ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΙΑΜΗΜΑΤΙΚΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ

ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ

υπο

Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ, Καθηγητη Ε.Μ.Π

_____________________________________________________________________

1

ΑΘΗΝΑ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2002.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Σημειωση

Οι σημειωσεις καλυπτουν μερος του μαθηματος «Ειδικα θεματα Μηχανικης Ρευστων», του Προγραμματος Μεταπτυχιακων Σπουδων «Θαλασσια Τεχνολογια και Επιστημη». Ο τιτλος των σημειωσεων ειναι Τυρβωδεις Ροες, και καλυπτουν την βασικη θεωρια τυρβωδων ροων, τυρβωδη οριακα στρωματα και αντισταση σωματων, και μια εισαγωγη στην στατιστικη θεωρια της τυρβης. Προυποθετουμε οτι ο αναγνωστης εχει τις βασικες γνωσεις μηχανικης ρευστων και διαφορικου και ολοκληρωτικου λογισμου, καθως και καποια στοιχειωδη αντιληψη στατιστικης. Για την αριθμηση των εξισωσεων μεταχειριζομαστε την ακολουθη συμβαση: Οι εξισωσεις αριθμουνται σε καθε κεφαλαιο απο την αρχη, δηλαδη η πρωτη εξισωση καθε κεφαλαιου αριθμειται σαν (1). Προς αποφυγη συγχυσεων ομως, οταν το κειμενο επικαλειται μια οποιαδηποτε εξισωση αναφερει πρωτα το κεφαλαιο και μετα τον αριθμο της εξισωσης. Για παραδειγμα, οταν επικαλειται την εξισωση (5) του κεφαλαιου 4.1 την αναφερει σαν εξισωση (4.1.5).

2

1. Εισαγωγη

Πολλες ροες σε πρακτικες εφαρμογες και στο περιβαλλον μπορουν να χαρακτηρισθουν σαν τυρβωδεις. Αυστηρος ορισμος που να καθοριζει ποτε μια ροη λεγεται τυρβωδης δεν υπαρχει, και καταφευγουμε σε φαινομενολογικους ορισμους. Τα βασικα φαινομενολογικα στοιχεια που χαρακτηριζουν μια τυρβωδη ροη ειναι:

Εντονη αναμειξη Οι τυρβωδεις ροες χαρακτηριζονται απο πολυ αποτελεσματικη αναμειξη μεγεθων οπως ορμη, θερμοτητα και μαζα. Η εντονη αναμειξη προκαλειται απο τον συνδυασμο των ισχυρων διακυμανσεων της ταχυτητας με διαχυση σε μοριακο επιπεδο. Η ικανοτητα των τυρβωδων ροων για αναμειξη χρησιμοποιειται σε πολλες εφαρμογες (π.χ. μεταφορα θερμοτητας).

Υψηλος αριθμος Reynolds Τυρβωδεις ροες προκυπτουν απο την υδροδυναμικη ασταθεια των στρωτων ροων. Η εμφανιση υδροδυναμικης ασταθειας προυποθετει οτι ο αριθμος Reynolds της ροης υπερβαινει καποια κρισιμη τιμη που εξαρταται απο την συγκεκριμενη ροη. Η υδροδυναμικη ασταθεια εχει σαν πρωτη συνεπεια την εμφανιση μη μονιμων ροικων μορφων. Περραιτερω αυξηση του αριθμου Reynolds επιφερει τις λεγομενες «δευτερογενεις ασταθειες» της ροης που αυξανουν την περιπλοκοτητα της. Τελικα για αρκετα μεγαλο αριθμο Reynolds η ροη γινεται τυρβωδης. Ειναι λοιπον αναποφευκτο τυρβωδεις ροες να χαρακτηριζονται απο υψηλο αριθμο Reynolds.

Τριδιαστατες διακυμανσεις στροβιλοτητας. Τυρβωδεις ροες χαρακτηριζονται απο εντονες διακυμανσεις της στροβιλοτητας. Η δυναμικη της στροβιλοτητας παιζει πολυ σημαντικο ρολο στην εξελιξη της τυρβωδους ροης και ειναι απο τα βασικα χαρακτηριστικα της τυρβης. Αλλα φαινομενα με περιπλοκη συμπεριφορα αλλα χωρις στροβιλοτητα (π.χ. ακουστικα πεδια) δεν χαρακτηριζονται σαν τυρβη.

Η τυρβωδης ροη ρευστου (συντομωτερα τυρβη) ειναι το πιο περιπλοκο δυναμικο φαινομενο της κλασσικης μηχανικης, καθως η τυρβωδης ροη πραγματοποιειται σε μεγαλο αριθμο χρονικων και χωρικων κλιμακων. Καθε τυρβωδης ροη ειναι φυσικα ντερμινιστικη, αφου το ρευστο ικανοποιει τις εξισωσεις Navier Stokes. Η περιπλοκοτητα της τυρβωδους ροης ειναι ομως τετοια που οδηγει συχνα σε χρηση στατιστικων μεθοδων για την περιγραφη της. Τα τελευται εικοσιπεντε χρονια μεγαλη προοδος εχει γινει στην αριθημτικη προσομοιωση της τυρβης με την βοηθεια των ηλεκτρονικων υπολογιστων. “Αυστηρη” προσομοιωση της τυρβης, δηλαδη προσομοιωση χωρις την ταυτοχρονη βοηθεια εμπειρικων δεδομενων απο πειραματικες μετρησεις, εχει γινει μονο για σχετικα χαμηλους αριθμους Reynolds και για απλες γεωμετριες. Με την προοδο των υπολογιστων φαινεται πιθανη η αυστηρη προσομοιωση πολλων τυρβωδων ροων πρακτικου ενδιαφεροντος. Το γενικο προβλημα της τυρβης σε πολυ υψηλο αριθμο Reynolds (π.χ. γεωφυσικες ροες) δεν φαινεται πιθανο να επιλυθει αυστηρα, τουλαχιστον στο εγγυς μελλον.

Οι μη αυστηρες προσομοιωσεις τυρβωδων ροων διακρινονται σε δυο βασικες κατηγοριες:

(1) Προσομοιωσεις με μοντελοποιηση της τυρβης (Turbulence modeling): Το πεδιο ταχυτητων διαρειται στην «μεση τιμη» και τις «διακυμανσεις» του. Οι εξισωσεις κινησης για την μεση ροη παραγονται απο τις εξισωσεις κινησης και περιεχουν

3

ορους που περιγραφουν την επιδραση των διακυμανσεων στην μεση ροη. Η επιδραση των διακυμανσεων στην μεση ροη μοντελοποιειται με την βοηθεια ημιεμπειρικων σχεσεων.

(2) Προσομοιωσεις μεγαλων δινων (Large-eddy simulations): Αριθμητικες προσομοιωσεις μπορουν να διακρινουν μονο εκεινα τα χαρακτηριστικα της ροης που εχουν διστασεις μεγαλυτερες απο τις διαστασεις του υπολογιστικου πλεγματος που μεταχειριζονται. Η επιδραση των χαρακτηριστικων της ροης με διαστασεις μικροτερες απο αυτες του πλεγματος στα χαρακτηριστικα που μπορει να διακρινει η προσομοιωση μοντελοποιειται με την βοηθεια ημιεμπειρικων σχεσεων.

Σε γενικες γραμμες δηλαδη θα λεγαμε οτι η πρωτη μεθοδος μοντελοποιει ολοκληρη την διακυμανση του πεδιου που προκαλει η τυρβη, ενω η δευτερη μεθοδος μοντελοποιει μονο εκεινο το κομματι των διακυμανσεων που οφειλεται σε ροικες μορφες με διαστασεις μικροτερες απο το υπολογιστικο σχημα. Η πρωτη μεθοδος ειναι απλουστερη και απαιτει λιγοτερη μνημη και υπολογιστικο χρονο. Η δευτερη μεθοδος απαιτει λιγοτερο εμπειρικα δεδομενα, ειναι ομως πολυ πιο απαιτητικη υπολογιστικα, και εχει περιορισμους στον μεγιστο αριθμο Reynolds που μπορει να εφαρμοστει με αξιοπιστια.

Στα επομενα κεφαλαια θα αναπτυξουμε πρωτα γενικες εννοιες περι τυρβης (κεφαλαιο 2), και στην συνεχεια θα αναλυσουμε τυρβωδεις ροες με εφαρμογη σε προβληματα μηχανικων: Οριακο στρωμα (κεφαλαιο 3), ροη γυρω απο αντικειμενο και αντισταση αντικειμενου (κεφαλαιο 4), και ροες μακρια απο στερεα σωματα (κεφαλαιο 5). Τελος θα συζητησουμε τα βασικα της στατιστικης θεωριας της τυρβης (κεφαλαιο 6).

4

2. Τυρβωδης διαχυση της ορμης

2.1 Ορισμοι: Μεσος ορος και διακυμανση

Η περιπλοκοτητα των τυρβωδων ροων οδηγει συχνα σε χρηση στατιστικων μεθοδων, θεωρωντας οτι τα διαφορα υδροδυναμικα μεγεθη (οπως η ταχυτητα και η πιεση) ειναι τυχαιες μεταβλητες. Τα απλουστερα μεγεθη για τον χαρακτηρισμο μιας τυχαιας μεταβλητης ειναι η μεση τιμη και η τυπικη αποκλιση. Υπαρχουν διαφορες μεσες τιμες που μεταχειριζομαστε στην θεωρια τυρβης. Μια απο τις συνηθεστερες (που ειναι και η πρωτη ιστορικα) ειναι η χρονικη μεση τιμη, που οριζεται σαν ο μεσος ορος της μεταβλητης σε μια πολυ μεγαλη χρονικη περιοδο Τ. Μαθηματικα ο μεσος ορος της ποσοτητας που το συμβολιζουμε σαν f οριζεται ως εξης

Η διακυμανση του f που συμβολιζεται με f ‘ οριζεται σαν η διαφορα της στιγνμιαιας τιμης της ποσοτητας απο την μεση της τιμη

Εξ ορισμου η μεση τιμη της διακυμανσης ειναι μηδεν.

Η μεση τιμη μας δεινει μια ιδεα για την ταξη μεγεθους της ποσοτητας f. Φυσικα η πληροφορια που μας δινει η μεση τιμη ειναι τοσο πιο χρησιμη οσο μικροτερες ειναι οι διακυμανσεις του μεγεθους (στην τετριμενη περιπτωση μιας μονιμης ροης η μεση τιμη μας δινει πληρη περιγραφη του μεγεθους). Το μεγεθος που μας δινει μια ιδεα για το μεγεθος των διακυμανσεων ειναι η τυπικη αποκλιση, που οριζεται ως εξης:

Για την ταχυτητα με συνιστωσες u,v,w η ακολουθη ποσοτητα

λεγεται ενταση της τυρβης.

Ο χρονικος μεσος ορος εχει τις εξης ιδιοτητες:

5

οπου c σταθερα

οπου α,β σταθερες

δηλαδη ο μεσος ορος του γινομενου δυο μη σταθερων συναρτησεων δεν ισουται με το γινομενο των μεσων ορων. Απο την εξισωση (6) προκυπτει ευκολα η ακολουθη σχεση:

Κατα συνεπεια ο μεσος ορος του τετραγωνου μιας συναρτησεως ειναι μεγαλυτερος απο το τετραγωνο του μεσου ορου.

Για μεγεθη οπως η ταχυτητα η η πιεση που ειναι συναρτησεις των χωρικων μεταβλητων παραγωγιση ως προς τις χωρικες μεταβλητες μπορει να εναλλαχθει με τον τελεστη του μεσου ορου, δηλαδη:

Οι ιδιοτητες που περιγραφονται απο τις εξισωσεις (3) εως (7) απορρεουν κατ’ ευθειαν απο τον ορισμο της μεσης τιμης και η αποδειξη τους αφηνεται σαν ασκηση.

