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Fis403Fis403

Eduardo ResekEduardo Resek

UNIFEIUNIFEI

EletromagnetismoEletromagnetismo

∇×B =µ0J+1

c2

∂E

∂t

∇×B =µ0J+ 1

c2∂E∂t

∇×E =−∂B∂t∇×E =−∂B

∂t

∇2E− 1

c2

∂2E

∂t 2= 0

∇2

E−1

c2

∂2E

∂t 2 = 0 ∇·E =ρ

ε0

∇·E =ρ

ε0∇·B = 0∇·B = 0

∇· J+ ∂ρ

∂t= 0

∇· J+∂ρ

∂t = 0

Eletromagnetismo:Um Curso não tão Introdutório

Instituto de Física e QuímicaUniversidade Federal de Itajubá

Eduardo O. Resek

2013

Conteúdo

I Eletrostática 1

1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico 31.1 Carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Fatos experimentais importantes acerca da carga elétrica . . . . 41.3 Natureza dos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Formas de eletrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Eletrização por atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Eletrização por contato ou condução . . . . . . . . . . . . 51.4.3 Eletrização por indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.4 Eletrização por irradiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Princípio da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Distribuições contínuas de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8.1 Linhas de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9.1 Um disco carregado não uniformemente . . . . . . . . . . 9

ii

Parte I

Eletrostática

1

Capítulo 1

A Lei de Coulomb e o CampoElétrico

1.1 Carga elétrica

Dá-se o nome de carga elétrica a uma propriedade da matéria introduzidapara entendermos qualitativa e quantitativamente um tipo de interação obser-vada na natureza que, por razões históricas foi denominada interação elétrica oueletrostática. Desse modo, assim como a noção de massa gravitacional permite oestudo da interação ou força gravitacional, a carga nos permite descrever as forçaselétricas entres corpos materiais. Entretanto, ao contrário da força gravitacional,que é sempre atrativa, observou-se que a força elétrica pode ser de atração ourepulsão. Assim, torna-se necessário admitir que existem duas espécies distintasde carga elétrica, que convencionamos chamar de carga elétrica positiva e cargaelétrica negativa. Cargas elétricas de mesma espécie se repelem, ao passo que asde espécies distintas se atraem.

Fig. 1.1 Cargas elétricas

A carga elétrica é uma propriedade fundamental das partículas elementaresque constituem a matéria. De fato, a matéria é um aglomerado de átomos oumoléculas, e átomos são constituídos por prótons, nêutrons e elétrons; duasdessa partículas apresentam carga elétrica (o próton possui carga elétrica positiva,enquanto a carga do elétron é negativa). Entretanto, em escala macroscópica,os efeitos da carga elétrica tendem a ser mascarados pelo fato que, na média,há iguais quantidades de carga de ambas as espécies num corpo macroscópico.Dizemos que o corpo, nestas condições, encontra-se eletricamente neutro. Se, poroutro lado, há um excesso de prótons ou um excesso de elétrons, ele se encontraránum estado que denominamos (eletricamente) carregado.

3

4 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

1.2 Fatos experimentais importantes acerca da carga elé-trica

Conservação da carga A carga elétrica total de um sistema isolado é constante(a carga não pode ser criada nem destruída). Nunca foi observado qualquerfenômeno que contrariasse esse fato. Mesmo em fenômenos "radicais"como o dacriação de um par elétron-pósitron, ou sua reação inversa, a aniquilação mútuaentre elétron e pósitron, originando radiação eletromagnética,

e−+e− γ,

onde γ representa um fóton de raios gama, a carga elétrica, ao contrário da massa,é conservada, pois pósitron tem carga oposta à do elétron, enquanto um fóton,radiação eletromagnética, não possui carga elétrica.

A carga é quantizada A carga elétrica só é encontrada na natureza em múltiplosinteiros de uma carga fundamental (o quantum de carga). A menor carga livreencontrada na natureza é, em valor absoluto, a do próton:

e = 1,602 ·10−19 C (1.1)

Um elétron possui carga exatamente oposta à esta, de modo que, para um corpomacroscópico qualquer, teremos

q =±ne, n ∈N. (1.2)Charles Augustin de Coulomb (1736-1806, Francês) Em sua homenagem,deu-se seu nome à unidade de cargaelétrica, o coulomb. Engenheiro de for-mação, Coulomb foi principalmentefísico. Publicou 7 tratados sobre eletri-cidade e magnetismo, e outros sobretorção, atrito entre sólidos, etc.[3] Ex-perimentador genial e rigoroso, realizouuma experiência histórica com uma ba-lança de torção para determinar a forçaexercida entre duas cargas elétricas (leide Coulomb). Durante os últimos qua-tro anos da sua vida, foi inspetor geraldo ensino público e teve um papel im-portante no sistema educativo da época.(Wikipedia)

1.3 Natureza dos materiais

Do ponto de vista elétrico podemos classificar os materiais basicamente comocondutores, isolantes (ou dielétricos) e semicondutores.

