Falar sobre a homogeneidade translacional, B = A + λAB, e a homogeneidade em escala, L =

λDLu.

2

Capítulo VI

A TEORIA DINÂMICA DO CRESCIMENTO FRACTAL

DE UMA ESTRUTURA

SUMÁRIO

RESUMO ...................................................................................................................................4

6. 1 - Introdução .........................................................................................................................5

6. 2 - O Modelo fractal de estruturas ..........................................................................................5

6. 3 - Crescimento e Fragmentação Fractal ................................................................................8

6. 4 - Padrões de crescimento na natureza: da ordem ao caos....................................................9

6. 4.1 - Estruturas geométricas de crescimento fractal presentes na natureza............11

6. 4.2 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza .......................................11

6. 4.3 - A teoria do crescimento fractal ......................................................................14

6. 5 – Proposição de um novo Método de Escalonamento Dinâmico de Fractais Laplacianos

Ramificados baseado no método de Contagem “Sand-Box”. ..................................................17

6. 6 – Escalonamento Dinâmico Longitudinal e Radial: Uma aplicação a dinâmica de

propagação de trincas ...............................................................................................................24

6. 7 - A Dissipação da Energia em um Fractal .........................................................................24

6. 7.1 - A Função Dissipação......................................................................................25

6. 7.2 - A Produção de Entropia .................................................................................25

6. 7.3 - O Fluxo de Entropia .......................................................................................25

6. 7.4 - A Potência Dissipada .....................................................................................25

3

6. 8 - Um novo princípio físico de dissipação de energia por detrás das estruturas fractais

encontradas na natureza............................................................................................................25

6. 9 - O Modelamento multifractal de crescimento ..................................................................29

6. 10 – Discussões ....................................................................................................................30

6. 11 - Conclusões ....................................................................................................................31

6. 12 - Referências bibliográficas .............................................................................................31

4

Capítulo VI

A TEORIA DINÂMICA DO CRESCIMENTO FRACTAL

DE UMA ESTRUTURA

Quem abriu canais para o aguaceiro, e um caminho para o relâmpago do trovão (Jó 38,25);

RESUMO

O número de elementos de estruturas N de fractais laplacianos, como as trincas,

que crescem com o tempo, foi escalonado dinamicamente usando-se o método Sand-Box.

Este método, permite calcular a dimensão fractal de uma estrutura qualquer, imersa numa

dimensão euclidiana superior (d =1,2,3). O cálculo é feito, contando-se o número de

estruturas N(R) auto-similares contidas em “caixas” de raio R variável, centradas na origem

“O” de um sistema de coordenadas. A partir deste método, foi possível elaborar um método

geral de escalonamento, que permite inferir o resultado dinâmico N(R,t) a partir do estático

N(R), desde que se conheça a expressão da velocidade de propagação, V(R,t), de fractais

laplacianos como as trincas, que possuem um raio de giração R(V,t) e crescem com o tempo,

com uma velocidade V em torno de uma origem central fixada “O”. O método de cálculo

proposto neste trabalho foi utilizada em trincas ramificadas,onde foi posível descrever a

formação destas estruturas em termos da Função Dissipação da Termodinâmica dos Processos

Ireversíveis.

5

6. 1- Introdução

Os conceitos básicos da teoria fractal desenvolvidos por MANDELBROT [1982] e

outros cientistas, tem sido utilizados na descrição de estruturas irregulares, como superfícies

de fratura e trincas [HERRMANN 1989], com o intuito de se relacionar a descrição

geométrica destes objetos com as propriedades dos materiais [DE ARCANGELIS 1989].

A teoria fractal do ponto de vista da física diz respeito ao estudo de estruturas

irregulares que apresentam a propriedade de auto-similaridade ou auto-afinidade (propriedade

em que as partes são similares ao todo, em escalas sucessivas de ampliação ou redução,

Mandelbrot [1972]). A natureza intrigante destas propriedades existentes em estruturas, que se

estendem desde o microcosmo [Fractal em Marte] até o macrososmo, é motivo de muitas

investigações na física [HERRMANN 1986, TSALLIS 1997 e outros]. Sendo assim, a teoria

fractal possui diversos contextos, tanto na física como na matemática, tais como: na teoria do

caos [McCAULEY 1993], no estudo das transições de fase e fenômenos críticos [Livros de

Mec. Estatística de Eugene Stanley; BECK 1993], no estudo de aglomeração de partículas

[MEAKIN 1995], etc. O contexto que está mais diretamente relacionado à Mecânica da

Fratura, por causa da natureza física do processo, é a que diz respeito ao crescimento fractal

[VICSÉK 1991; SANDER 1984; MEAKIN 1993 e PIETRONERO 1988]. Nesta sub-área são

estudados os mecanismos de crescimento de estruturas que surgem em processos de

instabilidade e dissipação de energia, tais como as trincas [HERRMANN & ROUX 1990;

CHARMET 1990] e padrões ramificados [MEAKIN 1989]. Neste sentido e que procuraremos

abordar o problema da propagação das trincas.

A teoria fractal torna-se cada vez mais presente na descrição de fenômenos que

possuem uma desordem mensurável, chamado de caos determinístico [McCAULEY 1993;

HERRMANN & ROUX 1990; CHARMET 1990]. O fenômeno da fratura e propagação de

trincas, embora sendo estatístico, mostra que algumas regras ou leis são obedecidas, e a cada dia

tornam-se mais claras através do entendimento das propriedades dos fractais [HERRMANN &

ROUX 1990; CHARMET 1990].

6. 2 - O Modelo fractal de estruturas

Em primeiro lugar, devemos começar com a definição de função homogênea dada

por Euler, que constitue a base de todo o escalonamento fractal. De acordo com o teorema de

6

Euler para funções homogêneas de grau n qualquer, uma transformação de escala, εk (εmin ≤ εk ≤ ε

max), numa função F(c) deste tipo resulta em:

F(εkc) = εk-nF(c) (0 ≤ εk ≤ 1), (6. 1)

Este resultado significa, que o valor de uma função numa escala, F(c), está

relacionado com o valor desta mesma função numa outra escala, F(εkc) por uma relação entre as

escalas εk, elevada a uma potência n que corresponde ao grau de homogeneidade da função. Um

fractal é um objeto que segue a um tipo de escalonamento fracionário (Figura - 6. 1), ou seja, o

grau de homegeneidade n da função descrita em (6. 1) não é inteiro, e apresenta a propriedade da

autosimilaridade.

