FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S

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    FORMULAIRE RESUME MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ;

    !

    i ,

    !

    j ) a pour affixe z : z = x + i y dans CC Le conjugu de z est :

    !

    z = x " iy Module de z :

    !

    z = z z = x2

    + y2

    Forme trigonomtrique :

    !

    z = "(cos# + isin#) o # = angle (i,OM) [2] Forme exponentielle :

    !

    z = "ei# (avec

    !

    z = " et

    !

    " = angle (i,OM) = argument de z) Conjugu de z :

    !

    z = "e#i$ Soient A et B d'affixes zA zB alors

    !

    AB a pour affixe zB - zA et

    !

    AB = zB" z

    A

    Proprits des modules

    !

    z = z ;1

    z=1

    z; zz' = z z'

    Proprits des arguments

    arg z z'= arg z + arg z' [2] arg (

    !

    z

    z') = arg z - arg z' [2]

    !

    arg z = "arg z 2#[ ]

    Transformations usuelles soit une transformation telle que

    !

    M(z)" M '(z') Translation de vecteur

    !

    u d'affixe t : z' = z + t Homothtie de centre d'affixe et de rapport k : z' - = k (z- ) Rotation de centre d'affixe et d'angle : z' - =

    !

    ei" (z- )

    EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS CC Soit l'quation

    !

    az2

    + bz + c = 0 et le discriminant

    !

    " = b2# 4ac

    si > 0 alors 2 solutions relles

    !

    z1

    ="b + #

    2a; z

    2="b " #

    2a et

    !

    z1z2

    =c

    a; z

    1+ z

    2="b

    a

    si = 0 alors 1 solution relle

    !

    z0

    = "b

    2a

    si < 0 alors 2 solutions complexes

    !

    z1

    ="b + i "#

    2a; z

    2="b " i "#

    2a et

    !

    z1z2

    =c

    a; z

    1+ z

    2="b

    a

    si 0 alors

    !

    az2

    + bz + c = a(z " z1)(z " z

    2) et si = 0 alors

    !

    az2

    + bz + c = a(z " z0)2

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    IDENTITES REMARQUABLES (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2 ) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3 ab2 - b3 a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 )

    !

    (a + b)n

    = an

    +n

    1

    "

    # $

    %

    & ' a

    n(1b + ......+

    n

    k

    "

    # $

    %

    & ' a

    n(kbk

    + .......+n

    n (1

    "

    # $

    %

    & ' ab

    n(1+ b

    n

    SUITES Suites arithmtiques de raison r et premier terme

    !

    u0 alors

    !

    un+1 = un + r ou un = u0 + nr

    Somme de n termes conscutifs de la suite =

    !

    "nbre de termes" "1terme" + "dernier"

    2

    en particulier

    !

    1+ 2 + 3+ .........+ n =n(n +1)

    2

    Suites gomtriques de raison q et premier terme

    !

    u0 alors

    !

    un+1 = q.un ou un = u0qn

    Somme de n termes conscutifs de la suite =

    !

    "1 terme" 1" q

    nombre de termes

    1- q avec q 1

    en particulier

    !

    1+ x + x2

    + x3

    + .........+ xn

    =1" x

    n+1

    1" x (x 1)

    FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE

    !

    e0

    =1 ; ea+b

    = eaeb; e

    a"b=ea

    eb; (e

    a)b

    = eab; lne =1 ; ln1= 0 ; lnab = lna + lnb ; ln

    a

    b= lna " lnb

    !

    ax

    = ex ln a

    ; lnax

    = x lna ; y = ex" x = ln y

    LIMITES USUELLES DE FONCTIONS

    !

    limx"+#

    ln x = +#

    !

    limx"+#

    ex

    = +#

    !

    limx"#$

    ex

    = 0

    !

    limx"+#

    ex

    x= +# lim

    x"$#xe

    x= 0 lim

    x"+#

    ln x

    x= 0

    !

    limx"+#

    ex

    xn

    = +# limx"+#

    ln x

    xn

    = 0 limx"$#

    xnex

    = 0 limx"+#

    xne$x

    = 0

    !

    limx"0

    ln x = #$ limx"0

    x ln x = 0 limx"0

    sin x

    x=1 lim

    x"0

    1# cos x

    x= 0 lim

    x"0

    ln(1+ x)

    x=1 lim

    x"0

    ex#1

    x=1

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    DERIVEES PRIMITIVES

    f(x) f '(x) f(x) f '(x) f(x) f '(x) k 0 x 1 xn nxn-1

    !

    1

    x

    !

    "1

    x2

    !

    1

    xn

    n " IN

    !

    "n

    xn+1

    !

    x

    !

    1

    2 x

    ln x

    !

    1

    x

    !

    ex

    !

    ex

    !

    ax

    !

    axlna

    cos x -sin x sin x cos x tan x

    !