Isolantes são aqueles onde a carga elétrica não possui liberdade de movi-mento, ou seja, oferecem alta resistência ao fluxo de carga elétrica. Exemplossão os não metais, plásticos, madeiras, vidros, porcelanas, nylons, etc. Nessesmateriais a estrutura atômica/molecular é tal que todos os elétrons encontram-sefortemente ligados aos seus respectivos átomos ou moléculas.

Já nos Condutores as cargas podem se mover com relativa liberdade. Exem-plos são os metais, o corpo humano ou de animais, a terra, soluções salinas. Nossólidos a condução se dá porque existem alguns elétrons onde a ligação com osátomos é muito fraca (última camada da distribuição eletrônica), de modo queeles se tornam praticamente livres.

Os semicondutores, por outro lado, possuem propriedades intermediárias,não sendo tão condutivos quanto os metais, mas consideravelmente mais que osdielétricos. O mecanismo de condução dos materiais dessa classe é bem distintodo dos condutores e não será abordado nesse curso.

Um outro tópico que não será endereçado nesse curso é o da supercondutivi-dade, propriedade apresentada por alguns materiais a baixíssimas temperaturas,quando a resistência à condução se torna praticamente nula.

Eduardo Resek Unifei

1.4 Formas de eletrização 5

1.4 Formas de eletrização

Sendo constituídos por átomos, os corpos são naturalmente neutros do pontode vista elétrico. Entretanto, eles podem adquirir carga elétrica através de algunsprocessos que discriminaremos a seguir, cujo efeito final é dotar o corpo deuma carga líquida negativa (o corpo adquire elétrons) ou positiva (o corpo perdeelétrons):

1.4.1 Eletrização por atrito

Funciona bem para corpos isolantes. Se esfregarmos um material com outro,há uma tendência dos elétrons se transferirem de um corpo para outro. Porexemplo, esfregando um corpo de vidro com um pano de seda fará com que ovidro ceda elétrons para o pano, fazendo com que o vidro apresente uma cargalíquida positiva e a seda negativa.

1.4.2 Eletrização por contato ou condução

Apropriada para carregar metais ou outros condutores. Se um corpo previamentecarregado toca um outro originalmente neutro, uma parte de sua carga se trans-ferirá para o último, deixando-o carregado com carga de mesma natureza que asua.

1.4.3 Eletrização por indução

Também apropriada para condutores. Utilizamos também um corpo previamentecarregado, mas desta vez sem tocar o corpo que desejamos carregar. Aproximandoo objeto carregado do condutor e aterrando esse último1, elétrons fluirão de oupara a terra (corpo carregado positivamente atrairá elétrons para o condutor,negativamente expulsará alguns dos elétrons para a terra). Se, antes de afastarmoso objeto carregado, cortarmos a ligação do condutor com a terra, ele terá secarregado com uma carga oposta à do objeto auxiliar.

Fig. 1.2 Eletrização por indução

1.4.4 Eletrização por irradiação

Submeter um corpo a radiação eletromagnética pode ter como consequência aejeção de elétrons de sua estrutura atômica. Um exemplo bem conhecido é oefeito fotoelétrico, no qual até mesmo a luz visível pode causar a liberação deelétrons ao incidir sobre uma superfície de, por exemplo, alumínio. Radiaçãoeletromagnética de frequência mais elevada (mais energética), pode até expelirelétrons de camadas mais internas da estrutura atômica do material.

1Significa conectar, através de um fio condutor, o corpo a um grande reservatório de carga, comcapacidade para ceder e/ou receber elétrons (geralmente a própria Terra, daí a denominação.)