2.2 Εξισωσεις του Reynolds .

Θεωρουμε τωρα ενα ασυμπιεστο ρευστο που ικανοποιει τις εξισωσεις Navier Stokes. Η εξισωση συνεχειας και οι εξισωσεις ορμης γραφονται ως εξης:

6

Οπου u,v,w ειναι οι τρεις συνιστωσες της ταχυτητας στις διευθυνσεις x,y,z αντιστοιχα p ειναι η πιεση, ρ η πυκνοτητα του ρευστου, ν η κινηματικη του συνεκτικοτητα, και

ειναι οι τρεις συνιστωσες των εξωτερικων δυναμεων ανα μοναδα μαζας (π.χ. βαρυτητα, αδρανειακες δυναμεις). Η αποδειξη των εξισωσεων Navier-Stokes μπορει να βρεθει σε οποιοδηποτε βιβλιο Μηχανικης Ρευστων και παραλειπεται. Παραθετουμε μονο την γραφη των εξοσωσεων (1)-(4) χρησιμποποιωντας διανυσματα:

Επισης υπενθυμιζουμε τον ορισμο της στροβιλοτητας:

Η στροβιλοτητα ειναι το μισο της γωνιακης ταχυτητας των σωματιδιων του ρευστου. Η υπαρξη ισχυρης στροβιλοτητας ειναι ενα απο τα βασικα χαρακτηριστικα τυρβωδων ροων.

Οταν η στροβιλοτητα ειναι μηδενικη υπαρχει συναρτηση δυναμικου :

Η συναρτηση δυναμικου ικανοποιει λογω συνεχειας την εξισωση του Laplace. Οι εξισωσεις κινησης τοτε αναγονται στον νομο του Bernoulli:

οπου .

7

Εναλλακτικα, για συντομογραφια μπορουμε να μεταχειριστουμε και τον τανυστικο συμβολισμο, δηλαδη

Για επι πλεον συντομια στον τανυστικο συμβολισμο μεταχειριζομαστε την συμβαση οτι σε γινομενο ορων επαναλαμβανομενος δεικτης συνεπαγεται αθροιση ως προς αυτον τον δεικτη. Για να εχουμε ομως ευελιξια στον συμβολισμο εφαρμοζουμε την συμβαση μονο για τους ελληνικους δεικτες, δηλαδη:

ενω σημαινει απλα το γινομενο των ορων χωρις αθροιση. Σημειωνουμε οτι στον τανυστικο συμβολισμο οι εκφρασεις και δεν ειναι ισοδυναμες.

Χρησιμοποιωντας τον τανυστικο συμβολισμο η εξισωση συνεχειας και οι εξισωεις Navier-Stokes γραφονατι ως εξης:

Ο τανυστικος συμβολισμος επιτρεπει κομψες αποδειξεις περιπλοκων εκφρασεων, οπως για παραδειγμα την εξισωση ενεργειας για τυρβωδη ροη.

Σε τυρβωδη ροη οι τρεις συνιστωσες της ταχυτητας και η πιεση παρουσιαζουν εντονες διακυμανσεις χρονικα. Για πολλες εφαρμογες μας ενδιαφερουν μονο τα μεσα μεγεθη (π.χ. η μεση παροχη που περνα απο ενα αγωγο ειναι αρκετη). Επισης τα μεσα μεγεθη εχουν το πλεονεκτημα οτι μπορουν να αναπαραχθουν σε πειραματα. Για παραδειγμα, εαν μετρησουμε την ταχυτητα σαν συναρτηση του χρονου σε καποιο συγκεκριμενο σημειο του ομορρου ενος αντικειμενου σε πολλα διαφορετικα πειραματα θα παρουμε καθε φορα διαφορετικο σημα. Αυτο οφειλεται στις εντονες διακυμανσεις που προκαλει η τυρβη, οι οποιες εχουν τοση περιπλοκοτητα, που ποτε δεν αναπαραγονται ακριβως. Εαν ομως παρουμε τον χρονικο μεσο ορο της ταχυτητας στο συγκεκριμενο σημειο, ολα τα πειραματα θα δοσουν το ιδιο αποτελεσμα, αρκει οι μετρησεις να εχουν γινει σε αρκετο χρονικο διαστημα ωστε να μπορουμε να υπολογισουμε αξιοπιστα τον μεσο ορο.

Οι μεσες συνιστωσες της ταχυτητας και πιεσης ικανοποιουν εξισωσεις που προκυπτουν απο τις εξισωσεις συνεχειας και Navier-Stokes, παιρνοντας τον μεσο ορο. Παιρνουμε πρωτα τον μεσο ορο της εξισωσης συνεχειας, Μεταχειριζομενοι τις ιδιοτητες 4, 5, και 7 του προηγουμενου κεφαλαιου καταληγουμε στην ακολουθη εξισωση:

8

Δηλ. συμπεραινουμε οτι η μεση ροη ειναι επισης ασυμπιεστη. Λογω της γραμμικοτητας της εξισωσης συνεχειας επεται οτι και η διακυμανση της ροης ικανοποιει την συνθηκη ασυμπιεστοτητας.

Στην συνεχεια παιρνουμε τον μεσο ορο των εξισωσεων ορμης. Χρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες 4, 5, 6, 7 του προηγουμενου κεφαλαιου καταληγουμε στις εξης εξισωσεις:

Για συγκριση παραθετουμε την γραφη των ανωτερω εξισωσεων με τανυστικο συμβολισμο:

Η μεση ροη ικανοποιει τις εξισωσεις Navier-Stokes για μονιμη ροη, με την προσθηκη μερικων επι πλεον ορων στο δεξιο μελος. Οι οροι , κλπ. των οποιων οι παραγωγοι εμφανιζονται στα δεξια μελη των εξισωσεων του Reynolds ενεργουν σαν τασεις και (αμα πολλαπλασιαστουν με την πυκνοτητα ρ) λεγονται τασεις του Reynolds. Απο φυσικης πλευρας, οι τασεις του Reynolds περιγραφουν απωλεια ορμης της μεσης ροης λογω των εντονων διακυμανσεων της ταχυτητας, δηλαδη την τυρβωδη διαχυση της ορμης. Οι εξισωσεις (6)-(8) λεγονται εξισωσεις του Reynolds.

9

Ενας εναλλακτικος τροπος να το δουμε αυτο ειναι ξαναγραφοντας τις εξισωσεις του Reynolds στην ακολουθη μορφη (παλι με τανυστικη γραφη):

οπου ειναι οι τασεις λογω συνεκτικοτητας.

Βλεπουμε δηλαδη οτι η μεση ταχυτητα ικανοποιει τις γενικες εξισωσεις κινησης με την διαφορα οτι οι τασεις ειναι το αθροισμα των τασεων λογω συνεκτικοτητας και των τασεων του Reynolds.

Η επιλυση των εξισωσεων του Reynolds δεν ειναι δυνατη αφου οι τασεις του Reynolds ειναι αγνωστες. Ειναι φυσικα δυνατο να γραφουν εξισωσεις για τις τασεις του Reynolds. Οι εξισωσεις αυτες ομως περιεχουν λογω των μη γραμμικων ορων των εξισωσεων κινησεως μεσους ορους γινομενων περισσοτερων ορων (π.χ. ορους οπως

) που ειναι επισης αγνωστοι. Παρομοιως οι εξισωσεις για τους νεους αυτους ορους περιεχουν μεσους ορους γινομενων με ακομα περισσοτερους ορους, και ουτω καθ’ εξης. Το προβλημα επιλυσης της μεσης ροης της τυρβης δηλαδη δεν «κλεινει». Αυστηρη επιλυση των εξισωσεων του Reynolds ειναι κατα συνεπεια αδυνατη, και ειναι αναγκαια η εισαγωγη εμπειρικων σχεσεων που συνδεουν τις τασεις του Reynolds με τους ρυθμους παραμορφωσης του μεσου πεδιου ροης. Η εισαγωγη τετοιων εμπειρικων σχεσεων αναφερεται γενικα σαν «μοντελοποιηση» της τυρβης.

Κατ’αναλογια με τις εξισωσεις για τις τασεις λογω μοριακης συνεκτικοτητας, οι εξισωσεις για την μοντελοποιηση της τυρβης γραφονται ως εξης (γενικευμενο μοντελο Boussinesq):

Οπου ειναι το δελτα του Kronecker ( αν , και μηδεν αλλοιως). Στην γενικευμενη εξισωση Boussinesq μεταχειριστηκαμε για συντομια γραφης τον τανυστικο συμβολισμο.

Οι συντελεστες λεγονται συντελεστες τυρβωδους διαχυσης, (η τυρβωδους συνεκτικοτητας), γιατι συνδεονται με την διαχυση της ορμης της μεσης ροης λογω των διακυμανσεων των ταχυτητων που χαρακτηριζουν την τυρβη. Η τιμη των συντελεστων τυρβωδους διαχυσης εξαρταται απο την ενταση της τυρβης. Κατα συνεπεια, αντιθετα απο τον συντελεστη μοριακης διαχυσης ν, οι συντελεστες τυρβωδους διαχυσης μεταβαλλονται χωρικα και διαφερουν απο ροη σε ροη του ιδιου ρευστου. Οι συντελεστες τυρβωδους διαχυσης ειναι δηλαδη ιδιοτητα της ροης περισσοτερο παρα ιδιοτητα του ρευστου. Αυτη η διαπιστωση αποκλειει την ανακαλυψη καποιου «μαγικου μοντελου τυρβης» που θα καλυπτει ολες τις τυρβωδεις

10

ροες. Για συγκεκριμενες ροες ομως εχουν συσσωρευτει εμπειρικα δεδομενα που μπορουν να χρησιμοποιηθουν για την επιλυση των εξισωσεων Reynolds.

2.3 Εξισωσεις ενεργειας

Η εξισωση διατηρησης ενεργειας μιας ροης προκυπτει απο εφαρμογη του 1ου

θερμοδυναμικου νομου. Οταν δεν υπαρχει ομως ανταλλαγη θερμοτητας του ρεσυτου με το περιβαλλον του η εξισωση ενεργειας προκυπτει πιο αμεσα απο τις εξισωσεις κινησης..

Πολλαπλασιαζουμε την εξισωση κινησης σε καθε κατευθυνση επι την αντιστοιση συνιστωσα της ταχυτητας στην αντιστοιχη κατευθυνση και προσθετουμε τις τρεις εξισωσεις. Μετα απο μερικους μαλλον προφανεις μετασχηματισμους ορων παιρνουμε την ακολουθη εξισωση:

Η εξισωση (2.3.1) δειχνει την ευκολια που προσφερει ο τανυστικος συμβολισμος (για συγκριση, αλλα και για ασκηση δοκιμαστε να την γραψετε με τον αρχικο συμβολισμο u,v,w κλπ).

Ολοκληρωνουμε την εξισωση (2.3.1) σε ολο το πεδιο ροης V. Υποθετουμε οτι στα ορια του πεδιου ροης υπαρχει ακινητο τοιχωμα η οτι το ρευστο ειναι ακινητο. Μεταχειριζομενοι το θεωρημα του Gauss καταληγουμε στην ακολουθη εξισωση:

Απο την εξισωση (2.3.2) βλεπουμε οτι εαν δεν υπαρχουν εξωτερικες δυναμεις η κινηση του ρευστου αποσβεννυται χρονικα επειδη το 2ο μερος της

εξισωσης ειναι αρνητικο.