Figura - 6. 1. Fractais ramificados, mostrando um elemento de estrutura a) Fractal Matemático auto-similar b) Fractal Físico estatisticamente auto-similar.

As propriedades básicas dos fractais são: a sua dimensão não-inteira e a auto-

similaridade, isto é, o fato de suas partes se assemelharem ao todo em diferentes escalas. Esta

última propriedade, se torna mais evidente quando se faz uma transformação de escala

homogênea de uma parte qualquer de sua estrutura, em escalas sucessivas.

Existem dois tipos básicos de fractais: os fractais matemáticos, cujas relações de auto-

similaridade são exatas e não tem limites de escala superior ou inferior pois são gerados por regras

7

de interações infinitas (Figura - 6. 1b) e fractais físicos, cujas relações de auto-similaridade são

obedecidas na média estatística feita ao longo de todo o fractal, desde uma escala inferior εmin até

uma outra escala superior εmax (auto-similaridade), conforme mostra a Figura - 6. 1. Supondo-se

que os fractais encontrados na natureza, ao se formarem, seguem regras ou leis do tipo citada

acima, vemos que os intrigantes fatos concernentes a sua estrutura, apesar de serem curiosos do

ponto de vista matemático, parecem esconder algum tipo de princípio de dissipação de energia

[ALVES 1998b, HERRMANN 1986]. Nestes fractais físicos ou naturais o escalonamento da

extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte forma:

F(δ) ~ δd -D, (6. 2)

onde d é a dimensão euclideana de projeção do fractal e D é a dimensão fractal da estrutura

auto-similar.

Por outro lado, existem fractais com diferentes dimensões ao longo de suas

direções ortogonais, que são chamados de fractais auto-afins. Fractais auto-afins são aqueles

que aparecem imersos numa dimensão euclidiana superior ( I = d + 1) e possuem projeção

sobre uma dimensão euclidiana inferior (d), de tal forma que no limite de escalas muito

grandes a dimensão deste é a dimensão euclidiana E. Por exemplo, uma trinca vista de uma

escala muito distante pode ser considerada como uma reta, cuja dimensão é d = 1 e

superfícies de fratura, neste limite, são planos de dimensão d = 2. Neste fractais o

escalonamento da extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte

forma:

F(δ) ~ δI - Dx, (6. 3)

onde I é a dimensão euclideana de imersão do fractal e Dx é a dimensão fractal da estrutura

auto-afim ao longo da direção x. O expoente da função acima é dado por H = I - Dx onde H é o

expoente Hurst da rugosidade da estrutura. Um exemplo de um fractal auto-afim está mostrado

mais oportunamente na Figura – 3.5, quando será modelado o perfil de uma trinca.

Definindo-se o “elemento padrão da estrutura” ou “semente” de um fractal, como

sendo o elemento básico de formação do mesmo, que é auto-similar ou auto-afim a outro, em

escalas sucessivas, o número de estruturas formadas numa determinada escala pode ser descrito

de acordo com SANDER [1984] como sendo:

Nr(ε) = ε -Dr, (6. 4)

onde:

8

ε: é o fator de transformação de escala usado

Nr: é o número de elementos de estrutura na escala ε na direção r.

Dr: é a dimensão fractal da estrutura na direção r. Para fractais auto-similares Dr = D e para

fractais auto-afins Dr = Dx.

A grandeza ε é o fator de transformação de escala dado pela razão entre os tamanhos

r e R do elemento de estrutra em duas escalas diferentes ou sucessivas:

ε = r/R, (6. 5)

Para um mono-fractal o fator de escala ε é uma constante entre dois niveis

consecutivos de escalonamento. Contudo uma generalização pode ser feita a partir da relação (6.

4) para o caso onde a dimensão fractal depende da escala como é o caso de multifractais.

Normalmente os fractais encontrados na natureza são multifractais, que correspondem àqueles

que possuem uma dimensão que varia continuamente. Para estes fractais, as relações, (6. 1), (6. 2)

e (6. 3) são aproximações matemáticas que podem ser usadas para descreve-los em termos de

uma medida média.

Conforme será descrito neste trabalho, considerando-se as trincas como sendo um

fractal físico homogêneo estatisticamente auto-afim e as rupturas ramificadas, como sendo

estatisticamente auto-similar, pode-se, partindo-se das expressões (6. 2) e (6. 3), com algumas

modificações matemáticas, interpretar os fenômenos de propagação das trincas, tão importante em

materiais, chegar a resultados utéis na descrição deste fenômeno. Será possível entender, de forma

clara, desde o processo de fratura até o de fragmentação, sob uma visão da variação contínua dos

graus de energia fornecido ao material, modificando apenas o número de trincas formadas,

ramificadas e sobrepostas, conforme será mostrado mais adiante.

6. 3 - Crescimento e Fragmentação Fractal

9

6. 4 - Padrões de crescimento na natureza: da ordem ao caos.

A descrição de objetos e figuras regulares está baseada em conceitos

geométricos tais como: simetrias, invariâncias etc, tendo como suporte a geometria

euclidiana. O conceito de simetria é intuitivamente introduzido nos postulados de Euclides, na

descrição destas figuras. Além do que, a idéia grega de perfeição e ordem, baseado nas

simetrias das formas regulares, está intuitivamente embutida no seu pensamento. Porém, isto

parece não ser o comportamento geral das formas encontradas na natureza. Embora se

preserve a idéia de simetria, a maioria das construções geométricas realizadas pela natureza,

são irregulares e as formas regulares fazem parte da exceção e não da regra.

A natureza possui uma forma própria de construir objetos geométricos. Pois,

assim como o homem é capaz de construir artificialmente, objetos, através de desenhos,

moldagens, esculturas, etc, com padrões geométricos regulares e definidos, a natureza

também possui seus próprios mecanismos de construção de objetos e padrões, os quais é

encontrado nas formações rochosas, nas árvores, nos relâmpagos, etc. Ela o faz, através do

desencadeamento de fenômenos e processos físicos, químicos, biológicos, etc, que seguem

leis bem definidas, cuja manipulação humana, pode ou não estar presente.

Neste trabalho, procura-se descrever a forma pela qual a natureza constrói seus

padrões usando a fenomenologia da descrição fractal, para explicar a construção de objetos

10

tais como trincas e outras estruturas ramificadas. Para o caso de padrões e formas construídas

pelo desencadeamento de processos naturais, seguramente o fenômeno físico ou químico que

gerou tal objeto, como uma superfície de fratura por exemplo, está estreitamente relacionado

as propriedades físicas do meio e estas por sua vez, tem implicações nas suas propriedades

geométricas dos padrões e formas. Pensando nisso, pode-se tirar proveito da descrição

geométrica e extrair informações do fenômeno que gerou tais padrões, além de um

entendimento maior das suas propriedades físicas do meio.