Unifei Eduardo Resek

6 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

1.5 Lei de Coulomb

Lei experimental obtida por Charles Augustin de Coulomb em 1785, quedescreve quantitativamente a interação eletrostática, isto é, a força entre duascargas elétricas em repouso relativo. Essencialmente, ela estabelece que estaforça atua sobre a reta que contem as duas partículas, é diretamente proporcionalao produto das carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância queas separa. Matematicamente,

Fig. 1.3 Lei de Coulomb

F21 = kq1q2

R212

R12 = kq1q2

R312

R12, (1.3)

é a força que q1 exerce sobre q2, onde R12 = r2 − r1 é o vetor com origem na cargaq1 e extremidade na carga q2. A constante k é frequentemente escrita em termosda permissividade do vácuo, ε0:

k = 1

4πε0= 8,9874 ·109 N.m2/C2, ε0 = 10−9

36πF/m = 8,85 ·10−12 F/m (1.4)

Essa expressão vetorial já fornece o sentido correto do vetor força quando ascargas são consideradas com o sinal algébrico adequado.

Exemplo 1.1 Duas cargas elétricas idênticas de 2,5µC e massas iguais a200g cada uma, são suspensas de um mesmo ponto no teto através de umfio leve e inextensível de comprimento 1,0m. Qual o ângulo que cada umdos fios formará com a vertical na posição de equilíbrio?

Solu??o:

Fig. 1.4 Cargas suspensas

Adotando o sistema de eixos tal como na figura, podemos escrever as forçasque atuam sobre a carga q2 como

F21 = 1

4πε0

q1q2[`senα x−`senα(− x)]

(2`senα)3 = q1q2

16πε0`2 sen 2αx,

P =−mg z,

T = T (−cosα x+ senα z)

A condição de equilíbrio é que F12 +P+T = 0, implicando em(q1q2

16πε0`2 sen 2α−T cosα

)x+ (T senα−mg ) z = 0

=⇒ T senα= mg , T cosα= q1q2

16πε0`2 sen 2α.

Dividindo uma pela outra, encontramos

tanα= 1

cotα= q1q2 csc2α

16πε0`2mg= 6,25 ·10−12 ×9 ·109

4× (1,0)2 ×0,200×9,81csc2α= 7,17·10−3(1+cot2α),

Eduardo Resek Unifei

1.6 Campo elétrico 7

ou seja,cot3α+cotα−139,52 = 0.

Resolvendo esta equação encontramos cotα= 5,12229, donde

α= 10,8°

1.6 Campo elétrico

A experiência mostra que as cargas elétricas não interagem diretamente sobre asoutras; Quando o estado de uma determinada carga elétrica se altera (sua posição,por exemplo), essa informação não é imediatamente pela sua vizinhança, masse propaga através do espaço com uma velocidade finita. Para melhor descreveressa interação, faz-se necessário admitir a existência de um agente intermediárioque carrega essas informações a respeito do estado de um sistema de cargas. Esseagente denominado campo elétrico.

Para definirmos o campo elétrico num ponto do espaço, adotamos o seguinteprocedimento: colocamos neste ponto uma carga teste q e determinamos a forçaelétrica F que atua sobre ela. O campo elétrico é a razão F/q no limite de qtendendo a zero:

E = limq→0

F

q. Definição de Campo Elétrico(1.5)

O limite é necessário para garantir que a influência da carga teste sobre a distri-buição original de cargas cujo campo queremos definir seja a menor possível. Éclaro que, devido à quantização da carga elétrica, o processo de limite descritona equação acima nunca pode ser realizado estritamente em conformidade coma definição matemática de limite (processo contínuo de varição da carga), nemtampouco pode a carga chegar a valores menores que o quantum de carga.

1.7 Princípio da superposição

Fig. 1.5 Princípio da superposição

Para um sistema de muitas partículas, a força total sobre a i -ésima carga é obtidapelo princípio da superposição, somando-se todas as forças devido a cada umadas outras partículas como se as demais não existissem:

Fi = 1

4πε0

N∑j 6=i

Fi j = qi

4πε0

N∑j 6=i

q j

R2j i

R j i = qi

4πε0

N∑j 6=i

q j (ri − r j )

|ri − r j |3(1.6)

O campo elétrico na posição ocupada pela carga de teste será, portanto:

