GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)

(ecuaciones de rectas y planos)NOMBRE: _________________________________

CDG:

1

1.- Expresar en las diferentes formas, las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(2,−3 ,5) y tiene como vector director a v⃗ (3 ,1 ,−4).

________________________________________________________________________________

2.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta (r )que pasa por el punto P(−5 ,−1 ,6) y es paralela a:

( s) x−52

= y+2−3

= z+7−4

________________________________________________________________________________

3.- ¿Existe algún valor de “ m” para el cual los puntos A (1 , m, 0 ) , B (m ,2 , 1 ) y C (−3 , 8 ,−1) estén alineados? si es así, calcular para dicho valor de “ m” la ecuación continua de la recta que los contiene.

________________________________________________________________________________

4.- Calcular las ecuaciones paramétricas y general del plano (π ) que pasa por el punto A(−1, 5 , 3) y tiene por vectores generadores a v⃗ (3 , 0 ,−2 ) y u⃗(1 ,−5 , 2).

________________________________________________________________________________

5.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos: A (−1 ,3 ,−2 ) , B (2 ,1 ,−3 ) y C (0 , 1, 0)

________________________________________________________________________________

6.- Calcular las ecuaciones paramétricas y general del plano (π ) que contiene a los puntos

A(1 ,−2 ,0) y B(2 , 3 ,1) y es paralelo a la recta (r ) de ecuaciones {x=−3+2 ty=5+ tz=6 t

________________________________________________________________________________

7.- Comprobar que los vectores a⃗ (1 , 1, 3 ) , b⃗ (−1 ,2 , 0 ) y c⃗ (1, 3 , 5) son linealmente dependientes y

hallar la ecuación del plano determinada por el punto P(−1 , 0 , 1) y los vectores b⃗ y c⃗ .

________________________________________________________________________________

8.- Calcular la ecuación general del plano (π ) que pasa por el punto A(3 ,−1 ,5) y es paralelo a las rectas:

(r ) x+13

= y+3−1

= z−2−4

( s) x−52

= y+11

= z−3−1

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(ecuaciones de rectas y planos)

NOMBRE: _________________________________CDG:

2

1.- Calcular la ecuación general del plano ( π ) que pasa por el punto A(3 ,2 ,−1), contiene al vector

v⃗ (0 ,−3 , 1) y es paralelo a la recta de ecuación { x=2+5 ty=−1−2t

z=3+t

________________________________________________________________________________

2.- Pasar a la forma reducida las rectas:

(r ) {2 x−3 y+z−1=0x− y+2=0

(s ) x+23

= y−4−2

= z−12

________________________________________________________________________________

3.- Pasar a la forma continua la recta (r )de ecuación: {x− y+z=0y−z=0

________________________________________________________________________________

4.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos: ( π1 ) x+ y−5 z=0

y ( π2 ) 3 x− y+2 z−1=0 .

________________________________________________________________________________

5.- Hallar la ecuación del plano (π ) que pasa por el punto A(−2, 1 ,−4) y es paralelo a las rectas:

(r ) {3 x+ y=04 x+ z=0

(s ){2 x−2 y−4=0y−z=−3

________________________________________________________________________________

6.- Calcular la ecuación general del plano (π ) que contiene al punto P(4 ,−1 ,−2) y a la recta:

(r ) x−12

= y−53

= z+3−4

________________________________________________________________________________

7.- Averiguar si los puntos A (1 ,0 ,2 ) , B (0 , 1 ,3 ) , C (−1 , 2 ,0 ) y D (2 ,−1 ,3 ) son coplanarios y en caso afirmativo, hallar la ecuación del plano que los contiene.

________________________________________________________________________________

8.- Hallar los puntos en los que el plano ( π ) 15 x+6 y+10 z=30 corta a los ejes de coordenadas.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(posiciones relativas)

NOMBRE: _________________________________CDG:

3

1.- Estudiar si las rectas (r ) y (s) son coplanarias y en caso afirmativo, calcular la ecuación del plano que las contiene.

(r ) x−21

= y+2−2

= z−1−1

( s ) x+32

= y−2−1

= z−1−1

________________________________________________________________________________

2.- Estudiar si las rectas cuyas ecuaciones se definen a continuación son o no coplanarias, y en su caso, calcular el punto de intersección.