Ao longo dos anos, o homem tem aprendido a descrever as formas regulares

através de teoremas matemáticos, os quais são úteis na descrição das propriedades físicas dos

objetos encontrados na natureza, como os cristais por exemplo. Porém, sabe-se que a

natureza, não mantém válida a regra de construção de figuras regulares em todos os níveis de

escala, e para isso, tem surgido uma nova forma de descrever padrões irregulares com o

intuito de deduzir as suas propriedades físicas do meio e entender os processos que geram tais

objetos, a partir de suas propriedades geométricas.

Durante os séculos XVIII e XIX os cientistas procuraram entender vários

fenômenos tomando como base a visão euclidiana da natureza através das leis de Newton da

mecânica na qual ela está baseada,. Eles conseguiram estabelecer por meio da própria

mecânica, da termodinâmica e da mecânica estatística as condições válidas para que os

sistemas atinjam a ordem e o equilíbrio. Até então, fenômenos que apresentavam uma certa

desordem, ou eram aproximados por sistemas próximo ao equilíbrio (processos reversíveis),

ou eram tratados do ponto de vista puramente estatístico. Pode-se dizer que estes dois séculos,

foram os séculos dos sistemas ordenados. Porém no fim deste século XX, vários cientistas

tem se preocupado com a descrição matemática dos sistemas desordenados, como por

exemplo, padrões de crescimento ramificados que acontecem longe do equilíbrio

termodinâmico além de outros. Situações de ordem como o arranjo cristalográfico dos átomos

foram bem explicados, porém situações de total desordem como o estado vítreo parecem

ainda esconder muitas informações das quais não podem ser tratadas pela leis clássicas da

física do ponto de vista da geometria euclidiana. A base fenomenológica para esta descrição

dos processos de crescimento dos padrões geométricos irregulares normalmente encontrados

na natureza, é o estudo da dinâmica não-linear e a teoria do caos.

11

6. 4.1 - Estruturas geométricas de crescimento fractal presentes na natureza

A geometria fractal aparece presente em todo o universo desde o micro até a

macrocosmo como mostra a Figura - 6. 2 de um fractal encontrado em marte.

Figura - 6. 2. Fractal ramificado encontrado em marte.

6. 4.2 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza

Antes de tudo, é preciso distinguir a forma dos objetos em sí, do processo físico

em questão na formação de um determinado padrão. Por exemplo, do ponto de vista

geométrico, figuras regulares são obtidas quando uma série de simetrias e relações de

congruências são mantidas na construção da figura. Do ponto de vista físico, a regularidade

ou a ordem está associado a vínculos externos que são impostos ao sistema, associados a

situações de trabalho termodinâmico onde a energia é minimizada. Estas simetrias e relações

de congruências podem estar matematicamente embutidas na descrição destes vínculos

externos, de forma que o único caminho resultante para o sistema naquelas condições seja a

regularidade e a ordem, descritos pela leis da física.

Por outro lado, figuras e padrões irregulares podem ser obtidos quando uma série

de simetrias e relações de congruências são quebradas, na construção de uma figura. E, do

ponto de vista físico, situações irregulares aparecem quando não se impõe necessariamente

vínculos externos aos fenômenos físicos em questão e/ou quando as situações consideradas

são regidas por processos irreversíveis.

12

Os fractais na natureza se originam em condições de instabilidades em um

processo de crescimento (captação ou dissipação extrema de energia), dando origem a

estruturas ramificadas, como um mecanismo dinâmico de minimização do transporte e

maximização da energia captada ou dissipada afim de dimensionar o processo dentro de um

volume limitado. Como exemplo de fenômenos deste tipo tem-se os relâmpagos, a

propagação de trincas em materiais, o crescimento das plantas e a geometria dos pulmões, etc.

Para o caso tridimensional, onde um objeto fractal de volume limitado está

imerso, este procura maximizar a sua área superficial; e no caso bidimensional onde um

fractal de área limitada está imerso, este procura maximizar o seu perímetro, portanto

3D:V: limitado ↔ A → ∞

2D:A: limitado ↔ P → ∞

Nos processos físicos de crescimento a dimensão fractal está diretamente

relacionada aos expoentes críticos das funções que determinam o estado termodinâmico do

objeto fractal, tais como: energia, temperatura, volume, calor específico.

Numa solidificação [ALVES 1995] por exemplo, as condições de equilíbrio,

nunca dão origem ao crescimento de uma nova fase, pois uma fase só passa a crescer em

condições ligeiramente fora do equilíbrio. Considerando a conservação da massa, uma fase só

cresce em detrimento da outra, e nestes casos, estados ligeiramente fora do equilíbrio podem

ser aproximados por relações lineares de causa e efeito, cujo potencial é do tipo quadrático

(parabólico), o que implica num equilíbrio estável e conseqüentemente num processo

reversível, pois neste limite as forças são do tipo conservativas. Situações extremas, como no

caso em que o empacotamentos dos átomos acontece longe do equilíbrio termodinâmico, a

variação da entropia se dá, de forma que as instabilidades interfaciais, se repetem em escalas

cada vez menores, como por exemplo no crescimento dendrítico, onde as leis que regem este

fenômeno se mantém invariantes em escalas, e podem ser descritas pela propriedade de auto-

similaridade da geometria fractal, cuja condições de homogeneidade são escalonáveis por

uma lei de potência do tipo:

F(ε) = ε-D (6. 6)

onde F(ε) é alguma propriedade geométrica do sistema que dependa da escala e ε é um fator

de transformação de escala.

13

Considerando-se a transição da ordem ao caos absoluto, nos fenômenos físicos,

existem certos estágios desta transição que se dão de forma escalonáveis, ou seja,

determinadas características são preservadas independentemente da escala de observação.

Portanto, a implicação direta da teoria dinâmica não-linear envolvendo padrões de

crescimento, sobre a interpretação dos fenômenos físicos, diz respeito a idéia de que, a

natureza através de regras de escalonamento, possui leis físicas que são invariantes por

transformação de escala, ou seja, existem leis que são universais desde o macro até o

microcosmo, como por exemplo, as leis que descrevem a aglomeração de partículas.