Αν τωρα πολλαπλασιασουμε καθε μια απο τις εξισωσεις του Reynolds για την μεση ταχυτητα με την αντιστοιχη συνιστωσα της μεσης ταχυτητας παιρνουμε την ακολουθη εξισωση για την κινητικη ενεργεια της μεσης ροης (παλι με τανυστικο συμβολισμο για συντομια):

11

Ο πρωτος ορος στο δευτερο μελος της (2.3.3) λεγεται εργο της μεσης πιεσης, ο δευτερος ορος μεταφορα ενεργειας απο τις τασεις του Reynolds, και ο τεταρτος ορος μεταφορα ενεργειας απο τις τασεις συνεκτικοτητας. Ο πεμπτος ορος ειναι η αποσβεση ισχυος της μεσης ροης λογω συνεκτικοτητας, και ο εκτος ορος ειναι η ισχυς ανα μοναδα μαζας που προσδιδουν οι εξωτερικες δυναμεις. Τελος ο τριτος ορος στο δευτερο μελος περιγραφει την ανταλλαγη ενεργειας αναμεσα στην μεση ροη και στις διακυμανσεις. Μεταχειριζομενοι την εννοια των τασεων Reynolds, ειναι η ισχυς που καταναλωνουν η που παραγουν οι τελευταιες σε βαρος της μεσης ροης. Για θετικες τασεις Reynolds, και για αυξανομενη μεση ταχυτητα ο ορος ειναι αρνητικος.

Ο ορος «μεταφορα» εχει την εξης εννοια: Αν ο ορος (για παραδειγμα) ειναι

μηδεν στην επιφανεια που περικλειει τον ογκο που καταλαμβανει το ρευστο που εξεταζουμε, το μονο που μπορει να κανει ο 4ος ορος της (2.3.3) ειναι να αναδιανεμει ενεργεια μεσα στον ογκο, χωρις ουτε να παραγει αλλα ουτε και να καταστρεφει ενεργεια.

12

3. Τυρβωδη οριακα στρωματα

3.1 Γενικα

Για μεγαλους αριθμους του Reynolds ροη παραλληλα προς τοιχωμα χαρακτηριζεται απο ενα λεπτο οριακο στρωμα πλαι στο τοιχωμα. Μεσα στο οριακο στρωμα η ταχυτητα του ρευστου παραλληλα προς το τοιχωμα μεταβαλλεται απο την τιμη της εξω απο το οριακο στρωμα στην τιμη μηδεν που επιβαλλει η φυσικη οριακη συνθηκη πανω στο τοιχωμα. Το ρευστο που βρισκεται μεσα στο οριακο στρωμα κινειται βραδυτερα απο οτι το ρευστο εκτος οριακου στρωματος. Κατα συνεπεια το οριακο στρωμα χαρακτηριζεται απο ελαττωμενη ροη μαζας και ελαττωμενη ροη ορμης.

Μεγεθη που χαρακτηριζουν το οριακο στρωμα, ανεξαρτητως του αν ειναι τυρρβωδες η οχι, ειναι τα εξης:

(1) Το παχος του οριακου στρωματος δ οριζεται σαν η αποσταση απο το ταιχωμα οπου η ταχυτητα ( η η μεση ταχυτητα αν το στρωμα ειναι τυρβωδες) εχει γινει ιση με τα 99% της εξωτερικης ταχυτητας της ροης.

(2) Το παχος μετατοπισης του οριακου στρωματος οριζεται σαν το παχος στρωματος ρευστου που κινειται με την εξωτερικη ταχυτητα της ροης που μεταφερει παροχη ιση με την απωλεια παροχης που προκαλει το οριακο στρωμα. Μαθηματικα γραφουμε τον ακολουθο ορισμο:

(3) Το παχος ορμης του οριακου στρωματος οριζεται σαν το παχος στρωματος ρευστου που κινειται με την εξωτερικη ταχυτητα της ροης που μεταφερει ορμη ιση προς την απωλεια ορμης του οριακου στρωματος. Μαθηματικα γραφουμε τον ακολουθο ορισμο:

(4) Τελος σημαντικο μεγεθος ειναι η ταση στο τοιχωμα (μεση ταση για τυρβωδες οριακο στρωμα) και ο τοπικος συντελεστης τριβης . Τα δυο αυτα μεγεθη οριζονται αντιστοιχα ως εξης:

13

Στην γενικη περιπτωση ο τοπικος συντελεστης τριβης εξαρταται απο τον αριθμο Reynolds βασισμενο στην αποσταση απο το αναντη ακρο, και στην τραχυτητα της επιφανειας.

Σε μικρη αποσταση απο το αναντη ακρο της επιφανειας η ροη στο οριακο στρωμα παραμενει στρωτη. Στην συνεχεια ομως η ροη γινεται υδροδυναμικα ασταθης, δηλαδη μικρες διαταραχες αυξανονται καθως διαδιδονται καταντη. Λογω της υδροδυναμικης ασταθειας η ροη στο οριακο στρωμα μετατρεπεται σε τυρβωδη. Γιά λεια επιφανεια η μεταβαση απο στρωτη σε τυρβωδη ροη ολοκληρωνεται οταν ο αριθμος του Reynolds βασισμενος στην αποσταση απο το αναντη ακρο υπερβει την τιμη 500000. Η ροη παραμενει στρωτη μονο σε ενα πολυ λεπτοτερο στρωμα κοντα στην επιφανεια, το οποιο λεγεται οριακο υποστρωμα.

3.2 Λογαριθμικη κατανομη ταχυτητων σε τυρβωδες οριακο στρωμα.

Θεωρουμε για απλοτητα ροη παραλληλη με μια πλακα που βρισκεται στο επιπεδο x-y. Η ροη γινεται παραλληλα προς τον αξονα x, ενω υποθετουμε οτι η πλακα ειναι απειρη στην z κατευθυνση, και κατα συνεπεια η μεση ροη μπορει να θεωρηθει διδιαστατη στο επιπεδο x-y. (Η στιγμιαια ροη ειναι ομως τριδιαστατη). Οι διδιαστατες εξισωσεις κινησεως για την μεση ροη (χωρις εξωτερικες δυναμεις) γραφονται ως εξης:

Υποθετουμε οτι, αρκετα μακρια απο την αρχη της πλακας, το οριακο στρωμα εχει γινει τελειως τυρβωδες, και οτι σε καποια περιοχη του οριακου στρωματος (που θα αναφερουμε αργοτερα τα ορια της), ολες οι μεσες ποσοτητες της ροης εχουν γινει ανεξαρτητες απο την συντεταγμενη x. Απο την εξισωση συνεχειας τοτε επεται οτι η μεση τιμη του v ειναι μηδεν παντου. Η εξισωση ορμης στην y κατευθυνση απλοποιειται ως εξης:

Απο οπου προκυπτει οτι:

14

Οπου C σταθερα. Συμπεραινουμε δηλαδη οτι η μεση πιεση μειωνεται σε περιοχες οπου οι διακυμανσεις της ταχυτητας ανεβαινουν και αντιστροφα.

Αντιστοιχα, η εξισωση ορμης στην x κατευθυνση, καθως δεν υπαρχει εξωτερικη κλιση πιεσης, γραφεται ως εξης:

Ολοκληρωνοντας την εξισωση (3.2.6) ως προς y βρισκουμε οτι

Οπου τw ειναι η ταση στο τοιχωμα. Η ποσοτητα λεγεται διατμητικη ταχυτητα (shear velocity).

Η εξισωση (3.2.7) δειχνει οτι με την παραδοχη που καναμε οτι οι μεσες ποσοτητες ειναι ανεξαρτητες απο το x, το αθροισμα της τασης του Reynolds και της τασης λογω συνεκτικοτητας ειναι σταθερο. Μακρια απο το τοιχωμα στην y κατευθυνση η ταση λογω μοριακης συνεκτικοτητας ειναι μικρη σε συγκριση με την ταση του Reynolds. Για την τελευταια γραφουμε την σχεση:

Οπου γ ειναι η τυρβωδης συνεκτικοτητα. Υποθετουμε οτι το γ εξαρταται απο την διατμητικη ταχυτητα και την αποσταση απο τον τοιχο. Απο διαστατικη αναλυση τοτε επεται οτι το τυρβωδες ιξωδες ειναι κατ’ ευθειαν αναλογο με την αποσταση απο το τοιχωμα, δηλαδη

οπου κ ειναι μια σταθερα, που λεγεται σταθερα του Von Karman. Πειραματικες μετρησεις σε διαφορες ροες δειχνουν οτι με μεγαλη συνεπεια .

Αντικαθιστωντας στην εξισωση (3.2.7), εχουμε οτι μακρια απο το τοιχωμα ισχυει η ακολουθη σχεση:

Ολοκληρωνουμε την εξισωση (3.2.10) ως προς y, και βρισκουμε μια λογαριθμικη κατανομη ταχυτητων:

15

Οπου Β ειναι η σταθερα ολοκληρωσης και ln(x) συμπβολιζει τον φυσικο λογαριθμο του x. Για λειο τοιχωμα πειραματικες μετρησεις δειχνουν οτι η σταθερα Β εχει την τιμη 5.

Αντιστροφα, κοντα στο τοιχωμα η ταση του Reynolds γινεται αμελητεα, οποτε η εξισωση (3.2.7) παιρνει την ακολουθη μορφη:

Ολοκληρωση της εξισωσης (3.2.12) ως προς y δινει μια γραμμικη κατανομη ταχυτητων κοντα στο τοιχωμα:

Η αδιαστατη αποσταση απο το τοιχωμα στο δευτερο μελος της (3.2.13) συνηθως συμβολιζεται με y+.

Συγκριση με πειραματα δειχνουν οτι ο λογαριθμικος νομος οπως λεγεται η εξισωση (3.2.11), ισχυει με πολυ καλη προσεγγιση στην περιοχη 500 > y+ > 20. Η περιοχη αυτη λεγεται η «τυρβωδης ζωνη» του οριακου στρωματος. Αντιστοιχα η εξισωση (3.2.13) ισχυει με πολυ καλη προσεγγιση στην περιοχη 0 < y+ < 5. Η περιοχη αυτη ειναι το οριακο υποστρωμα. Τελος η ενδιαμεση περιοχη 5 < y+ < 20 λεγεται ενδιαμεση ζωνη, οπου καμια απο τις δυο εκφρασεις δεν ισχυει με μεγαλη ακριβεια.

Η ισχυς του λογαριθμικου νομου εχει επαληθευθει πειραματικα για πολλες διαφορετικες ροες (ροη πανω απο πλακα, ροη μεσα σε σωληνα κλπ). Γι’ αυτο συχνα αναφερεται σαν «παγκοσμιος» νομος. Η συμφωνια του λογαριθμικου νομου με τα πειραματα δεν ειναι τελεια για να δικαιολογησει απολυτα αυτη την ονομασια, ειναι ομως πολυ ικανοποιητικη, και εχει χρησιμοποιηθει ευρυτατα.

Σημειωνουμε οτι η εξισωση (3.2.10) (και κατα συνεπεια και η εξισωση (3.2.11)) μπορει να εξαχθει πολυ συντομωτερα υποθετοντας κατ’ ευθειαν οτι η παραγωγος της ταχυτητας εξαρταται μονο απο την διατμητικη ταχυτητα u και την αποσταση απο το τοιχωμα y. Τοτε το θεωρημα του Buckingham μας δινει κατ’ευθειαν την εξισωση (3.2.10).

