Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2016/2017

MPSI 4 – Mathématiques

A. Troesch

Formulaire 1 – Fonctions circulaires, trigonométrie

• Fonctions trigonométriques

|

|cos(x)

sin(x)tan(x)

1

i

U

a

b = a cos(θ)

θ

c = a sin(θ)

Dans le cercle trigonométrique :

sin(x) = ordonnée cos(x) = abscisse tan(x) = voir dessin

Géométrie du triangle :

sin(θ) =côté opposéhypothénuse

=c

acos(θ) =

côté adjacenthypothénuse

=b

atan(θ) =

côté opposécôté adjacent

=c

b=

sin(x)

cos(x)

| | | | | | | | | | | | |

||

|

x 7→ sin(x)x 7→ cos(x)

π

2

π

3π

2−π

2−π

− 3π

2

1

−1

x 7→ tan(x)

| | | | | | | | | | | | |

||

||

||

|

π

2

π 3π

2−π

2−π− 3π

2

1

−1

• Dérivées

d

dxcos(x) = − sin(x)

d

dxsin(x) = cos(x)

d

dxtan(x) = 1 + tan2(x) =

1

cos2(x).

• Valeurs particulières

0π

6

π

4

π

3

π

2

sin

cos

tan

01

2

√2

2

√3

21

1

√3

2

√2

2

1

20

01√3

1√3 −

1

• Relations remarquables

sin(x+ 2π) = sin(x) cos(x+ 2π) = cos(x)

sin(x+ π) = − sin(x) cos(x+ π) = − cos(x) tan(x+ π) = tan(x)

sin(

x+π

2

)

= cos(x) cos(

x+π

2

)

= − sin(x) tan(

x+π

2

)

= − 1

tan(x)

sin(π

2− x

)

= cos(x) cos(π

2− x

)

= sin(x) tan(π

2− x

)

=1

tan(x)

• Principales formules de trigonométrie

sin2(x) + cos2(x) = 1

sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b d’où :

sin(2a) = 2 sina cos a cos(2a) = 2 cos2(a)− 1

sin2 a =1− cos 2a

2cos2 a =

1 + cos 2a

2

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q

2cos p+ cos q = 2 cos

p+ q

2cos

p− q

2

sinx =2t

1 + t2cosx =

1− t2

1 + t2tanx =

2t

1− t2où t = tan

t

2.

• Fonctions sinusoïdales

∗ Ce sont les fonctions définies par t 7→ f(t) = A sin(ωt+ ϕ) ou f(t) = A cos(ωt+ ϕ).

∗ A est l’amplitude ; ω est la pulsation ; ϕ est la phase.

∗ Fréquence : f = ω

2πPériode : T = 2π

ω.

∗ Changement d’origine t′ = t− t0 ; on obtient une autre sinusoïde : g(t) = A sin(ωt′ + ϕ+ ωt0) :

même amplitude, même pulsation, phase augmentée de ωt0 (de même avec cos.

∗ Déphasage entre deux sinusoïdes de même pulsation f(t) = A1 sin(ωt+ ϕ1) et g(t) = A2 sin(ωt+ ϕ2) :

c’est la quantité ϕ2 − ϕ1, invariant par changement d’origine.

∗ Les deux sinusoïdes A sin(ωt+ ϕ) et A cos(ωt+ ϕ) sont déphasées l’une de l’autre de π

2.

∗ Dérivée :d

dtA sin(ωt+ ϕ) = Aω cos(ωt+ ϕ),

d

dtA cos(ωt+ ϕ) = −Aω sin(ωt+ ϕ)

Ce sont encore des sinusoïdes. Ne pas oublier le facteur ω (dérivée composée).

∗ Autre représentation des sinusoïdes :

a sin(ωt) + b cos(ωt) = A sin(ωt+ϕ) = A cos(ωt+ϕ′) où A =√

a2 + b2 et (cos(ϕ), sin(ϕ)) =

(

a

A,b

A

)

,

Si a > 0 et b 6= 0, ϕ = Arctan

(

b

a

)

= Arcsin

(

b

A

)

. De même :

a sin(ωt) + b cos(ωt) = A cos(ωt+ ϕ′)A où A =√

a2 + b2 et (cos(ϕ), sin(ϕ)) =

(

b

A,− a

A

)

,

Si a > 0 et b 6= 0 : ϕ = −Arctan

(

b

a

)

= −Arccos

(

b

A

)

.

∗ Somme de deux sinusoïdes de même amplitude et même pulsation :

A sin(ωt+ ϕ1) + A sin(ωt+ ϕ2) = A′ sin

(

ωt+ϕ1 + ϕ2

2

)

où A′ = 2 cosϕ2 − ϕ1

2

∗ Produit de deux sinusoïdes de même pulsation :

A1 sin(ωt+ ϕ1)A2 sin(ωt+ ϕ2) =1

2A1A2(cos(ϕ2 − ϕ1)− cos(2ωt+ ϕ1 + ϕ2)).

À une constante additive près, on obtient une sinusoïde de fréquence deux fois plus importante, donc de

période deux fois plus petite.

Valeur moyenne :1

T

∫

T

0

A1 sin(ωt+ ϕ1)A2 sin(ωt+ ϕ2) dt =1

2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1).

∗ Cas particulier :

sin2(ωt) =1

2− 1

2cos(2ωt), cos2(ωt) =

1

2+

1

2cos(2ωt),

1

T

∫

T

0

cos2(ωt) dt =1

T

∫

T

0

cos2(ωt) dt =1

2.

2