scriu_ x

= yy

= x + 1.Izometria este rotat ia planului de unghi = 32 , n jurul punctului x C_12, 12_.Daca este o izometrie de tipul II, ecuat iile sale sunt de forma_ x

= xcos +y sin +a1y

= xsin y cos +a2.Din condit iile (A) = O, (O) = B rezulta a1 = 0, a2 = 1, sin = 1, cos = 0, deci ecuat iileizometriei se scriu_ x

= yy

= x + 1.Izometria este produsul dintre simetria planului fat a de dreapta d si translat ia de vector u. Vectorulpropriu al operatorului liniar asociat lui , corespunzator valorii proprii = 1, este v (1, 1) . Rezultaca vectorul de translat ie este u = < v, O(O) > v2 v = 12 e1 + 12 e2.Axa de simetrie este denita de ecuat iax +y 12 = 0.Exercit iul 2.32 In planul euclidian E2, intr-un reper ortonormat cu originea in punctul O, se con-sidera punctele A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Sa se determine izometriile : E2 E2 care duc dreptele OAsi OB in dreptele OC si AC, respectiv. Interpretare geometrica.Solut ie. In reperul considerat avem OA : y = 0, OB : x y = 0, OC : x = 0, AC : x +y 1 = 0.Daca este o izometrie de tipul I, ecuat iile sale sunt de forma_ x

= xcos y sin +a1y

= xsin +y cos +a2.Din condit ia (OA) = OC rezulta ca pentru orice punct M (t, 0) OA avem(M)_t cos +a1, t sin +a2_ OC. Deducemt cos +a1= 0, () t R,APLICATII AFINE 63de unde_ cos = 0a1= 0.Din condit ia (OB) = AC se obt ine_ cos = 0a21 = 0.Rezulta sin = 1, cos = 0 si a1= 0, a2= 1. Se obt in solut iile1 :_ x

= yy

= x + 1si 2 :_ x

= yy

= x + 1.Izometria 1 este rotat ia planului de unghi = 2 n jurul punctului x C1_12, 12_, iar 2 este rotat iaplanului de unghi = 32 n jurul punctului C2_12, 12_.Daca este o izometrie de tipul II, ecuat iile sale sunt de forma_ x

= xcos +y sin +a1y

= xsin y cos +a2.Din condit ia (OA) = OC rezulta_ cos = 0a1= 0,iar din condit ia (OB) = AC se obt ine_ cos = 0a21 = 0.Rezulta sin = 1, cos = 0 si a1= 0, a2= 1. Se obt in solut iile3 :_ x

= yy

= x + 1si 4 :_ x

= yy

= x + 1.Izometria 3 este compunerea simetriei planului fat a de dreaptax y + 12 = 0cu translat ia de vector v_12, 12_, iar 4 este compunerea simetriei planului fat a de dreapta x+y12 = 0cu translat ia de vector u_12, 12_.Exercit iul 2.33 Sa se studieze transformarile ane ale planului euclidian E2 denite intr-un reperortonormat R = (O, { e1, e2}) prin ecuat iilea) 1 :_ x

= x + 2y

= y 4; b) 2 :_ x

= 35x 45y 85y

= 45x + 35y 45;c) 3 :_ x

= 45x 35y + 10y

= 35x + 45y 20.Solut ie. a) 1 este translat ia de vector v (2, 4) .b) Matricea asociata transformarii 2, A =_35 454535_ este ortogonala si det A = 1. Izometria2 este rotat ia planului de unghi = arccos 35, n jurul punctului x unic C (0, 2) .c) Matricea asociata transformarii 3 A =_ 45 3535 45_este ortogonala si det A = 1. Izometria3 este compunerea unei simetrii axiale a planului cu o translat ie. Vectorul u = e13 e2 este un vectorpropriu al matricei A corespunzator valorii proprii = 1. Vectorul de translat ie este v = 7 e121 e2,iar axa de simetrie are ecuat iax 51= y + 103.64 Capitolul 2Exercit iul 2.34 Fie d1, d2 doua drepte paralele din planul euclidian E2. Sa se arate ca prin com-punerea simetriilor planului fat a de cele doua drepte se obt ine o translat ie.Solut ie. Consideram un reper ortonormat Oxy astfel nc at axa Ox sa coincida cu dreapta d1. Relativla acest reper avemd1 : y = 0, d2 : y = , = 0.Simetria planului fat a de dreapta d1 are ecuat iileS1 :_ x