E(ri ) = 1

4πε0

N∑j 6=i

Fi j

qi= 1

4πε0

N∑j 6=i

q j

R2j i

R j i = 1

4πε0

N∑j 6=i

q j (ri − r j )

|ri − r j |3A força elétrica é linear

Unifei Eduardo Resek

8 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

1.8 Distribuições contínuas de cargas

No mundo real encontramos a propriedade carga elétrica presente nas partículaselementares, tais como o elétron e o próton. Átomos e moléculas são, em seuestado natural, eletricamente neutros. Corpos macroscópicos apresentam algumexcesso de carga quando, por algum processo, ocorre uma transferência de cargade um corpo para outro (usualmente na forma de elétrons). Geralmente o númerode cargas elementares em excesso é muito grande e, associado ao fato que asdimensões moleculares são muito pequenas, constitui em geral uma aproximaçãoexcelente ignorar a natureza discreta da carga elétrica quando analisamos umasituação envolvendo corpos macroscópicos. Trabalhamos então com o conceitode distribuição contínua de cargas, isto é, com a hipótese que a carga elétricase distribui continuamente sobres volumes ou superfícies. Definimos então asdensidades de cargas:

Fig. 1.6 Distribuição volumétrica

Densidade volumétrica de cargas

ρ(r′) = lim∆v ′→0

∆q

∆v ′ =d q

d v ′ (1.7)

Fig. 1.7 Distribuição superficial

Densidade superficial de cargas

σ(r′) = lim∆s′→0

∆q

∆s′= d q

d s′(1.8)

Fig. 1.8 Distribuição linear

Densidade linear de cargas

λ(r′) = lim∆`′→0

∆q

∆`′= d q

d`′(1.9)

Do ponto de vista macroscópico, mesmo um volume tendendo a "zero"conteráum número muito grande de átomos ou moléculas, o que nos garante umaaproximação boa procedendo dessa forma. Tratamos então um elemento decarga como uma carga pontual, de modo que o campo elétrico em um ponto Pdo espaço descrito pelo vetor posição r devido a uma distribuição arbitrária decargas seria

E(r) = 1

4πε0

[N∑

j=1

q j

R2j

R j +∫

v ′

ρ(r′)R2 Rd v ′+

∫S′

σ(r′)R2 RdS′+

∫l ′

λ(r′)R2 Rdl ′

], (1.10)

onde R é o vetor do elemento de carga em questão até a carga q0, e R j a partir daj -ésima carga pontual.

Pode-se mostrar que uma carga pontual q num ponto r′ pode ser expressapor uma densidade de cargas ρ(r) = qδ(r− r′). Além disso, as contribuições dos

Eduardo Resek Unifei

1.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico 9

diversos tipos de densidades de cargas são estruturalmente idênticas, de modoque não há perda de generalidade se escrevermos o campo elétrico genericamentecomo

E(r) = 1

4πε0

∫v ′

ρ(r′)R2 Rd v ′ = 1

4πε0

∫v ′

ρ(r′)(r− r′)|r− r′|3 d v ′. (1.11)

1.8.1 Linhas de força

Fig. 1.9 Linhas de força

Desde o princípio dos estudos sobre eletricidade foi introduzida a ideia de linhasde força para representar visualmente o abstrato conceito de campo elétriconuma certa região do espaço. São linhas orientadas no sentido do campo elétricoem cada ponto do espaço, traçadas de modo a serem sempre tangentes ao campoem cada ponto. As figuras a seguir ilustram alguns casos simples envolvendocargas pontuais. Note que as linhas de força são apenas uma forma intuitiva devisualizar o campo; por exemplo, se por um lado existe em geral campo em todosos pontos do espaço, nunca conseguiremos fazer passar uma linha de força portodos os pontos. Na verdade, só conseguimos traçar um número finito arbitráriode linhas, interpretando a concentração dessas linhas ao redor de certo pontocomo um indicativo da magnitude do campo naquele ponto.

1.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico

1.9.1 Um disco carregado não uniformemente

Um disco de DVD possui raios interno e externo respectivamente iguais a 1,0cm e8,0cm, encontrando-se carregado com carga total 5,0µC, distribuída de maneirainversamente proporcional à distância ao centro do disco. Determinar o campoelétrico produzido por essa distribuição num ponto do eixo de simetria do DVD(eixo perpendicular ao seu plano, passando pelo seu centro).Solução: Como se trata de uma distribuição superficial de cargas, devemos pri-meiramente determinar a sua expressão. Como a carga encontra-se distribuídade maneira não uniforme, não podemos dizer que a densidade é simplesmente acarga total do disco (que é conhecida) dividida pela sua área total. O que sabemosé que a distribuição de cargas (ou seja, sua densidade superficial, neste caso)é inversamente proporcional à distância de cada elemento de cargas ao centrodo disco. Se adotarmos um sistema de eixos cuja origem coincide com o centrodo disco, e eixo z perpendicular ao plano do disco, podemos identificar essadistância coma a coordenada ρ do sistema de coordenadas cilíndricas. Assim

