Capítulo 6

Fluidos reales

1

Viscosidad

El rozamiento en el movimiento de los fluidos se cuantifica a través delconcepto deviscosidad, η, que se define como:

F

A= η

v

d

El coeficiente de viscosidad tiene unidades de N s/m2.

Ley de Poiseuille

El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud Lsometido a una diferencia de presionesp1 − p2 es:

Q =p1 − p2

L

πR4

8η

La velocidad mediavmedia del fluido vale:

vmedia =p1 − p2

L

R2

8η

La velocidad máxima es doble que la media.

Uniones entre circuitos

La presión y el caudal representan equivalen al potencial eléctrico y laintensidad de corriente en los circuitos eléctricos. La ley de Poiseuille essimilar a la de Ohm (I = V/R):

Q =∆p

Rf

en dondeRf es la resistencia al flujo, igual a:

Rf =8ηL

πR4 .

Unión en serie:

Q1 = Q2 y ∆p = ∆p1 + ∆p2

La resistencia total es la suma de las resistencias de los conductos:

Rf = Rf,1 +Rf,2.

Unión en paralelo:

Q = Q1 +Q2 y ∆p1 = ∆p2

La inversa de la resistencia total es la suma de las inversas de las resis-tencias de los circuitos:

1

Rf=

1

Rf,1+

1

Rf,2.

Número de Reynolds

El número de Reynolds Re es una magnitud adimensional definidacomo:

Re =ρvD

η

Si tenemos dos conjuntos de parámetros diferentes, pero con el mismonúmero de Reynolds, decimos que sus movimientos son semejantes.

Cuando Re< 2000, cualquierturbulencia que se origine decae, y lohace tanto más rápido cuanto menor sea Re. Por el contrario, cuando Re> 2000, cualquierturbulencia que se produzca ya no decae.

Fuerzas de arrastre

La fuerza de arrastre, la que produce un fluido a un objeto en su seno,es una combinación de la fuerza de inercia y de la de rozamiento. Paranúmero de Reynolds bajos, domina la de rozamiento y para altos, la deinercia.

La fuerza de arrastre podemos escribirla como:

Fa = ρv2D2f(Re)

en dondef(Re) es una función del número de Reynolds.

Para objetos grandes, la fuerza inercial es la dominante y definimos elcoeficiente de arrastrecomo:

CD =Fa

12 ρv

2A

siendoA el área del objeto.

Ley de Stokes

Para los objetos muy pequeños domina la fuerza de rozamiento. La leyde Stokes nos da dicha fuerza para una esfera:

Fr = 6πηvr

en donder es el radio de la esfera.

Cuando una disolución precipita, la velocidad de sedimentación está de-terminada por la ley de Stokes y vale:

v =2r2(ρ0 − ρ) g

9η.

Circulación sanguínea

La resistencia periférica totales el cociente entre la diferencia de presióna la salida y a la entrada del corazón y el caudal sanguíneo.

Si un conducto de áreaA1 se bifurca enn iguales, de áreaA2, la caída depresión por unidad de longitud se mantiene constante si se verifica:

A1 =√nA2.

La potencia del corazón es el trabajo realizado en un latidoW divididopor el intervalo de tiempo entre latidos:

P =W

∆t= p

∆V

∆t= pQ

Esta expresión ha de ser evaluada separadamente para cada ventrículo.

Problema 6.1

¿Qué fuerza hay que ejercer sobre una superficie circularde 0.2 m de radio apoyada sobre una capa de sangre de 1cm de grosor para que se mueva con una velocidad de 1m/s?

Problema 6.2

Tenemos una manguera de 10 m de largo y 1 cm de diá-metro conectada a un grifo con una presión de 2 atm. Cal-cula:(a) el caudal de agua que circula por ella,(b) la velocidad media del agua,(c) la velocidad máxima,(d) la resistencia al flujo de la manguera.

Problema 6.3

Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un con-ducto de 2 m de largo y 4 mm de radio. Si aplicamos unadiferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremosdel conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. ¿Cuáles el coeficiente de viscosidad del líquido?