= xy

= yiar simetria planului fat a de dreapta d2 are ecuat iileS2 :_ x

= xy

= 2 y.Atunci S2 S1 are ecuat iileS2 S1 :_ x

= xy

= y + 2,deci S2 S1 este o translat ie de vector v (0, 2) .Exercit iul 2.35 Sa se arate ca translat ia de vector v a planului euclidian E2 este compunerea a douasimetrii axiale fat a de doua drepte paralele, perpendi-culare pe direct ia v, distant a dintre ele ind egalacu12 v .Solut ie. Fie Oxy un reper ortonormat n plan. Daca v_v1, v2_, drepteled1: v1x +v2y = 0,d2: v1x +v2y 12 v = 0,verica condit iile din enunt . In plus S2 S1 = t v.Exercit iul 2.36 Fie d1, d2 doua drepte din planul euclidian E2, care se intersecteaza intr-un punctO. Sa se arate ca prin compunerea simetriilor planului fat a de cele doua drepte se obt ine o rotat ie.Solut ie. Consideram un reper ortonormat Oxy astfel nc at axa Ox sa coincida cu dreapta d1. Relativla acest reper avemd1 : y = 0, d2 : xsint y cos t = 0, t (0, ) .Simetria planului fat a de dreapta d1 are ecuat iileS1 :_ x

= xy

= yiar simetria planului fat a de dreapta d2 are ecuat iileS2 :_ x

= xcos 2t +y sin2ty

= xsin2t y cos 2t.Atunci S2 S1 are ecuat iileS2 S1 :_ x

= xcos 2t y sin2ty

= xsin2t +y cos 2t,deci S2 S1 este rotat ia planului de unghi 2t n jurul punctului O.Exercit iul 2.37 Sa se arate ca rotat ia planului euclidian E2 de unghi in jurul punctului C se poateobt ine prin compunerea a doua simetrii axiale.APLICATII AFINE 65Solut ie. Fie R = Oxy un reper ortonormat n plan. Daca C(x0, y0), consideram drepteled1: y = y0,d2: (x x0) sin 2 + (y y0) cos 2 = 0.Simetria planului fat a de dreapta d1 are ecuat iileS1 :_ x

= xy

= 2y0yiar simetria planului fat a de dreapta d2 are ecuat iileS2 :_ x

x0 = (x x0) cos + (y y0) siny

y0 = (x x0) sin (y y0) cos .Atunci S2 S1 are ecuat iileS2 S1 :_ x

x0 = (x x0) cos (y y0) siny

y0 = (x x0) sin + (y y0) cos ,deci este rotat ia planului de unghi n jurul punctului C.2.4. AsemanariFie E unul din spat iile euclidiene punctuale E1, E2, E3 si E spat iul vectorial euclidian al vectorilorliberi corespunzator, si n = dimE, n {1, 2, 3}.Denit ia 2.13 Transformarea : E E se numeste asemanare de modul k daca ((P) , (Q)) = k (P, Q) , () P, Q E.Propozit ia 2.21 Daca : E E este o asemanare atunci se poate obt ine prin compunerea uneiizometrii cu o omotetie.In consecint a o asemanare a planului euclidian E2 este data intr-un reper ortonormat prin ecuat iide forma_ y1= k_x1cos x2sin_+a1y2= k_x1sin +x2cos _+a2(2.27)sau de forma_ y1= k_x1cos +x2sin_+a1y2= k_x1sin x2cos _+a2. (2.28)Orice asemanare care nu este izometrie are un punct x unic.Mult imea asemanarilor spat iului euclidian E formeaza grup in raport cu operat ia de compunere aaplicat iilor. Acest grup se noteaza cu Asem(E) . Evident Asem(E) este un subgrup al grupului anAff (E) .2.4.1. PROBLEMEExercit iul 2.38 Se considera transformarea ana : E2 E2, care in raport cu reperul cartezianortonormat R = (O, { e1, e2}) are ecuat iile_ x

