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Relatório - Estudo da difração

Ana Rita Dias-2013142131 e Ana Guarino-2013131907

TFM – 1ºANO, TURMA Pl2

Coimbra,19 de Março de 2014

Resumo

Este trabalho prático tem como objetivo a determinação do comprimento de onda, λ, da luz

proveniente de um laser e também o cálculo aproximado da distância entre as pistas de um CD, d,

através do conhecimento dos fenómenos de interferência e difração da luz.

Obteve-se um valor para o comprimento de onda de λ = 654 (±23,20) nm e uma distância

entre pistas de d=1,37(±0,0596) µm.

Introdução

Esta experiência pretende determinar numa primeira fase o ângulo, 𝜽, medido em relação

ao máximo central, que se obtém da seguinte forma

𝜽𝒊 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒀

𝑫

onde Y corresponde à distância entre o máximo central e o risco luminoso e D a distância da rede

de difração à folha de papel, para posteriormente determinar o comprimento de onda através da

formula 𝝀 = 𝒅 𝒔𝒊𝒏 𝜽 . Numa segunda fase pretende-se obter a distância, 𝑑, entre as pistas de um

CD

𝒅 =𝝀

𝒔𝒊𝒏 𝜽

onde 𝝀 corresponde ao comprimento de onda e 𝜽 ao ângulo medido em relação ao máximo central

determinado na primeira fase da experiência.

Método Experimental

Na primeira parte do trabalho prático

utilizámos uma rede de difração, colámos uma

folha de papel branco à parede e posicionámos a

rede a uma distância D, entre 10 e 20 cm,

apontando depois o laser à rede fixamente e na

perpendicular. Marcámos os 3 pontos que

surgiram na folha como ilustra a Figura 1 e de

seguida medimos e anotámos as distâncias y1 e y2.

Repetimos este processo várias vezes variando a

sempre distância da rede de difração à folha de

papel, D.

Figura 1-Representação esquemática da

difração da luz através de uma rede de

difração.

Laser

2

Posteriormente, posicionamos um CD com a

parte passível de gravação virada para a parede.

Apontámos o laser para esse mesmo lado do CD, como

mostra a Figura 2, fazendo novamente as medições das

distâncias y1 e y2, repetindo também o processo

diversas vezes variando a distância, D.

Resultados

Distância(D) (±0,0005) m Y1(±0,0005) m Y2(±0,0005) m

0.100 0.0840 0.0865

0.110 0.0970 0.0930

0.120 0.0950 0.105

0.130 0.117 0.111

0.140 0.112 0.140

Tabela_I - Valores recolhidos durante a primeira fase da experiência

Calculo dos ângulos para as diferentes distâncias:

𝜽𝒊 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒀𝟏

𝑫 𝜽𝒊 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏

𝒀𝟐

𝑫

o Distância=0,100 metros:

𝜽𝟏 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0840

0,100= 0,699 rad

𝜽𝟐 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0865

0,100= 0,713 rad

o Distância=0,110 metros:

𝜽𝟑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0970

0,110= 0,723 rad

𝜽𝟒 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0930

0,110= 0,702 rad

o Distância=0.120 metros:

𝜽𝟓 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0950

0,120= 0,670 rad

𝜽𝟔 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,105

0,120= 0,719 rad

o Distância=0,130 metros:

𝜽𝟕 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,117

0,130= 0,734 rad

𝜽𝟖 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,111

0,130= 0,707 rad

Figura 2- Representação esquemática

para obtenção da distância entre as

pistas de um CD.

D

3

o Distância=0,140 metros:

𝜽𝟗 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,112

0,140= 0,675 rad

𝜽𝟏𝟎 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,140

0,140= 0,785 rad

Considerando 𝑵 = 𝟏𝟎 como o números de ângulos obtidos das medições efetuadas, a média dos

ângulos, < 𝜽 >, é dada por:

< 𝜽 > = 𝟏

𝑵∑ 𝜽𝒊

𝑵

𝒊=𝟏

= 1

10× (

0,699 + 0,713 + 0,723 + 0,702 + 0,670+0,719 + 0,734 + 0,707 + 0,675 + 0,785

) = 𝟎, 𝟕𝟏𝟑 𝒓𝒂𝒅

O desvio-padrão, 𝝈𝜽 , devidamente calculado é:

𝝈𝜽 = √∑ (< 𝜃 > −𝜃𝑖)2𝑁

𝑖=1

𝑁 − 1= √0,009407 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟕𝟎

Assim sendo, a incerteza do valor médio, 𝝈<𝜽>, é:

𝝈<𝜽> =𝜎𝜃

√𝑁=

0,0970

√10= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟕

Concluímos que 𝜽 = 𝟎, 𝟕𝟏𝟑(±𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟕) 𝒓𝒂𝒅

Comprimento de onda do laser, 𝝀, sendo 𝜽 = 0.713 rad:

𝝀 = 𝒅 𝒔𝒊𝒏 𝜽

𝝀 = 1x10−6 × sin(0.713) = 6,54𝑥10−7 𝑚 = 𝟔𝟓𝟒 𝒏𝒎

Calculo da incerteza através da regra de propagação de erros:

△ 𝝀 = √(𝐬𝐢𝐧 𝛉 )𝟐 ∆𝐝𝟐 + (𝐝 𝐜𝐨𝐬𝛉)𝟐 ∆𝛉𝟐

△ 𝝀 = √(sin 0.713 )2 02 + (1x10−6 cos 0.713)2 (0,0307)2 ⇔

△ 𝝀 = 2,32𝑥10−8 𝑚 ⇔

△ 𝝀 = 𝟐𝟑, 𝟐𝟎 𝒏𝒎 Então 𝝀 = 𝟔𝟓𝟒 (±𝟐𝟑. 𝟐𝟎) 𝒏𝒎

Comparando os resultados que obtivemos com a informação recolhida, podemos concluir

que o valor do comprimento de onda se encontra dentro da gama do vermelho o que corresponde

ao esperado na experiência.