σ(r′) ∝ 1

ρ′ =β

ρ′ , Carga distribuída de maneirainversamente proporcional:refere-se à densidade dadistribuição!

onde β é uma constante a ser determinada. Isso é realizado Escrevendo a cargatotal como em (1.8):

Q =∫

S′σ(r′)dS′ =

∫ 2π

0

∫ b

a

β

ρ′ ρ′ dρ′ dϕ′ = 2πβ(b −a),

Unifei Eduardo Resek

10 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

onde a e b são os raios interno e externo, respectivamente, teremos

β= Q

2π(b −a)= 5,0 ·10−6

2π×7,0 ·10−2 = 1,14 ·10−5 C/m.

A densidade de cargas fica

σ(ρ′) = Q

2π(b −a)ρ′ .

Lembrando que a lei de Coulomb se aplica para cargas pontuais ou infinitesimais,

Fig. 1.10 Disco carregado

devemos determinar, para cada elemento de carga possível sobre a distribuição,o campo que ele produz, somando para toda a distribuição. Devemos, para isso,sempre escolher um elemento de cargas suficientemente genérico para repre-sentar todo e qualquer possível elemento de cargas da distribuição. Não escolha,por exemplo, um elemento de cargas sobre algum dos eixos, na periferia do disco(nesse caso, pois a distribuição de cargas é superficial) e, jamais, na origem. Afigura ilustra o elemento de carga escolhido, cujo vetor posição escrevemos como

r′ = ρ′ ρ′, a ≤ ρ′ ≤ b.

Desejamos calcular o campo sobre um ponto qualquer do eixo z, assim escreve-mos sucessivamente

r = z z, r− r′ = z z−ρ′ ρ′, |r− r′| = (z2 +ρ′2)1/2.

A lei de Coulomb fornece então

E(r) = E(z) = 1

4πε0

∫ 2π

0

∫ b

a

β

ρ′(z z−ρ′ ρ′)(z2 +ρ′2)3/2

ρ′ dρ′ dϕ′.

Todo cuidado agora é pouco. Um erro muito comum cometido pelo estudante éescrever, a partir daí que

Atenção para o erro muitocomum: tratar o versorcomo constante!

E(z) = β

4πε0

(z z

∫ 2π

0

∫ b

a

dρ′ dϕ′

(x2 +ρ′2)3/2− ρ′

∫ 2π

0

∫ b

a

ρ′dρ′ dϕ′

(x2 +ρ′2)3/2

)u ERRADO!

O erro é que ρ′ é um vetor que varia de ponto para ponto, não pode portantoser retirado para fora do integral acima. Devemos escrevê-lo em termos deversores de coordenadas cartesianas:

ρ′ = cosϕ′ x+ senϕ′ y,

o que resulta

E(z) = β

4πε0

(z z

∫ 2π

0

∫ b

a

dρ′ dϕ′

(x2 +ρ′2)3/2

− x∫ 2π

0

∫ b

a

ρ′ cosϕ′ dρ′ dϕ′

(x2 +ρ′2)3/2

− y∫ 2π

0

∫ b

a

ρ′ senϕdρ′ dϕ′

(x2 +ρ′2)3/2

)

Eduardo Resek Unifei

1.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico 11

Ora, os integrais em x e y se anulam, pois num intervalo completo de 0 a 2πtanto o seno como o cosseno, integrados, se anulam:∫ 2π

0cosϕ′ dϕ′ =

∫ 2π

0senϕ′ dϕ′ = 0.

No integral restante,∫ 2π

0dϕ′ = 2π e

∫dρ′

(z2 +ρ′2)3/2= ρ′

z2√

z2 +ρ′2 .

O integral foi resolvido perfazendo-se a mudança de variáveisρ′ = z tanα ou, maisfácil ainda, consultando este site. Resta-nos agora apenas completar o cálculointroduzindo os limites do integral. Reintroduzindo o β calculado anteriormente,fica:

E(z) = zQ

4πε0(b −a)z

(bp

z2 +b2− ap

z2 +a2

)Com os valores numéricos, para z em cm, ficaria:

E(z) = z5,63 ·103

z

(8p

z2 +64− 1p

z2 +1

)kV/mm

u Simetria!Vamos discutir um pouco mais esse resultado, com particular atenção à sime-tria apresentada pela distribuição de cargas que, sem mesmo realizar nenhumcálculo, nos permitiria prever que o único componente do campo elétrico seria olongo do eixo de simetria do disco (eixo z).