Do ponto de vista fenomenológico, o calor liberado ou o desprendimento da

energia para a formação de uma fase sólida, num processo de solidificação, se iniciará na

maior escala quando a condição de estabilidade de uma interface plana (condição de

equilíbrio) é ameaçada pela retirada rápida do calor através de um choque térmico (ou por um

resfriamento rápido) e se extinguirá na menor escala, quando todo o fluxo de calor se esgotar,

não ameaçando mais as condições de solidificação da menor ramificação da dendrita. Desta

forma, observa-se que os padrões ramificados, podem ser explicados pela necessidade que o

corpo tem de aliviar as tensões (térmicas ou mecânicas) a ele imposta, ou liberar a energia

armazenada, em situações de instabilidade da forma mais eficiente possível. Desta forma, a

caracterização de estruturas irregulares, fornece a vantagem se fazer previsões com

fenômenos que aparentemente não apresentam nenhuma ordem mensurável, o que hoje em

dia é chamado de caos determinístico. Pois como se sabe, entre a perfeita ordem e o caos

absoluto, existem estados de desordem, que ainda poder ser descritos por teorias analíticas,

como a sugerida pela teoria dinâmica que envolve o caos e a geometria fractal. Esta

importante área da física surgida nas últimas décadas, tem encontrado larga aplicação em

fenômenos estatísticos como as propagação de trincas e a geração de superfícies de fratura,

além de outros.

Conclui-se portanto, que a descrição de objetos regulares encontrados na natureza,

seguem idéias intuitivas de ordem e simetrias que nem sempre permanecem na descrição dos

padrões irregulares. A mecânica newtoniana por exemplo, foi construída basicamente sobre os

princípios de ordem e simetria, análogos a aqueles encontrados na geometria euclidiana.

Assim, é preciso revisar os conceitos clássicos com base na nova visão da geometria fractal

para se abranger novos fenômenos que até então eram delegados a uma descrição puramente

estatística, como é o caso da geometria descrita por uma fratura.

14

6. 4.3 - A teoria do crescimento fractal

O intrigante aspecto geométrico que um fractal apresenta, é motivo de muitas

especulações científicas. Dentro do contexto deste trabalho, é útil explicar a dinâmica de

crescimento de um fractal utilizando o equacionamento da instabilidade de uma estrutura

básica, como uma falha por exemplo geradora da auto-afinidade (irregularidades

morfológicas).

processo estável processo instável

Figura - 6. 3. Crescimento de uma superfície qualquer que posui um tempo de relaxação é τ, mostrando os casos de a) processos estável para ∆t >> τ e b) instável para ∆t << τ.

Considere um processo físico qualquer, cuja estrutura básica gerada possui um

aspecto análogo ao mostrado na Figura - 6. 3. Considere também que a fronteira da estrutura

mostrada acima pode ou não avançar, á medida que um fluxo de energia, φ, é injetado (ou

extraído) do seu interior em um intervalo de tempo dt. Se as condições de crescimento forem

tais que qualquer avanço espacial do raio R do contorno, em uma dada direção é

eqüitativamente distribuído ao longo do contorno, após um tempo to + τ. Então se diz que o

processo é estável (ou quase-estático). Contudo, se o tempo τ for muito maior do que o tempo

no qual a estrutura recebe o acréscimo de energia, em uma dada direção, pode acontecer que o

processo de crescimento seja instável, fazendo a estrutura crescer anisotropicamente [Sander

1984]. Uma instabilidade acontece quando existe um desacoplamento de funções dinâmicas

do crescimento tais como, dimensão espacial e velocidade e há pelo menos duas situações

15

igualmente prováveis [WILLIAMS 1987, 1991]. Neste trabalho será mostrado

matematicamente que estas duas condições são equivalentes e originárias de uma única

condição de retardo no processo de resposta do sistema e de uma busca pela maximização da

entropia, através de um princípio de máxima dissipação de energia (PMDE) por escala.

Figura - 6. 4. Crescimento dendrítico instável.

Figura - 6. 5. Crescimento dendrítico instável no estágio k =2.

Por questões de simplicidade matemática, será considerado um meio físico cuja

interface possui uma estrutura básica (Figura - 6. 3) análoga ao iniciador fractal do exemplo

mostrado na secção anterior (). Supondo que a interface mostrada na Figura - 6. 4, sofre uma

pequena flutuação, ∆Uk, na energia contida entre o sistema sob consideração e o meio

externo. Ao sofrer esta perturbação energética, ocorre o aparecimento de uma pequena

protuberância no contorno da interface do sistema, como resultado da diminuição da sua

energia livre resultante entre a interface e o volume. A diferença energética entre o meio e o

sistema faz com que este sistema libere uma nova quantidade de energia sob a forma de fluxo,

∆Uk+1 = φk+1∆t. Considerando que o sistema estava inicialmente em equilíbrio instável,

novamente ao sofrer esta perturbação, pequenas protuberâncias tornam a surgir ao longo de

16

todo o contorno da interface. Isto acontecerá à medida que condições idênticas a anterior são

reproduzidas, isto é, a de interface plana [SANDER 1984; CHALMERS 1964], conforme

mostra a Figura - 6. 5.

Quando o sistema passa novamente pela condição inicial de equilíbrio instável,

novas protuberâncias vão surgindo e mais energia flui para fora do sistema, e assim

sucessivamente. Até que toda a energia inicialmente contida no sistema se esgote.

Construindo um diagrama deste processo de cascata, a variação da energia livre em função do

comprimento da interface pode ser representada de acordo com a Figura - 6. 6.

Figura - 6. 6. Variação da energia livre em função do comprimento rugoso do perfil da superfície

O comprimento da interface é dada por:

Lk = Lo+ Σ ∆Lk (6. 7)

como este comprimento está relacionado com a energia gasta para formar as superfície tem-

se:

Uk = Uo+ Σ ∆Uk (6. 8)

Nas secções 6. 4.2 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza e 6. 4.3 -

A teoria do crescimento fractal, acima viu-se como o crescimento de uma superfície, no caso

17

fractal, acontece na natureza como resultado de uma instabilidade estrutural. Nesta primeira

parte será mostrado a relação existente entre a instabilidade e irregularidade do padrão de

dissipação (superfície de fratura). Na segunda parte será equacionado o problema para o caso

de uma fratura, no qual será mostrado os resultados matemáticos válidos para descrição do

fenômeno.

6. 5 – Proposição de um novo Método de Escalonamento Dinâmico

de Fractais Laplacianos Ramificados baseado no método de

Contagem “Sand-Box”.

