DOCENTE ELMER TIGRE HUAMAN CALLE 1 FÍSICA - I

θ

TEMAS: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL

Tema 1: Análisis dimensional MEDIR Es comparar una magnitud con otra de su misma especie, llamada patrón. MAGNITUD FÍSICA Es todo aquello que es susceptible a ser medido. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS POR SU ORIGEN: a) Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes. Las magnitudes fundamentales en el sistema internacional (S.I) son las siguientes:

Magnitud fundamental Símbolo Unidad en el S.I Longitud L Metro (m) Masa M Kilogramo (kg)

Tiempo T Segundo (s) Temperatura termodinámica

θ Kelvin (k)

Intensidad de corriente eléctrica

I Amperio (A)

Intensidad luminosa J Candela (Cd) Cantidad de sustancia N Mol (mol)

b) Magnitudes Derivadas Aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales.

Magnitudes derivadas expresadas en el sistema Internacional (S.I):

Magnitud derivada Fórmula física

Fórmula dimensional

Unidad en el S.I

Área A = l.a 2L 2m

Volumen V = I.a.h 3L 3m

Densidad D = m/v 3L M− 3

kg/m

Peso específico. γ = W/V 2 2L MT− −

3N/m

Velocidad v = e/t 1LT − m/s

Aceleración a = ∆v/t 2LT −

2m/s

Fuerza F = m.a 2LMT −

Newton(N)

Trabajo

W = F.e 2 2L MT −

Joule(J)

Potencia P = W/t 2 3L MT −

Watt(W)

Presión

p = F/A 1 2L MT− −

Pascal(Pa)

Velocidad angular ω = Ф/t 1T −

rad/s

Aceleración angular α = ω/t 2T −

2rad/s

Frecuencia f = 1/t 1T −

Hertz(Hz)

Impulso i = mv 1LMT −

m.kg/s

Caudal C = V/t 3 1L T − 3m /s Capacidad calorífica K=Q/m∆T 2 2 1L MT θ− −

J/kg.°K

Carga eléctrica q = it IT

Coulomb

Carga magnética q* = il IL /A m Campo eléctrico E = F/q 3 1LMT I− −

/N C

Campo magnético B = F/ q* 2 1MT I− − Tesla

Flujo magnético Ø = BA 2 2 1

L MT I− −

Weber

Resistencia eléctrica R = V/i 2 3 2L MT I− − Ohmio

Potencial eléctrico V = W/q 2 3 1

L MT I− −

( )Voltio V

c) Magnitudes Suplementarias Ángulo plano (Ø), Ángulo sólido (Ω) ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas en donde aparecen una o más incógnitas. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. NOTACIÓN [A]: Se lee dimensión de A Reglas importantes en las ecuaciones dimensionales: 1. Los números, ángulos, logaritmos y funciones

trigonométricas no tienen dimensiones, pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad, es decir:

[Número]=1

2. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Se debe cumplir que todos los miembros de una expresión dimensional deben ser homogéneos. Así: Si: x + y + z = w, entonces:[x] =[y] = [z] = [w]

3. Todo exponente es una cantidad adimensional; es decir:

Si

y+z

wA= x , entonces: y+z

1w

=

Nota: La energía, el momento de fuerza, el calor y el trabajo poseen igual fórmula dimensional. Asimismo, periodo representa tiempo, peso y empuje representan fuerza; altura, distancia y radio longitud, etc. Fórmulas Empíricas. Si la magnitud m depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deberá verificar la siguiente relación:

zyx cbkam = ; Siendo k la constante numérica de proporcionalidad. a, b y c exponentes

Tema 2: Análisis vectorial Vector.- Es un ente matemático que sirve para representar magnitudes vectoriales. Notación: se denota utilizando cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior:

→

A : Se lee Vector “A”.

Otra notación es: θA = Ar r

Elementos de un vector:

Módulo: →

A = A

Es la magnitud, longitud o intensidad del vector.

Dirección: θ Representa el ángulo medido en sentido antihorario, respecto al eje x positivo. Origen: “O” Punto donde nace el vector. Las magnitudes de acuerdo a su naturaleza se clasifican en Magnitudes Escalares, magnitudes vectoriales y magnitudes tensoriales.