Fig. 1.11 Elemento de carga simé-trico

O cálculo do campo envolve a soma das contribuições de todos os possíveiselementos de carga infinitesimais sobre a superfície do disco. Por isso devemosescolher um elemento de carga suficientemente genérico sobre a distribuição,para que ele possa representar qualquer possível elemento infinitesimal do disco,tal como fizemos na figura. Ora, no processo de soma das contribuições, vamosencontrar a de um elemento de carga simetricamente disposto, em relação aoeixo z, ao elemento considerado. Sua contribuição dE′ para o campo em P seráum vetor de mesmo módulo que dE, pois sua distância ao ponto P é a mesmaque a do primeiro elemento e sua carga também é a mesma daquele! Isso sedeve ao fato de que a densidade de cargas sobre a superfície do disco, emboranão seja uniforme, depende apenas da distância do elemento ao centro do disco;como o segundo elemento considerado está numa posição simétrica ao primeiro,relativamente ao cento do disco, suas coordenadas ρ′ são idênticas. Além disso,essa mesma geometria nos garante que os ângulos formados pelas contribuiçõesdE e dE′ com o eixo z são iguais, implicando que a soma vetorial de ambos seráao longo desse eixo!

Fig. 1.12 Cancelamento de compo-nentes do campo

Poderíamos portanto, com base nessa análise, ter-nos poupado do cálculodos demais componentes, embora eles não tenham sido (nesse caso) difíceis (poroutro lado, uma escolha infeliz da ordem em que os integrais foram realizadospoderia ter mudado radicalmente esse panorama — tente, por exemplo, fazerprimeiramente o integral em ρ′ dos componentes em x ou y acima!).

Unifei Eduardo Resek

12 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

Questões sobre o Capítulo 1: A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

Q1.1 Você dispõe de um bastão de vidro, um lenço de seda e duas esferas demetal (condutoras), inicialmente neutras, montadas em um suportede plástico (isolante). Descubra um modo de carregar as esferas comcargas iguais e opostas. Não é permitido tocar com o bastão nas esferas.é necessário que as esferas sejam do mesmo tamanho?

Q1.2 Se você friccionar vigorosamente um bastão de ebonite (um plásticoisolante) com uma flanela, o bastão ficará eletrizado. Entretanto, sevocê friccionar uma moeda entre os dedos, ela não irá adquirir cargaalguma. Por que?

Q1.3 Depois de caminhar algum tempo sobre um carpete, você freqüen-temente sente um “choque” ao tocar na maçaneta de metal da porta.Qual a causa disso?

Q1.4 a) Defina linhas de força de um campo elétrico. b) Duas linhas deforça nunca se cruzam. Explique por que.

Q1.5 Uma carga pontual q é solta numa região de campo elétrico não uni-forme. A trajetória que ela segue necessariamente coincide com umadas linhas de força?

Q1.6 Duas cargas pontuais de mesmo módulo e sinais opostos encontram-se sobre uma reta separadas por uma distância d . Determine a direçãoe sentido do campo elétrico: a) sobre a reta e entre as cargas; b) sobrea reta, fora das cargas, próximo à carga positiva; c) idem, próximo àcarga negativa; d) fora da reta, no plano mediatriz das cargas (planoperpendicular à reta e que passa pelo ponto médio entre as cargas).

P1.1 Duas cargas de −10µC e 20µC encontram-se separadas por uma dis-tância de 20cm. Onde deve ser colocada uma terceira carga de modoque, sob a ação dessas duas, fique em repouso? Resp: Ao longo da reta suporte

das duas cargas, a 48,5cm da carga negativa e 68,5cm da positiva

Problemas do Capítulo 1: A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

P1.2 Dez cargas pontuais de 500µC estão colocadas sobre uma circunferên-cia de raio 2 m, todas igualmente afastadas entre si. Calcule a forçaexercida por esse conjunto sobre uma carga pontual de −20µC , situ-ada sobre o eixo, dois metros afastada do plano da circunferência.