Για τιμες της παραμετρου y+ μεγαλυτερες απο 500, η εξισωση (3.2.11) παυει να ισχυει, επειδη η παραδοχη οτι οι μεσες ποσοτητες ειναι ανεξαρτητες απο το x παυει να ισχυει. Η εξισωση (3.2.11) αντικαθισταται απο τον λεγομενο «νομο του ελλειμματος ταχυτητας» (velocity defect law). Αν ονομασουμε την ταχυτητα εξω απο το οριακο στρωμα, ο νομος του ελλειμματος ταχυτητας προκυπτει απο το να

16

υποθεσουμε οτι η διαφορα (το ¨ελλειμμα» της ταχυτητας στο οριακο στρωμα απο την τιμη της ταχυτητας εξω απο το οριακο στρωμα εξαρταται απο την διατμητικη ταχυτητα, την αποσταση απο το τοιχωμα και το παχος του οριακου στρωματος. Διαστατικη αναλυση του προβληματος μας δινει την ακολουθη σχεση:

Οπου δ ειναι το παχος του οριακου στρωματος, και f ειναι μια συναρτηση που προσδιοριζεται εμπειρικα. Γραφικη παρασταση της f (που εχει προκυψει απο συστηματικες μετρησεις) φαινεται στην εικονα 3.1.1 κατωτερω:

Εικονα 3.2.1: Ο νομος του ελλειμματος ταχυτητας (μετρησεις του Rouse).

Ο νομος του ελλειμματος ταχυτητας ισχυει και για την περιπτωση τοιχου με τραχεια επιφανεια.

Συγκριση των εξισωσεων (3.2.11) και (3.2.13) με πειραματικες μετρησεις της μεσης ταχυτητας σε τυρβωδες οριακο στρωμα φαινεται στην εικονα (3.2.2).

17

Εικονα 3.2.2: Γραφικη παρασταση της ταχυτητας σε οριακο στρωμα χωρις εξωτερικη πιεση. Η κλιμακα ειναι λογαριθμικη, και η περιοχη οπου ισχυει η εξισωση (3.2.11) εμφανιζεται σαν ευθεια γραμμη. Καθως ο αριθμος Reynolds αυξανεται, αυξανεται και το παχος της ζωνης οπου ισχυει η (3.2.11).

3.3 Ενιαια εκφραση για την κατανομη ταχυτητων-Συντελεστης τριβης

Η υπαρξη διαφορετικων εκφρασεων για την ταχυτητα σε διαφορετικες περιοχες του οριακου στρωματος (εξισωσεις (3.2.11), (3.2.13), (3.2.14)) ειναι αναμφισβητητα ενα μειονεκτημα. Μια ενιαια εκφραση ειναι απο καθε αποψη προτιμοτερη. Δυστυχως δεν υπαρχει μια αναλυτικη εκφραση που να επιτυγχανει κατι τετοιο. Υπαρχει ομως μια ημιεμπειρικη σχεση που πετυχαινει αυτο στο μεγαλυτερο μερος του οριακου στρωματος. Συγκεκριμενα, συγκριση με πειραματα δειχνει οτι η μεση ταχυτητα σε τυρβωδες οριακο στρωμα μπορει να προσεγγιστει με εντυπωσιακη ακριβεια απο την ακολουθη σχεση, γνωστη και ως νομο του ενος εβδομου:

Για αριθμο Reynolds (βασισμενο στην εξωτερικη ταχυτητα και στην αποσταση απο την αρχη της πλακας) μεχρι η εξισωση (3.3.1) ισχυει στο μεγαλυτερο μερος του οριακου στρωματος, εκτος απο μια σχετικα μικρη περιοχη κοντα στο υποστρωμα, οπου πρεπει να καταφυγουμε στον λογαριθμικο νομο (3.2.11).

Οταν θεωρησουμε ολοκληρο το οριακο στρωμα δεν μπορουμε να αγνοησουμε εντελως την εξαρτηση των μεσων μεγεθων στην μεταβλητη x. Μπορουμε ομως να μεταχειριστουμε οτι η μεταβολη ολων των μεσων μεγεθων στην x κατευθυνση ειναι

18

πολυ βραδυτερη απο οτι η μεταβολη στην y κατευθυνση. Απλοποιουμε τις εξισωσεις κινησης χρησιμοποιωντας τις ακολουθες εκτιμησεις ταξης μεγεθους:

(α) Απο την εξισωση συνεχειας:

(β) Στις εξισωσεις ορμης:

Οπου ειναι μια ταχυτητα που χαρακτηριζει την ταξη μεγεθους της εντασης της τυρβης στο οριακο στρωμα.

Η εξισωση συνεχειας παραμενει αναλλοιωτη (εξισωση 3.2.1). Η εξισωση ορμης στην y κατευθυνση με την βοηθεια των παραπνω εκτιμησεων, μας δινει την ακολουθη σχεση:

Και κατα συνεπεια μπορουμε να συμπερανουμε οτι η μεταβολη της μεσης πιεσης κατα το παχος του οριακου στρωματος ειναι αμελητεα.

Μετα απο αναλυση της ταξης μεγεθους των ορων της, και λαμβανοντας υπ’οψη οτι η μεταβολη της μεσης πιεσης στην x κατευθυνση ειναι μηδεν, η εξισωση ορμης στην x κατευθυνση απλοποιειται ως εξης:

Στην εξισωση (3.3.2) κρατησαμε για γενικοτητα την μεταβολη της μεσης πιεσης ως προς x. Στην περιπτωση που εχουμε ροη πανω απο πλακα σε απειρο ρευστο φυσικα

. Το γεγονος οτι ο δευτερος ορος στην δεξια πλευρα της (3.3.2) εχει την

19

ιδια ταξη μεγεθους με τους ορους στην αρστερη πλευρα συνεπαγεταο οτι η ταχυτητα ικανοποιει την ακολουθη σχεση:

Καθως θα δουμε στην συνεχεια η διατμητικη ταχυτητα ειναι το μεγεθος που μπορουμε να χρησιμοποιησουμε σαν , (δηλαδη ), επειδη η διατμητικη ταχυτητα χαρακτηριζει τις διακυμανσεις στο οριακο στρωμα, και εχει την ταξη μεγεθους που απαιτει η εξισωση (3.3.2α).

Για την ολοκληρωματικη μορφη της εξισωσης ορμης θα μεταχειριστουμε την ακολουθη σχεση, γνωστη ως θεωρημα του Leibnitz:

Ολοκληρωνουμε πρωτα ως προς y την εξισωση συνεχειας απο 0 εως δ, και μεταχειριζομενοι την (3.3.3) παιρνουμε την εξης σχεση

Ολοκληρωνουμε τωρα ως προς y απο 0 εως δ την απλοποιημενη εξισωση ορμης (3.3.2) με , και μεταχειριζομενοι τις εξισωσεις (3.3.3) και (3.3.4) και το γεγονος οτι η ταση του Reynolds μηδενιζεται στο τοιχωμα, αλλα και εξω απο το οριακο στρωμα καταληγουμε στην ακολουθη σχεση:

Η εξισωση (3.3.5) ειναι η εξισωση διατηρησης ορμης σε ολοκληρωματικη μορφη. Θα την μεταχειριστουμε για να καταληξουμε σε μια διαφορικη εξισωση για το παχος του οριακου στρωματος.

Σημειωνουμε οτι η εξισωση (3.3.5) δεν ειναι ευκολωτερο να επιλυθει απο οτι η διαφορικη μορφη της διατηρησης ορμης (3.3.2), προσφερεται ομως καλυτερα για προσεγγιστικη επιλυση. Ο λογος ειναι οτι μπορουμε να υπολογισουμε το αριστερο

20

μελος της (3.3.5) με ικανοποιητικη ακριβεια χωρις τελεια γνωση της μεσης ταχυτητας. Εν προκειμενω θα μεταχειριστουμε την εξισωση (3.3.1) για τον υπολογισμο του αριστερου μελους της (3.3.5), η οποια προσεγγιζει την πραγματικη κατανομη ταχυτητων στο οριακο στρωμα πολυ καλα εκτος απο μια μικρη περιοχη κοντα στο τοιχωμα. Επειδη ομως το παχος αυτης της περιοχης οπου η προσεγγιση δεν ειναι πολυ καλη ειναι μικρη, τυπικα το ενα δεκατο του παχους του οριακου στρωματος, η συνεισφορα της στο ολοκληρωμα ειναι μικρη, και το λαθος που εισαγει επισης μικρο.Πιο συγκεκριμενα αν ονομασουμε δ1 το παχος της περιοχης οπου η προσεγγιση δεν ειναι πολυ καλη εχουμε:

Το πρωτο απο τα δυο ολοκληρωματα ειναι μικρο για δυο λογους (1ον) Το ιδιο το ειναι μικρο, και (2ο) η μεση ταχυτητα ειναι μικρη για λογω της οριακης συνθηκης στο τοιχωμα. Η τιμη του αριστερου μελους προσδιοριζεται κυριως απο το 2ο ολοκληρωμα, οπου η (3.3.1) προσεγγιζει καλα την μεση ταχυτητα. Η (3.3.5) δηλαδη «καλυπτει» θα λεγαμε τις αδυναμιες που παρουσιαζει η προσεγγιση (3.3.1).

Προτου προχωρησουμε με τον υπολογισμο του ολοκληρωματος, χρειαζομαστε μια εκφραση για την ταση στο τοιχωμα. Η εξισωση (3.3.1) δεν βοηθα, γιατι δεν ισχυει για y=0 (εξαλλου η παραγωγος της (3.3.1) ως προς y απειριζεται για y=0). Θα μεταχειριστουμε λοιπον ημιεμπειρικη εκφραση για την ταση στο τοιχωμα. Πρωτα προσεγγιζουμε τον νομο του ελλειμματος ταχυτητας με την ακολουθη σχεση:

Η εξισωση (3.3.6) εχει προκυψει εμπειρικα, και προσφερει την καλυτερη προσεγγιση της καμπυλης στην εικονα 3.2.1 με τον νομο του ενος εβδομου. Η προσεγγιση ειναι τοσο καλη, που μπορουμε να μεταχειριζομαστε την εξισωση (3.3.6) αντι για την καμπυλη στην εικονα 3.2.1.

Εφαρμοντας την (3.3.6) για οπου βρισκουμε οτι:

Καταληγουμε κατα συνεπεια στην ακολουθη εκφραση για την ταση στο τοιχωμα συναρτησει του αριθμου Reynolds βασισμενου στο παχος του οριακου στρωματος:

21

Για το αριστερο μελος της (3.3.5) θα μεταχειριστουμε οπως ειπαμε στην εξισωση (3.3.1):

Ανρικαθιστουμε τωρα τις (3.3.9) και (3.3.8) στην (3.3.5). Αυτο μας δινει την ακολουθη διαφορικη εξισωση για το παχος δ:

Η (3.3.10) ολοκληρουμενη ως προς x μας δινει:

Βλεπουμε δηλαδη οτι το παχος τυρβωδους οριακου στρωματος αυξανεται αναλογα με την μεταβλητη x στην τεσσερα πεμπτα. Διαιρωντας τα μελη της (3.3.11) δια x εχουμε:

Οπου ειναι ο αριθμος του Reynolds βασισμενος στην εξωτερικη ταχυτητα της ροης και στην αποσταση απο την αρχη της πλακας.

Επανερχομενοι στην εκφραση (3.3.8) για την ταση στο τοιχωμα, αντικαθιστουμε την (3.1.11) για το παχος δ, και βρισκουμε οτι:

Απο οπου προκυπτει οτι ο συντελεστης τριβης (ορισμος ειναι η εξισωση (3.1.4)) δινεται απο την σχεση:

22

Σε αυτο το σημειο επαληθευουμε την σχεση (3.2.2α) που ειχαμε υποθεσει στην αρχη του κεφαλαιου. Απο την εξισωση (3.2.13) εχουμε οτι η διατμητικη ταχυτητα δινεται απο την ακολουθη σχεση:

Απο οπου συγκρινοντας με την εξισωση (3.2.12) προκυπτει οτι πραγματι :

οπως ειχαμε υποθεσει στην αρχη του παροντος κεφαλαιου.