Problema 6.4

Un depósito cilíndrico de 0.5 m de radio y 1.2 m de alturaestá lleno de agua y posee un orificio, en su parte inferior,conectado a un conducto de 0.2 m de longitud y 2 mmde radio. Determina la velocidad de salida del agua enfunción del tiempo, medida desde que se empieza a vaciarel depósito. (Desprecia la velocidad del agua en el interiordel depósito.)

Problema 6.5

Un circuito está formado por dos conductos de 6 · 107 y9 · 107 N s/m5 de resistencia unidos en serie. La presióntotal sobre el circuito es de 3 atm. ¿Qué caudal atraviesael circuito? ¿Cuál es la presión en el punto de unión de losdos conductos?

Problema 6.6

Unimos en paralelo seis conductos iguales de 3 · 108 Ns/m5 de resistencia. El caudal que a traviesa cada uno deellos es de 45 l/min. ¿Cuál es el caudal total que atraviesael circuito? ¿Cuál es la diferencia de presiones entre losextremos del circuito?

Problema 6.7

Queremos instalar un goteo en una finca. La longitud delconducto principal ha de ser de 1800 m, y deseamos uncaudal de 100 l/min cuando bombeamos con una presiónde 3 atm. ¿Qué radio interno ha de poseer el conductoprincipal?

Problema 6.8

Un conducto de 108 N s/m5 de resistencia está unido enserie a otros dos unidos entre sí en paralelo. La resistenciade uno de estos es de 3 ·108 N s/m5. La presión total sobreel circuito es de 200 mm de Hg y el caudal que atraviesael primer conducto es de 5.3 l/min. Encuentra:(a) la presión en el punto de unión de los circuitos,(b) la resistencia desconocida,(c) el caudal a través del conducto de resistencia desco-

nocida.

Problema 6.9

La resistencia al flujo de un vaso aumenta un 10 % porqueen algunos tramos la sección se ha reducido a la mitad.¿En qué porcentaje de la longitud del vaso hay obstruccio-nes?

Problema 6.10

Encuentra la relación entre el número de Reynolds de unobjeto que se mueve con igual velocidad en el aire y en elagua.

Problema 6.11

Estima aproximadamente el número de Reynolds de:(a) un nadador capaz de hacer 100 m en 52 s,(b) un atleta que recorre 100 m en 10 s,(c) un submarino de 3 m de radio viajando a 36 km/h,(d) un avión de 3 m de radio volando a 900 km/h,(e) una partícula de una micra de diámetro que se des-

plaza en el agua a 0.01 m/s.

Problema 6.12

¿Para qué caudal se volvería turbulento un flujo de aguaen una tubería de 1 cm de diámetro?

Problema 6.13

Una aorta posee una sección de 4 cm2. ¿A qué velocidadcomenzará a hacerse turbulento el flujo sanguíneo? ¿Cuálserá entonces el caudal?

Problema 6.14

Un automóvil de 1000 kg de masa posee un coeficiente dearrastre de 0.32 y su área frontal es de 2 m2. Calcula:(a) la fuerza de arrastre que experimenta cuando va a

100 km/h,(b) la potencia que necesita para poder viajar a 180 km/h

en una carretera horizontal,(c) lo mismo, pero para una carretera con un 2 % de pen-

diente.

Problema 6.15

¿Con qué velocidad se sumergirá en el agua un objetoesférico de 1.2 kg/l de densidad y 0.8 cm de diámetro?

Problema 6.16

Una muestra de sangre posee una velocidad de sedimen-tación 4 veces superior a la normal debido a que los gló-bulos rojos se han unido parcialmente entre sí. Si supo-nemos que en el caso normal éstos no están unidos enabsoluto, ¿cuántos glóbulos rojos se agregan en mediaformando nuevas partículas efectivas en la muestra consi-derada?

Problema 6.17

En una arteriola de 20 cm de longitud la presión sanguíneacae 18 mm de Hg. Por ella circula un caudal de 0.1 l/min.¿Cuál es el radio de la arteriola?

Problema 6.18

Supongamos que la caída de presión por unidad de longi-tud es constante en el cuerpo humano, debido a la formade bifurcarse los vasos. Si el área total de los capilares es500 veces mayor que la de la aorta, determina:(a) el número de capilares,(b) la sección de cada uno de ellos, sabiendo que la de

la aorta es de 3 cm2,(c) la velocidad de la sangre en los capilares, teniendo

en cuenta que el caudal total es de 5 l/min.