(r ) {x=2 z+1y=3 z+2

( s ) { x=z+4y=2 z+7

________________________________________________________________________________

3.- Qué condición que tienen que cumplir los puntos A (1 ,0 ,1 ) , B (1 ,1 , 0 ) , C (0 , 1 ,1 ) y D (a , b , c) para que sean coplanarios?.

________________________________________________________________________________

4.- Determinar la posición relativa de las rectas: (r ) {x=z−1y=−z

y ( s) { x+ y+z+1=0x− y−z−1=0

________________________________________________________________________________

5.- Calcular el valor de “ a ”, para que las rectas (r ) y (s) se corten. ¿Pueden ser coincidentes?

(r ) { x=1+4 ty=−1+3 tz=−4+5 t

( s ) x−32

= y−3−1

= z+a2

________________________________________________________________________________

6.- Hallar para que valor de “ m” se cortan las rectas (r ) y (s):

(r ) x−12

= y+13

= z−45

( s ) {x+2 y+z−m=02 x− y−z+2=0

________________________________________________________________________________

7.- Dadas las rectas:

(r ) {x+ y−z+3=0−2 x+z−1=0

y ( s ) x+11

= y−3n

= z2

a) Hallar “ n” para que las rectas (r ) y (s) sean paralelas.b) Para el valor de “ n” obtenido, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(posiciones relativas)

NOMBRE: _________________________________CDG:

4

1.- Estudiar la posición relativa de la recta (r ) definida por {x=−1+3 ty=2+tz=2 t

y el plano determinado

por los puntos: A (1 ,2 , 3 ) , B (2 , 0 ,1 ) y C(1 , 4 ,3).

________________________________________________________________________________

2.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3 ,1 , 2) y es paralela a la recta que

determinan los planos: ( π1 ) x−2 y+3 z−4=0 y (π 2) 2 x+ y−2 z−1=0

________________________________________________________________________________

3.- Sean las rectas: (r ) {x=2 z+ py=−z+3

y ( s ){x=−z+1y=2 z+q . Hallar la condición que deben

cumplir “ p ” y “ q ”, para que ambas rectas estén contenidas en un plano.

________________________________________________________________________________

4.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1 , 1, 2), y se apoya en las rectas:

(r ) x−13

= y2= z−1

−1( s) x

2= y

1= z+1

2

________________________________________________________________________________ 5.- Calcular las ecuaciones de la recta paralela al vector v⃗ (1, 2 , 3) y que corte a las rectas:

(r ) x−12

= y+23

= z1

( s) {x=2 z+1y=−z+2

________________________________________________________________________________

6.- Demostrar que las rectas (r ) y (s) se cruzan y calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1 , 2 ,−1) y se apoya en ambas.

(r ) x−23

= y2= z+1

−2(s ) { x+ y+z=1

−x+ y+2 z=1

________________________________________________________________________________

7.- Discutir según los valores del parámetro real m la posición relativa de los 3 planos siguientes:

( π1 ) x+z=m

( π2 ) 4 x+(m−2 ) y+(m+2 ) z=m+2

( π3 ) 2 (m+1 ) x−(m+6 ) z=−m

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(producto escalar - perpendicularidad)

NOMBRE: _________________________________CDG:

5

1.- Calcular la ecuación del plano, que corta al eje OX en el punto de abscisa 3 y que es perpendicular a la recta:

x−22

= y−13

= z−4−1

________________________________________________________________________________

2.- Calcular la ecuación del plano ( π ), que pasando por el punto P(0 , 0 , 1), sea perpendicular a los

planos: ( π1 ) x+ y−z=0 y ( π2 )2 x− y+3 z=0

________________________________________________________________________________

3.- Hallar la ecuación del plano (π ), que es perpendicular al plano de ecuación ( π1 ) x− y+z=0

y que contiene a la recta (r ) de ecuación:x−1

2=1− y

3= z+1

−1 ________________________________________________________________________________

4.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por P(2 ,−1 , 1) corta perpendicularmente a la recta (r ) :

(r ) x−22

= y−12

= z1

________________________________________________________________________________

5.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto P(1 ,−1 , 2) y se apoya perpendicularmente

en la recta: (r ) {x−2 y+z=12 x+z=0

________________________________________________________________________________

6.- Sea el punto A(1 , 1 ,3) y la recta (r ) { x=ty=2+tz=2t

. Hallar la ecuación del plano perpendicular a la

recta (r ) y que pase por el punto A. Calcular la intersección del plano calculado con la recta (r ) .

