FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S

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1 / 5 www.mathforu.com FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans CC Le conjugué de z est : z = x " iy Module de z : z = z z = x 2 + y 2 Forme trigonométrique : z = "(cos# + i sin# ) où # = angle ( i , OM ) [2π] Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle ( i , OM ) = argument de z) Conjugué de z : z = "e #i$ Soient A et B d'affixes z A z B alors AB a pour affixe z B - z A et AB = z B " z A Propriétés des modules z = z ; 1 z = 1 z ; zz' = z z' Propriétés des arguments arg z z'= arg z + arg z' [2π] arg ( z z' ) = arg z - arg z' [2π] arg z = " arg z 2# [ ] Transformations usuelles soit une transformation telle que M ( z) " M '( z') Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω) EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS CC Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4 ac si Δ > 0 alors 2 solutions réelles z 1 = "b + # 2a ; z 2 = "b " # 2a et z 1 z 2 = c a ; z 1 + z 2 = "b a si Δ = 0 alors 1 solution réelle z 0 = " b 2a si Δ < 0 alors 2 solutions complexes z 1 = "b + i "# 2a ; z 2 = "b " i "# 2a et z 1 z 2 = c a ; z 1 + z 2 = "b a si Δ 0 alors az 2 + bz + c = a ( z " z 1 )( z " z 2 ) et si Δ = 0 alors az 2 + bz + c = a ( z " z 0 ) 2

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c est magnifique

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FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ;

!

i ,

!

j ) a pour affixe z : z = x + i y dans CC Le conjugué de z est :

!

z = x " iy Module de z :

!

z = z z = x2

+ y2

Forme trigonométrique :

!

z = "(cos# + isin#) où # = angle (i,OM) [2π] Forme exponentielle :

!

z = "ei# (avec

!

z = " et

!

" = angle (i,OM) = argument de z) Conjugué de z :

!

z = "e#i$ Soient A et B d'affixes zA zB alors

!

AB a pour affixe zB - zA et

!

AB = zB" z

A

Propriétés des modules

!

z = z ;1

z=1

z; zz' = z z'

Propriétés des arguments

arg z z'= arg z + arg z' [2π] arg (

!

z

z') = arg z - arg z' [2π]

!

arg z = "arg z 2#[ ]

Transformations usuelles soit une transformation telle que

!

M(z)" M '(z') Translation de vecteur

!

u d'affixe t : z' = z + t Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω =

!

ei" (z- ω)

EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS CC Soit l'équation

!

az2

+ bz + c = 0 et le discriminant

!

" = b2# 4ac

si Δ > 0 alors 2 solutions réelles

!

z1

="b + #

2a; z

2="b " #

2a et

!

z1z2

=c

a; z

1+ z

2="b

a

si Δ = 0 alors 1 solution réelle

!

z0

= "b

2a

si Δ < 0 alors 2 solutions complexes

!

z1

="b + i "#

2a; z

2="b " i "#

2a et

!

z1z2

=c

a; z

1+ z

2="b

a

si Δ ≠ 0 alors

!

az2

+ bz + c = a(z " z1)(z " z

2) et si Δ = 0 alors

!

az2

+ bz + c = a(z " z0)2

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IDENTITES REMARQUABLES (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3 ab2 - b3 a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 )

!

(a + b)n

= an

+n

1

"

# $ %

& ' a

n(1b + ......+

n

k

"

# $ %

& ' a

n(kbk

+ .......+n

n (1

"

# $

%

& ' ab

n(1+ b

n

SUITES Suites arithmétiques de raison r et premier terme

!

u0 alors

!

un+1 = u

n+ r ou u

n= u

0+ nr

Somme de n termes consécutifs de la suite =

!

"nbre de termes" •"1°terme" + "dernier"

2

en particulier

!

1+ 2 + 3+ .........+ n =n(n +1)

2

Suites géométriques de raison q et premier terme

!

u0 alors

!

un+1 = q.un ou un = u0qn

Somme de n termes consécutifs de la suite =

!

"1° terme" •1" q

nombre de termes

1- q avec q ≠ 1

en particulier

!

1+ x + x2

+ x3

+ .........+ xn

=1" x

n+1

1" x (x ≠ 1)

FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE

!

e0

=1 ; ea+b

= eaeb; e

a"b=ea

eb; (e

a)b

= eab; lne =1 ; ln1= 0 ; lnab = lna + lnb ; ln

a

b= lna " lnb

!

ax

= ex ln a

; lnax

= x lna ; y = ex" x = ln y

LIMITES USUELLES DE FONCTIONS

!

limx"+#

ln x = +#

!

limx"+#

ex

= +#

!

limx"#$

ex

= 0

!

limx"+#

ex

x= +# lim

x"$#xe

x= 0 lim

x"+#

ln x

x= 0

!

limx"+#

ex

xn

= +# limx"+#

ln x

xn

= 0 limx"$#

xnex

= 0 limx"+#

xne$x

= 0

!

limx"0

ln x = #$ limx"0

x ln x = 0 limx"0

sin x

x=1 lim

x"0

1# cos x

x= 0 lim

x"0

ln(1+ x)

x=1 lim

x"0

ex#1

x=1

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DERIVEES PRIMITIVES

f(x) f '(x) f(x) f '(x) f(x) f '(x)

k 0 x 1 xn nxn-1

!