Problema 6.19

Un corazón bombea 0.08 l de sangre, 60 veces por minu-to, con una presión media de 110 mm de Hg. La aortacorrespondiente posee un radio de 1.2 cm. Calcula:(a) el caudal sanguíneo,(b) la potencia que ejerce el ventrículo izquierdo,(c) la velocidad de la sangre en la aorta,(d) la resistencia al flujo del sistema circulatorio,(e) la longitud que debería tener un conducto de 1 cm de

diámetro para que su resistencia al flujo coincidieracon la del sistema circulatorio.

Problema 6.20

Supongamos un modelo de sistema circulatorio en el quecada vaso se bifurca cada x centímetros en dos iguales,cuyas secciones son igual a la del anterior dividida por

√2.

Despúes de 15 niveles de división, comienza un procesoinverso de unión. La aorta posee un radio de 0.5 cm, elcaudal es de 5 l/min y la presión cardíaca es de 100 mmde Hg. Calcula el valor de x.

6.1 ¿Qué fuerza hay que ejercer sobre una superficie circular de 0.2 m de radioapoyada sobre una capa de sangre de 1 cm de grosor para que se mueva conuna velocidad de 1 m/s?

La ecuación que nos da la fuerza de fricción, debida a la viscosidad, es:

F = ηv

dA = 0.004

1

0.01π 0.22 = 0.05 N.

6.2 Tenemos una manguera de 10 m de largo y 1 cm de diámetro conectada aun grifo con una presión de 2 atm. Calcula:

(a) el caudal de agua que circula por ella,

(b) la velocidad media del agua,

(c) la velocidad máxima,

(d) la resistencia al flujo de la manguera.

(a) La ley de Poiseuille nos da el caudal que atraviesa la manguera:

Q =p1 − p2

L

πR4

8η=

2 · 1.013 · 105

10

π 0.0054

8 · 0.001= 0.005 m3/s.

(b) La velocidad media es el caudal dividido por la sección:

v =Q

A=

0.005

π0.0052 = 63.7 m/s.

(c) La velocidad máxima es doble que la media:

vmax = 2v = 2 · 63.7 = 127 m/s.

(d) La resistencia al flujo de la manguera es:

Rf =8Lη

πR4 =8 · 10 · 0.001

π0.0054 = 4.07 · 107 N s/m5.

6.3 Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m delargo y 4 mm de radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hgentre los extremos del conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. ¿Cuál esel coeficiente de viscosidad del líquido?

Podemos despejar el coeficiente de viscosidad de la ley de Poiseuille:

η =p1 − p2

L

πR4

8Q=

10 · 133

2

π 0.0044 60

8 · 0.3 · 0.001= 0.013 N s/m2.

6.4 Un depósito cilíndrico de 0.5 m de radio y 1.2 m de altura está lleno de aguay posee un orificio, en su parte inferior, conectado a un conducto de 0.2 m delongitud y 2 mm de radio. Determina la velocidad de salida del agua en funcióndel tiempo, medida desde que se empieza a vaciar el depósito. (Desprecia lavelocidad del agua en el interior del depósito.)

Para obtener la velocidad de salida, hemos de calcular primero el caudala través de la ley de Poiseuille. Como la diferencia de presiones en elconducto de salida es igual a la presión hidrostática del agua del depósito,ρgh, tenemos que el caudal vale:

Q =ρgh

L

πR4

8η.

La altura del agua depende, a su vez, del caudal que sale:

h = h0 −Q

St

en dondeS es el área de la base del depósito. Eliminandoh de ambasecuaciones tenemos:

8Lη

ρgπR4Q = h0 −Q

St =⇒ Q =

h08Lη

ρgπR4 +t

S

.

Y la velocidad media vendrá dada por:

v =Q

A=

Sh0

πR2

8LηS

ρgπR4 + t=

1.2 · 0.52

0.0022

8 · 0.2 · 0.001 · 0.52

1000 · 9.8 · 0.0024 + t

=75000

2550 + tm/s.