DOCENTE ELMER TIGRE HUAMAN CALLE 2 FÍSICA-I

θ

B

A

R

θ

MAGNITUDES ESCALARES: Son aquellas que para quedar completamente definidas requieren de un número y una unidad. Ejemplo:

10

Número

Unidad

kg

90

Número

s

Unidad

:Masa :Tiempo

Así mismo se consideran magnitudes escalares: área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia, potencial, distancia recorrida, etc. MAGNITUDES VECTORIALES: Son aquellas que para quedar completamente definida requieren además de un módulo, una dirección y sentido. Ejemplo: La Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, momento de fuerza, cantidad de movimiento, intensidad de campo, etc. MAGNITUDES TENSORIALES: Son aquellas que para quedar completamente definidas necesitan de un número, una unidad física y una ubicación en el espacio Ejemplo: presión, temperatura PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Dado un vector Ar

y un escalar C, su producto C. Ar

es

un vector colineal con Ar

.

Ar

8Ar

A−r

OPERACIONES CON VECTORES. SUMA DE VECTORES (método grafico) Tener presente que la suma vectorial es diferente a la suma escalar. Básicamente para sumar vectores, es necesario ubicarlos gráficamente uno a continuación de otro, respetando su dirección y sentido. La suma o resultante ( )R es un

vector, que cierra el polígono formado por los vectores a sumar como se aprecia en la figura.

M: Origen del primer vector N: fin del último vector.

Dicha resultante posee las siguientes características.

Origen: En M Dirección: Dada por los puntos M y N. Sentido: de M a N. Módulo: Medida desde M y N.

Nota: Si el polígono vectorial es cerrado, la resultante es cero. R = 0 MÉTODO DEL PARALELOGRAMO (método analítico) SUMA DE VECTORES: Para sumar 2 vectores que no son colineales y que forman un ángulo entre sí, los ubicamos uno a continuación del otro, como se aprecia en el gráfico

Observamos que:

- La suma de los vectores o resultante Rr

cumple con la propiedad conmutativa es decir:

ABBArrrr

+=+ - La resultante es la diagonal del paralelogramo,

además el ángulo entre los vectores se forma en el punto de concurrencia de los orígenes de ambos vectores.

- El módulo de la resultante la calculamos utilizando la fórmula matemática conocida como Ley de cosenos:

Suma de Vectores Colineales En este caso particular la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores.

Resultante máxima Ar

Br

maxR = A + B La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman entre si un ángulo de cero grados.

Resultante mínima Ar

Br

minR = B - A

La resultante de dos vectores es mínima, cuando forman entre sí un ángulo de 180º. La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos.

β αR A B

= = Senθ Sen Sen

Casos especiales: Para un par de vectores que tengan el mismo módulo (K), la resultante es bisectriz y además:

Caso

Módulo de la resultante

2K R =

3K R =

K R =

Sustracción de dos Vectores Concurrentes y Coplanares

θ

→→→

−= BAD

θ)-02AB.cos(18BAD 22 ++=

2AB.cosθ2

B2

AR ++=

ar

br

cr

dur

K

K

2k

45º 45º

K

K 3k

30º 30º

60º 60º

K

K

K

A B C

D

D

C

N

M

A

B

R

θ

A

B

DOCENTE ELMER TIGRE HUAMAN CALLE 3 FÍSICA-I

ir

i−r

jr

j−r

Vectores Perpendiculares Cuando dos vectores entre sí forman un ángulo recto ( 90θ = ° ), la resultante y la diferencia tienen el mismo módulo y se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

2 2

2 2

= +

= +

2 2

2 2

R = A + B + 2ABCOS(90°) A B

D = A + B - 2ABCOS(90°) A B

Componentes de un vector Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el método del polígono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.

Descomposición rectangular Consiste en expresar un vector en función de dos componentes que formen entre si un ángulo recto.

Ar

xAry

Ar

θx

y

La componente en el eje x es: AX = A Cosθ La componente en el eje y es: Ay = A Senθ

Se puede descomponer utilizando triángulos notables en casos muy particulares.

Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos:

111... Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares.

222... Se halla la resultante en el eje x e y (Rx, Ry), por el método de vectores colineales.

333... El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras.

+2 2

X YR = R R

VECTOR UNITARIO Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene como objetivo indicar la dirección de un determinado vector.