    1

    cos2x

    Oprations et application des drives

    ( u + v)' = u' + v' (k u)' = k u' (u v)' = u' v + u v'

    !

    1

    u

    "

    # $

    %

    & ' '

    =(u'

    u2

    !

    u( )'=u'

    2 u

    !

    (un)'= n u'u

    n"1

    !

    u

    v

    "

    # $

    %

    & ' '

    =u'v ( uv '

    v2

    !

    v o u( )'= u' " v'ou

    !

    (eu)'= u'e

    u(lnu)'=

    u'

    u

    Equation de la tangente la courbe

    !

    Cf en A(a; f (a)) : y = f '(a)(x " a) + f (a) CALCUL INTEGRAL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES Si F primitive ce f alors

    !

    f (t) dta

    b

    " = F(b) # F(a) et si

    !

    g(x) = f (t) dt alors a

    x

    " g'(x) = f (x)

    !

    f (t) dta

    b

    " = # f (t) dtb

    a

    "

    !

    f (t) dta

    c

    " = f (t) dta

    b

    " + f (t) dtb

    c

    "

    !

    (" f (t) + # g(t))dt =" f (t) dta

    b

    $ + # g(t) dta

    b

    $a

    b

    $ si a b et f 0 alors

    !

    f (t) dta

    b

    " 0 ; si a b et f g alors a

    !

    f (t) dta

    b

    " # g(t) dta

    b

    "

    !

    si a " b et m " f " M alors m(b # a) " f (t) dt " M(b # a)a

    b

    $ Intgration par parties

    !

    u(t)v '(t) dt =a

    b

    u(t) v(t)[ ]a

    b

    " # u'(t)v(t) dta

    b

    " Equa diff

    Les solutions de

    !

    y'= ay + b sont des fonctions f (x) = Ceax"b

    a o C est un rel

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    PROBABILITES Dnombrements : n! = 1 x 2 x 3 x x n avec 0! = 1 et (n+1)! = n! x (n+1)

    Le nombre de combinaisons de p lments pris parmi n est not

    !

    n

    p

    "

    # $

    %

    & '

    !

    n

    p

    "

    # $

    %

    & ' =

    n(n (1)....(n ( p +1)

    p!=

    n!

    p! (n ( p)! ;

    n

    p

    "

    # $

    %

    & ' =

    n

    n ( p

    "

    # $

    %

    & ' ;

    n

    p

    "

    # $

    %

    & ' =

    n (1

    p (1

    "

    # $

    %

    & ' +

    n (1

    p

    "

    # $

    %

    & ' ;

    n

    1

    "

    # $

    %

    & ' = n

    Dveloppement

    !

    (a + b)n

    = an

    +n

    1

    "

    # $

    %

    & ' a

    n(1b + ...+

    n

    k

    "

    # $

    %

    & ' a

    n(kbk

    + ...+ bn

    Gnralits :

    !

    P(A" B) = P(A) + P(B) # P(A$ B) ; P(A ) =1# P(A) ; P(%) =1 ; P(&) = 0

    En cas d'quiprobabilit

    !

    P(A) =nombre d'lments de A

    nombre d'lments de "=

    "nombre de cas favorables"

    "nombre de cas possibles"

    Proba de B sachant A :

    !

    PA(B) =

    P(A" B)

    P(A) ; si A et B sont indpendants P(A" B) = P(A) # P(B)

    TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a sin2a = 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a sin(2a) = 2sin a cos a Valeurs remarquables

    0

    !

    "

    6

    !

    "

    4

    !

    "

    3

    !

    "

    2

    !

    "

    sin 0

    !

    1

    2

    !

    2

    2

    !

    3

    2 1 0

    cos 1

    !

    3

    2

    !

    2

    2

    !

    1

    2 0 -1

    tan 0

    !

    3

    3 1

    !

    3 n'existe pas 0

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    Produit scalaire

    !

    u et v tels que u =OA ; v =OB ; soit " = angle (OA,OB) alors uv =OAOB =OA #OB # cos" si

    !

    u(x;y) et v(x';y ') alors uv = xx'+yy'

    !

    si OB se projette en OH sur OA alors uv = OA "OH (si les vecteurs sont de mme sens)

    uv = -OA "OH (si sens contraires)

    !

    u et v sont orthogonaux " uv = 0 Al Khashi :

    !

    a2

    = b2

    + c2" 2bc cos A

    Thorme de la mdiane :

    !

    c2

    + b2

    = 2AI2

    +a2

    2

    Aire du triangle :

    !

    S =1

    2bc sin A

    Formule des sinus :

    !

    a

    sin A =

    b

    sin B =

    c

    sin C

    Equation de droite :

    !

    ax + by + c = 0 quation de D qui admet pour vecteur directeur u (-b;a) et normal (""") v (a;b)

    H

    I C

    A

    a

    b c

    B