6.5 Un circuito está formado por dos conductos de 6 · 107 y 9 · 107 N s/m5 deresistencia unidos en serie. La presión total sobre el circuito es de 3 atm. ¿Quécaudal atraviesa el circuito? ¿Cuál es la presión en el punto de unión de losdos conductos?

Al estar los conductos unidos en serie, su resistencia total es la suma delas resistencias,15 · 107 Ns/m5, y el caudal es entonces:

Q =p

Rf=

3 · 1.013 · 105

15 · 107 = 0.0020 m3/s.

Suponemos que el circuito con una resistencia de6 · 107 Ns/m5 es elprimero. La presiónpA en el punto de unión es:

pA = QRf = 0.0020 · 9 · 107 = 1.2 · 105 N/m2.

6.6 Unimos en paralelo seis conductos iguales de 3 · 108 N s/m5 de resistencia.El caudal que a traviesa cada uno de ellos es de 45 l/min. ¿Cuál es el caudaltotal que atraviesa el circuito? ¿Cuál es la diferencia de presiones entre losextremos del circuito?

El caudal total es seis veces el caudal a través de uno de los circuitos:

QT = 6Q = 6 · 45 = 270 l/min.

La diferencia de presiones es:

p = QRf =45 · 0.001 · 3 · 108

60= 2.25 · 105 N/m2.

6.7 Queremos instalar un goteo en una finca. La longitud del conducto princi-pal ha de ser de 1800 m, y deseamos un caudal de 100 l/min cuando bombea-mos con una presión de 3 atm. ¿Qué radio interno ha de poseer el conductoprincipal?

Despejamos el radio del conducto a partir de la ecuación de Poiseuille:

R =

(8ηLQ

∆p π

)1/4

=

(8 · 0.001 · 1800 · 0.13 · 1.013 · 105 π 60

)1/4= 0.013 m.

6.8 Un conducto de 108 N s/m5 de resistencia está unido en serie a otros dosunidos entre sí en paralelo. La resistencia de uno de estos es de 3 · 108 N s/m5.La presión total sobre el circuito es de 200 mm de Hg y el caudal que atraviesael primer conducto es de 5.3 l/min. Encuentra:

(a) la presión en el punto de unión de los circuitos,

(b) la resistencia desconocida,

(c) el caudal a través del conducto de resistencia desconocida.

(a) Para encontrar la presión en el punto de unión de los dos circuitos,aplicamos la ley de Poiseuille al primer conducto:

Q =p− paR1

y despejamos:

pA = p−QR1 = 200 · 133− 5.3 · 108

1000 · 60= 17800 N/m2.

(b) La resistencia total del circuito ha de ser:

RT =p

Q=

200 · 133 · 1000 · 60

5 · 3= 3.0 · 108 N s/m5.

La resistencia del conjunto formado por los dos conductos en para-lelo es:

R23 = RT −R1 = 3.0 · 108 − 108 = 2.0 · 108 N s/m5.

Por tanto, la resistencia desconocida vale:

R3 =1

1

R23− 1

R2

=1

1

2.0 · 108 −1

3.0 · 108

= 6.0 · 108 N s/m5.

(c) El caudal que se nos pide es:

Q =pAR3

=17800

6.0 · 108 = 3.0 · 10−5 m3/s.

6.9 La resistencia al flujo de un vaso aumenta un 10 % porque en algunostramos la sección se ha reducido a la mitad. ¿En qué porcentaje de la longituddel vaso hay obstrucciones?

La resistencia de un conducto es proporcional a la longitud e inversamen-te proporcional aR4. Llamemosα al porcentaje de la longitud en que hayobstrucciones. La nueva resistencia es:

R′f = 1.1Rf =

(1− α

100

)Rf +

α

10024Rf

o sea:0.1 =

α

100(16− 1).

De aquí dspejamosα:

α =10

15= 0.67 %.

6.10 Encuentra la relación entre el número de Reynolds de un objeto que semueve con igual velocidad en el aire y en el agua.

La relación entre los números de Reynolds en el aire Re1 y en el agua Re2es:

Re1

Re2=ρ1vDη2

η1ρ2vD=

1.2 · 0.001

18 · 10−6 1000=

1

15= 0.067.

Hemos tomado la densidad del aire a 20◦C.

