Análisis dinámico con Mathcad

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  Ejercicio 1. Un pórtico de 3 niv eles tiene las prop iedade s mostradas en la f igura . Usando el espectro de respuesta para su ciudad, determinar con Mathcad o Excel: a) Matriz de masa M b) Matriz de r igidez K c) Graficar modelo dinámico d) Frecuencias naturales ω n e) Periodo natur al T n f) Aceleración espectral  An g) Matriz de eigenvectores φ n h) Grafi car los 3 primeros modos de vibrar  i) Matriz modal normalizada P  j) Ve rificar propie dad de factor de participación k) Desp lazamiento s en ca da nive l U c l) Fuerzas l aterales en ca da nivel F sc m) Cor tante basal V b n) Graf ica r fue rzas l ater al es en cada nive l y la cortante b asal o) Derivas de entrepiso en cada nivel c p) Grafi car derivas de entr episo en cada nivel  

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Análisis dinámico de un pórtico con Mathcad

Transcript of Análisis dinámico con Mathcad

  • Ejercicio 1. Un prtico de 3 niveles tiene las propiedades mostradas en la figura. Usando el

    espectro de respuesta para su ciudad, determinar con Mathcad o Excel:

    a) Matriz de masa M

    b) Matriz de rigidez K

    c) Graficar modelo dinmico

    d) Frecuencias naturales ne) Periodo natural Tn

    f) Aceleracin espectral An

    g) Matriz de eigenvectores nh) Graficar los 3 primeros modos de vibrar

    i) Matriz modal normalizada P

    j) Verificar propiedad de factor de participacin

    k) Desplazamientos en cada nivel Uc

    l) Fuerzas laterales en cada nivel Fsc

    m) Cortante basal Vb

    n) Graficar fuerzas laterales en cada nivel y la cortante basal

    o) Derivas de entrepiso en cada nivel cp) Graficar derivas de entrepiso en cada nivel

  • Datos:

    Masa Nivel 1: m1 = 25 kgf*s2/cm

    Masa Nivel 2: m2 = 50 kgf*s2/cm

    Masa Nivel 3: m3 = 100 kgf*s2/cm

    Rigidez 1: k1 = 10000 kgf/cm

    Rigidez 2: k2 = 10000 kgf/cm

    Rigidez 3: k3 = 10000 kgf/cm

    Gravedad: g = 980.7 cm/s2

    m1 25:=

    m2 50:=

    m3 100:=

    k1 10000:=

    k2 10000:=

    k3 10000:=

    g 980.7:=

    Solucion:

    a) Matriz de masa M:

    M

    m1

    0

    0

    0

    m2

    0

    0

    0

    m3

    := M

    25

    0

    0

    0

    50

    0

    0

    0

    100

    =

    b) Matriz de rigidez K:

    K

    k1 k2+

    k2

    0

    k2

    k2 k3+

    k3

    0

    k3

    k3

    := K

    2 104

    1 104

    0

    1 104

    2 104

    1 104

    0

    1 104

    1 104

    =

    c) Graficar modelo dinmico:

  • d) Frecuencias naturales n:

    (K - n2 * M) * (n) = 0

    K n( )2M

    20000 25 n( )2

    10000

    0

    10000

    20000 50 n( )2

    10000

    0

    10000

    10000 100 n( )2

    K n( )2M 162500000 n( )

    4 125000 n( )

    6 42500000000 n( )

    2 1000000000000+

    5.10660020933

    5.10660020933

    17.9558792783

    17.9558792783

    30.8465400596

    30.8465400596

    1 5.1066:= rad/s

    2 17.9559:= rad/s

    3 30.8465:= rad/s

    e) Periodo natural Tn:

    Primer modo: T12

    1:= T1 1.23= s

    Segundo modo: T22

    2:= T2 0.35= s

  • Tercer modo: T32

    3:= T3 0.204= s

    f) Aceleracin espectral An:

    A1 0.350 g:= A1 343.245= cm/s2

    A2 0.231 g:= A2 226.542= cm/s2

    A3 0.193 g:= A3 189.275= cm/s2

    g) Matriz de eigenvectores n:

    Para: 1 5.107=

    K 12M

    1.935 104

    1 104

    0

    1 104

    1.87 104

    1 104

    0

    1 104

    7.392 103

    =

    K 12M( )

    11

    21

    31

    19348.065911 11

    10000 21

    18696.131822 21

    10000 11

    10000 31

    7392.263644 31

    10000 21

    Si: 11

    1:=

    21

    19348.0659 11

    10000:=

    211.935=

    31

    10000 21

    7392.2636:=

    312.617=

    Para: 2 17.956=

    K 22M

    1.194 104

    1 104

    0

    1 104

    3.879 103

    1 104

    0

    1 104

    2.224 104

    =

    Si: 12

    1:=

    22

    11939.6414 12

    10000:=

    221.194=

    32

    10000 22

    22241.4345:=

    320.537=

  • Para: 3 30.846=

    K 32M

    3.788 103

    1 104

    0

    1 104

    2.758 104

    1 104

    0

    1 104

    8.515 104

    =

    Si: 13

    1:=

    23

    3787.6641 13

    10000:=

    230.379=

    33

    10000 23

    85150.6562:=

    330.044=

    11

    21

    31

    12

    22

    32

    13

    23

    33

    :=

    1

    1.935

    2.617

    1

    1.194

    0.537

    1

    0.379

    0.044

    =

    Normalizacin:

    n1m1

    100011( )

