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5 Esercitazioni

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 7Data ultima revisione 29/06/00 Autore: Giovanni Alberto Ummarino

Politecnico di TorinoCeTeM

Esercizi svolti

Esercizio 5.1

Una particella α, di carica eq 2= (e=-1.6 10-19 C è la carica dell’elettrone) e massa

m=6.68 10-27 Kg, è in moto in un campo magnetico di intensità B=1 T con velocità pari a1/15 della velocità della luce, ortogonale al campo. Calcolare il raggio della sua traiettoriae il periodo di rotazione.

Soluzione:

cmqBmv

R 42≅=

sec103.122 7−⋅≅==qB

mT

πωπ

Esercizio 5.2Un elettrone è accelerato da una differenza di potenziale pari a 5000 V ed è diretto versouna regione in cui vi sono due elettrodi piani paralleli, distanti tra loro 5 cm, ai quali èapplicata una differenza di potenziale pari a 1000 V. L’elettrone entra perpendicolarmenteal campo E

v presente tra i due elettrodi. Determinare il campo B

v che deve essere

presente tra gli elettrodi affinchè l’elettrone non venga deviato.

Soluzione: Inizialmente l’elettrone viene portato ad una velocità v 0 che si ottieneuguagliando la sua energia cinetica (supponiamo trascurabile la sua velocità iniziale) allavoro compiuto dalla prima differenza di potenziale:

sec/102.42

21 71

001 mm

VevvmVe

ee ⋅≅=⇒= .

Quando si trova tra i due elettrodi è soggetto ad una forza di natura elettrostatica, diretta

dall’elettrodo negativo verso quello positivo, di modulo dVeEeFe

2== , dove d è la

distanza tra i due elettrodi, e, se il campo Br

è ortogonale alla velocità e parallelo aglielettrodi, ad una forza di Lorentz di modulo BveFm 0= . Ugualiando le due forze si ricava:

.108.4 4

0

2 Tdv

VB −⋅≅=

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Esercizio 5.3

Una spira rettangolare di lati a e b, percorsa da una corrente di intensità i, è immersa in uncampo magnetico uniforme B

r che forma un angolo θ con la normale al piano della spira

(vedi figura). Determinare la forza e il momento meccanico risultanti sulla spira e la suaenergia potenziale.

Soluzione: I due lati di lunghezza a sono soggetti a due forze di ugual modulo iaBFa = ,ugual direzione (ortogonale sia al campo, sia ai lati) e verso opposto. Lo stesso avvieneper i lati di lunghezza b, sui quali agiscono forze di modulo θcosibBFb = . La risultantedelle forze agenti sulla spira è quindi nulla.Per calcolare il momento meccanico si osservi che la coppia di forze agenti sui lati dilunghezza b ha braccio nullo, mentre quella delle forze agenti sui lati dilunghezza a habraccio θbsin , e quindi il momento meccanico risultante ha modulo θτ iabBsin= e tendead allontanare i lati di lunghezza b dalla direzione del campo: Introducendo il vettoremomento di dipolo magnetico

niArr =µ ,

dove A=ab è l'area della spira ed nr

il versore ad essa normale, si può scrivere la relazionevettoriale

Brrr ∧= µτ .

L'energia potenziale della spira può essere calcolata come il lavoro necessario per portarela spira da una posizione di riferimento (scegliamo 2/0 πθ = ) alla generica posizione

caratterizzata dall'angolo θ formato dai vettori Br

ed nr

.Si ha quindi:

( ) BBdBsindUrr •−=−=== ∫∫ µθµθθµθτθ

θ

π

θ

πcos

2/2/,

espressione analoga a quella già nota per un dipolo elettrico in campo uniforme (oppureper un pendolo semplice in campo gravitazionale, per cui la spira avrà la stessa dinamicae in particolare lo stesso periodo).

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Esercizio 5.4

La bobina di un galvanometro è costituita da N spire piane di area A; essa ha un momentod'inerzia I ed è sospesa mediante un filo di torsione di costante elastica k in un campo diinduzione magnetica B

r; in condizioni di riposo la normale alle spire è perpendicolare a B

r.

A partire dall'istante t=0 nella bobina viene iniettata una corrente tT

sinii

= π2

0 per un

intervallo di tempo pari a T/2.a) Supponendo che nell'intervallo di tempo in cui fluisce la corrente l'angolo di cui ruota la

bobina sia molto piccolo, così che il momento torcente del filo sia trascurabile,calcolare la velocità angolare che la bobina possiede all'istante t= T/2.

b) Mostrare che l'ampiezza delle oscillazioni libere che la bobina compie una voltacessato il flusso di corrente è proporzionale alla carica elettrica totale fluita nellabobina. Si trascurino gli attriti ed il coefficiente di autoinduzione e si considerino leoscillazioni di piccola ampiezza.

Soluzione:a) La corrente iniettata dall'istante t=0 determina un movimento della spira stessa

soggetta ad un momento

Brrr ∧= µτ

dove

nNAirr =µ

Essendo Bnrr

⊥ si ha

NAiB=τ

Per cui si trova

NAiBI =α

Dove θα &&= rappresenta l'accelerazione angolare. Integrandola tra 0 e T/2 si trova lavelocità richiesta:

∫ ==

=

2/

000 ...

