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Formulaire de d´ eveloppements limit´ es La formule de Taylor-Young Soit f une fonction d´ efinie sur un intervalle I de R avec f d´ erivable n fois sur I et f (n) continue sur I . On consid` ere a ∈ I tel que f (n+1) (a) existe. Alors pour h au voisinage de 0 on a : f (a + h)= f (a)+ f 0 (a)h + f 00 (a) 2 h 2 + f 000 (a) 3! h 3 + ··· + f (n+1) (a) (n + 1)! h n+1 + h n+1 ε(h) o` u ε est une fonction continue au voisinage de 0 v´ erifiant lim h→0 ε(h) = 0. Les indispensables Tous les d´ eveloppements limit´ es pr´ esent´ es sont au voisinage de 0. ∀α ∈ R\N, (1 + x) α = 1+ αx + α(α - 1) 2 x 2 + ··· + α(α - 1) ... (α - n + 1) n! x n + x n ε(x) e x = 1+ x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! + ··· + x n n! + x n ε(x) ln(1 + x) = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 + ··· +(-1) n+1 x n n + x n ε(x) sin(x) = x - x 3 3! + x 5 5! - x 7 7! + x 9 9! + ··· +(-1) k x 2k+1 (2k + 1)! + x 2k+1 ε(x) cos(x) = 1 - x 2 2 + x 4 4! - x 6 6! + x 8 8! + ··· +(-1) k x 2k (2k)! + x 2k ε(x) Les pratiques 1 1+ x = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 + ··· +(-1) n x n + x n ε(c) 1 1 - x = 1+ x + x 2 + x 3 + x 4 + ··· + x n + x n ε(c) √ 1+ x = 1+ 1 2 x - 1 2 × 4 x 2 + 3 2 × 4 × 6 x 3 - 3 × 5 2 × 4 × 6 × 8 x 4 + ... ··· +(-1) n+1 3 ×···× (2n - 3) 2 ×···× (2n) x n + x n ε(x) 1 √ 1+ x = 1 - 1 2 x + 3 2 × 4 x 2 - 3 × 5 2 × 4 × 6 x 3 + 3 × 5 × 7 2 × 4 × 6 × 8 x 4 + ... ··· +(-1) n 3 ×···× (2n - 1) 2 ×···× (2n) x n + x n ε(x) tan(x) = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 4 + 17 315 x 7 + 62 2835 x 9 + x 9 ε(x) 1
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Formulaire de developpements limites
La formule de Taylor-Young
Soit f une fonction definie sur un intervalle I de R avec f derivable n foissur I et f (n) continue sur I. On considere a ∈ I tel que f (n+1)(a) existe. Alorspour h au voisinage de 0 on a :
f(a+h) = f(a)+f ′(a)h+f ′′(a)
2h2 +
f ′′′(a)3!
h3 + · · ·+ f (n+1)(a)(n+ 1)!
hn+1 +hn+1ε(h)
ou ε est une fonction continue au voisinage de 0 verifiant limh→0 ε(h) = 0.
Les indispensables
Tous les developpements limites presentes sont au voisinage de 0.
∀α ∈ R\N,
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 + · · ·+ α(α− 1) . . . (α− n+ 1)
n!xn + xnε(x)
ex = 1 + x+x2
2+x3
3!+x4
4!+ · · ·+ xn
n!+ xnε(x)
ln(1 + x) = x− x2
2+x3
3− x4
4+x5
5+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n+ xnε(x)
sin(x) = x− x3
3!+x5
5!− x7
7!+x9
9!+ · · ·+ (−1)k
x2k+1
(2k + 1)!+ x2k+1ε(x)
cos(x) = 1− x2
2+x4
4!− x6
6!+x8
8!+ · · ·+ (−1)k
x2k
(2k)!+ x2kε(x)
Les pratiques
11 + x
= 1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·+ (−1)nxn + xnε(c)
11− x
= 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·+ xn + xnε(c)
√1 + x = 1 +
12x− 1
2× 4x2 +
32× 4× 6
x3 − 3× 52× 4× 6× 8
x4 + . . .
· · ·+ (−1)n+1 3× · · · × (2n− 3)2× · · · × (2n)
xn + xnε(x)
1√1 + x
= 1− 12x+
32× 4
x2 − 3× 52× 4× 6
x3 +3× 5× 7
2× 4× 6× 8x4 + . . .
· · ·+ (−1)n3× · · · × (2n− 1)
2× · · · × (2n)xn + xnε(x)
tan(x) = x+13x3 +
215x4 +
17315
x7 +62
2835x9 + x9ε(x)
1
Les folkloriques
arcsin(x) = x+1
2× 3x3 +
32× 4× 5
x5 +3× 5
2× 4× 6× 7x7 +
3× 5× 72× 4× 6× 8× 9
x9 + . . .
· · ·+ 3× · · · × (2k − 1)2× · · · × (2k)× (2k + 1)
x2k+1 + x2k+1ε(x)
arctan(x) = x− x3
3+x5
5− x7
7+x9
9+ · · ·+ (−1)k
x2k+1
2k + 1+ x2k+1ε(x)
sinh(x) = x+x3
3!+x5
5!+x7
7!+x9
9!+ · · ·+ x2k+1
(2k + 1)!+ x2k+1ε(x)
cosh(x) = 1 +x2
2+x4
4!+x6
6!+x8
8!+ · · ·+ x2k
(2k)!+ x2kε(x)
argsh(x) = x− 12× 3
x3 +3
2× 4× 5x5 − 3× 5
2× 4× 6× 7x7 +
3× 5× 72× 4× 6× 8× 9
x9 + . . .
· · ·+ (−1)k3× · · · × (2k − 1)
2× · · · × (2k)× (2k + 1)x2k+1 + x2k+1ε(x)
argth(x) = x+x3
3+x5
5+x7
7+x9
9+ · · ·+ x2k+1
2k + 1+ x2k+1ε(x)
Les inutiles
(1 + x)n = 1 + nx+n(n− 1)
2x2 + · · ·+ Cknxk + · · ·+ xn + 0
exp (sinh(x))− ln∣∣∣tan
(x2
+π
4
)∣∣∣ = 1 + x+x2
2+x3
6+
5x4
24+ x4ε(x)
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