Fisica Generale 1 per Chimica Formulario di Meccanica Vettori : operazioni elementari: Nota: un vettore verra' qui rappresentato in grassetto es: A = ( Ax , Ay , Az )

Prodotto scalare A.B = |A| |B| cos θ , θ angolo compreso tra A e B

A.B = ( Ax , Ay , Az ). ( Bx , By , Bz) = Ax Bx + AyBy + Az Bz

Prodotto vettoriale A x B

modulo : |A| |B| sin θ , θ angolo compreso tra A e B direzione : normale al piano individuato da A e B verso : regola del cavatappi, verso in cui deve essere ruotato A per essere sovrapposto a B ( secondo l' angolo minore) Formula del determinante per le componenti nel prodotto vettoriale:

A x B = ( Ax , Ay , Az ).( Bx , By , Bz) = ux uy uz

Ax Ay Az Bx By Bz = ux ( Ay Bz - Az By ) + uy ( Az Bx - Ax Bz ) + uz ( Ax By - Ay Bx)

ux , uy , uz versori degli assi ad es. ux=( 1 , 0 , 0 ) , etc

Talvolta vengono usati i simboli i , j , k . Alcune proprieta' dei prodotti scalari e vettoriali : A x ( B + C ) = A x B + A x C A x B = - B x A

A . ( B x C ) = B . ( C x A ) = C . ( A x B ) A x ( B x C ) = ( A . C ) B - ( A . B ) C Proprieta' dei versori :

ux . ux = uy

. uy = uz . uz = 1 ux

. uy = ux . uz = uy

. uz = 0

ux x ux = uy x uy = uz x uz = 0 ux x uy = uz uy x uz = ux uz x ux = uy Relazioni trigonometriche : sin2 x + cos2 x = 1 ; sec2 x - tg2 x = 1 ; cosec2 x - cotg2 x = 1 sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y cos ( x ± y ) = cos x cos y -+ sin x sin y tg ( x ± y ) = (tg x ± tg y )/ ( 1 -+ tg x tg y ) sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x - sin2 x = 2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin2 x sin x + sin y = 2 sin ( x+y)/2 cos ( x-y)/2 cos x + cos y = 2 cos ( x+y)/2 cos ( x-y)/2

Relazioni valide per qualsiasi triangolo :

legge dei seni a / sin α = b / sin β = c / sin γ , dove α , β , γ sono gli angoli opposti rispettivamente ai lati a , b e c.

legge del coseno a2 = b2 + c2 - 2 b c cos α Relazioni nei triangoli rettangoli :

a = b sin α = b cos β = c tg α

1 radiante ≈ 57° 27' ; 1 giro = 360° = 2π radianti Derivate ed integrali indefiniti f ( x ) d f( x ) / dx ∫ f ( x ) dx

xn n x n-1 x n+1/(n+1) + C ( n ≠ -1) 1/x -1 / x2 ln x + C ln x 1/ x x ln x - x + C e x e x e x + C sin x cos x -cos x + C cos x -sin x sin x + C tg x 1/cos2 x -ln sec x + C sinh x cosh x cosh x + C sinh x = 1/2 ( e x - e-x) cosh x sinh x sinh x + C cosh x = 1/2 ( e x + e-x) arctg x 1 / ( 1+x2 ) arcsin x 1 / √( 1-x2 ) Integrazione per parti : ∫ u dv = u v - ∫ v du Sviluppi in serie : e x = 1 + x + 1/2! x2 + 1/3! x3 + .. -∞ < x < +∞ ln ( 1+x) = x - x2 /2 + x3/3 +....... -1 < x < +1 sin x = x - 1/3! x3 + 1/5! x5 + .... -∞ < x < +∞ cos x = 1 - 1/2! x2 + 1/4! x4 + .... -∞ < x < +∞ tg x = x + 1/3 x3 + 2/15 x5 + .... -π/2 < x < π/2 1/(1+x) = 1- x + x2 - x3+ .... -1 < x < +1 √(1+x) = 1+ x/2 - x2/8 + 3/48 x3+ .... -1 < x < +1 1/√(1+x) = 1- x/2 +3/8 x2 -15/48 x3+ .... -1 < x < +1 ( 1+x)n = 1 + nx + n(n-1)/2! x2 + ...... n > 0 x2 ≤ 1 n < 0 x2 < 1 Sviluppo di Taylor f(x) = f(xo) + f '(xo)(x-xo) + 1/2! f ''(xo) (x-xo)

2 +

+1/3! f '''(xo) (x-xo)3 + ..... . . + 1/n! f (n)(xo) (x-xo)

n

con n! = n ( n-1) (n-2) . . . . 3 2 1 e f (n)(xo) = { dn f(x)/dxn } x=xo

Leggi della cinematica

velocita' media vm = ∆r/∆t , r vettore posizione del punto materiale

velocita' istantanea v = lim ∆r/∆t = dr / dt ∆t->0

accelerazione media am = ∆v/∆t

accelerazione istantanea a = lim ∆v/∆t = dv / dt = d2 r / dt2 ∆t->0 relazioni tra grandezze lineari ed angolari nel moto circolare ( R = cost )

s = R θ , s = coordinata curvilinea sulla circonferenza ω = dθ / dt , v = ω r α = dω / dt , a = α R modulo della velocita' angolare di rotazione attorno ad un asse fisso (all'istante t )

| ωωωω | = | dΘΘΘΘ / dt | Θ = posizione angolare di un punto materiale.

