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Geometría Analítica II Tarea 4 Fecha de entrega: martes 3 de Octubre 1. ¿Cómo son los círculos en la esfera? Es decir, ¿cómo son los conjuntos {x ∈ S 2 |d S 2 (u, x)= r} con u ∈ S 2 ﬁjo (el centro del círculo) y r> 0 constante (el radio)?. 2. Demuestra que para cualquier par de puntos u, v ∈ S 2 se tiene que d S 2 (u, v)+ d S 2 (u, -v)= π. 3. Sean ξ y ζ dos líneas esféricas. Demuestra que son ortogonales (i.e. que ang(ξ,ζ )= π 2 con cualquier orientación que se les dé a las líneas) si y sólo si ξ ⊥ ⊂ ζ , donde ξ ⊥ denota al par antípoda polar a ξ cuando ésta no tiene orientación preferida. 4. Demuestra que por cualquier punto u ∈ S 2 se puede trazar una línea ortogonal a una línea dada ξ ; y que además ésta es única si y sólo si u no es polar de ξ . 5. Sean ξ 1 y ξ 2 dos líneas esféricas ortogonales. Demuestra que hay una única línea ξ 3 ortogonal a ambas. ¿Usaste el hecho de que fueran ortogonales? 6. Sean u y v dos puntos no antípodas en S 2 . Demuestra que la línea por u y v es (u ⊥ ∩ v ⊥ ) ⊥ , dándole sentido a este abuso de notación. 7. ¿Cuál es el máximo valor de la suma de los ángulos internos de un triángulo esférico? Da ejemplos de triángulos que se aproximen tanto como uno quiera a este valor. 8. Demuestra que hay tres tipos de triángulos esféricos regulares (con sus tres ángulos iguales) con ángulo de la forma 2π n . En cada caso, ¿con cuántos de ellos se cubre la esfera? 9. Demuestra que en un triángulo (esférico, se sobreentiende) sus tres ángulos son iguales si y sólo si sus tres lados son iguales. Tales triángulos se llaman regulares o equiláteros. ¿Cuántos de ellos hay? ¿Puedes parametrizarlos? ¿Por su ángulo? ¿Por su lado? ¿Por su radio? ¿Puedes dar las fórmulas que relacionan estos parámetros? 10. Demuestra que si un triángulo tiene dos ángulos iguales entonces sus lados opuestos son iguales. E inversamente, si tiene dos lados iguales, los ángulos opuestos son iguales. A estos triángulos se les llama isósceles. 11. Demuestra que la línea que va del vértice distinto de un triángulo isósceles al punto medio de su lado opuesto es perpendicular a éste. Al segmento en cuestión se le llama la altura del triángulo. 1

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Geometría Analítica II

Tarea 4

Fecha de entrega: martes 3 de Octubre

1. ¿Cómo son los círculos en la esfera? Es decir, ¿cómo son los conjuntos{x ∈ S2|dS2(u, x) = r} con u ∈ S2 fijo (el centro del círculo) y r > 0constante (el radio)?.

2. Demuestra que para cualquier par de puntos u, v ∈ S2 se tiene quedS2(u, v) + dS2(u, −v) = π.

3. Sean ξ y ζ dos líneas esféricas. Demuestra que son ortogonales (i.e. queang(ξ, ζ) = π

2 con cualquier orientación que se les dé a las líneas) si y sólosi ξ⊥ ⊂ ζ, donde ξ⊥ denota al par antípoda polar a ξ cuando ésta no tieneorientación preferida.

4. Demuestra que por cualquier punto u ∈ S2 se puede trazar una líneaortogonal a una línea dada ξ; y que además ésta es única si y sólo si u noes polar de ξ.

5. Sean ξ1 y ξ2 dos líneas esféricas ortogonales. Demuestra que hay una únicalínea ξ3 ortogonal a ambas. ¿Usaste el hecho de que fueran ortogonales?

6. Sean u y v dos puntos no antípodas en S2. Demuestra que la línea por uy v es (u⊥ ∩ v⊥)⊥, dándole sentido a este abuso de notación.

7. ¿Cuál es el máximo valor de la suma de los ángulos internos de un triánguloesférico? Da ejemplos de triángulos que se aproximen tanto como unoquiera a este valor.

8. Demuestra que hay tres tipos de triángulos esféricos regulares (con sus tresángulos iguales) con ángulo de la forma 2π

n . En cada caso, ¿con cuántosde ellos se cubre la esfera?

9. Demuestra que en un triángulo (esférico, se sobreentiende) sus tres ángulosson iguales si y sólo si sus tres lados son iguales. Tales triángulos se llamanregulares o equiláteros. ¿Cuántos de ellos hay? ¿Puedes parametrizarlos?¿Por su ángulo? ¿Por su lado? ¿Por su radio? ¿Puedes dar las fórmulasque relacionan estos parámetros?

10. Demuestra que si un triángulo tiene dos ángulos iguales entonces sus ladosopuestos son iguales. E inversamente, si tiene dos lados iguales, los ángulosopuestos son iguales. A estos triángulos se les llama isósceles.

11. Demuestra que la línea que va del vértice distinto de un triángulo isóscelesal punto medio de su lado opuesto es perpendicular a éste. Al segmentoen cuestión se le llama la altura del triángulo.

Page 2: Geometría Analítica II - Cloud Object Storagea Analítica II Tarea 4 Fecha de entrega: martes 3 de Octubre 1. ¿Cómo son los círculos en la esfera? Es decir, ¿cómo son los conjuntos

12. Demuestra que el lugar geométrico de los puntos (en S2, se sobreentiende)que equidistan de dos puntos dados es la línea perpendicular al segmentoque los une y que pasa por su punto medio. Se le llama la mediatriz.

13. ¿Puedes dar una cota superior para la suma de los lados de un triángulo?La inferior es 0.