________________________________________________________________________________

7.- Dadas las rectas:(r ) ¿

a) Calcular a y b para que ambas rectas sean ortogonales y además coplanarias.b) Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas (r ) y (s¿ para los valores de a y b

calculados en el anterior apartado.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(producto vectorial y mixto)

NOMBRE: _________________________________CDG:

6

1.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1 , 2 ,−1), es paralela al plano

2 x+ y−z=3 y perpendicular a la recta de ecuación: { x=3−ty=2+t

z=1−3 t

________________________________________________________________________________

2.- Hallar la ecuación de un plano que contiene a la recta (r ) { x=1−ty=2+t

z=−1+2 t y es paralelo a la recta

( s ) x−12

= y−31

= z+12

________________________________________________________________________________

3.- Hallar la ecuación del plano (π1) que pasa por el punto A(1 , 0 ,−1) , es perpendicular al plano

( π ) x− y+2 z+1=0 y paralelo a la recta (r ) {x−2 y=0z=1

________________________________________________________________________________

4.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(−1 , 1 ,0), y es perpendicular a las dos rectas:

(r ) {y=0x=z

( s ) {x+3 y=2y−z=1

________________________________________________________________________________

5.- Dadas las rectas (r ) ( x , y , z )=(5 ,−2 , 3 )+t (1 , 0 ,−1 ) y (s ){x=3+ty=tz=1

, se pide:

a) Estudiar la posición relativa.b) En el caso de que se crucen, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas.

________________________________________________________________________________

6.- Dados el punto P(−1 , 0 , 2) y las rectas (r ) { x−z=1y−z=−1

y (s ){x=1+ty=tz=3

, se pide:

a) Determinar la posición relativa de (r ) y (s).b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y corta a (r ) y (s).c) Calcular la ecuación de la recta perpendicular común a (r ) y (s).

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN) (producto vectorial y mixto)

NOMBRE: _________________________________CDG:

7

1.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1 , 2 ,3) , B(1 ,1 , 1) y C (0 , 2, 1) y calcular el área del triángulo ABC.

________________________________________________________________________________

2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1 , 0 ,1) y es paralelo a las rectas:

(r ) x−21

= y−11

= z3

(s ){ x=ty=2−tz=t−1

________________________________________________________________________________

3.- Hallar las ecuaciones de la recta (s) que pasa por el punto P(1 , 2 ,0) y es perpendicular al plano que contiene a las rectas:

(r1 ) { x=2 z+3y=−z+4

(r2 ) {x=2 z+5y=−z+1

________________________________________________________________________________

4.- Un triángulo tiene dos de sus vértices en los puntos A(0 ,0 ,0) y B(1 ,1 , 1) y el tercer vértice C

está situado en la recta (r ) {x=2 yz=1 . Calcular las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que el

área del triángulo ABC es de √22

u2.

________________________________________________________________________________

5.- Hallar la ecuación de la recta (r ), que pase por el punto P(−1 , 0 , 2) , que sea paralela al plano (π ) y perpendicular a la recta (s) .

( s ) x2= y+1

3= z

1( π ) { x=2+λ

y=μz=1+2 λ−2 μ

________________________________________________________________________________

6.- Dados los puntos P1 (1 , 3 ,−1 ) , P2 ( a ,2 , 0 ) , P3 (1 , 5 , 4 ) y P4(2 , 0 ,2) , se pide:

a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices P1 , P2 , P3 y P4 tenga de volumen 7.

________________________________________________________________________________

7.- Hallar el volumen del tetraedro, que tiene un vértice en el origen de coordenadas y los otros tres en las intersecciones del plano ( π ) 2 x+3 y+7 z=24 con las rectas:

(r1 ) x= y=z (r2 ) {y=0z=0

(r 3) {x=0z=0

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(distancias y ángulos)

NOMBRE: _________________________________CDG:

8

1.- Dados los planos ( π1 ) 3 x+4 y−1=0 y ( π2 ) 4 x−3 z−1=0, hallar un punto de la recta

(r ) que equidiste de ambos planos.