Au =

A

urr

ur

Propiedad

• Si →→

↑↑2

V1

V →→

=⇒21

uu

→

→

→

→

=2

2

1

1

V

V

V

V

• Si →→

↑↓2

V1

V →→

−=⇒21

uu

VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS Son aquellos vectores que se encuentran en los ejes cartesianos y cuyo módulo es la unidad.

Sean: ),( yxa =→

y ),( wzb =→

→

a en función de los vectores unitarios cartesianos:

jyixa ˆˆ +=→

Módulo de →

a : 22

yxa +=

Vector unitario de →

a : 22

),(

yx

yx

a

au

+==

→

→

→

→

a ± →

b : ( )wyzx ±± ,

Si →

a y →

b son codirigidos:

→

a = K→

b

Si →

a y →

b son opuestos: →

a = -K→

b

K: escalar (un número)

Ejercicios

1. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Determinar la ecuación dimensional de “x”.

.......E Mvx Mvx Mvx= + + + ∞ Donde; M : masa; v : velocidad:

a) 1 1M L T− −

b) 3 1M L T− −

c) 1 2M L T− −

d) 1 3M L T− −

e) 1 1 1M L T− − −

2. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. Hallar: “x – 2y”

( )-1x y xa vt k= +

Siendo; a : aceleración; v : velocidad; t : tiempo

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 3. En la expresión:

( )30 2 6060

12 10

Sen CosmBL Tg

n

e C FTg A

πα° °

°

−

± + =

Hallar las dimensiones de C para que sea dimensionalmente homogénea, donde: α: ángulo en radianes L: longitud F: fuerza e: base de los logaritmos neperianos m y n: números

a) 1/ 2 3/ 2 3M L T− −

b) 1 3/ 2 3M L T− −

c) 3/ 2 3/ 2 3M L T− −

d) 3/ 2 3/ 2 3M L T− − −

e) 3/ 2 3/ 2 2M L T− − −

4. Si se tomaran como magnitudes fundamentales la

aceleración (A), la masa (M) y el tiempo (T), ¿cuál sería la fórmula dimensional de la constante de gravitación universal (G)?

a) 3 4 4A M T−

b) 2 1 4A M T−

c)

3 2 4A M T− d)

3 1 4A M T−

e) 2 3 4A M T−

5. Si 2 3 5P M L T−= .Hallar la fórmula de P como una

función del momento de una fuerza (M0), de la densidad (σ ) y de la velocidad angular(ω )

a) 3/5 7 /5 31/5

0.k M σ ω− b)

3/5 7 /5 31/3

0.k M σ ω−

c) 3/5 4 /5 31/5

0.k M σ ω− d)

2/5 7 /5 31/5

0.k M σ ω−

e) 1/5 7 /5 31/5

0.k M σ ω−

2AB.cosθ2

B2

AD −+=

DOCENTE ELMER TIGRE HUAMAN CALLE 4 FÍSICA-I

6. La fórmula para el periodo T en un cierto sistema es:

22 ( )X

R KT

R g

π +=

Donde R es radio y g es la aceleración de la

gravedad. Halle el valor de x.

a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25

7. En la siguiente fórmula: kµε

=

µ : Permeabilidad magnética

ε : Permitividad eléctrica.

Determinar que magnitud representa k a) Capacidad eléctrica b) Resistencia eléctrica c) Inductancia d) Intensidad de corriente eléctrica e) Inducción magnética

8. En la siguiente ecuación, dimensionalmente correcta.

Halle las dimensiones de “x”. 2 2

2

Ptg A Zx

W

α −=

Siendo: A = Área; α = 45°; P = Presión; W = Trabajo.

a) 4 2ML T −

b) 3M L c)

3 3M L−

d) 3ML−

e) 1 4 2M L T− −

9. La velocidad crítica “c

v ”, a la cual el flujo de un líquido

a través de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad “η ”, de la densidad “ ρ ” del

fluido, del diámetro “D” del tubo y de una constante

adimensional “R”. Si [ ] 1 1ML Tη − −= , la dependencia

de “c

v ” con η , ρ ,D y R es:

a) R

D

ηρ b)

R

Dηρ c)

R Dηρ

d) R

D

ηρ

e) R Dηρ

10. Hallar las fórmulas dimensionales de P y Q.

+−

= +− − +

2

2 2 1/2

3 3 2 2

1 2 1 2 1

( )( )