1

x

!

"1

x2

!

1

xn

n " IN

!

"n

xn+1

!

x

!

1

2 x

ln x

!

1

x

!

ex

!

ex

!

ax

!

axlna

cos x -sin x sin x cos x tan x

!

1

cos2x

Opérations et application des dérivées

( u + v)' = u' + v' (k u)' = k u' (u v)' = u' v + u v'

!

1

u

"

# $ %

& ' '

=(u'

u2

!

u( )'=u'

2 u

!

(un)'= n u'u

n"1

!

u

v

"

# $ %

& ' '

=u'v ( uv '

v2

!

v o u( )'= u' " v'ou

!

(eu)'= u'e

u(lnu)'=

u'

u

Equation de la tangente à la courbe

!

Cf en A(a; f (a)) : y = f '(a)(x " a) + f (a) CALCUL INTEGRAL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES Si F primitive ce f alors

!

f (t) dta

b

" = F(b) # F(a) et si

!

g(x) = f (t) dt alors a

x

" g'(x) = f (x)

!

f (t) dta

b

" = # f (t) dtb

a

"

!

f (t) dta

c

" = f (t) dta

b

" + f (t) dtb

c

"

!

(" f (t) + # g(t))dt =" f (t) dta

b

$ + # g(t) dta

b

$a

b

$ si a ≤ b et f ≥ 0 alors

!

f (t) dta

b

" ≥ 0 ; si a ≤ b et f ≤ g alors a

!

f (t) dta

b

" # g(t) dta

b

"

!

si a " b et m " f " M alors m(b # a) " f (t) dt " M(b # a)a

b

$ Intégration par parties

!

u(t)v '(t) dt =a

b

u(t) v(t)[ ]a

b

" # u'(t)v(t) dta

b

" Equa diff

Les solutions de

!

y'= ay + b sont des fonctions f (x) = Ceax"b

a où C est un réel

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PROBABILITES Dénombrements : n! = 1 x 2 x 3 x … x n avec 0! = 1 et (n+1)! = n! x (n+1)

Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est noté

!

n

p

"

# $ %

& '

!

n

p

"

# $ %

& ' =

n(n (1)....(n ( p +1)

p!=

n!

p! (n ( p)! ;

n

p

"

# $ %

& ' =

n

n ( p

"

# $

%

& ' ;

n

p

"

# $ %

& ' =

n (1

p (1

"

# $

%

& ' +

n (1

p

"

# $

%

& ' ;

n

1

"

# $ %

& ' = n

Développement

!

(a + b)n

= an

+n

1

"

# $ %

& ' a

n(1b + ...+

n

k

"

# $ %

& ' a

n(kbk

+ ...+ bn

Généralités :

!

P(A" B) = P(A) + P(B) # P(A$ B) ; P(A ) =1# P(A) ; P(%) =1 ; P(&) = 0

En cas d'équiprobabilité

!

P(A) =nombre d'éléments de A

nombre d'éléments de "=

"nombre de cas favorables"

"nombre de cas possibles"

Proba de B sachant A :

!

PA(B) =

P(A" B)

P(A) ; si A et B sont indépendants P(A" B) = P(A) # P(B)

TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a sin(2a) = 2sin a cos a Valeurs remarquables

0

!

"

6

!

"

4

!

"

3

!

"

2

!

"

sin 0

!

1

2

!

2

2

!

3

2 1 0

cos 1

!

3

2

!

2

2

!

1

2 0 -1

tan 0

!

3

3 1

!

3 n'existe pas 0

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Produit scalaire

!

u et v tels que u =OA ; v =OB ; soit " = angle (OA,OB) alors u•v =OA•OB =OA #OB # cos" si

!

u(x;y) et v(x';y ') alors u•v = xx'+yy'

!

si OB se projette en OH sur OA alors u•v = OA "OH (si les vecteurs sont de même sens)

u•v = -OA "OH (si sens contraires)

!

u et v sont orthogonaux " u•v = 0 Al Khashi :

!

a2

= b2

+ c2" 2bc cos ˆ A

Théorème de la médiane :

!

c2

+ b2

= 2AI2

+a2

2

Aire du triangle :

!

S =1

2bc sin ˆ A

Formule des sinus :

!

a

sin ˆ A =

b

sin ˆ B =

c

sin ˆ C

Equation de droite :

!

ax + by + c = 0 équation de D qui admet pour vecteur directeur u (-b;a) et normal (""") v (a;b)

H

I C

A

a

b c

B