    221( )

    2+

    31( )2

    +

    0.5

    := n1 0.538=

    n2m2

    100012( )

    222( )

    2+

    32( )2

    +

    0.5

    := n2 0.368=

    n3m3

    100013( )

    223( )

    2+

    33( )2

    +

    0.5

    := n3 0.338=

    Matriz normalizada:

    n

    11

    n1

    21

    n1

    31

    n1

    12

    n2

    22

    n2

    32

    n2

    13

    n3

    23

    n3

    33

    n3

    := n

    1.857

    3.594

    4.862

    2.715

    3.241

    1.457

    2.955

    1.119

    0.131

    =

    h) Graficar los 3 primeros modos de vibrar:

  • 2 0,

    4.862:= 2 1,

    1.457:= 2 2,

    0.131:=

    1 0,

    3.594:= 1 1,

    3.241:= 1 2,

    1.119:=

    0 0,

    1.857:= 0 1,

    2.715:= 0 2,

    2.955:=

    Modo 1 Modo 2 Modo 3

    i) Matriz modal normalizada P:

    P n( )TM

    1

    1

    1

    :=T

    n( )T

    1.857

    2.715

    2.955

    3.594

    3.241

    1.119

    4.862

    1.457

    0.131

    =T

    P

    1.857

    2.715

    2.955

    3.594

    3.241

    1.119

    4.862

    1.457

    0.131

    M

    1000

    1

    1

    1

    :=

    P

    0.712

    0.084

    0.031

    =

    j) Verificar propiedad de factor de participacin:

    Pn*1n = 1

    Pn*1n = P0,0*0,0 + P1,0*0,1 + P2,0*0,2

    P0 0,

    0 0,

    P1 0,

    0 1,

    + P2 0,

    0 2,

    + 1.643=

    k) Desplazamientos en cada nivel Uc:

    P

    P0 0,

    0

    0

    0

    P1 0,

    0

    0

    0

    P2 0,

    := P

    0.712

    0

    0

    0

    0.084

    0

    0

    0

    0.031

    =

  • AA1

    0

    0

    0

    A2

    0

    0

    0

    A3

    := A

    343.245

    0

    0

    0

    226.542

    0

    0

    0

    189.275

    =

    1

    0

    0

    0

    2

    0

    0

    0

    3

    := 2

    26.077

    0

    0

    0

    322.414

    0

    0

    0

    951.507

    =

    Un P A

    2

    := U

    17.415

    33.695

    45.582

    0.161

    0.192

    0.086

    0.018

    6.907 103

    8.111 104

    =

    Uc

    U0 0, ( )

    2U0 1, ( )

    2+ U

    0 2, ( )2

    +

    0.5

    U1 0, ( )

    2U1 1, ( )

    2+ U

    1 2, ( )2

    +

    0.5

    U2 0, ( )

    2U2 1, ( )

    2+ U

    2 2, ( )2

    +

    0.5

    := Uc

    17.416

    33.696

    45.582

    = cm

    l) Fuerzas laterales en cada nivel Fsc:

    F K U:= F

    1.135 104

    4.393 104

    1.189 105

    1.295 103

    3.092 103

    2.781 103

    433.769

    328.598

    77.18

    = kgf

    Fsc

    F0 0, ( )

    2F0 1, ( )

    2+ F

    0 2, ( )2

    +

    0.5

    F1 0, ( )

    2F1 1, ( )

    2+ F

    1 2, ( )2

    +

    0.5

    F2 0, ( )

    2F2 1, ( )

    2+ F

    2 2, ( )2

    +

    0.5

    := Fsc

    1.144 104

    4.404 104

    1.189 105

    = kgf

    m) Cortante basal Vb:

    V FT

    1

    1

    1

    T

    :=T

    V 174200.0 1606.0 182.351( ):= kgf

    Vb V0 0, ( )

    2V0 1, ( )

    2+ V

    0 2, ( )2

    +

    0.5

    := Vb 1.742 105

    = kgf

    n) Graficar fuerzas laterales en cada nivel y la cortante basal:

  • Fsc2 0,

    1.189 105

    = kgf

    Fsc1 0,

    4.404 104

    = kgf

    Fsc0 0,

    1.144 104

    = kgf

    Vb 1.742 105

    = kgf

    o) Derivas de entrepiso en cada nivel c:

    U0 0,

    U1 0,

    U1 0,

    U2 0,

    U2 0,

    0

    U0 1,

    U1 1,

    U1 1,

    U2 1,

    U2 1,

    0

    U0 2,

    U1 2,

    U1 2,

    U2 2,

    U2 2,

    0

    :=

    16.28

    11.887

    45.582

    0.031

    0.278

    0.086

    0.025

    7.718 103

    8.111 104

    = cm

    c

    0 0, ( )

    20 1, ( )

    2+

    0 2, ( )2

    +

    0.5

    1 0, ( )

    21 1, ( )

    2+

    1 2, ( )2

    +

    0.5

    2 0, ( )

    22 1, ( )

    2+

    2 2, ( )2

    +

    0.5

    := c

    16.28

    11.89

    45.582

    = cm

    p) Graficar derivas de entrepiso en cada nivel: