Gelombang Review
-
Upload
putu-atmaka-predhana -
Category
Documents
-
view
8 -
download
1
Transcript of Gelombang Review
![Page 1: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/1.jpg)
Jika θ kecil, cos θ dapat didekati dengan (lihat Bab 3)
cos 〖θ ≅ 1-1/2 θ ^ 2〗
Kemudian
h ≅ 1/2 lθ ^ 2
dan energi potensial menjadi
PE + mgh = Mg 1/2 θ ^ 2 = 1/2 Mglθ_0 ^ 2 〖cos〗 ^ 2 ωt
Mengingat ω ^ 2 = g / l kita menemukan
K.E + P.E = 1/2 Mglθ_0 ^ 2 (konstsn)
Sistem rotasi Inertial
Keseimbangan roda (gambar 1.9) di arloji berosilasi tentang pusat. Sebuah pegas yang terhubung ke roda keseimbangan menyediakan memulihkan torsi daripada memulihkan kekuatan, dan rotasi inersia dari kestabilan kemudi memainkan peran inersia massa (inersia rotasi) dalam sistem massa-pegas.
Biarkan momen inersia keseimbangan roda akan saya (kg.m2) dan torsi memulihkan disediakan oleh musim semi menjadi
gambar
Dimana k, adalah konstanta (torsi konstan, Nm) yang memainkan peran yang sama sebagai konstanta pegas dalam sistem massa-pegas dan θ adalah sudut rotasi dari roda keseimbangan diukur dari keseimbangan (nol torsi) posisi sudut.
Gambar
Karena persamaan gerak untuk sistem rotasi diberikan oleh
Gambar
Dimana I adalah momen inersia, kita menemukan
Gambar
Ini lagi identik dalam bentuk matematika untuk Pers. (1.7) Frekuensi osicillation kemudian diberikan oleh
Gambar
Anda harus memeriksa bahwa √ (k_τ / I) memang memiliki dimensi frekuensi.
![Page 2: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/2.jpg)
Contoh 6. Sebuah seragam tongkat lurus yang memiliki panjang l (m) dan M massa (kg) secara bebas diputar di salah satu ujung seperti ditunjukkan pada Gambar 1.10. Cari frekuensi osilasi tentang poros, dengan asumsi sudut θ kecil.
Gambar
Torsi memulihkan bertindak pada tongkat adalah
Gambar
Oleh karena itu, Mgl / 2 memainkan peran memulihkan torsi konstan k, disediakan | θ | «1 (ingat sin θ ≅ θ jika | θ |« 1). Momen inersia tentang ujung tongkat adalah
Gambar
Kemudian
Gambar
1.5. osilasi elektromagnetik
Kami belajar di kelas pada listrik dan magnet thet LC (induktansi dan kapasitansi) rangkaian berosilasi dengan frekuensi sudut
Gambar
Meskipun besaran fisik kita memperlakukan osilasi elektromagnetik sangat berbeda dengan yang ada di osilasi mevhanical, konsep dasar osilasi mekanisme yaitu, melempar energi menchanism-tetap sama. Alih-alih energi kinetik dan potensial dalam sistem massa-pegas, kita sekarang memiliki energi listrik dan magnetik yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor, masing-masing.
Pertimbangkan sebuah kapasitor dibebankan pada biaya q_0 (coulomb) tiba-tiba terhubung ke L induktor (gbr. 1.11). Biaya awalnya disimpan dalam Capasitor cenderung toflow terhadap induktor dan menciptakan arus di sepanjang sirkuit. Tegangan kapasitor.
Gambar
Dan yang melintasi induktor adalah
Gambar
Kemudian tegangan Teorema Kirchhoff membutuhkan
Gambar
Karena kita telah memilih arah yang sesuai saat ini untuk sebuah kapasitor pemakaian, kita memiliki
Gambar
![Page 3: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/3.jpg)
Dengan mensubstitusi persamaan (1.34) ke Persamaan (1.33), kita menemukan persamaan diferensial berikut untuk biaya q (t),
Gambar
Ini lagi matematis indetical ke Persamaan (1.7) untuk sistem massa-pegas dan kami segera menemukan bahwa sirkuit LC akan berosilasi dengan frequensi
Gambar
Karena kapasitor memiliki muatan q_0 awal, persamaan untuk menggambarkan muatan instan harus dipilih sebagai
Gambar
Menggunakan Persamaan (1.34) I saat ini (t) karena
gambar
Oleh karena itu energi listrik yang tersimpan dalam kapasitor
Gambar
Dan energi magnetik yang tersimpan dalam induktor adalah
Gambar
Mengingat, kita menemukan bahwa jumlah energi keduanya adalah costant.
