Fundamentos Matematicos IV

download Fundamentos Matematicos IV

of 28

  • date post

    16-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    38
  • download

    0

Embed Size (px)

description

Fundamentos Matematicos IV. Clase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver. Programacion Lineal. Una funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b. Tang( α )=a. b. En general, las funciones lineales no estan acotadas. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Fundamentos Matematicos IV

  • Fundamentos Matematicos IVClase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver

  • Programacion LinealUna funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b.bTang()=a

  • En general, las funciones lineales no estan acotadas.Si la funcion esta acotada, el maximo y el minimo estaria en alguno de sus extremos.Region Factible

  • Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y 7x+y 8x + y2x 0,y 0

    Generalizacion a funciones de varias variables:Y 7

  • Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y 7x+y 8x + y2x 0,y 0

    Generalizacion a funciones de varias variables:Y 7

  • Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y 7x+y 8x + y2x 0,y 0

    Generalizacion a funciones de varias variables:Y 7

  • Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y 7x+y 8x + y2x 0,y 0

    Generalizacion a funciones de varias variables:Y 7

  • Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y 7x+y 8x + y2x 0,y 0

    Generalizacion a funciones de varias variables:Y 7(8,0)(1,7)(0,7)(0,2)(2,0)

  • Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y 7x+y 8x + y2x 0,y 0

    Generalizacion a funciones de varias variables:Y 7(8,0)(1,7)(0,7)(0,2)(2,0)f(1,7)=22f(0,7)=21f(8,0)=8f(0,2)=6f(2,0)=2MaxMin

  • Ejemplo B: Dada la funcion B(x,y)=3x+8y con las restricciones x+y 3 2x+y 5 0 x, 0 yDeterminar cual de los siguientes puntos pertenece a la region factible y calcular es el valor de la funcion B: (1,1),(1,4),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(3,3),(6,6).Encontrar el valor maximo de la funcion B sobre las restricciones del problema.(1,1) pertenece ya que 1+1 3 y 2+1 5, B(1,1)=11(1,4) NO pertenece ya que 1+4 no es menor que 3(1,a) pertenece cuando 0 a 2 y el valor es 3 + 8a(2,1) pertenece ya que 2+1 3 y 4+1 5, el valor es 14(2,2) no pertenece ya que 2+2 no es menor que 3(2,a) pertenece cuando 0 a 1 y el valor es 6 +8a(3,3) no pertenece ya que 3+3 no es menor que 3(6,6) no pertenece ya que 6+6 no e menor que 3

  • x+y 3 2x+y 5 0 x, 0 y(0,3)(3,0)(2,1)(5/2,0)(0,5)(0,3)24(2,1)14(2.5,0)7,5Maximizar B(x,y)=3x+8y

  • Una planta Industrial tiene tres tipos de maquinas M1, M2 y M3 que fabrican dos productos Pr1 y Pr2. Para producir una unidad de Pr1 se necesitan 2 horas de M1, 1 hora de M2 y 1 hora de M3. Para producir una unidad de Pr2 se necesita una hora de M1,1 hora de M2 y 3 horaw de M3. Si el numero de horas disponibles de M1 es 70, de M2 es 40 y de M3 es 90 y el beneficio de Pr 1 es 40 euros y el de Pr2 es 60 euros. Cual es el numero de unidades de Pr1 y Pr2 que se necesitan para maximizar el beneficio?Problema 1:Maximizar X1*40+X2*60

    2*X1+X2 701*X1+X2 401*X1+3*X2 90

  • Maximizar X1*40+X2*60

    2*X1+X2 701*X1+X2 401*X1+3*X2 90(30,10)(35,0)(15,25)(0,30)(0,0)(0,30)->1800(15,25)->2100(30,10)->1800(0,0)->0(35,0)->1400

  • Problema 2Un fabricante de juegos produce dos juegos (Zip y Zap). El margen de los beneficios es de 30 euros y del segundo es 20 euros. Zip requiere 6 horas de elaboracion, 4 de ensamblaje y 5 de embalaje. Zap requiere 3 horas de elaboracion, 6 de ensamblaje y 5 de embalaje. Si se disponen de 54 horas de elaboracion, 48 de montaje y 50 de embalaje, Cuantas unidades de cada juego se deben producir para obtener el maximo beneficio?Maximixar X1*30+X2*206*X1 +3*X2 544*X1 +6*X2 485*X1 +5*X2 50

  • Maximixar X1*30+X2*206*X1 +3*X2 544*X1 +6*X2 485*X1 +5*X2 50(0,8)(6,4)(8,2)(9,0)(0,8)->160(6,4)->260(8,2)->280(9,0)->270(0,0)->0

  • El metodo Simplex de optimizacionImaginemonos que queremos maximizar Z= 3x+5ySujeto a x42y 122x+3y 180 x,0 y(0,6)(2,6)(0,0)(4,3)(4,0)

  • (0,6)(2,6)(0,0)(4,3)(4,0)Empezamos en (0,0) y miramos si la funcion crece cuando nos desplazamos por alguna de las dos aristas que son incidentes a (0,0)

  • (0,6)(2,6)(0,0)(4,3)(4,0)Iteracion 1:Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 0,6)

  • (0,6)(2,6)(0,0)(4,3)(4,0)Iteracion 2:Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 2,6)

  • Maximizar Z=2x1+4x2-x3 con las restricciones3x2-x3 302x1-x2+x3 104x1+2x2-2x3 400 x1, 0 x2, 0 x3Primer Paso: Construir la matriz ampliadaZ-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Ejemplo Simplex:

  • Segundo Paso: Construir la tabla asociada a lamatriz ampliadaZ-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30X5 0 2 -1 1 0 1 0 10X6 0 4 2 -2 0 0 1 40

  • Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30X5 0 2 -1 1 0 1 0 10X6 0 4 2 -2 0 0 1 40Iteracion IPaso 1: Seleccionar la variable saliente (que tiene el coeficiente ms negativo) x2Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.X430/3=10X510/-1=-10X640/2=20(tiene el coeficiente positivo mas pequeo)

  • Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 3 -1 1 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20Iteracion IPaso 3: Hacemos Gauss en la variable elegida

  • Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20Iteracion IPaso 3: Hacemos que el pivote sea 1 para que luego seamas facilSolucion iteracion 1: (0 10 0 0 20 20) Z=40

  • Prueba de optimalidad: Existen valores negativos en la ecuacion principal?Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20Iteracion IIPaso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente ms negativo x1Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.X210/0=INFX520/2=10X620/4=5(tiene el coeficiente positivo mas pequeo)

  • Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5Iteracion IISolucion iteracion 2: (5 10 0 0 10 0) Z=50

  • Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientesZ 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2