( ) ( )

fE t

P m n hfQ

b b d d K m d

Donde: m = masa; t = tiempo h = altura; f = frecuencia E = energía; b1= aceleración

a) -3 4 -7 -2; M L T T

b) -3 4 -5 -2; M L T T

c) -3 -3 2; M LT L

d) -3 4 -6 2; M L T T

e) -3 4 -6 -1; M L T T

11. Hallar la fórmula dimensional de X en la siguiente

ecuación φ

φ° =

+ °

24 30 2

4( 36 )

QRSenSen m Pe

XAQSen

m = masa; P = presión R = fuerza; A = área e = base de logaritmos neperianos

a) 2 2LM T

b) -2 2LM T

c) -1 2 -2L M T

d) -1 -2 2L M T

e) 2 -2LM T

12. Se tiene un nuevo sistema de unidades, donde las

magnitudes fundamentales son el área (A); la densidad (D) y la velocidad (V). En este nuevo sistema, el trabajo viene expresado por:

a) 3 2A DV

b) 2/3 2A DV

c) 3/2 2A D V

d) 3/2 3A DV

e) 3/2 2A DV

13. Se forma un sistema cuyas unidades son:

a) Velucio (velocidad de la luz = 300000 km/s) b) Gravio (Aceleración de la gravedad) c) Trevio (Trabajo necesario para elevar una masa

de 1 kg hasta una altura de 1 m) Hallar la equivalencia entre la unidad de masa del sistema dado y la unidad de masa del sistema CGS absoluto.

a) , -121 05.10 g

b) 39 -11.0 .10 g

c) 7-11.05.10 g

d) 48 -11.0 .10 g

e) 72 -11.0 .10 g

14. Partir del esquema mostrado encontrar una expresión

vectorial para xr

en función de Ar

y Br

, siendo la figura un paralelogramo.

rA

rB

rX

a) +

r r2

4

A B

b) +

r r2

2

A B

c) +

r r2

4

A B

d) +

r r2

3

A B

e) +

r r3 2

4

A B

15. Dos fuerzas: 1 ( 3)F t i= −r r

y 2 (12 2 )F t j= −r r

actúan sobre una partícula, variando a medida que transcurre el tiempo. Hallar la fuerza resultante cuando ambas fuerzas tengan igual módulo.

a) (6 6 )i j N+r r

b) ( )i j N+r r

c) (6 )j Nr

d) (3 3 )i j N+r r

e) (2 2 )i j N+r r

DOCENTE ELMER TIGRE HUAMAN CALLE 5 FÍSICA-I

Ar

Br

1

4

3

2

1

32 x

y

16. Sean los vectores:

( 1) 2 ( )A m i j m n k= − + + −rr r r

3 (6 )B i n j= + −r r r

Si / /A B y A B≠r rr r

; hallar: A B−r r

a) 2 2i j+r r

b) 5 5i j+r r

c) i j−r r

d) i j− −r r

e) i j+r r

17. Hallar el vector unitario de B A−rr

si

11B = ; 2A =

(2,0,0)

(0, 2,0)

(0,0,6)

Br

Ar

y

x

z

a)( 2 3 )

13

i k− +rr

b)( 2 3 )

13

j k− +rr

c)( 2 3 )

14

i j k− − +rr r

d)(2 3 )

13

j k−rr

e) kr

18. Se tiene un paralelogramo ABCD donde AP = AC/5 y BR = BC/3. Hallar el valor numérico de (r-s), si

PR r AD s AB= +uuur uuur uuur

AP

B R C

D

a)3/4 b)14/15 c)1 d)-2/3 e)-14/15 19. Si la resultante del sistema de vectorial está en la

dirección de Br

, siendo C=2 y D=12, calcular el

módulo de Ar

rA

rB

rC

rD

60°

53°

a)6 b)7 c)8 d)9 e)10 20. Si la resultante del sistema mostrado está en el eje X y

es igual a 3900 N, encontrar: a) Las tensiones (1) y (2), si 74α = °

b) ¿qué valor debe tener α para que 2T sea mínima?

x°37

α

1

2laguna

a) 4000 N, 2500 N, 26° b) 4000 N, 2500 N, 53° c) 4000 N, 2500 N, 74° d) 4000 N, 2500 N, 16° e) 4000 N, 2500 N, 60°