P1.3 Duas esferas condutoras idênticas possuem cargas de sinais opostos ese atraem mutuamente com uma força de 0,108 N, quando separadaspor uma distância de 50 cm. Elas são ligadas por um fio condutor, queé removido logo a seguir, passando então a se repelir com uma forçade 0,036 N. Quais eram os valores iniciais das cargsa das esferas?

Eduardo Resek Unifei

1.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico 13

P1.4 Duas esferas condutoras idênticas possuem cargas de sinais opostos ese atraem mutuamente com uma força de 0,108 N, quando separadaspor uma distância de 50 cm. Elas são ligadas por um fio condutor, queé removido logo a seguir, passando então a se repelir com uma forçade 0,036 N. Quais eram os valores iniciais das cargsa das esferas? Resp:

±3,0µC e ∓1,0µC

P1.5 Uma carga Q deve ser dividida em duas: q e Q − q . Qual deve ser ovalor de q para que a repulsão coulombiana entre as duas novas cargasseja máxima? Resp: q =Q/2

P1.6 Duas cargas pontuais de valor q e −q são fixadas nos pontos P1(0, a) eP2(0,−a) respectivamente, de um sistema de coordenadas cartesianas,formando o que se denomina um dipolo elétrico. Uma terceira cargapositiva e de mesmo valor, é colocada em algum ponto sobre o eixodos x.a) Qual a intensidade e orientação da força exercida sobre a terceiracarga quando esta se encontra na origem?b) Qual é a força sobre ela quando sua abcissa é x?c) Esboce o gráfico da força sobre a terceira carga em função de x, paravalores de x entre −4a e 4a.d) Mostre que quando a abcissa x da terceira carga for grande compa-rada à distância a, a força sobre ela é inversamente proporcional aocubo da sua distância ao centro do dipolo.e) Situando agora a terceira carga sobre o eixo dos y , a uma ordenaday grande comparada com a distância a, mostre que a força sobre elatambém é inversamente proporcional ao cubo de sua distância à ori-gem do dipolo.

Resp: a) − yq2

2πε0a2(= F0) b)

a3

(a2 +x2)3/2F0

d) F '− yq2a

2πε0x3e) F ' y

q2a

πε0 y3

P1.7 Três cargas pontuais de mesma massa m = 200g e carga elétrica q sãopenduradas por fios sem massa e inextensíveis, todos de comprimentoL = 1,0m, a partir de um ponto comum no teto. Na posição de equilí-brio, a distância entre cada uma delas vem a ser de 20cm. Determine ovalor de cada carga. Resp: 0,765µC

P1.8 A cunha cilíndrica limitada pelas superfícies z = 0, z = 3(m), ϕ= 300,ϕ = 600 e ρ = 5(m) tem densidade volumétrica de cargas dada porρv = ρ sen2ϕ(nC/m3). Determinar a carga elétrica total encerrada pelacunha. Resp: 62,5nC

P1.9 Seja uma distribuição (infinita) de cargas com densidade ρ, dada nosistema de coordenadas esféricas por

ρ = Ke−ar

r 2 , K = cte.

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14 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

a) Considerando uma esfera de raio R centrada na origem do sistema,determine a carga de um hemisfério.b) Qual o raio R ′ da esfera que contem metade da carga total da distri-buição (que é infinita!)?

Resp: a)2kπ(1− e−aR )

ab) R ′ = 1

aln2

Fig. 1.13 Linha finita (P1.10)

P1.10 Mostre que o campo elétrico produzido por uma linha carregada comdensidade de cargas uniforme λ e disposta ao longo do eixo zé dadopor

E = λ

4πε0ρ

[(cosα1 +cosα2) ρ+ (senα1 − senα2) z

],

onde α1 e α2 são os ângulos mostrados na figura.

P1.11 Considere uma barra muito fina de comprimento L , uniformementecarregada, com uma densidade linear de cargas λ.

a) Determine o campo eletrostático E produzido pela barra numponto situado no seu eixo mediatriz. Calcule E para os seguintescasos: z >> L e z << L (ou L →∞, fio retilíneo infinito uniforme-mente carregado).

b) Determine o campo num ponto sobre o eixo perpendicular àbarra que passa por uma de suas extremidades.

Resp: E = λL

2πε0zp

L2+4z2z. Para z >> L, E = q

4πε0z2 z, e, para z << L, (ou L →∞), E = λ2πε0z z.