Ειναι χρησιμο να συγκρινουμε τα αποτελεσματα που βρηκαμε για τυρβωδες οριακο στρωμα με αυτα του στρωτου οριακου στρωματος. Θυμιζουμε οτι για στρωτο οριακο στρωμα ο λογος και ο συντελεστης τριβης δινονται απο τις ακολουθες σχεσεις αντιστοιχα (λυση του Blasius):

Βλεπουμε οτι το τυρβωδες οριακο στρωμα ειναι κατα πολυ παχυτερο απο οτι το στρωτο οριακο στρωμα για τον ιδιο αριθμο Reynolds (αν το τελευταιο μπορουσε να υπαρξει). Ο συντελεστης τριβης ομως (και κατα συνεπεια και η ταση) στο τυρβωδες οριακο στρωμα ειναι επισης πολυ μεγαλυτερος απο οτι στο στρωτο οριακο στρωμα. Αυτο οφειλεται στο γεγονος οτι η τιμη της παραγωγου στο τοιχωμα (που καθοριζει και την τιμη της τασης) ειναι αντιστροφως αναλογη απο το παχος του οριακου υποστρωματος (και οχι του δ), που ειναι πολυ μικροτερο απο το παχος του οριακου στρωματος. Οπως αναφεραμε στο κεφαλαιο 3.2, το παχος του οριακου υποστρωματος ε δινεται απο την σχεση:

23

Αντικαθιστωντας την (3.3.13) στην (3.3.17) παιρνουμε την ακολουθη εκφραση για το παχος του οριακου υποστρωματος:

Βλεπουμε δηλαδη οτι το παχος του οριακου υποστρωματος ειναι πολυ μικροτερο οχι μονο απο το παχος του τυρβωδους οριακου στρωματος αλλα και του αντιστοιχου στρωτου οριακου στρωματος στον ιδιο αριθμο Reynolds (παντα αν το τελευταιο μπορουσε να υπαρξει). Απο την εξισωση (3.1.12) προκυπτει οτι ο λογος ε/δ του παχους του οριακου υποστρωματος δια του παχους του οριακου στωματος μειωνεται αναλογα με . Οσο απομακρυνομαστε δηλαδη απο την αρχη της πλακας, παροτι το παχος του οριακου υποστρωματος αυξανεται αναλογα με , το ποσοστο του οριακου στρωματος που καταλαμβανεται απο το οριακο υποστρωμα μειωνεται.

Το τελικο συμπερασμα ειναι οτι η αντισταση λογω τριβης αυξανει σημαντικα οταν το οριακο στρωμα ειναι τυρβωδες. Ενεργειακα, η αυξημενη αντισταση που παρατηρειται οταν το οριακο στρωμα γινει τυρβωδες οφειλεται στην ενεργεια που καταναλισκουν οι διακυμανσεις της τυρβης. Σημαντικη προσπαθεια εχει καταβληθει για να επιτευχθει καθυστερηση της μεταβασης σε τυρβη. Οι προσπαθειες αυτες βρισκονται ακομα στο πειραματικο σταδιο.

Παραδειγμα: Οι διαφορες εξισωσεις γαι την ταχυτητα που ειδαμε σε αυτο και στο προηγουμενο κεφαλαιο μπορουν να προκαλεσουν καποια συγχυση, ιδιαιτερα αν τις βλεπει κανεις για πρωτη φορα. Σε μια προσπαθεια να ξεκαθαρισουμε λιγο τα πραγματα, ας θεωρησουμε το εξης παραδειγμα:

Θεωρουμε ροη νερου πανω απο πλακα με ταχυτητα 5.86 m/s. Σε καποιο σημειο της πλακας η ταση στο τοιχωμα ειναι ιση με 40 , και το παχος του οριακου στρωματος ειναι 2.5 cm. Να υπολογιστει η ταχυτητα σε αποσταση 2.5 mm απο το τοιχωμα.

Υπολογιζουμε πρωτα τη διατμητικη ταχυτητα:

Οποτε εχουμε οτι:

Κατα συνεπεια και οι τρεις εκφρασεις για την ταχυτητα ειναι εφαρμοσιμες.. Υπολογιζουμε την ταχυτητα για καθε μια απο τις εκφρασεις χωριστα.

24

(α) Λογαριθμικος νομος

Αντικαθστωντας στην εξισωση (3.2.11) με k=0.4, B=5.5 βρισκουμε:

(β) Νομος ελλειμματος ταχυτητας. Απο τα δεδομενα εχουμε οτι y/δ=0.1 οποτε απο την εικονα 3.2.1 βλεπουμε οτι η τιμη του f ειναι ιση με 8.2. Κατα συνεπεια

(γ) Ο νομος του ενος εβδομου: Αντικαθιστωντας στην εξισωση (3.3.1) εχουμε:

3.4 Οριακο στρωμα σε καμπυλωμενη επιφανεια-αποκολληση

Σε ροη πανω απο καμπυλωμενη επιφανεια το οριακο στρωμα αναπτυσσεται υπο την επιδραση εξωτερικης κλισης πιεσης. Στην περιοχη μεχρι το σημειο μεγιστου πλατους η εξωτερικη ροη επιταχυνεται και κατα συνεπεια απο τον νομο του Bernoulli η κλιση πιεσης ειναι αρνητικη. Αρνητικη κλιση πιεσης λεγεται «ευνοικη» γιατι προκαλει δυναμεις σε κατευθυνση παραλληλη προς το τοιχωμα που βοηθουν τα σωματιδια του ρευστου να υπερνικησουν την τριβη στο τοιχωμα. Αντιθετα στην περιοχη μετα το σημειο μεγιστου παχους η κλιση πιεσης γινεται θετικη, γιατι η εξωτερικη ροη επιβραδυνεται. Θετικη κλιση πιεσης λεγεται «δυσμενης» γιατι προκαλει δυναμεις σε κατευθυνση παραλληλη προς το τοιχωμα που αντιτιθενται στην κινηση των σωματιδιων του ρευστου (δες σχημα)

25

Εικονα 3.4.1: Πριν απο το σημειο μεγιστου πλατους η κλιση πιεσης ειναι ευνοικη (μεγαλυτερες πιεσεις αναντη). Μετα το σημειο μεγισου πλατους η κλιση πιεσης γινεται δυσμενης (μεγαλυτερες πιεσεις καταντη). Το οριακο στρωμα αποκολλαται σε καποιο σημειο, του οποιου η θεση εξαρταται απο την καμπυλοτητα του αντικειμενου και απο τον αριθμο Reynolds.

Η επιδραση της δυσμενους κλισης πιεσης γινεται κατ’ εξοχη αισθητη στα σωματιδια του ρευστου που βρισκονται κοντα στην επιφανεια, επειδη εχουν μικροτερη ταχυτητα, και κατα συνεπεια μικροτερη αδρανεια. Συνεχης μειωση της ταχυτητας παραλληλα προς την επιφανεια εχει σαν αποτελεσμα η τελευταια να φινει συγκρισιμη με την συνιστωσα της ταχυτητας καθετα προς την επιφανεια. Τοτε τα σωματιδια που βρισκονται κοντα στην επιφανεια κινουνται ανοδικα προς την εξωτερικη ροη. Το φαινομενο λεγεται αποκολληση του οριακου στρωματος.

Τα σωματιδια που αποκολλουνται απο την επιφανεια εχουν σημαντικη στροβιλοτητα την οποια και διατηρουν οταν μπουν στην εξωτερικη ροη (λογω διατηρησης της στροφορμης). Η αποκολληση του οριακου στρωματος μεταφερει στροβιλοτητα σε περιοχη που η ροη ηταν αστροβιλη.

Ακριβης προβλεψη του σημειου της επιφανειας οπου θα συμβει η αποκολληση ειναι εξαιρετικα δυσχερης. Κατ’αρχην σημειωνουμε οτι η εξισωση του οριακου στρωματος (3.3.2) ισχυει και για καμπυλωμενη επιφανεια με μικρη καμπυλοτητα με την μεταβλητη να συμβολιζει την κατευθυνση παραλληλη προς την επιφανεια και y την κατευθυνση καθετη προς την επιφανεια. Κοντα στο σημειο αποκολλησης ομως η βασικη παραδοχη της θεωριας οριακου στρωματος οτι η ροη μεσα στο οριακο στρωμα ειναι σχεδον παραλληλη προς την επιφανεια του σωματος παυει να ισχυει οποτε και η σχετικη θεωρια παυει να ισχυει. Μπορει να αποδειχθει μαλιστα οτι σε σημειο αποκολλησης η εξισωση (3.3.2) παρουσιαζει ανωμαλο σημειο. Απαιτειται κατα συνεπεια η χρηση των εξισωσεων Navier-Stokes για να προσδιορισθει το σημειο αποκολλησης.

26

Χρησιμα συμπερασματα μπορουν να εξαχθουν εφαρμοζοντας την εξισωση (3.3.2) μακρια απο τη σημειο αποκολλησης. Παιρνοντας το οριο της εξισωσης (3.3.2) οταν

καταληγουμε στην ακολουθη σχεση:

Συμπεραινουμε οτι η δευτερη παραγωγος της μεσης ταχυτητας στο τοιχωμα ειναι αρνητικη σε περιοχες ευνοικης κλισης πιεσης, ενω ειναι θετικη σε περιοχες δυσμενους κλισης πιεσης. Μακρια απο την επιφανεια του σωματος η πρωτη παραγωγος της μεσης ταχυτητας τεινει στο μηδεν οτι και να ειναι η κλιση πιεσης συνεπως η δευτερη παραγωγος της μεσης ταχυτητας ειναι αρνητικη. Συμπεραινουμε επομενως οτι σε περιοχες δυσμενους κλισης πιεσης η δευτερη παραγωγος της μεσης ταχυτητας μηδενιζεται κατ’αναγκη για καποιο y. Συμπεραινουμε δηλαδη οτι η ταχυτητα εχει σημειο ανακαμψης στην περιοχη δυσμενους κλισης πιεσης. Η αποσταση του σημειου ανακαμψης απο την επιφανεια του σωματος ειναι συναρτηση του x. Στο σημειο οπου το σημειο ανακαμψης βρισκεται πανω στην επιφανεια του σωματος. Κατα συνεπεια η υπαρξη σημειου ανακαμψης στην ταχυτητα ειναι αναγκαια συνθηκη για αποκολληση (δεν ειναι ομως και ικανη, επιδη ειναι δυνατον η ροη κατω απο την επιδραση δυσμενους κλισης πιεσης να μην αποκολληθει),

Γενικα, η αποκολληση οριακου στρωματος εχει παρατηρηθει να συμβαινει σε σημειο οπου η ταση μηδενιζεται στο στερεο οριο. Δηλαδη στο σημειο αποκολλησης, εχουμε την ακολουθη σχεση:

(οπου u εν προκειμενω ειναι η συνιστωσα της ταχυτητας παραλληλη προς την επιφανεια, και y η διευθυνση καθετη προς την επιφανεια). Ο μηδενισμος της πρωτης παραγωγου της ταχυτητας στο οριο συνεπαγεται οτι σε μια περιοχη κοντα στον τοιχο η ταχυτητα των σωματιδιων του ρευστου παραλληλα προς το οριο ειναι αμελητεα. Τα σωματιδια αυτης της περιοχης αποκολλουνται απο το σωμα και εξερχονται στην κυριως ροη, ενω ταυτοχρονα, απο διατηρηση της μαζας, μια αλλη μαζα ρευστου κινειται αντιθετα προς την εξωτερικη ροη και καταλαμβανει την θεση τους. Στην περιοχη μετα το σημειο αποκολλησης παρατηρειται δηλαδη αναστροφη της ροης.