(r ) x−12

= y+13

= z+22

________________________________________________________________________________

2.- a) Hallar el punto P en el que se cortan la recta (r ) y el plano (π ). b) Hallar los puntos A y B contenidos en la recta (r ) y cuya distancia al plano (π ) es igual a 1.

(r ) x−12

= y+13

= z2

( π ) x+2 y+2 z=0

________________________________________________________________________________

3.- Hallar las ecuaciones de la recta (r ), que pasa por el punto P(−1 , 2 ,3) y que es paralela a la recta

( s) {x=3 z+2y=4 . Hallar las distancias del punto P a las rectas (r ) y (s) y la distancia entre ambas.

________________________________________________________________________________

4.- Sean la recta (r ) {x=−1−ty=−tz=2 t

y el plano (π ) 2 x−3 y+ z+1=0 .

a) Calcular el ángulo que forman la recta (r )y el plano (π ).b) Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de (r ) sobre (π ).

________________________________________________________________________________

5.- Dados los planos de ecuaciones: ( π1 ) 3 x−4 y+5=0 y (π 2) 2 x−2 y+ z+9=0a) Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos planos.b) ¿Qué puntos del eje Y equidistan de ambos planos?.

________________________________________________________________________________

6.- Se considera el tetraedro cuyos vértices son A (1 ,0 ,0 ) , B (1 , 1 ,1 ) , C (−2 , 1, 0 ) y D(0 , 1, 3).

a) Hallar el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD.b) Calcular la distancia del punto D al plano determinado por los puntos A, B y C .

________________________________________________________________________________ 7.- Hallar los puntos de la recta (r ) cuya distancia al plano (π ) es igual a uno, siendo:

(r ) x−42

= y−1−1

= z−23

(π )2 x+ y−2 z−7=0

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (CCNN)(proyección ortogonal, simetrías y esferas)

NOMBRE: __________________________________CDG:

9

1.- Calcular el área del triángulo de vértices A1 , B1 y C 1 , proyección ortogonal del triángulo de vértices A (1 ,1 , 1 ) , B (1, 1 , 2 ) y C (1 ,2 , 1 ) sobre el plano ( π ) x+ y+z=1 .

________________________________________________________________________________

2.- Por el punto medio del segmento de extremos P(3 , 1 ,5) y Q(−1 , 7 , 3) se traza un plano normal a su dirección. Sean A, B y C los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas. Calcular:

a) El área del triángulo ABC.b) La longitud de la proyección del vector A⃗Bsobre la dirección de la recta que pasa por A y C .

________________________________________________________________________________

3.- Sean los puntos P(8 , 13 , 8) y Q(−4 ,−11 ,−8). Se considera el plano (π ) , perpendicular al segmento PQ y que pasa por su punto medio.

a) Obtener la ecuación del plano (π ).b) Calcular la proyección ortogonal del punto O(0 , 0 , 0) sobre el plano (π ).c) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano (π ) corta a los

ejes coordenados y al origen de coordenadas.

________________________________________________________________________________ 4.- Dado el punto P(2 , 1 ,−1) , se pide:

a) Hallar el punto P' simétrico de Prespecto del punto Q(3 , 0 , 2).b) b) Hallar el punto P' ' simétrico de P respecto de la recta (r ) x−1= y−1=z.c) Hallar el punto P' ' ' simétrico de P respecto del plano ( π ) x+ y+z=3

________________________________________________________________________________

5.- a) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2 , 1, 1) y que pasa por el punto P(4 , 6 , 2) ,

con la superficie esférica de centro C (1 ,2 ,−1) y radio √26. b) Hallar la distancia del punto Q(−2 , 1 ,0) a la recta (r ) de ecuación:

x−12

= y+2= z−32

___________________________________________________________________________________

6.- Dados el punto P(1 , 2 ,−1)y el plano ( π ) x+2 y−2 z+2=0 y siendo S la esfera que es tangente al plano (π ) en el punto P' de modo que el segmento P P ' es uno de sus diámetros, se pide:

a) Hallar las coordenadas del punto de tangencia P'.b) Hallar la ecuación de la esfera S.