Na natureza ocorre diversos fenômenos cujo resultado é a formação de padrões

ramificados, em processos que acontecem longe do equilíbrio termodinâmico [Livros de

Termodinâmica Fractal]. Estes padrões podem ser: trincas, rupturas dielétricas ou relâmpagos,

crescimento dendrítico em processos de solidificação, formação de agregados em procesos de

gelificação, etc. Atualmente existe grande interesse científico em descrever o surgimento

destas estruturas. A descrição matemática destes padrões pode ser feita em termos da

geometria fractal. Esta classe específica de padrões ramificados é chamada de fractais

laplacianos, devido a natureza da sua formação. Alguns destes padrões são formados em

processos de crescimento baseados na agregação limitado por difusão (DLA). De um forma

geral, como existe uma estreita relação, entre a fenomenologia e a estrutura formada,

decorrente da sua geometria fractal, o entendimento dos processos de formação destas

estruturas devem ser provenientes da sua análise matemática. Portanto, a sua descrição

matemática deve transcender a simples caracterização geométrica, com a finalidade de

relacionar o padrão formado com o processo de dissipação de energia que o gerou. Desta

forma, é possível, utilizar a geometria fractal com a finalidade de se entender processos cada

vez mais complexos.

Neste trabalho, estamos interessados em relacionar a geometria fractal com o

processo dinâmico de crescimento, pois é nesta situação que os padrões se formam e as

ramificações surgem. O escalonamento dinâmico [FAMILY 1991; BARABÁSI 1995]

corresponde a descrição temporal do crescimento das estruturas ou padrões fractais. Uma vez

que a dimensão fractal calculada pelos métodos conhecidos levam em conta o fractal estático

já formado, o escalonamento dinâmico porém, procura relacionar a descrição fractal durante

seu tempo de formação. Para isso as escalas de medição são dinâmicas e a dimensão fractal

18

pode ou não depender do tempo transcorrido na formação da estrutura. Para isso nós usamos o

método Sand-Box [BUNDE 1994; VICSÉK 1991] como base para representar o

escalonamento dinâmico de estruturas fractais ramificadas como a mostrada na Figura - 6. 1 e

Figura - 6. 7.

O método Sand-Box, permite calcular a dimensão de uma estrutura fractal imersa

em qualquer dimensão euclidiana (d = 1,2,3,..etc). O cálculo é feito, contando-se o número de

estruturas N(R) autosimilares contidas em “caixas” de raio R variável, centradas na origem

“O” de um sistema de coordenadas. A partir deste método, foi possível elaborar uma técnica

de escalonamento dinâmico de fractais laplacianos, que possuem um raio de giração R(V,t)

que cresce com o tempo, com uma velocidade V em torno de uma origem central fixada “O”.

Fractais laplacianos foram observados em impactos ramificados, onde a técnica proposta

neste trabalho foi utilizada. Com este escalonamento dinâmico, foi possível descrever a

formação de estruturas fractais em termos da Função Dissipação da Termodinâmica dos

Processos Ireversíveis. Este cálculo pode ser usado na descrição matematica de quaisquer

processos de crescimento de estruturas fractais, como a fragmentação, por exemplo. Pode-se

através do escalonamento dinâmico estimar o numero de partículas que participam do

processo, a taxa de crescimento da estrutura em função do raio de alcalce e do tempo, e a

energia gasta na formação da estrutura.

Considerando o processo de crescimento, para um fractal laplaciano ramificado

[Artigos sobre o assunto], que cresce a partir de uma semente de tamanho l centrada numa

origem O fixa, podemos tratar o escalonamento dinâmico supondo que a medida que o fractal

cresce em torno de O, a sua fronteira de raio R aumenta com o tempo, com velocidade V dada

pela variação de R neste tempo, logo

V = dR/dt, (6. 9)

Se nós considerarmos que o escalonamento dinâmico acontece continuamente

dentro da fronteira de raio R acompanhando a evolução temporal do fractal, poderemos usar

esta grandeza R como sendo representativa para o fator de transformação de escala ε, o qual é

dada pela razão entre os tamanhos r e R dos “elementos da estrutura” em duas escalas de

tempo diferentes, de forma análoga ao escalonamento estático dado pela relação (3.3) (Figura

- 6. 7).

19

Figura - 6. 7. Escalonamento dinâmico proposto baseado no método Sand-Box.

O escalonamento dinâmico de um fractal físico só terá validade dentro do

intervalo de escalonamento εmin ≤ ε ≤ εmax. Logo, o número de estruturas autosimilares, dentro

de um raio R, que foram acrescentadas para formar uma outra estrutura autosimilar, durante

um tempo dt, onde R variou de R para R + dR, é dado por: dN = (dN/dR)dR.

Como o método Sand-Box de contagem de estruturas, diferentemente dos outros

métodos, necessita de uma origem fixa, a partir da qual as caixas de tamanho R variável são

escalonadas (não importa a geometria das mesmas pois as caixas podem ser esféricas). Nós

podemos, portanto, fixar este centro da caixa na origem central do fractal, ou em qualquer

outra origem autosimilar a esta e fazer escalonamento das caixas de acordo com a fronteira do

fractal em crescimento, conforme mostra a Figura - 6. 7. Desta forma, nós estaremos

acompanhando o escalonamento do fractal de forma dinâmica, onde a taxa de crescimento

dN/dt da estrutura, dentro de um determinado nível k(t) de crescimento, pode ser expressa

como:

dN(t)/dt = -D(N/ε)dε/dt, (6. 10)

a derivada da grandeza ε(t) em relação ao tempo, tem sua interpretação em termos da taxa de

formação dos elementos de estrutura nas escalas correspondentes, desde a escala superior εmax

até a escala inferior εmin. Observe que, como ε é inversamente proporcional a taxa de

formação do fractal dN/dt, a medida que este último aumenta, a escala ε tende a ser cada vez

menor, até que o menor elemento de estrutura possível seja formado na escala inferior εmin, e

vice-versa. A propriedade de autosimilaridade, típica de estruturas fractais aparece, porque em

cada nível de escalonamento a fenomenologia do processo se repete, por meio de um efeito de

20

“memória” e retro-alimentação que se mantém, até que toda a energia disponível seja gasta e

a estrutura seja totalmente formada .

Desta forma, podemos substituir a expressão (3.4) em (3.6) e obter a descrição

direta do processo de formação dos fractais em termos do tamanho dos elementos da

estrutura. Logo a grandeza dε/dt pode ser interpretada como a taxa de crescimento do fractal

numa determinada escala ε, que de acordo com (3.4) pode ser escrita como:

(1/ε)dε/dt = (1/r)dr/dt - (1/R)dR/dt, (6. 11)

Figura - 6. 8. Condição física de instabilidade para o crescimento de uma estrutura fractal segundo Sander.