Η αποκολληση οριακου στρωματος συνοδευεται απο αυξηση της αντιστασης (οπως θα δουμε στην συνεχεια με μεγαλυτερη λεπτομερεια), και μειωση της δυναμικης ανωσης. Η αποκολληση ειναι κατα συνεπεια ανεπιθυμητο φαινομενο. Ο σχεδιασμος πλοιων, υποβρυχιων, αεροπλανων κλπ γινεται με σκοπο να αποφευχθει η αποκολληση του οριακου τους στρωματος. Σωματα στα οποια το οριακο στρωμα δεν αποκολλαται πριν απο το ακρο εκφυγης λεγονται υδροδυναμικα (η αεροδυναμικα). Γενικος κανονας σχεδιασμου για να γινει ενα σωμα υδροδυναμικο ειναι οτι στο ακρο προσπτωσης το σχημα του σωματος πρεπει να ειναι στρογγυλευμενο, ωστε αρχικα το οριακο στρωμα να δεχεται ισχυρη ευνοικη κλιση πιεσης, ενω στο ακρο εκφυγης το σχημα πρεπει να ειναι αιχμηρο, ωστε το οριακο στρωμα να εγκαταλειπει το σωμα στο πισω ακρο. Κλασσικο παραδειγμα τετοιου σχεδιασμου ειναι οι υδροτομες. (Ο

27

κανονας αυτος παρατηρειται και στο σχημα των ψαριων, ιδιατερα των μεγαλυτερων που εχουν και μεγαλυτερους αριθμους Reynolds).

Αποκολληση οριακου στρωματος μπορει να προκληθει και απο αλλους παραγοντες εκτος απο την καμπυλοτητα της επιφανειας οπως γωνιες που σχηματιζει η επιφανεια, η διαφορες μικροπροεξοχες της επιφανειας, που μπορουν να προκαλεσουν αποκολληση ακομα και σε μια κατα τα αλλα τελειως επιπεδη επιφανεια. Γι’ αυτο επιβαλλεται οποιεσδηποτε μικροπροεξοχες εχει η επιφανεια να ειναι πληρως βυθισμενες στο οριακο υποστρωμα.

28

4. Ροη γυρω απο αντικειμενα

Η ροη γυρω απο αντικειμενο προκαλει μια δυναμη στο αντικειμενο που ειναι η συνισταμενη των δυναμεων λογω τασεων και πιεσεων στην επιφανεια του αντικειμενου. Αναλυουμε την ολικη δυναμη πανω στο αντικειμενο σε δυο συνιστωσες, μια παραλληλη προς την ροη που λεγεται «αντισταση» του αντικειμενου, και μια καθετη προς την ροη που λεγεται «ανωση» του αντικειμενου (η και δυναμικη ανωση, για να αποφευγουμε την συγχυση με την στατικη ανωση, απο την αρχη του Αρχιμηδη).

Η αντισταση του αντικειμενου οφειλεται στις τασεις τριβης ατην επιφανεια και στις διαφορετικες πιεσεις κατα μηκος του αντικειμενου. Το μερος της αντιστασης που οφειλεται στις δυναμεις τριβης λεγεται αντισταση λογω τριβης, ενω το μερος της αντιστασης που οφειλεται στις διαφορετικες πιεσεις κατα μηκος του αντικειμενου λεγεται αντισταση λογω μορφης, Για πεπλατυσμενα αντικειμενα η αντισταση λογω τριβης ειναι η κυριαρχη συνιστωσα, ενω για ογκωδη αντικειμενα η αντισταση λογω μορφης ειναι η κυριαρχη συνιστωσα. Στην ακραια περιπτωση μιας πλακας παραλληλης προς την ροη η αντισταση οφειλεται αποκλειστικα στην τριβη, ενω στην αντιθετη περιπτωση μιας πλακας καθετα προς την ροη η αντισταση οφειλεται σχεδον αποκλειστικα στην διαφορα πιεσης αναμεσα στις δυο πλευρες της πλακας.

Η αντισταση λογω τριβης μπορει να υπολογισθει υποθετοντας οτι ειναι ιση με την αντισταση επιπεδης πλακας που εχει μηκος ισο με το μηκος του αντικειμενου και επιφανεια ιση με την συνολικη βρεχομενη επιφανεια του αντικειμενου. Για την αντισταση λογω μορφης ειναι αναγκαιο να μεταχειριστουμε υπαρχοντα πειραματικα. Για αντικειμενο με σχημα τελειως ιδιοτυπο, για το οποιο δεν υπαρχουν πειραματικα δεδομενα, η αντισταση προσδιοριζεται απο πειραματα με μοντελο του αντικειμενου.

Ενω ολα ανεξαιρετως τα αντικειμενα εχουν αντισταση, μη μηδενικη μεση ανωση εχουν μονο τα μη συμμετρικα αντικειμενα. Κλασσικο παραδειγμα τετοιων μη συμμετρικων αντικειμενων ειναι οι υδροτομες (αεροτομες) που χρησιμοποιουνται ευρυτατα σε πολλες εφαρμογες. Σε συμμετρικα αντικειμενα (π.χ. κυλινδρος, σφαιρα) η μεση τιμη της ανωσης ειναι μηδεν.

4.1 Αντισταση λογω τριβης

Θεωρουμε μια πλακα παραλληλη προς εξωτερικη ροη. Η κλιση πιεσης κατα μηκος της πλακας ειναι μηδενικη, οποτε η αντισταση οφειλεται αποκλειστικα στις τασεις τριβης. Οριζουμε σαν συντελεστη τριβης την ποσοτητα :

Οπου Α ειναι η επιφανεια της πλακας, V η ταχυτητα της ροης, ρ η πυκνοτητα του ρευστου, και η αντισταση της πλακας.

29

Ο αναλυτικος προσδιορισμος του συντελεστη αντιστασης ειναι δυνατος μονο στην περιπτωση στρωτου οριακου στρωματος (δηλ. αριθμου Reynolds μικροτερου απο 500000). Στην περιπτωση αυτη απο την λυση του Blasius ο συντελεστης αντιστασης μπορει να υπολογιστει αναλυτικα, και δινεται απο την σχεση:

Οπου ειναι ο αριθμος Reynolds βασισμενος πανω στο μηκος της πλακας L Η εκφραση (4.1.1) προκυπτει απο ολοκληρωση των τασεων ως προς x κατα μηκος της πλακας. (Η εκφραση για τις τασεις προκυπτει απο την εξισωση (3.3.15) για τον συντελεστη τριβης).

Στις περισσοτερες ροες πρακτικου ενδιαφεροντος ομως το οριακο στρωμα ειναι στρωτο μονο σε ενα μικρο διαστημα στην αρχη της επιφανειας, και στην συνεχεια γινεται τυρβωδες. Για τυρβωδες οριακο στρωμα ειναι αναγκαιο να καταφυγουμε σε ημι-εμπειρικες η τελειως εμπειρικες σχεσεις.

Ετσι για τυρβωδη οριακα στρωματα και για αριθμο του Reynolds μεχρι δεκα εκατομμυρια, ισχυει η αναλυση του κεφαλαιου 3.3, και κατα συνεπεια η ταση στο τοιχωμα δινεται απο την εξισωση (3.3.13). Ολοκληρωνουμε την εξισωση (3.3.13) ως προς x καθ’ολο το μηκος της πλακας για να παρουμε την συνολικη αντισταση ανα μοναδα πλατους. Αυτο μας δινει την ακολουθη εκφραση για τον συντελεστη

αντιστασης:

Για αριθμους Reynolds μεγαλυτερους απο δεκα εκατομμυρια, το παχος του οριακου στρωματος αυξανεται πολυ βραδυτερα απο οτι προβλεπει η αναλυση του κεφαλαιου 3.3, που δεν πρεπει να χρησιμοποιειται. Πειραματα του Schlichting για αριθμους Reynolds μεγαλυτερους απο δειχνουν οτι ο λογος δ/x δινεται απο την εξης σχεση:

Το παχος του οριακου στρωματος αυξανει κατα συνεπεια πολυ βραδυτερα απο οτι βρισκει η αναλυση του κεφαλαιου 3.3. Ο τοπικος συντελεστης τριβης, συμφωνα παντα με τα πειραματα του Schlichting, δινεται απο την εξισωση:

30

Για τον συντελεστη αντιστασης της πλακας προκυπτει με ολοκληρωση ο ακολουθος τυπος (τυπος του Schlichting):

Υπαρχει δηλαδη επικαλυψη των εξισωσεων (3) και (2). Στην περιοχη επικαλυψης οι εξισωσεις (2) και (3), αν και πολυ διαφορετικες δινουν περιπου τα ιδια αποτελεσματα.

Και οι δυο εξισωσεις (2) και (3) ισχυουν για οριακο στρωμα που ειναι αποκλειστικα τυρβωδες. Για οριακο στρωμα που ειναι αρχικα στρωτο και στην συνεχεια γινεται τυρβωδες, και οι δυο τυποι προβλεπουν μεγαλυτερο συντελεστη αντιστασης απο τον πραγματικο, επειδη το κομματι του οριακου στρωματος οπου η ροη ειναι στρωτη εχει πολυ μικροτερη αντισταση απο αυτο που προβλεπει η θεωρια τυρβωδους οριακου στρωματος. Κατα συνεπεια και οι δυο τυποι χρειαζονται μια διορθωση. Η διορθωση φυσικα εξαρταται απο την τιμη του κρισιμου αριθμου Reynolds για την οποια παρατηρειται μεταβαση του στρωτου οριακου στρωματος σε τυρβωδες.

Εστω η τιμη του κρισιμου αριθμου Reynolds και ξ η αποσταση απο την αρχη της πλακας για την οποια εχουμε οτι . Για να βρουμε την πραγματικη αντισταση της πλακας πρεπει (α) να αφαιρεσουμε την αντισταση πλακας μηκους ξ με τυρβωδες οριακο στρωμα, και (β) να προσθεσουμε την αντισταση πλακας μηκους ξ με στρωτο οριακο στρωμα.

Οποτε παιρνουμε τον διορθωμενο συντελεστη αντιστασης την ακολουθη εκφραση:

Τωρα παρατηρωντας οτι εχουμε:

οπου το Α δινεται απο την σχεση:

Για την γενικα παραδεκτη τιμη του κρισιμου αριθμου Reynolds για λεια πλακα , .

Με το ιδιο ακριβως σκεπτικο, ο τυπος του Schichting διορθωνεται ως εξης:

31

οπου το Β δινεται απο την ακολουθη σχεση:

Για .

Οσο μεγαλυτερος ειναι ο αριθμος Reynolds, τοσο μικροτερο ειναι το ποσοστο του μηκους της πλακας οπου το οριακο στρωμα ειναι στρωτο, και κατα συνεπεια τοσο μικροτερη ειναι η διορθωση στους τυπους (4.1.4) και (4.1.6). Για αριθμους Reynolds μεγαλυτερους απο η διορθωση λογω στρωτου οριακου στρωματος ειναι πολυ μικρη.