Gambar
Dan sama dengan energi listrik awal yang tersimpan dalam kapasitor.
Kapasitor dan pertukaran energi induktor berkala sebagai massa dan pegas lakukan, dan kita melihat thet mekanisme ini melempar energi umum untuk setiap jenis osilasi, mekanik atau elektromagnetik.
Gambar
Contoh 7. Dalam rangkaian LC ditunjukkan pada Gambar 1.12 saklar S ditutup untuk waktu yang lama. Kemudian saklar dibuka pada t = 0. Cari ungkapan untuk arus mengalir di sirkuit LC dan muatan pada kapasitor.
Arus awal yang mengalir melalui induktor adalah
Gambar
Kemudian saat memilih jam bijaksana digambarkan oleh
Gambar
![Page 4: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/4.jpg)
Dimana
Gambar
Muatan pada pelat bawah dari kapasitor diberikan oleh
Gambar
Perhatikan thet kondisi awal dalam contoh ini berbeda dari yang di gambar 1.11
1.6 Ayunan Teredam
Sejauh ini kita telah mempertimbangkan kasus ideal di mana disipasi energi dapat benar-benar
diabaikan. Sebagai contoh, dalam sistem pegas massa. Kami berasumsi bahwa lantai di mana
massa ditempatkan adalah gesekan. Juga, di sirkuit LC. Kami mengabaikan perlawanan di
sirkuit. Kami mengabaikan perlawanan di sirkuit. Kedua gesekan mekanik dan ketahanan listrik
menimbulkan disipasi energi, dan osilasi tidak bisa terus selamanya. Tapi akhirnya harus
teredam. Energi Osilasi diubah menjadi panas secara ireversibel atau menjadi radiasi.
Pertimbangkan sekarang kapasitor C dengan muatan qo tiba-tiba terhubung ke sebuah
induktor L melalui perlawanan terbatas R (gambar 1.13). Menggunakan tegangan teorema
Kirchhoff, kita menemukan
qC
=Ri+ Ldidt
Mengingat kembali
I = - dq/dt
Kita sekarang memiliki persamaan diferensial berikut untuk biaya q (t)
d2qdt2 + R
Ldqdt
+ 1LC
q=0
Dalam batas R-0 (nol perlawanan), kita memang pulih Pers. (1.35)
Memecahkan Persamaan. (1.41) tidak lurus ke depan karena kehadiran dari turunan orde
![Page 5: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/5.jpg)
pertama. Namun, dengan tidak adanya induktansi kita tahu bahwa muatan pada kapasitor yang
teredam secara eksponensial,
q(t)=qoe-t/RC,
Dimana RC adalah waktu konstan. Oleh karena itu, kita dapat berharap bahwa solusi untuk
Persamaan. (1.41) adalah kombinasi dari fungsi berosilasi dan fungsi eksponensial, dan kita
asumsikan
q(t) = qoe-st cos wt,
Dimana 7 adalah konstanta redaman yang akan ditentukan. Bentuk sebelumnya larutan. Namun,
ini hanya berlaku untuk kasus redaman lemah sehingga 7 << w. Kasus umum akan diberikan
sebagai masalah bab ini. Juga dalam bab 13, masalah yang sama akan diselesaikan dengan
metode transformasi Laplace.