De acordo com Figura - 6. 8, SANDER [1984] define uma grandeza β como

sendo:

β = (1/r)dr/dt / (1/R)dR/dt -1, (6. 12)

Onde ele classifica os regimes de crescimento das estruturas como sendo:

> 0 crescimento fractal incipiente

β = 0 crescimento com invariancia de escala

< 0 crescimento não-fractal.

A grandeza dr/dt pode ser entendida como sendo a velocidade de formação do

elemento de estrutura que no caso pode ser um pequeno trecho microscópico do fractal, e a

21

grandeza dR/dt pode ser entendida como sendo a velocidade macroscópica de crescimento do

fractal. O parâmetro β está relacionado com índice multifractal q pela relação β = q -1.

6. 6 -Escalonamento dinâmico

O escalonamento dinâmico é feito, quanto o tempo de crescimento ou

fragmentação do objeto fractal é levado em consideração. Neste caso, o parâmetro de controle

das dimensões do objeto é o tempo. Com este tipo de escalonamento deseja-se descrever o

processo de crescimento da estrutura fractal em função do tempo, a fim de relacioná-las com

as grandezas físicas conhecidas tais como: energia, potência, número de partículas, numa

possível termodinâmica de não-equilíbrio.

O escalonamento dinâmico, corresponde a descrição temporal do crescimento das

estruturas ou padrões fractais, ou seja, uma vez que a dimensão fractal calculada pelos

métodos conhecidos levam em conta o fractal estático já formado, o escalonamento dinâmico,

procura relacionar a descrição fractal durante o tempo de formação do mesmo. Para isso, as

escalas de medição são dinâmicas e a dimensão fractal, pode ou não depender do tempo

transcorrido na formação da estrutura fractal.

Considerando-se o processo de crescimento, para um fractal laplaciano

ramificado, que cresce a partir de uma semente de tamanho l centrada numa origem O fixa,

poder-se-á tratar o escalonamento dinâmico da seguinte forma:

Considerando-se que a medida que o fractal cresce em torno de O, a sua fronteira

de raio R aumenta com o tempo, com uma velocidade V dada pela variação de R no tempo,

logo

V(R,t) = dR/dt (5. 1)

Se for considerado que o escalonamento dinâmico acontece continuamente dentro

da fronteira de raio R. poder-se-á usar a grandeza R como sendo representativa para o fator de

transformação de escla ε, a qual é dada pela razão entre os tamanhos r e R do elemento de

estrutra em duas escalas diferentes:

ε = r/R (5. 2)

O escalonamento dinâmico de um fractal físico, só terá validade dentro do

intervalo de escalonamento citado anteriormente. Logo, o número de estruturas auto-similares

22

dentro de um raio R que foram acrescentadas para formar uma outra estrutura auto-similar

durante um tempo dt, onde R variou de R para R + dR, é dado por:

dN = (dN/dR)dR (5. 3)

Figura - 5. 1. Escalonamento dinâmico proposto baseado no método Sand-Box.

Como o método de contagem de estruturas Sand-Box, diferentemente dos outros

métodos, possui uma origem fixa, a partir do qual as caixas de dimensão R variavel são

escalonadas (não importa a gometria das mesmas, pois as caixas podem ser esféricas). Poder-

se-á portanto, fixar este centro da caixa na origem central do fractal, ou em qualquer outra

origem auto-similar a esta e fazer escalonamento das caixas de acordo com a fronteira do

fractal em crescimento, conforme mostra a Figura - 1.24. Desta forma, acompanhando-se o

escalonamento do fractal de forma dinâmica, onde a taxa de crescimento dN/dt da estrutura

dentro de um determinado nível k pode ser expressa a partir de (1.12) como sendo:

dN/dt = -D ε-D-1 dε/dt (5. 4)

ou ainda

dN/dt = -D(N/ε)dε/dt (5. 5)

a derivada da grandeza ε em relação ao tempo, tem sua interpretação em termos da taxa de

formação dos elementos de estrutura nas escalas correspondentes, desde a escala superior εmax

até a escala inferior εmin. Observe, que como ε é inversamente proporcional a taxa de

formação do fracatal dN/dt, a medida que esta última aumenta, a escala ε tende a ser cada vez

23

menor, até que o menor elemento de estrutura possível seja formado na escala inferior εmin

(Alves 1998), dando origem a propriedade de auto-similaridade, típico de estruturas fractais.

Porém, pode-se substituir a expressão (1.45) em (1.48) e obter a descrição direta

do processo de formação dos fractais em termos do tamanho dos elemento de estrutura, onde:

dε/dt = d(r/R)/dt (5. 6))

dε/dt = (1/R)dr/dt - (r/R2)dR/dt (5. 7)

logo a grandeza dε/dt pode ser interpretada como a velocidade de crescimento do fractal numa

determinada escala ε, que de acordo com (1.45) pode ser escrita como:

(1/ε)dε/dt = (1/r)dr/dt - (1/R)dR/dt (5. 8)

Usando-se a definição de Sander da grandeza β como sendo:

β = (1/r)dr/dt / (1/R)dR/dt - 1 (5. 9)

Onde ele classifica os regimes de crescimento das estruturas como sendo:

> 0 crescimento fractal incipiente

β = 0 crescimento com invariancia de escala

< 0 crescimento não-fractal.

A grandeza dr/dt, pode ser entendida como sendo a velocidade de formação do

elemento de estrutura, que no caso, pode ser um pequeno trecho microscópico do fractal, e a

grandeza dR/dt, pode ser entendida como sendo a velocidade macroscópica de crescimento do

fractal. Substituindo-se (1.51) em (1.48) tem-se:

dN/dt = -DN[(1/r)dr/dt -(1/R)dR/dt] (5. 10)

ou

dN/dt = -Dβ(N/R)(dR/dt) (5. 11)

usando-se (1.44) tem-se:

dN/N = -DβVdt/R (5. 12)

Observe, que a relação (1.55) acima, descreve o fenômeno fractal em duas

interpretações: fragmentação e crescimento. Para o processo de fragmentação considera-se

Rmax = cte e r, variável de acordo com a escala, já no processo de crescimento considera-se

24

rmin = cte (que corresponde ao tamanho das partículas ou elementos de estrutura na escala

inferior) e R = variável de acordo com o método Sand-Box.

Ë certo que se o método Sand-Box, for realizado considerando-se uma caixa R

fixada e tomando-se os diverso tamanhos r das estruturas auto similares encontradas dentro

desta caixa, para cada nível de escalonamento, o processo de fragmenteção também poderá

ser escalonado dinamicamente.