Οι εκφρασεις (4.1.4) και (4.1.6) ισχυουν για υδροδυναμικα λειες επιφανειες. Συχνα ομως η επιφανεια των αντικειμενων ειναι τραχεια. Αυτο μπορει να οφειλεται σε κατασκευαστικες ατελειες η σε εξωγενεις παραγοντες. (Στα πλοια για παραδειγμα μετα απο μακροχρονη λειτουργια στην θαλασσα σχηματιζεται ενα εξωτερικο ανωμαλο περιβλημα.) Την τραχυτητα μετραμε με ενα ισοδυναμο παχος k (δες εικονα 4.1.1), που οριζεται σαν το παχος αμμου που πρεπει να προστεθει σε λεια πλακα ωστε να αποκτησει την ιδια αντισταση με την τραχεια επιφανεια που θεωρουμε. Η υπαρξη τραχυτητας επιταχυνει την μεταβαση του οριακου στρωματος σε τυρβωδες (δηλ. Η μεταβαση ολοκληρωνεται σε μικροτερη αποσταση απο την αρψη του αντικειμενου απο οτι σε λεια επιφανεια). Εαν η τραχυτητα εξεχει απο το οριακο υποστρωμα, η ροη αποκολλαται απο τις προεξοχες και σχηματιζει δινες. Ο σχηματισμος αυτων των δινων αποκολλησης συνεπαγεται αυξηση του συντελεστη τριβης, και κατα συνεπεια της αντιστασης του αντικειμενου. Η επιδραση της τραχυτητας στον συντελεστη τριβης φαινεται στην εικονα 4.1.1.

32

Εικονα 4.1.1: Μεταβολη του συντελεστη τριβης σαν συναρτηση του αριθμου Reynolds για διαφορες τιμες του ισοδυναμου παχους τραχυτητας k.

Αν το οριακο υποστρωμα καλυπτει πληρως τις προεξοχες της τραχυτητας η επιφανεια λεγεται υδροδυναμικα λεια.

4.2 Αντισταση λογω μορφης-Συνολικη αντισταση

Η αντισταση λογω μορφης δημιουργειται λογω της διαφορας πιεσης αναμεσα στην προσηνεμη (προσθια) πλευρα και στην υπηνεμη (πισω) πλευρα του αντικειμενου. Ειναι λογικο να ορισουμε τον συντελεστη αντιστασεως ως εξης:

Οπου Α ειναι η προβαλλομενη επιφανεια του αντικειμενου σε επιπεδο καθετο προς την ροη. (Για παραδειγμα αν το αντικειμενο ειναι ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με διασταση l παραλληλα προς την ροη, και διαστασεις b, h καθετα προς την ροη Α=bh).

Η αντισταση λογω μορφης, σε συνεπεια με το ονομα της, επηρεαζεται πολυ απο το σχημα και τον προσανατολισμο του αντικειμενου. Για αντικειμενα με γωνιες (π.χ. ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο η κυκλικος δισκος) η ροη αποκολλαται παντοτε απο τις γωνιες και ο συντελεστης αντιστασεως λογω μορφης γινεται σχεδον ανεξαρτητος απο τον αριθμο Reynolds. Για αντικειμενα με καλπυλωμενες επιφανειες χωρις γωνιες (π.χ. σφαιρα) η αποκολληση της ροης συμβαινει σε σημεια των οποιων η θεση εξαρταται απο τον αριθμο Reynolds. Η αντισταση λογω μορφης του αντικειμενου εξαρταται κατα συνεπεια επισης αο τον αριθμο Reynolds. Ο συντελεστης αντιστασης λογω μορφης προσδιοριζεται με την βοηθεια πειραματικων μετρησεων.

Στις εφαρμογες μας ενδιαφερει η συνολικη αντισταση του αντικειμενου, δηλαδη το αθροισμα της αντιστασης λογω τριβης και της αντιστασης λογω μορφης. Ο συνολικος

33

συντελεστης αντιστασης οριζεται οπως στην εξισωση (1) αυτου του κεφαλαιου, οπου F ειναι η συνολικη αντισταση του αντικειμενου και Α ειναι η επιφανεια προβολης, η η βρεχομενη επιφανεια. Γενικα για αντικειμενα των οποιων η αντισταση οφειλεται κυριως στην μορφη τους (π.χ. κυλινδρος) μεταχειριζομαστε την επιφανεια προβολης,. Για αντικειμενα που η αντισταση τους οφειλεται κυριως σε τριβη (οπως ολα τα υδροδυναμικα σχηματα) μεταχειριζομαστε την βρεχομενη επιφανεια.

Παραθετουμε ενδεικτικα συντελεστες αντιστασης ωρισμενων σχηματων που απαντουνται σε πρακτικες εφαρμογες στον πινακα που ακολουθει. Ο συντελεστης αντιστασης στηριζεται στην επιφανεια προβολης.

Αντικειμενο Συντελεστης αντιστασης

Πλακα καθετη προς την ροη 2.05

Κυκλικος δισκος 1.17

Ημισφαιριο 0.38(Κουφιο, σφαιρικη επιφανεια προσηνεμη)

Ημισφαιριο 1.42(Κουφιο, σφαιρικη επιφανεια υπηνεμη)

Η «εγκυκλοπαιδεια» των συντελεστων αντιστασεως ειναι το βιβλιο του Hoerner “Fluid Dynamic Drag”, οπου εχει συγκεντρωμενο μεγαλο πλουτο πειραματικων δεδομενων για πολυ περιπλοκα σχηματα που συναντωνται σε πρακτικες εφαρμογες

4.3 Ροη γυρω απο κυλινδρο.

Η ροη γυρω απο κυλινδρο παρουσιαζει ιδιαιτερο ενδιαφερον, αφου πολλες κατασκευες που λειτουργουν μεσα σε ρευματα εχουν κυκλικη διατομη (π.χ. καλωδια). Λογω της απλοτητας του σχηματος του κυλινδρου, που χαρακτηριζεται μονο απο μια διασταση (την διαμετρο), η ροη γυρω απο τον κυλινδρο εξαρταται μονο απο τον αριθμο του Reynolds βασισμενο πανω στην ταχυτητα της εξωτερικης ροης U, και την διαμετρο D του κυλινδρου: R=UD/ν.

Για πολυ μικρες τιμες του αριθμου Reynolds R, γυρω στην μοναδα, η ροη γυρω απο τον κυλινδρο ειναι συμμετρικη, η πιεση στην πισω πλευρα περιπου ιση με αυτην μπροστα, και κατα συνεπεια η αντισταση του κυλινδρου οφειλεται αποκλειστικα στην τριβη. Καθως η τιμη του R αυξανει, αποκολληση της ροης αρχιζει να παρατηρειται. Πισω απο τον κυλινδρο εμφανιζονται δυο συμμετρικες δινες που παραμενουν προσκολλημενες στον κυλινδρο. Μερος της αντιστασης οφειλεται τωρα σε διαφορα πιεσης αναμεσα στην αναντη και καταντη πλευρες (αντισταση μορφης), Η ροη παραμενει μονιμη μεχρι αριθμο Reynolds περιπου 48, οποτε γινεται ασταθης και μετατρεπεται σε μη μονιμη.

Δινες σχηματιζονται τωρα εναλλαξ στην πανω και στην κατω πλευρα του κυλινδρου οι οποιες εγκαταλειπουν τον κυλινδρο και μετακινουνται στον ομορρου με ταχυτητα λιγο μικροτερη απο αυτη της εξωτερικης ροης. Παρατηρουνται ετσι πισω απο τον κυλινδρο δυο σειρες δινων που ειναι γνωστες με το ονομα «σειρες του Von Karman».

34

(Karman vortex street). Ο σχηματισμος δινων ειναι περιοδικο φαινομενο με καλα καθορισμενη συχνοτητα. Αν f συμβολιζει την συχνοτητα σχηματισμου των δινων (σε Hertz) η αδιαστατη ποσοτητα (αριθμος Strouhal) ειναι συναρτηση του αριθμου του Reynolds. Για μια μεγαλη περιοχη αριθμων Reynolds απο 1000 εως 200000, ο αριθμος Strouhal παραμενει σταθερος, περιπου ισος με 0.2. Ο συντελεστης αντιστασης (που οφειλεται κατα κυριο λογο σε διαφορα πιεσης) επισης παραμενει σταθερος σε αυτη την περιοχη, περιπου 1.15.

Εικονα 4.3.1: Φωτογραφια τυρβωδους ομορρου κυλινδρου σε αριθμο Reynolds 10000. Η παρουσια μεγαλων δινων στον ομορρου φαινεται απο τις συγκεντρωσεις καπνου. (Φωτογραφια απο Corke και Nagib).

Ο σχηματισμος δινων εναλλαξ στην πανω και κατω πλευρα του κυλινδρου προκαλει αρμονικη δυναμη στον κυλινδρο σε κατευθυνση καθετη προς την ροη και με συχνοτητα ιση προς την συχνοτητα σχηματισμου δινων. Ετσι αν ο κυλινδρος ειναι μερος ευκαμπτης κατασκευης (π.χ. καλωδιο), υπαρχει δυνατοτητα συντονισμου οταν η συχνοτητα σχηματισμου δινων γινει περιπου ιση με μια απο τις ιδιοσυχνοτητες της κατασκευης. Τοτε η κατασκευη ταλαντωνεται με κινδυνο αστοχιας λογω κοπωσεως. Το φαινομενο συντονισμου ανηκει στην κατηγορια των υδροελαστικων φαινομενων, και ειναι υπευθυνο για πολλες αστοχιες κατασκευων που λειτουργουν μεσα σε θαλασσιο ρευμα, αλλα και κατσκευων στην ξηρα που λειτουργουν σε περιοχες με συχνους δυνατους ανεμους.

Οταν ο αριθμος του Reynolds υπερβει την τιμη των 200000 το οριακο στρωμα του κυλινδρου γινεται τυρβωδες. Τα σημεια αποκολλησης της ροης μετακινουνται καταντη, και το πλατος του ομορρου μειωνεται. Ο συντελεστης αντιστασης του κυλινδρου επισης μειωνεται, και φτανει στην τιμη 0.3 οταν ο αριθμος του Reynolds φτασει την τιμη 300000. Σε μεγαλυτερους αριθμους Reynolds ο συντελεστης αντιστασης ανεβαινει, παραμενει ομως χαμηλοτερος απο την τιμη που εχει οταν το οριακο στρωμα ειναι στρωτο. . Η μεταβολη του συντελεστη αντιστασης κυλινδρου συναρτησει του αριθμου Reynolds φαινεται στην εικονα 4.3.2.

Η μειωση του συντελεστη αντιστασης οταν το οριακο στρωμα γινει τυρβωδες χαρακτηριζει ολα τα σωματα με καμπυλωμενο περιβλημα (οπως η σφαιρα, της οποιας ο συντελεστης αντιστασης επισης φαινεται στην εικονα 4.3.2 κατωτερω). Η μειωση ειναι λιγοτερο αισθητη για υδροδυναμικα σωματα, επειδη σε αυτα τα σημεια αποκολλησης ειναι κοντα στο καταντη ακρω του σωματος, και δεν εχουν πολλα

35

περιθωρια μετατοπισης καταντη. Η εξηγηση για την μετατοπιση των σημειων αποκολλησης ειναι η εξης: Οταν το οριακο στρωμα γινει τυρβωδες, τα σωματιδια του ρευστου μεσα στο οριακο στρωμα εχουν αυξημενη ορμη (επειδη εχουν αυξημενη ταχυτητα). Κατα συνεπεια, χρειαζονται μεγαλυτερες δυναμεις πιεσης για να προκαλεσουν αποκολληση. Τετοιες δυναμεις πιεσης αναπτυσσονται σε σημεια καταντη απο το σημειο αποκολλησης του στρωτου οριακου στρωματος

Εικονα 4.3.2: Μεταβολη του συντελεστη αντιστασης κυλινδρου με λεια επιφανεια (διακεκομμενη γραμμη), και σφαιρας (συνεχης γραμμη) σαν συναρτηση του αριθμου Reynolds.