La direzione di ωωωω e' quella dell'asse di rotazione , mentre il suo verso e' quello in cui avanza una vite che ruota nello stesso senso del corpo. modulo della accelerazione angolare di rotazione attorno ad un asse fisso

| αααα | = | dωωωω / dt | ( stessa direzione di ωωωω , stesso verso se e' un moto accelerato, contrario se ritardato ) componenti radiale e tangenziale della accelerazione nel moto circolare :

aR = v2 / R = ω2 R aT = dv / dt moto ad accelerazione costante in una direzione , scelto t0 = 0 vx = vxo + ax t x = xo + vxo t + 1/2 ax t

2 vx2 = vxo

2 + 2 ax ( x - xo ) forze forza peso ( in un campo gravitazionale , ad es. quello terrestre) F = m g forza gravitazionale F = - G m1 m2 r / r3 | F |= G m1 m2 / r2

forza elastica F = - k r

forza centripeta Fc = - m ω2 r

forza di attrito statico fs ≤ µ s N

forza di attrito dinamico fd = µ d N

forza di attrito nei fluidi ff = -K η v con K = 6 π R per particelle sferiche

momento di una forza τ τ τ τ = r x F dove r e' il vettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto ad un punto scelto come polo.

condizioni di equilibrio : a) ∑ Fiest = 0 b) ∑ ττττi = 0 i ττττi sono calcolati rispetto al centro di massa del sistema. Se pero' e' verificata la a) , allora il C.M. puo' essere sostituito da qualsiasi polo.

Dinamica del punto materiale : quantita' di moto p = m v per la risultante delle forze agenti sul punto Ftot = dp / dt se Ftot = 0 --> p = cost --> conservazione della quantita' di moto

lavoro dW = F . ds F = forza agente sul punto ds = spostamento infinitesimo subito dal punto B

WAB = ∫A F . ds integrale di linea calcolato lungo la linea che va da A a B , inviluppo dei ds infinitesimi. Se il campo di forze e' conservativo , WAB non dipende dal cammino per andare da A a B.

Potenza P = dW / dt = F . ds /dt = F . v energia cinetica del punto materiale K = 1/2 m v2 teorema del lavoro ed energia cinetica ( o delle forze vive ) :

WAB = 1/2 m ( vB2 - vA2 ) = KB - KA = ∆K energia potenziale di un campo di forze conservativo : B F = - grad U UB - UA = - ∫A F . ds UB - UA = - WAB

teorema della conservazione dell'energia : se il campo di forze e' conservativo E = K + U = cost energia potenziale della forza peso U = m g h + cost elastica U = 1/2 K x2 + cost gravitazionale U = - G m1 m2 / r + cost momento della quantita' di moto ( momento angolare ) : L = r x p ( dove r e' il vettore posizione del punto materiale rispetto ad un punto scelto come polo )

nel moto circolare , L e' diretto come ω ω ω ω , L = m r2ω ω ω ω

Se ττττ e' il risultante dei momenti esterni applicati ad un punto materiale, calcolato rispetto

allo stesso polo del momento angolare : τ τ τ τ = dL / dt conservazione del momento angolare : se τ τ τ τ = 0 L = cost rispetto ad un qualsiasi asse z , passante per il polo ,

se e' τz = 0 --> dLz / dt = 0 --> Lz = cost

sistemi di particelle e corpo rigido

centro di massa rCM = ∑ mi ri / ∑mi

momento di inerzia I = ∑ mi ri2 = ∫corpor2 dm teorema dell'asse parallelo : Io = ICM + md2 , dove d e' la distanza di O dal C.M. esempi di momenti d'inerzia

di una asta omogenea rispetto ad un asse normale baricentrico I = mL2 / 12 di un cilindro rispetto al suo asse I = mR2 / 2 di una sfera rispetto ad un suo diametro I = 2/5 mR2 di un disco a) rispetto ad un diametro I = 1/4 mR2 b) rispetto all'asse I = 1/2 mR2 di un anello a) rispetto ad un diametro I = 1/12 mR2 b) rispetto all'asse I = mR2 quantita' di moto : p = ∑ mi vi = M totvCM equazioni fondamentali della dinamica ∑ Fest = dP/dt = M aCM ∑ ττττest = dL/dt per un corpo rigido ruotante attorno all'asse z τz = I α