2T

ITNABi

tdtT

sinI

NABiπ

πθ&

b) Cessato il flusso di corrente la bobina è soggetta al momento torcente del filo, per cuisi ha:

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θθ kI −=&&

la cui soluzione, dello stesso tipo di quella vista per una molla e per il pendolo, è

( )tsin ωθθ 0=

dove Ik

=ω . Per cui ( )tIk

ωθθ cos0=& .

A t=0 (cioè quando si spegne la corrente) si sa, dal punto a), che

πθ

ITNABi0=& .

Abbinando le due espressioni scritte per θ& si trova che l'ampiezza dell'oscillazione è:

kI

TNABi

πθ 0

0 =

Essendo inoltre

πTi

idtQT

02/

0... === ∫

si ottiene infine la proporzionalità tra 0θ e Q

kI

NABQ

=0θ

Esercizio 5.5Un protone di massa m e carica +e ed una particella di massa 4m e carica +2e simuovono in un campo magnetico uniforme descrivendo circonferenze di uguale raggio,con velocità non relativistica.a) Calcolare il rapporto tra le velocità lineari, le velocità angolari e le energie cinetiche.b) Qualora le particelle descrivessero eliche identiche, calcolare i rapporti tra le

componenti parallela e perpendicolare all'asse dell'elica della velocità lineare.

Soluzione:a) Il raggio R della circonferenza descritto da una particella di massa m e carica q che si

muove in un campo magnetico B con velocità lineare v è dato da

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qBmv

R =

Nel presente problema le due particelle sono immerse nello stesso campo magnetico edescrivono circonferenza uguali, per cui imponendo αRRp = si trova il rapporto tra le

velocità lineari

224 ===

p

pp

mq

mq

v

v

α

α

α

Essendo Rv ω= si ha che il rapporto tra le velocità angolari è

2=αω

ωp

Infine essendo l'energia cinetica 2

2mvE =

4=αE

Ep

b) La componente perpendicolare all'asse dell'elica si ottiene considerando lacomponente del moto lungo la circonferenza, per cui:

2==⊥

⊥

p

pp

mq

mq

v

v

α

α

α

La componente parallela all'asse dell'elica è tale da fare percorrere alla particella un tratto

L (passo dell'elica) in un tempo ωπ2=T , pari cioè al periodo impiegato per percorrere la

circonferenza.Descrivendo eliche identiche, i due passi saranno uguali, per cui:

ppLvL

ωπ

ωπ

ααα

22//// ==

cioè:

2//

// =αv

vp

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Esercizi proposti

Esercizio 5.6

Un protone di carica Cq 19106.1 −⋅=+ e massa kgm 27106.1 −⋅= con energia cineticaMeVE 5= entra in direzione formante un angolo °= 30iθ con l'asse x in una regione

dove esiste un campo magnetico di induzione TB 1= , perpendicolare al piano edentrante. Calcolare:

a) l'angolo uθ tra la direzione lungo la quale il protone esce dal campo e l'asse x;

b) la distanza 2d tra il punto di uscita uP ed il punto di ingresso iP sull'asse x, illustrandoin figura la traiettoria del protone;

c) dire se è variata l'energia del protone e spiegare il perché.

PuPiθi

B

x

Risultato:a) °= 30uθ ; b) md 3.02 = ; c) No…

Esercizio 5.7Un piccolo magnete con momento di dipolo µr orientato lungo l'asse x è sospeso ad un filocon costante elastica torsionale k. Il momento d'inerzia del magnete rispetto all'asse delfilo (asse z) sia J . Qual è il periodo T delle piccole oscillazioni torsionali del dipolo allorchèesso sia inserito in una regione di campo magnetico B

r diretto lungo l'asse y?

Risultato:

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kBJ

T+

=µ

π2

Esercizio 5.8Un filo metallico di massa m scivola senza attrito su due rotaie poste a distanza d. Ilbinario è posto in un campo di induzione magnetica B diretto perpendicolarmente al pianodel binario.Una corrente costante i circola dal generatore G lungo una rotaia, attraversa il filo e tornaal generatore attraverso l'altra rotaia. Trovare la velocità (modulo, direzione e verso) delfilo in funzione del tempo nell'ipotesi che esso sia fermo per t=0.

Risultato:

midBt

v =

Esercizio 5.9Una spira rettangolare di filo percorsa da una corrente di 2 A è sospesa verticalmente eattaccata al piatto destro di una bilancia. Quando il sistema è bilanciato, viene introdotto inun campo magnetico esterno. Il campo agisce solamente nella parte inferiore della spira indirezione perpendicolare al lato della spira. Sapendo che la spira è larga 20 cm ed ènecessario aggiungere una massa di 13.5 g sul piatto sinistro della bilancia per equilibrareil sistema, determinare B.

Risultato:B=0.33 T

Esercizio 5.10

Un filo rettilineo conduttore di sezione circolare costituito da un materiale di densità pari a2.5 g/cm3 è posto in un campo magnetico uniforme in modo che l'asse del filo siaperpendicolare alla direzione del campo. Nel filo si stabilisce una densità di corrente di2.4x106 A/m2 e si fa aumentare il campo magnetico fino a quando la forza magneticaagente sul filo bilancia esattamente quella gravitazionale. Calcolare il valore di B alraggiungimento di questa condizione.

Risultato:B=1.1 x 10-4 T

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