6.11 Estima aproximadamente el número de Reynolds de:

(a) un nadador capaz de hacer 100 m en 52 s,

(b) un atleta que recorre 100 m en 10 s,

(c) un submarino de 3 m de radio viajando a 36 km/h,

(d) un avión de 3 m de radio volando a 900 km/h,

(e) una partícula de una micra de diámetro que se desplaza en el agua a 0.01m/s.

(a) El número de Reynolds del nadador es:

Re=ρvD

η=

1000 · 100 · 0.30.001 · 52

= 5.8 · 105.

ρ y η corresponden al agua, y hemos supuesto un diámetro de 0.3m.

(b) El número de Reynolds del atleta es aproximadamente:

Re=ρvD

η=

1.2 · 100 · 0.618 · 10−6 10

= 4 · 105.

ρ y η corresponden al aire, y hemos supuesto un diámetro de 0.6 m.

(c) Para el submarino tenemos:

Re=ρvD

η=

1000 · 10 · 60.001

= 6 · 107.

(d) Para el avión:

Re=ρvD

η=

1.2 · 900 · 618 · 10−6 3.6

= 108.

(e) El número de Reynolds de la partícula es:

Re=ρvD

η=

1000 · 0.01 · 10−6

0.001= 0.01.

6.12 ¿Para qué caudal se volvería turbulento un flujo de agua en una tuberíade 1 cm de diámetro?

La velocidad a la que se volvería turbulento el flujo es:

v =ηReρD

=0.001 · 2000

1000 · 0.01= 20 m/s.

Hemos supuesto que el valor crítico del número de Reynolds es 2000. Elcaudal correspondiente a esa velocidad vale:

Q = vA = vπR2 = 20 π 0.0052 = 0.00157 m3/s.

6.13 Una aorta posee una sección de 4 cm2. ¿A qué velocidad comenzará ahacerse turbulento el flujo sanguíneo? ¿Cuál será entonces el caudal?

La velocidad crítica, por encima de la cual el flujo se hace turbulento, enla aorta será:

v =ηReρD

=0.004 · 2000

1050 · 2(

0.0004

π

)1/2 = 0.34 m/s.

El caudal correspondiente a esa velocidad vale:

Q = vA = 0.0004 · 0.34 = 0.000135 m3/s.

6.14 Un automóvil de 1000 kg de masa posee un coeficiente de arrastre de0.32 y su área frontal es de 2 m2. Calcula:

(a) la fuerza de arrastre que experimenta cuando va a 100 km/h,

(b) la potencia que necesita para poder viajar a 180 km/h en una carreterahorizontal,

(c) lo mismo, pero para una carretera con un 2 % de pendiente.

(a) La fuerza de arrastre que experimenta el automóvil es:

F = 12 ρv

2ACD = 12 1.2

(100

3.6

)22 · 0.32 = 296 N.

(b) La potencia necesaria para vencer la fuerza de arrastre vale:

P = Fv = 12

12 1.2

(180

3.6

)22 · 0.32

180

3.6= 48000 W.

(c) En este caso, en que hay una pendiente, hemos de añadir a la po-tencia anterior la necesaria para vencer la gravedad:

P ′ = P +mgh

t= P +

mgl senα

t

= 48000 + 1000 · 9.8 180

3.60.02 = 57800 W.

Hemos tenido en cuenta quesen(arctan 0.02) ≈ 0.02.

6.15 ¿Con qué velocidad se sumergirá en el agua un objeto esférico de 1.2kg/l de densidad y 0.8 cm de diámetro?

La fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre el objeto viene dada porla ley de Stoke. La velocidad de caída se consigue cuando dicha fuerzaes igual al peso del objeto menos el empuje del agua:

v =2

9ηr2g(ρo − ρa)

=2

9 · 0.0010.0042 9.8 · (1.2− 1)1000 = 70 m/s.

6.16 Una muestra de sangre posee una velocidad de sedimentación 4 vecessuperior a la normal debido a que los glóbulos rojos se han unido parcialmenteentre sí. Si suponemos que en el caso normal éstos no están unidos en abso-luto, ¿cuántos glóbulos rojos se agregan en media formando nuevas partículasefectivas en la muestra considerada?