= 8x y + 1y

= x + 8y.Se cere:a) Sa se arate ca este o asemanare.66 Capitolul 2b) Sa se studieze asemanarea .Solut ie. a) Se observa ca_ 8 11 8_=65_865 165165865_=65A.Matricea A este ortogonala si det A = 1. Rezulta ca este o asemanare care se descompune n rotat iaplanului n jurul unui punct si o omotetie de coecient65. Punctul x unic al lui este C_750,150_.Rotat ia are ecuat iile _ x

+750 =865_x +750_165_y 150_y

150 =165_x +750_+865_y 150_ ,iar omotetia are ecuat iile_ x

+750 =65_x +750_y

150 =65_y 150_ .Exercit iul 2.39 Se considera transformarea ana : E2 E2, care in raport cu reperul cartezianortonormat R = (O, { e1, e2}) are ecuat iile_ x

= x +y 1y

= x y + 2.Se cere:a) Folosind denit ia, sa se arate ca este o asemanare.b) Sa se studieze asemanarea .Solut ie. a) Daca P_x1, y1_, Q_x2, y2_avem(P) = P

_x1+y11, x1y1+ 2_,(Q) = Q

_x2+y21, x2y2+ 2_.Rezulta_P

, Q

_= _[(x1x2) + (y1y2)]2 + [(x1x2) (y1y2)]2= _2[(x1x2) + (y1y2)]2= 2 (P, Q).Deci este o asemanare de coecient k =2 a planului E2. Punctul x unic al lui este C (0, 1) .Matricea operatorului liniar asociat lui este_ 1 11 1_=2_121212 12_=2A.Deoarece det A = 1, transformarea este o asemanare data de produsul dintre o omotetie de centruC si de coecient 2 si simetria n raport cu o dreapta d care trece prin C si are direct ia data de unvector propriu a, corespunzator valorii proprii = 1. Obt inem a = e1 +_2 1_ e2. Astfel, ecuat iaaxei de simetrie estex1 =y 12 1,iar omotetia are ecuat iile_ x

=2xy

1 =2 (y 1).APLICATII AFINE 67Exercit iul 2.40 Sa se arate ca transformarea ana a planului euclidian E2 este o asemanare dacasi numai daca duce cercuri in cercuri.Solut ie. Daca este o asemanare de modul k > 0 atunci oricare ar cercul C (O; r) , imaginea saprin este cercul C ((O) ; kr) .Reciproc, presupunem ca transformarea duce cercuri n cercuri. Fie_ x = 11x

+12y

+b1y = 21x

+22y

+b2ecuat iile inversei transformarii (n raport cu reperul cartezian ortonormat R = (O, { e1, e2})). Dacapunctul M(x, y) descrie cercul de ecuat iex2+y2+ 2mx + 2ny +p = 0,atunci punctul M

(x

, y

) descrie curba C

de ecuat ie_(11)2+ (21)2_(x

)2+_(12)2+ (22)2_(y

)2+ 2_1112 +2122_x

y

++2_b111 +b221 +m11 +n21_x

+ 2_b112 +b222 +m12 +n22_y

++_b1_2+_b2_2+p = 0 .Curba C

este un cerc daca si numai daca(11)2+ (21)2= (12)2+ (22)2= k2, k R\{0}, (2.29)1112 +2122= 0.Fie , [0, 2) astfel ncat 11 = k cos , 21 = k sin, 12 = k cos , 22 = k sin. T in and seama deegalitat ile (2.29), obt inem = 2 sau = 32 , adica matricea asociata lui 1este de formaA1 = k_cos sinsin cos _ sau A2 = k_ cos sinsin cos _.Rezulta ca 1este o asemanare. Deci si este o asemanare.Exercit iul 2.41 Sa se arate ca daca o transformare bijectiva a planului euclidian E2 duce cercuri incercuri atunci ea este o transformare ana.Solut ie. Fie : E2 E2 o transformare bijectiva a planului care duce cercuri n cercuri si e A, B, Ctrei puncte an dependente (coliniare). Presupunem prin absurd ca imaginile A

, B

, C

ale punctelorA, B, C prin transformarea nu sunt coliniare. Atunci e cercul determinat de ele. Transformarea ind bijectiva, inversa sa 1duce, de asemenea, cercuri n cercuri. Deci 1() este un cerc caretrebuie sa cont ina punctele coliniare A, B, C. Contradict ie. Rezulta ca transformarea duce drepten drepte, deci este o transformare ana.