Reescrevendo-se (1.54) tem-se:

dN/N = -Dβ(dR/R) (5. 13)

logo:

d(lnN)/d(lnR) = -Dβ (5. 14)

observe, que para Dβ = cte, tem-se:

N = R-Dβ (5. 15)

6. 7 – Escalonamento Dinâmico Longitudinal e Radial: Uma

aplicação a dinâmica de propagação de trincas

6. 8 - A Dissipação da Energia em um Fractal

25

6. 8.1 - A Função Dissipação

6. 8.2 - A Produção de Entropia

6. 8.3 - O Fluxo de Entropia

6. 8.4 - A Potência Dissipada

6. 9 - Um novo princípio físico de dissipação de energia por detrás

das estruturas fractais encontradas na natureza

A teoria matemática fractal aplicada a descrição de fronteiras ou contornos de

objetos fractais de volumes finitos, admite que estas fronteiras ou contornos, possuem uma

extensão que tende ao infinito (A(δ) → ∞) à medida que o tamanho da régua de medida tende

a zero (δ → 0), enquando o volume permanece limitado, onde: 0 ≤ δ ≤ δmáx e 0 ≤ A(δ) ≤ ∞, e

V(δ) = Vo. Isto tem sido largamente demonstrado pelo diagrama de Richardson aplicado ao

estudo geométrico destes objetos [MANDELBROT 1977].

Por outro lado, o tamanhos de régua, δ, para objetos fractais matemáticos,

uniformes com auto-similaridade exata, são automaticamente determinados pelo tamanho das

estruturas geométricas, lk, que são auto-similares ao todo. Estas estruturas padrões são

encontrados em cada nível de escalonamento k do fractal matemático (0 ≤ k ≤ ∞). Porém os

fractais que aparecem na natureza, chamados de fractais físicos, são estatísticos e limitados

por tamanhos de estruturas auto-similares que determinam tamanhos de régua mínima δmin =

lo e máxima δmáx = Lo (δmin ≤ δ ≤ δmáx) em escalas arbitrárias ε = δ/δmáx = lk/Lo, que se

estendem desde o tamanho macroscópico do objeto, δmáx = Lo até o tamanho do menor

26

detalhe, δmin = lo onde a fractalidade se estende, isto é εmin ≤ ε ≤ εmáx. Como exemplos

podemos citar: o pinheiro, o couve-flor, as dendritas, os relâmpagos, etc. O número das

possíveis estruturas auto-similares de tamanho, lk, existentes neste intervalo, definem os níveis

de escalonamento k existentes no fractal (kmin ≤ k ≤ kmáx).

O fator de transformação da escala (ampliação ou redução), εk, entre dois níveis

quaisquer, tanto para uma fractal matemático como para um fractal físico, é determinado pela

razão entre o tamanho da estrutura auto-similar ao todo, num nível, k, isto é, lk, pelo tamanho

da estrutura auto-similar ao todo num nível, k+1, isto é, lk+1 (onde εk = lk/lk+1, εmin ≤ εk ≤

εmáx).

Portanto, podemos utilizar a idéia geral de que o contorno ou a fronteira de um

objeto fractal seja ele matemático ou físico, tende a um valor máximo, (A(δk) → Amáx), à

medida que o tamanho da estrutura auto-similar, lk tende a um valor mínimo, (lkmin → lo, k →

kmáx), onde Ao = A(δmáx= Lo) ≤ A(δ = lk) ≤ Amáx = A(δmin = lo), para propor um Princípio de

Máxima Dissipação de Energia como consequência direta desta suposição, conforme veremos

a seguir.

Pela relação de escalonamento fractal, o tamanho dos elementos de estruturas, lk

em cada escala, εk, ou nível, k, estão diretamente relacionadas com o número de objetos auto-

similares por uma lei de potência do tipo:

Nk(lk)∼ lk-D. (6. 13)

Para fractais de fragmentação Lmáx = Lo = cte e lk → lmin = lo, para fractais de

crescimento lmin = lo = cte e Lk → Lmáx = Lo. De qualquer forma, o número total de elementos

de estruturas formadas é dado por:

NT = (lmin/Lmáx)-D. (6. 14)

O número, N, em (6. 13) é um número qualquer entre os limites máximo e mínimo

onde o número mínimo é N(lmin) = 1 para fractais de crescimento e N(Lmáx) = 1 para fractais

de fragmentação.

Supondo-se que a energia Uk (onde k é o índice do escalonamento fractal)

utilizada para formar um padrão geométrico fractal deste tipo, em um processo físico, é

diretamente proporcional ao volume do fractal, ou ao número de elementos de estruturas

geradas, tem-se então que:

27

Uk (lk) =ρuVk(lk) = µN(lk) (6. 15)

onde ρu é a densidade volumétrica de energia e µ é energia unitária para forma um elemento

da estrutura. O volume do fractal é dado por:

Vk(lk) = N(lk)lkd, (6. 16)

ou ainda

Uk(lk) = ρu N(lk)lkd = µ(lk/Lk)

-D, (6. 17)

Sistemas que apresentam um consumo de energia (no processo dinâmico de

dissipação) que se reflete diretamente na estrutura dos padrões geométricos formados, podem

ser tratados por uma relação diretamente proporcional as duas grandezas contidas na (6. 15).

Logo no limite:

Uk(lk → lmin) =ρu(lmin/Lmáx)-D lmin

d = µ(lmin/Lmáx)-D, (6. 18)

Logo para a relação (6. 16) e (6. 17) temos que:

Uk - Uk-1 ~ Vk(lk) - Vk(lk)k-1, (6. 19)

ou seja

∆Uk(lk→lmin)=ρu∆Vk(lk)=(d-D)ρu(lmin/Lmáx)-Dlmin

d-1=-Dµ(lmin/Lmáx)-

Dlmin-1

(6. 20)

Veja que a área do contorno do fractal é dada por:

Ak(lk → lmin) = Amáx ~ NTlmind-1 = (lmin/Lmáx)

-D lmind-1, (6. 21)

logo:

∆Uk(lk → lmin) ~ Ak(lk → lmin) → ∆Umax = Amáx , (6. 22)

Se o tempo de criação de cada estrutura auto-similar em cada nível, for

diretamente relacionado ao seu tamanho da seguinte forma:

t → tmin ⇔ lkd →l dmin, (6. 23)

por outro lado temos de (6. 23) que:

tk - tk-1 ~( ldk – ld

k-1)/vk, (6. 24)

ou seja ou seja

28

∆tk ~ ∆ldk/ vk, (6. 25)