en. cinetica di un corpo rigido non vincolato K = 1/2 ICM ω2+ 1/2 MvCM2

energia cinetica di un corpo rigido vincolato K = 1/2 I ω2 oscillazioni oscillatore armonico F ( x ) = - K x U ( x ) = 1/2 K x2 moto armonico - K x = m d2 x / dt2 ovvero: d2 x / dt2 + K/m x = 0 soluzione dell'equazione del moto armonico

x = A cos ( ω t + f ) ω t + f = fase ( f = fase iniziale ) A = ampiezza ω2 = K / m ( ω = 2πn , n = frequenza del moto) periodo del moto armonico T = 2π/ω = 2π √m/K periodo del pendolo semplice T = 2π √l/g periodo del pendolo fisico T = 2π √I/mgd periodo del pendolo di torsione T = 2π √I/K ( τ = - K Θ )

gravitazione tra due masse puntiformi m1 ed m2 , poste ad una distanza r12 , agisce una forza attrattiva : F12 = - G m1 m2 r12 / r12 3 , r12 / r12 = versore di r12 , G = costante gravitazionale F12 = - F21 ( per il terzo principio ) alla superficie terrestre g = G M / R2 , R = raggio terrestre , M = massa terrestre energia potenziale del campo gravitazionale r

U ( r ) = L ∞,r = ∫∞ F . dr = - G M m / r scegliendo U = 0 ad r --> ∞ moto di pianeti e satelliti

condizione di stabilita' dell'orbita : G M m / (R + r )2 = m ω2 r

per r » R G M = ω2 r3 T2 = 4 π2 r3 / GM ( 3^ legge di Keplero ) statica e dinamica dei fluidi

variazione della pressione in un fluido a riposo : dp / dy = - ρ g ( dove y e' la quota ) se la densita' r e' costante p2 - p1 = - ρg ( y2 - y1 )

se la densita' r e' proporzionale a p p = po e -gy ρo/po

equazione di Bernoulli p + 1/2 ρ v2 + ρ g y = costante L'equazione di Bernoulli si applica a moti stazionari di fluidi incompressibili e non viscosi. Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di flusso diverse , la costante e' diversa.

principali costanti e proprieta' fisiche di interesse per la meccanica velocita' della luce nel vuoto c = 2.9979 108 m/s ≈ 3.0 108 m/s massa a riposo dell'elettrone me = 9.1091 10

-31 Kg

massa a riposo del protone mp = 1.6725 10-27 Kg

massa a riposo del neutrone mn = 1.6748 10-27 Kg

raggio di Bohr ao = 5.2917 10-11 m = 0.52917 Å

costante gravitazionale G = 6.67 10-11 N m2 Kg-2

accelerazione di gravita' al livello del mare ed all'equatore g = 9.7805 ms-2 ≈ 9.8 ms-2

distanza media Terra-Sole 1.49 108 Km distanza media Terra-Luna 3.8 105 Km raggio medio della Terra 6.37 103 Km raggio del Sole 6.96 105 Km massa della Terra 5.98 10 24 Kg massa del Sole 1.99 10 30 Kg velocita' media orbitale Terra 29770 m/s velocita' angolare media Terra 7.29 10-5 rad/s ( rotazione ) densita' aria ( a 0°C ed 1 atm) 1.29 Kg/m3

densita' acqua ( a 20°C ) 1.00 103 Kg/m3

densita' mercurio ( a 0°C ) 13.5 103 Kg/m3

densita' media terrestre 5.52 103 Kg/m3 fattori di conversione

lunghezza 1 Å = 10-10 m 1 m (micron) = 10-6 m 1 anno-luce = 9.46 1012 Km tempo 1 anno = 365.2 giorni = 8766 ore = 5.26 105 min = 3.156 107 s velocita' 1 m/s = 3.6 Km/h forza 1 dyne = 10-5 N 1 N = 10 5 dyne = 0.102 Kgp pressione 1 atm = 1.013 106 dyne/cm2 = 76.0 cm Hg = 1.013 105 N/m2

1 dyne/cm2 = 9.869 10-7 atm = 0.1 N/m2 = 10-6 bars 1 cm Hg = 1.316 10-2 atm = 1333 N/m2

1 N/m2 (Pa : pascal)= 9.869 10-6 atm = 10 dyne/cm2 = 7.501 10-4 cm Hg 1 Torr = 1 mm Hg = 10-1cm Hg energia , lavoro , calore 1 erg = 10-7 J = 2.389 10-8 cal = 2.778 10-14 KWh = 6.242 1011 eV 1 Joule ( J ) = 107 erg = 0.2389 cal = 6.242 1018 eV 1 caloria ( cal ) = 4.186 107 erg = 4.186 J = 2.613 1019 eV 1 e V = 1.602 10-12 erg = 1.602 10-19 J 1 unita' massa atomica(amu) = 1.492 10-3 erg = 1.492 10-10 J = 9.31 108 eV