Perhatikan bahwa solusi untuk q(t) diberikan oleh Persamaan. (1.43) memenuhi kondisi awal
q(0)=qo
KIta sekarang menghitung dq/dt and d2q/dt2 (ini berasal):
dqdt
=qo¿-vt
d 2qdt 2
=qo¿-vt
Mensubstitusi Pers. (1.44) dan (1.45) ke dalam Pers. (1.41) dan menghilangkan faktor umum qo
dan e-vt, kita menemukan
(γ 2−ω2−RL
γ+ 1LC
¿ cos ωt+(2 γω−RL
ω)sin ωt=0,
Yang harus terus setiap saat. Kemudian koefisien cos wt dan sin wt harus identik dengan nol,
γ 2 – ω2 – RL
γ + 1LC
=0
![Page 6: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/6.jpg)
2γ - RL
=0
Dari ini kita menemukan
γ=R
2 L,ω=
1
√LC,
Dimana dalam Pers. (1.47) kita telah mengabaikan istilah yang mengandung γ, karena kita telah
mengasumsikan γ ≪ω
Fungsi q(t)=qoe-vt cos wt secara kualitatif ditunjukkan pada Gambar. 1.14. The teredam osilasi
dibatasi antara dua kurva ±qoe-vt, yang disebut enyelopes. Perlu ditekankan lagi topi solusi yang
kami temukan adalah benar hanya untuk kasus redaman kecil, γ ≪ω, atau, sama,
R≪√ LC
Contoh 8. Dalam sistem osilasi massa-pegas, asumsikan terdapat kecil tapi terbatas gaya gesekan
antara massa dan lantai, yang sebanding dengan dia kecepatan massa,
Ffriction = - fv = -∫ dxdt
Dimana f adalah konstanta. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial untuk perpindahan x (t)
secara matematis identicial untuk Pers. (1,41) dan menemukan kondisi osilasi teredam lemah.
Persamaan gerak untuk massa yang sekarang diberikan oleh
Md2 xdt2 =−kx−∫ dx
dt
Atau
d2 xdt2 + f
Mdxdt
+ kM
x=0
Membandingkan hal ini dengan Persamaan. (1.41), kita melihat bahwa jika substitusi berikut
dibuat
x→ q , M → L , f → R ,k →1C
,
Kedua persamaan adalah identik.
![Page 7: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/7.jpg)
Kondisi untuk osilasi teredam lemah
R≪√ LC
Dengan demikian dapat diterjemahkan sebagai
f ≪√kM
1.7 Ayunan Terpaksa
Dalam bagian sebelumnya kami menemukan beberapa frekuensi osilasi muncul dalam
kedua sistem mekanik dan electromagneti. Mereka frekuensi osilasi (w = k / m, dll) juga secara
khusus disebut alam (atau resonansi) frekuensi, karena mereka muncul ketika sistem oscillaton
dibiarkan, atau terisolasi dari kekuatan pendorong eksternal. Kedua sistem mekanik dan
elektromagnetik, bagaimanapun, dapat dipaksa untuk frekuensi oscillatenwith selain frekuensi
alami.
Sebuah contoh typicial osilasi paksa ini adalah rangkaian ac, di mana sebuah generator
berosilasi dengan frekuensi sudut w mengendarai arus melalui L, C, elemen R (Gambar 1.15).
Meskipun ada resistor R di sirkuit, arus i (t) tidak lembab, berbeda dengan kasus yang kami
pelajari dalam bagian 1.6 karena generator dapat terus memberi makan energi untuk
mengimbangi jumlah energi yang dihamburkan dalam resistor.
Arus yang mengalir dalam rangkaian akan mencapai osilasi stabil dengan frekuensi w
yang sama setelah tahap transien selesai. Seperti yang telah kita pelajari dalam ac sirkuit teori,
amplitudo arus diberikan oleh
lo= Vo
√R2+¿¿¿
Ini memakan waktu maksimal ketika
ωL= 1ωC
∨ω= 1
√ LC
Seperti ditunjukkan dalam Gambar. 1.16. Frekuensi ditentukan dari 1 / √ LC demikian tepat
disebut frekuensi resonansi, di mana transfer energi dari generator ke resistor dapat dicapai
secara efisien. Dalam sistem osilasi mekanik, fenomena resonansi yang sama dapat ditemukan.
![Page 8: Gelombang Review](https://reader036.fdocument.org/reader036/viewer/2022082711/55cf9b76550346d033a62832/html5/thumbnails/8.jpg)
Ketika seseorang mendorong ayunan, dia secara alami cocok frekuensi nya mendorong dengan
frekuensi alami atau resonansi ayunan.