A potência dissipada pode ser expressa a partir de (6. 20) e (6. 25) como:

ψ(lk) = ∆Uk/∆tk =ρu∆Vk(lk)vk/∆ldk, =µ∆Nk(lk)vk/∆ld

k, (6. 26)

como no limite Lim ∆tk (∆ldk → ld

min) = ∆tmin então:

ψ = (d-D)ρu(lmin/Lmáx)-D lmin

d-1 vk/lmind = -Dµ(lmin/Lmáx)

-D lmin-1 vk/lmin

d (6. 27)

Para a estutura fratal completamente formada temos que a potência máxima

dissipada na formação da estrutura fractal é dada comparando-se (6. 21) com (6. 27) e

obtendo:

ψ = ψmáx → Ak(lk→lmin)vk/lmind = Amaxvk/lmin

d, (6. 28)

portanto

ψmax = (d-D)ρu(lmin/Lmáx)-D vk/lmin = -Dµ(lmin/Lmáx)

-D vk/lmind+1 (6. 29)

Este é o Principio da Máxima Dissipação da Energia (PMDE) para a formação de

estruturas escalonadas. Sistemas que desenvolvem este tipo de estrutura podem ser chamados

de sistemas de acúmulo crítico de energia com dissipação por sobrecarga de caráter

geométrico formando padrões de dissipação com as trincas e as rupturas dielétricas, por

exemplo. O valor deste acúmulo é dado pela relação (6. 18). Ou ainda

ψmax = (d-D)ρuNT vk/lmin = -DµNT

vk/lmind+1 (6. 30)

Onde a densidade volumétrica de energia é dada por:

ρu = Dµ/(D-d)lmind (6. 31)

Observe de (6. 18) que a energia de formação de toda a estrutura fractal tende a

um valor fixo. Portanto se a entropia ST total de formação da estrutura fractal depende da

escala, ε, isto é, Sk ∼ lk/Lo, temos que:

Sk → ST ⇔ Nk → NT, (6. 32)

Sendo a entropia uma grandeza extensiva, o grau de desordem do sistema estará

diretamente relacionado com a extensão do contorno do padrão geométrico formado, Ak(lk),

ou com o número de níveis, k, de escalonamento do fractal, N. Como a cada nível, k, tem-se

um tamanho de estrutura auto-similar, lk, diferente, a entropia como sendo uma grandeza

29

extensiva dependerá do tamanho da escala εk = lk/Lmáx. A relacão entre energia dissipada e

entropia é dada por:

ψmáx = T∆ST/∆tmin, (6. 33)

Portanto os processos dinâmicos que possui um aumento da entropia,

demonstrado pelo aumento da quantidade de níveis de escalonamento, k, entre um valor

mínimo e máximo, pode ter este aumento relacionado a um PMDE ou a um Princípio de

Máxima Produção de Entropia (PMPE), num regime de instabilidade que dá origem ao padrão

geométrico fractal conforme mostra a expressão abaixo:

T∆Smáx/∆tmin = (d-D)ρu(lmin/Lmáx)-D vk/lmin = -Dµ(lmin/Lmáx)

-D vk/lmind+1 (6. 34)

Por outro lado, sistemas cuja relação (6. 34) não é direta e sim inversa, a proposta

de um principio de máxima Dissipação pode até existir em outras condições, mas

possivelmente não estará refletido no caráter geométrico da estrutura formada.

6. 10 - O Modelamento multifractal de crescimento

Um modelamento multifractal de crescimento pode ser obtido substituindo (3.8) e

(3.7) em (3.6) temos:

dN/dt = -Dq(q-1) (N/R)(dR/dt), (6. 35)

Para o escalonamento estático podemos escrever:

dN/N = -Dq[(q-1) /R]dR, (6. 36)

Observe que as relações (3.9) e (3.10) acima, descrevem o fenômeno fractal em

duas interpretações: fragmentação e crescimento [ ]. Para o processo de fragmentação

considera-se Rmax = cte e r, variável de acordo com a escala, já no processo de crescimento

considera-se rmin = cte (que corresponde ao tamanho das partículas ou elementos de estrutura

na escala inferior) e R variável de acordo com o escalonamento do método Sand-Box.

É certo que se o método Sand-Box for realizado considerando-se uma caixa R

=Rmáx fixada e tomando-se os diversos tamanhos r das estruturas auto similares internas,

encontradas dentro desta caixa, para cada nível de escalonamento k(t), o processo de

fragmentação também poderá ser escalonado dinamicamente.

Integrando (3.9) de uma forma geral temos:

30

N(R,t) = Noexp{-����Dq(q-1) Vdt/R}, (6. 37)

Ainda de (3.10) temos que d(lnN)/d(lnR) = -Dβ, observe que para Dq(q-1) = cte,

ficamos com N(t) = [r/R(t)]-Dq(q-1).

Da expressão (3.9) nós vemos que para inferir o resultado dinâmico a partir do

estático é preciso necessariamente conhecer a função velocidade V(R,t) ao longo de toda a

estrutura. Isto só é possível se houver algum princípio geral [ALVES, 1998b] que possa nos

fornecer alguma informação sobre o comportamento desta função para estruturas fractais

deste tipo. Este tipo de tratamento será feito mais adiante, para descrever o processo de

dissipação de energia de uma trinca longitudinal ou radial ramificada utilizando a expressão

da velocidade de propagação de uma trinca válida para cada uma destes casos.

Considerando µ = dU/dN = cte a energia total de um fractal é dada por:

dU(R,V,t)/dt = µdN(R,V,t)/dt, (6. 38)

Esta é a expressão geral para a função que descreve o crescimento de uma

estrutura fractal laplaciana em função da dimensão radial R e do tempo t. Substituindo (3.7)

em (3.19) temos que a potência dissipada na formação do fractal é dada por:

dU(R,V,t)/dt = -µDq(q-1)[N(R,V,t)/R]V(R,t), (6. 39)

onde N(R,V,t) é dado por (3.18) e V(R,t) é dado por (3.16). De acordo com GRASSBERGER

[1981, 1983], Dq(q - 1) = τq = f(α(q)) - qα., é maximo para q = 0, ou seja, a dimensão fractal

da estrutura possui um valor máximo, Dq=0 =fmáx(α(0)) dentro do espectro multifractal de

dimensões, quando q = 0. Então a potência dissipada possui um valor máximo quando esta

condição é satisfeita.

6. 11 – Discussões

31

6. 12 - Conclusões

6. 13 - Referências bibliográficas

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