P1.12 Uma barra muito fina de comprimento L = 1,0m é carregada comuma densidade linear de cargas λ que varia linearmente ao longo dabarra, desde um valor −λ0 numa extremidade, até o valor λ0 no outroextremo, sendo λ0 = 0,50µC/m. Determine o campo eletrostáticoproduzido pela barra num ponto situado: a) no seu eixo mediatriz, ap

2m da barra; b) no prolongamento da reta que contem a barra, a 2m da extremidade. Resp: a) E =−0,24 xkV/m b) E = 0,10 xkV/m

P1.13 Usando a lei de Coulomb (integração direta), determine o campo pro-duzido por um fio de carga Q e comprimento L, dobrado em formade um arco de circunferência de 60r, no seu centro de curvatura; Resp:

E = q

12ε0L2, ao longo da bissetriz do arco da circunferência.

P1.14 Um fio não condutor muito fino forma uma circunferência de raio a eestá localizado no plano x y , com seu centro na origem. O fio possuiuma densidade linear de cargas dada por λ = λ0 senϕ, onde ϕ é oângulo medido a partir do eixo x positivo. Determine: a) a carga totaldo fio; b) E na origem. c) Você acha alguma incoerência entre osresultados de a) e b)? Resp: a) Zero b) E = (− y)

λ0

4ε0a

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1.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico 15

P1.15 Considere um disco de raio a, uniformemente carregado, com densi-dade superficial de carga σ;a) Determine o campo eletrostático E num ponto qualquer do eixode simetria deste disco; b) Uma carga Q é solta do eixo z a partir dorepouso, de uma distância z0 do disco. Determine a velocidade que elapossuirá quando atingir uma distância (i ) 4z0, (i i ) ∞ do disco.c) Calcule E para os seguintes casos: z >> a e z << a ( ou a →∞, istoé, o disco se torna um plano infinito uniformemente carregado). d)Qual o máximo valor de z para que se possa usar a aproximação deplano infinito (isto é, considerar E ≈σ/(2ε0)), cometendo um erro deno máximo 5%? Resp: a) ~E(z) = σ

2ε0[1− zp

z2+a2] z, para z > 0 , ~E(z) = σa2

4ε0z2 z = Q4πε0z2 z

(carga puntiforme) e ~E(z) = σ2ε0

z, (plano infinito).

P1.16 Determine o campo e o potencial eletrostáticos produzidos por umdisco de raio a carregado com σ=σ0 sen 2ϕ num ponto qualquer deseu eixo de simetria.

P1.17 Uma carga está distribuída sobre o eixo z com densidade λ0 para |z| >4m e λ = 0 para |z| < 4m. Determine o campo elétrico no pontoP (0,2,0)m.

P1.18 Um quadrado, que possui lado 2m , está centrado na origem e situa-seno plano z = 0, encontra-se carregado com uma densidade superficialde cargas

σ= |x|nC/m2.

Determine: a) a carga total da distribuição; b) o campo E no pontoP (0,0,1)m. Resp: a) Q = 2,0nC b) 8,02 z (V/m)

P1.19 Um quadrado de lado 2m jaz no plano x y delimitado por 0 ≤ x ≤ 2m e0 ≤ y ≤ 2m, carregado com carga superficial

σ= 2x(x2 + y2 +4)3/2µC/m2.

Determine o campo elétrico no ponto do eixo z situado a 2m acima doplano.

P1.20 Uma esfera não condutora de raio R está carregada com uma densi-dade de cargas não uniforme dada por ρ = kr senθ, onde r é a distânciamedida a partir do centro da esfera e θ é o ângulo a partir de um eixo dereferência. A esfera é cortada exatamente ao meio, num plano normalao referido eixo, e uma das partes jogada fora. Determine:a) A carga total da semiesfera; b) O campo elétrico no centro de curva-tura da semiesfera em função da carga total desta. Resp: b) E = 2Q

3π2ε0R2z

P1.21 Uma esfera condutora de raio R encontra-se carregada com uma den-sidade superficial de cargas dada por σ=Q cosθ/R2. Determine:

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16 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

a) Sua carga total;b) Seu momento de dipolo total, definido como o vetor

p =∫

S′σ(r′)r′ dS′

c) O campo que ela produz em seu centro (para quem gosta de desafios,tente calcular o campo num ponto qualquer do eixo z, tanto para z < Rquanto para z > R). Resp: a) Q = 0, b) p = z4πRQ/3, c) E = z

Q

3ε0R2

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1.9 Exemplos de cálculo de campo elétrico 17

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