21. Los vectores xr

e yr

, de igual módulo, forman 106°, si

80x y− =r r

. Halle x y+r r

a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40

22. Cuando un velero guarda reposo en el mar, su bandera flamea en la dirección O37°S. Cuando con el motor encendido el velero marcha en la dirección E53°S a razón de 9 m/s la bandera flamea en la dirección Oeste. Halle el módulo de la velocidad del viento en m/s. a) 9 b) 12 c) 15 d) 16 e) 17

23. El ángulo entre dos vectores es 150°, uno de ellos mide 10. Halle el módulo del vector resultante sabiendo que es el mínimo posible. a) 2 b) 3 c) 5

d) 5 3 e) 2 3

24. Siendo ar

y br

vectores unitarios y cumpliéndose que:

3 1a b a b+ − − = −r rr r

, halle el ángulo formado

entre ar

ybr

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

25. En el triángulo vectorial 8B C− =rr

, halle el módulo

del vector resultante

Ar B

r

Cr

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

26. Desde un vértice de un triángulo equilátero se trazan

los vectores Ar

y Br

sobre los lados, y Cr

que llega hasta el centro de la circunferencia inscrita, halle la

suma de vectores en función de Cr

.

a) 2Cr

b) 3Cr

c) 4Cr

d) 5Cr

e) 6Cr

27. Dados: 5a =r

, 2b =r

y el ángulo que forman

82°,halle a b+rr

a) 17 b) 21 c) 23

d) 29 e) 31 28. Desde el vértice de un cubo de lado “a” se trazan tres

vectores los cuales se ubican sobre las diagonales de las caras contiguas. Halle el módulo de la suma de los vectores.

a) 3a b) 3

2a c) 2 3a

d) 3 3a e) 4 3a

29. Dada la relación para dos vectores ar

ybr

2 2 2 3a a b a b= + = + =r rr r r

, hallar br

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

30. Determinar la magnitud del vector suma A B+r r

a) 2 2 b) 3 c) 4

d) 5 2

e) 6 2

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31. El vector resultante del sistema es: 8 6R i j= − −r r r

.

Hallar el vector Ar

.

Cr

Br

Ar 3

2

3

15−

y

x

a) 3 4i j+

r r b) 5 8i j−

r r

c) 3 7i j−r r

d) 3 6i j+r r

e) 4 11i j−r r

32. Los vectores mostrados en la figura satisfacen la relación:

B C A Dα β− = +r rr r

Halle: α β−

Ar

Dr

Br

Cr

a a2a a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -1

33. Si “O” es el centro del cuadrado siendo ar

y br

vectores

unitarios, halle la expresión del vector cr

en términos

de ar

y br

. Considere el cuadrado de lado 2

br

ar

cr

O

a) 2.a b+rr

b) 2.a b−rr

c) 2. 2.a b−rr

d) 2. 2.a b+rr

e) 3. 2.a b+rr

34. Expresar el vector Fr

en función de mr

y nr

, si ABCD es un cuadrado, AMC y DMB son cuartos de circunferencia.

Fr

A D

CB

M

mr

nr

a) ( )1 3 / 22

m n+ −r r

b) ( )1 3 / 22

m n− −r r

c) ( )3 / 22

m n+r r

d) ( )3 / 2 1m n+ −r r

e) ( )3 / 2 1m n− −r r

35. Expresar el vector “ xr

en función de los vectores ar

y

br

.

ar

br

xr

1cm 2cm

a) 2

3

a b+rr

b) 2

3

a b+rr

c) 3

a b+rr

d) 2

3

a b−rr

e) 2

3

a b−rr

36. Dado el conjunto de vectores mostrados en la figura, hallar la medida de “θ ” para obtener una resultante de módulo máximo.

θ

20°40°

x

y

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

37. La resultante del conjunto de vectores mostrado tiene una magnitud de 192 y una dirección de 270°. Si

2120

Tgα = . Hallar la magnitud de Fr

.

280

290

Fr

θ

α

y

x

a) 41 b) 60 c) 82 d) 164 e) 260

38. Determine la expresión vectorial del vector Vr

de magnitud 75 cm.

Vr

53°

37°

x

y

z

a) 14 8 9i j k− +rr r

b) 36 27 60i j k− +rr r

c) 20 18 90i j k− +rr r

d) 30 12 18i j k− +rr r

e) 18 27 30i j k− +rr r