La velocidad de sedimentación se obtiene igualando la fuerza de roxa-miento al peso del objeto menos el empuje del agua. Como dicha veloci-dad de sedimentación es proporcional al radio al cuadrado, tenemos:

v′

v=r′2

r2 = 4 =⇒ r′ = 2r.

La relación entre el volumen de uno de los nuevos agregados de partículasy el de la partícula original es:

V ′

V=r′3

r3 = 8.

Luego cada nueva partícula es el agregado de 8 glóbulos rojos.

6.17 En una arteriola de 20 cm de longitud la presión sanguínea cae 18 mmde Hg. Por ella circula un caudal de 0.1 l/min. ¿Cuál es el radio de la arteriola?

Aplicamos la ley de Poiseuille a la arteriola y despejamos el radio:

R =

QL8η

(p1 − p2)π

1/4

=

0.160000 0.2 · 8 · 0.004

18 · 133 π

1/4

= 0.0011 m.

6.18 Supongamos que la caída de presión por unidad de longitud es constanteen el cuerpo humano, debido a la forma de bifurcarse los vasos. Si el área totalde los capilares es 500 veces mayor que la de la aorta, determina:

(a) el número de capilares,

(b) la sección de cada uno de ellos, sabiendo que la de la aorta es de 3 cm2,

(c) la velocidad de la sangre en los capilares, teniendo en cuenta que el cau-dal total es de 5 l/min.

(a) Si la caída de presión por unidad de longitud es constante, el áreatotal den vasos es igual a

√n por el área del vaso original. Por

tanto: √n = 500 =⇒ n = 5002 = 250000.

(b) La sección de un capilar es el área de la aorta dividida por√n:

Ac =Aa√n

=3

500= 0.006 cm2.

(c) La velocidad de la sangre en la aorta es:

va =Q

Aa=

5

60000 · 0.0003= 0.28 m/s.

La ecuación de continuidad nos permite determinar la velocidad dela sangre en los capilares:

vc =Q

Ac=

va

500= 0.00056 m/s.

6.19 Un corazón bombea 0.08 l de sangre, 60 veces por minuto, con una pre-sión media de 110 mm de Hg. La aorta correspondiente posee un radio de 1.2cm. Calcula:

(a) el caudal sanguíneo,

(b) la potencia que ejerce el ventrículo izquierdo,

(c) la velocidad de la sangre en la aorta,

(d) la resistencia al flujo del sistema circulatorio,

(e) la longitud que debería tener un conducto de 1 cm de diámetro para quesu resistencia al flujo coincidiera con la del sistema circulatorio.

(a) El caudal sanguíneo es el volumen bombeado en cada latido dividi-do por el período entre latidos:

Q =V

T=

0.08 · 60

1000 · 60= 0.00008 m3/s = 4.8 l/min.

(b) La potencia es igual al caudal por la presión:

P = Qp = 0.00008 · 110 · 133 = 1.17 W.

(c) La velocidad es igual al caudal dividido por la sección:

v =Q

πr2 =0.00008

π 0.0122 = 0.18 m/s.

(d) La resistencia al flujo es igual a la diferencia de presiones divididapor el caudal:

Rf =p1 − p2

Q=

110 · 133

0.00008= 1.8 · 108 N s/m5.

(e) Esta longitud efectiva la obtenemos despejando en la expresión dela resistencia al flujo:

L =πR4Rf

8η=π 0.0054 · 1.8 · 108

8 · 0.004= 11 m.

6.20 Supongamos un modelo de sistema circulatorio en el que cada vaso sebifurca cada x centímetros en dos iguales, cuyas secciones son igual a la delanterior dividida por

√2. Despúes de 15 niveles de división, comienza un pro-

ceso inverso de unión. La aorta posee un radio de 0.5 cm, el caudal es de 5l/min y la presión cardíaca es de 100 mm de Hg. Calcula el valor de x.

Las divisiones son tales que la caída de presión por unidad de longitudse mantiene constante. La resistencia al flujo es la misma que tendría unúnico conducto inicial pero con la longitud total:

Rf =8ηx

πR4 (15 + 1 + 15)

=p1 − p2

Q=

100 · 133

560000 = 1.6 · 108 N s/m5.

Despejandox obtenemos:

x =1.6 · 108 π 0.0054

8 · 0.004 · 31= 0.32 m.