Figura 3 – Espectro de radiação eletromagnética.

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Distância(D) (±0,0005) m Y1(±0,0005) m Y2(±0,0005) m

0.100 0.0470 0.0520

0.110 0.0560 0.0690

0.120 0.0760 0.0720

0.130 0.0700 0.0710

0.140 0.0720 0.0690

Tabela_II - Valores recolhidos durante a segunda fase da experiência

Calculo dos ângulos para as diferentes distâncias:

𝜽𝒊 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒀𝟏

𝑫 𝜽𝒊 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏

𝒀𝟐

𝑫

o Distância=0,100 metros:

𝜽𝟏 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0470

0,100= 0,439 rad

𝜽𝟐 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0520

0,100= 0,480 rad

o Distância=0,110 metros:

𝜽𝟑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0560

0,110= 0,471 rad

𝜽𝟒 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0690

0,110= 0,560 rad

o Distância=0.120 metros:

𝜽𝟓 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0760

0,120= 0,565 rad

𝜽𝟔 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0720

0,120= 0,540 rad

o Distância=0,130 metros:

𝜽𝟕 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0700

0,130= 0,494 rad

𝜽𝟖 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0710

0,130= 0,500 rad

o Distância=0,140 metros:

𝜽𝟗 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0720

0,140= 0,475 rad

𝜽𝟏𝟎 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0,0690

0,140= 0,458 rad

Considerando 𝑵 = 𝟏𝟎 como o números de medições efetuadas, a média dos ângulos obtidos

através dos cálculos, < 𝜽 >, é dada por:

< 𝜽 > = 𝟏

𝑵∑ 𝜽𝒊

𝑵𝒊=𝟏 =

1

10× (

0,439 + 0,480 + 0,471 + 0,560 + 0,565+0,540 + 0,494 + 0,500 + 0,475 + 0,458

) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟖 rad

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O desvio-padrão, 𝝈𝜽 , devidamente calculado é:

𝝈𝜽 = √∑ (< 𝜃 > −𝜃𝑖)2𝑁

𝑖=1

𝑁 − 1= √0,001864 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟑𝟐

Assim sendo, a incerteza do valor médio, 𝝈<𝜽>, é:

𝝈<𝜽> =𝜎𝜃

√𝑁=

0,0432

√10= 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟕

Então 𝜽 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟖(±𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟕) 𝒓𝒂𝒅

Com todos estes dados, podemos agora calcular a distância entre as pistas do CD:

𝜆 = 𝟔𝟓𝟒 𝒏𝒎

𝜃 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟖 𝒓𝒂𝒅

𝑑 =𝝀

𝒔𝒊𝒏 𝜽=

0.000654

sin(0.498)= 0.00137 𝑚𝑚 = 1.37 µ𝒎

Calculo da incerteza através da regra de propagação de erros:

Δd = √(𝟏

𝐬𝐢𝐧 𝛉 )𝟐 ∆𝛌𝟐 + (

(−𝛌 𝐜𝐨𝐬𝛉)𝟐

𝒔𝒊𝒏𝟒𝜽) ∆𝛉𝟐

Δd = √(1

sin (0.498) )2 (2,32𝑥10−8)2 + (

(−6,54𝑥10−7∗ cos(0.498))2

𝑠𝑖𝑛4(0.498)) (0,0137)2 ⇔

Δd = 5,96x10-8m

Δd = 0,0596 µm

Logo, 𝑑 = 1.37(±0.0596) µ𝒎

A distância média entre as pistas de um CD é

aproximadamente 1,6 µm o que mostra que o valor obtido na

experiência, além de inferior, está próximo do valor real.

1,6 µm

Figura 4 – Representação da

distância entre as pistas de um CD.

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Discussão e Conclusão

Comparando os valores reais com os valores obtidos verificamos que em ambas as

experiências estes são próximos. O valor obtido para o comprimento de onda da radiação vermelha

está entre 620 e 700 nm. Já o valor da distância entre as pistas do CD é menor que o valor real.

Assim sendo, concluímos que esta experiência correu dentro do esperado e que os valores obtidos

demonstram que foi realizada com a máxima precisão possível, tendo em conta as condições para

a realização do trabalho.

Durante a realização do trabalho, o laser tinha que estar sempre na mesma posição, e seguro

por uma pessoa. Portanto, o resultado visualizado na folha de papel não seria o mais exato, uma

vez que não eramos capazes de manter o laser fixo, numa mesma posição, durante um intervalo de

tempo considerável, o que se refletiu particularmente nas medições do CD, em que a instabilidade

era elevada.

Quanto às medições é normal a ocorrência de erros, sendo esperado que os erros aleatórios

seriam mais frequentes que os erros sistemáticos, sendo estes quase inexistentes.