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ROTEIRO

� Enunciado � TRF 2a Região/2017;

� Padronização da Distribuição Normal;

� FGM da Distribuição Normal Padrão;

� FGM da Distribuição Normal com média

µ e desvio padrão σ;

Enunciado: TRF 2a Região (ES/RJ) � 2017 � CONSULPLAN

28. A função geradora de momentos MX(t) de uma variável aleatória X é de�nida

para todos os valores reais de t como MX(t) = E[etX]. Selecione a função

geradora de momentos de uma variável aleatória X que possui distribuição

Normal com média µ e desvio-padrão σ.

(A) MX(t) = exp

{µ+

σ2

2

}(B) MX(t) = exp

{tµ− (tσ)2

2

}(C) MX(t) = exp

{tµ+

(tσ)2

2

}(D) MX(t) = exp

{2tµ+

(tσ)2

2

}

Resolução: TRF 2a Região (ES/RJ) � 2017 � CONSULPLAN�� ��Densidade da Distribuição Normal Padrão

f(z) =1√2π

e−z2

2 ,−∞ < z <∞

Se X ∼ N(µ, σ), frequentemente usamos o procedimento de padronização:

X − µσ

= Z

Consequentemente X = σZ + µ. Sua FGM á dada por:

E[etX ] = E[et(σZ+µ)

]E[etX ] = E

[e(tσ)Z

]+ E

[etµ]

E[etX ] = MZ (tσ) + etµ

Resolução: TRF 2a Região (ES/RJ) � 2017 � CONSULPLAN

�� ��FGM da Distribuição Normal Padrão

MZ(t) = E(etZ)=

∫ ∞−∞

1√2π

etze−z2/2 dz

=1√2π

∫ ∞−∞

e(−z2+2tz)/2 dz =

1√2π

∫ ∞−∞

e(−z2+2tz)/2e−t

2/2 et2/2dz

= et2/2

∫ ∞−∞

1√2πe−(z

2−2t+t2)/2 dz = et2/2

∫ ∞−∞

1√2π

e−(z−t)2/2 dz

Resolução: TRF 2a Região (ES/RJ) � 2017 � CONSULPLAN

�� ��FGM da Distribuição Normal Padrão

MZ(t) = E(etZ)=

∫ ∞−∞

1√2π

etze−z2/2 d z

MZ(t) =1√2π

∫ ∞−∞

e(−z2+2tz)/2 dz =

1√2π

∫ ∞−∞

e(−z2+2tz)/2e−t

2/2 et2/2dz

MZ(t) = et2/2

∫ ∞−∞

1√2πe−(z−2t+t

2)2/2 dz = et2/2

∫ ∞−∞

1√2π

e−(z−t)2/2 dz

MZ(t) = et2/2

MX(t) = MZ(tσ) + etµ = e(tσ)2/2 + etµ = exp

{tµ+

(tσ)2

2

}

Enunciado: TRF 2a Região (ES/RJ) � 2017 � CONSULPLAN

28. A função geradora de momentos MX(t) de uma variável aleatória X é de�nida

para todos os valores reais de t como MX(t) = E[etX]. Selecione a função

geradora de momentos de uma variável aleatória X que possui distribuição

Normal com média µ e desvio-padrão σ.

(A) MX(t) = exp

{µ+

σ2

2

}(B) MX(t) = exp

{tµ− (tσ)2

2

}(C) MX(t) = exp

{tµ+

(tσ)2

2

}(D) MX(t) = exp

{2tµ+

(tσ)2

2

}

Gabarito: TRF 2a Região (ES/RJ) � 2017 � CONSULPLAN

28. A função geradora de momentos MX(t) de uma variável aleatória X é de�nida

para todos os valores reais de t como MX(t) = E[etX]. Selecione a função

geradora de momentos de uma variável aleatória X que possui distribuição

Normal com média µ e desvio-padrão σ.

(A) MX(t) = exp

{µ+

σ2

2

}(B) MX(t) = exp

{tµ− (tσ)2

2

}(C) MX(t) = exp

{tµ+

(tσ)2

2

}(D) MX(t) = exp

{2tµ+

(tσ)2

2

}