Η μετατοπιση των σημειων αποκολλησης λογω της μετατροπης του οριακου στρωματος σε τυρβωδες φαινεται στην εικονα 4.3.3 για ροη γυρω απο σφαιρα. Η μειωση του παχους του ομορρου της σφαιρας ειναι επισης εμφανης.

36

Εικονα 4.3.3: Ροη γυρω απο σφαιρα με (α) στρωτο οριακο στρωμα (κατω εικονα), και (β) Τυρβωδες οριακο στρωμα (ανω εικονα).

4.4 Δυναμικη ανωση

Δυναμικη ανωση (lift) λεγεται η συνιστωσα της δυναμης πανω στο αντικειμενο που ειναι καθετη προς την ροη. Μονιμη δυναμικη ανωση αναπτυσσεται μονο σε μη συμμετρικα αντικειμενα η σε συμμετρικα αντικειμενα που εχουν κλιση ως προς την ροη. Η δυναμικη ανωση ειναι μερικες φορες ανεπιθυμητη, οπως για παραδειγμα στα αγωνιστικα αυτοκινητα, τα οποια κινδυνευουν να απογειωθουν εξ αιτιας της. Σε πολλες εφαρμογες ομως η δυναμικη ανωση χρησιμποποιειται για ανυψωση (αεροπλανα), πλοηγηση (πηδαλια) κλπ. Υπαρχουν γι’αυτο τον λογο ειδικα σχεδιασμενες κατασκευες, οι υδροτομες, που αναπτυσσουν σημαντικη δυναμικη ανωση ενω παρουσιαζουν μικρη αντισταση. Η χρηση των υδροτομων σε υδροδυναμικες και αεροδυναμικες εφαρμογες ειναι ευρυτατη.

Ο συντελεστης ανωσης της υδροτομης οριζεται ως εξης:

οπου ειναι η δυναμικη ανωση, ρ η πυκνοτητα του ρευστου, η ταχυτητα του ρευστου ως προς την υδροτομη, και Α η επιφανεια της υδροτομης.

Για λογους συγκρισης ο συντελεστης αντιστασης της υδροτομης οριζεται επισης με βαση την επιφανεια Α, δηλαδη:

Γενικα επιδιωκουμε ο λογος να ειναι οσο το δυνατο μεγαλυτερος.

Η ανωση δημιουργειται απο την κυρτοτητα προς τα ανω της υδροτομης (αν η υδροτομη ειναι μη συμμετρικη) και απο την γωνια κλισης της υδροτομης ως προς την εξωτερικη ροη. Η τελευταια λεγεται γωνια προσπτωσης. Η καλπυλοτητα και η γωνια προσπτωσης προκαλουν υποπιεση στην ανω πλευρα της υδροτομης, λογω τοπικης επιταχυνσης της ροης, και υπερπιεση στην κατω πλευρα της υδροτομης λογω τοπικης επιβραδυνσης της ροης. Η διαφορα πιεσης αναμεσα στην κατω και στην ανω πλευρα της υδροτομης διατηρειται (με την προυποθεση οτι η ροη δεν αποκολλαται) μεχρι την ακμη εκφυγης και δημιουργει την δυναμικη ανωση. Λογω της επιταχυνσης της ροης στην ανω πλευρα και στην επιβραδυνση της ροης στην κατω πλευρα, η ακολουθη ποσοτητα Γ εχει μη μηδενικη τιμη

37

οπου ειναι η συνιστωσα της ταχυτητας παραλληλης προς την υδροτομη. Η ολοκληρωση γινεται σε επιπεδο παραλληλο προς τον αξονα των x γυρω απο την υδροτομη εκει που τελειωνει το οριακο της στρωμα. Η ποσοτητα Γ ειναι ως γνωστον η κυκλοφορια γυρω απο την υδροτομη.

Αυξηση της γωνιας προσπτωσης προκαλει αυξηση του συντελεστη ανωσης. Αυτο δεν συνεχιζεται επ’απειρο, γιατι πανω απο μια ορισμενη γωνια προσπτωσης (τυπικα γυρω στις 15 με 20 μοιρες αναλογα με την υδροτομη) επερχεται αποκολληση του οριακου στρωματος στην ανω πλευρα της υδροτομης κοντα στην ακμη προσπτωσης. Η αποκολληση του οραικου στρωματος εχει σαν αποτελεσμα την μειωση της ανωσης και την αυξηση της αντιστασης. Το φαινομενο λεγεται stall. Η μεγιστη δυνατη ανωση παρατηρειται κατα συνεπεια λιγο πριν την εμφανιση του stall. Η μεταβολη του συντελεστη ανωσης σαν συναρτηση της γωνιας προσπτωσης απεικονιζεται στην εικονα 4.4.1 για μια τυπικη υδροτομη. Ο μεγιστος συντελεστης ανωσης ειναι εν προκειμενω ισος με 1.72.

Εικονα 4.4.1: Μεταβολη του συντελεστη ανωσης συναρτησει της γωνιας προσπτωσης για τυπικη υδροτομη (NACA 23015) με αριθμο Reynolds .

Στην περιοχη καλης λειτουργιας της υδροτομης το οριακο στρωμα παραμενει λεπτο, και ο ομορρους παραμενει επισης λεπτος. Η ροη ειναι τοτε τυρβωδης μονο σε μια πολυ μικρη περιοχη του πεδιου ροης γυρω και πισω απο το σωμα, και η δυναμικη ανωση μπορει τοτε να υπολογιστει με ικανοποιητικη ακριβεια χρησιμοποιωντας θεωρια αστροβιλης ροης. Αυτο ειναι εκτος της υλης του παροντος μαθηματος,

38

προτεινουμε ομως σαν ασκηση επαναληψης να βρειτε την σχεση αναμεσα στην δυναμικη ανωση ανα μοναδα πλατους της υδροτομης και της κυκλοφοριας Η αντισταση της υδροτομης οφειλεται εν μερει σε τριβη, και εν μερει στις δινες ακροπτερυγιων που σχηματιζονται στα δυο της ακρα. Η αντισταση λογω των δινων των ακροπτερυγιων λεγεται «επαγομενη αντισταση». Ο σχηματισμος των δινων ακροπτερυγιων ειναι αναποφευκτη συνεπεια της διαφορας πιεσης αναμεσα στην κατω και στην ανω πλευρα της υδροτομης, η οποια διαφορα προκαλει ροη του ρευστου γυρω απο τα δυο ακρα. Η ροη αυτη οταν φτασει στο ακρο εκφυγης της υδροτομης μετατρεπεται σε στροβιλισμο γυρω απο αξονα παραλληλο προς την ταχυτητα της υδροτομης. Οι δινες αυτες διατηρουνται σε μεγαλη αποσταση πισω απο την υδροτομη και απαιτουν σημαντικο ποσο ενεργειας, που προσφερεται απο την επαγομενη αντισταση. Η ροη γυρω απο τα ακρα της υδροτομης αυξανει οταν αυξανεται η διαφορα πιεσης αναμεσα στην κατω και στην ανω πλευρα της υδροτομης, δηλαδη οταν αυξανεται η ανωση στην υδροτομη. Κατα συνεπεια, αυξηση της γωνιας προσπτωσης προκαλει αυξηση οχι μονο της ανωσης, που ειναι το επιδιωκομενο αποτελεσμα, αλλα και της επαγομενης αντιστασης της υδροτομης, που ειναι ανεπιθυμητη.

Για να εκτιμηθει καλυτερα η επιδοση της υδροτομης μεταχειριζομαστε γραφηματα οπου οι δυο αξονες αντιστοιχουν στον συντελεστη αντιστασης και τον συντελεστη ανωσης. Ενα τετοιο γραφημα ειναι στην εικονα 4.4.2

Εικονα 4.4.2: Συντελεστης αντιστασης για υδροτομη NACA 23015 με αριθμο Reynolds (η καμπυλη σημειωνεται που σαν «conventional airfoil»), και για ειδικα σχεδιασμενη υδροτομη (η καμπυλη που σημειωνεται σαν «specially designed airfoil»)

39

5. Ροες μακρια απο τοιχωματα

Πολλες ροες πρακτικου ενδιαφεροντος αναπτυσσονται μακρια απο τοιχωματα. Παραδειγματα τετοιων ροων αποτελουν ο ομορρους αντικειμενου, η εκροη υγρης φλεβας, και η ζωνη αναμειξης. Στο κεφαλαιο αυτο θα συζητησουμε την ασυμπτωτικη μορφη που παιρνουν οι εξισωσεις κινησης και η κατανομη ταχυτητων μακρια απο το σημειο προελευσης της ροης.

5.1 Ομορρους αντικειμενου

Θεωρουμε για απλοτητα ροη μακρια πισω απο ενα διδιαστατο συμμετρικο αντικειμενο. Η μεση ροη μπορει να θεωρηθει διδιαστατη στο επιπεδο x-y. Πισω απο το αντικειμενο δημιουργειται μια «προστατευμενη ζωνη» (οπως γνωριζουμε απο προσωπικη πειρα οταν φυσα δυνατος ανεμος) οπου η ταχυτητα ειναι μικροτερη απο την ταχυτητα της ροης . Η περιοχη αυτη λεγεται ομορρους του αντικειμενου. Η ελαχιστη ταχυτητα παρατηρειται στο κεντρο του ομορρου (y=0). Η διαφορα αναμεσα στην ελαχιστη ταχυτητα και στην ταχυτητα της ροης λεγεται ελλειμμα της ταχυτητας. Συμβολιζουμε το ελλειμμα της ταχυτητας με . Το πλατος της περιοχης μεσα στην οποια παρατηρουνται οι μειωμενες ταχυτητες λεγεται παχος του ομορρου. Μακρια πισω απο το αντικειμενο το ελλειμμα ταχυτητας γινεται πολυ μικροτερο απο την ταχυτητα .

Οι εξισωσεις κινησεως για την μεση ροη ειναι οι διδιαστατες εξισωσεις Reynolds και συνεχειας (3.2.1)-(3.2.3).Υποθετουμε οτι οι μεταβολες μεσων μεγεθων στην x κατευθυνση ειναι πολυ βραδυτερες απο τις μεταβολες των ιδιων μεγεθων στην y κατευθυνση. Απο την εξισωση συνεχειας επεται οτι η μεση τιμη του v ειναι μια ταξη μεγεθους μικροτερη απο την μεση τιμη του . Η μεση ταχυτητα στην x κατευθυνση εχει ταξη μεγεθους , ομως καθως τα ορια μεταβολης της ειναι απο

σε , οι παραγωγοι της ειναι αναλογες με το ελλειμμα ταχυτητας . Εχουμε κατα συνεπεια τις ακολουθες εκτιμησεις ταξης μεγεθους:

(α) Εξισωση συνεχειας:

(β) Εξισωση ορμης στην x κατευθυνση:

Οπου ειναι μια ταχυτητα που χαρακτηριζει την ταξη μεγεθους των διακυμανσεων της τυρβης. Μετα απο την ανωτερω αναλυση της ταξης μεγεθους των διαφορων

40

ποσοτητων η εξισωση στην x κατευθυνση απλοποιειται σημαντικα και παιρνει την μορφη:

Στην εξισωση (5.1.1) υποθεσαμε οτι η ταση λογω μοριακης συνεκτικοτητας ειναι πολυ μικροτερη απο την ταση του Reynolds. Επι πλεον εχουμε την ακολουθη σχεση ταξης μεγεθους για την αγνωστη ταχυτητα :

Στην συνεχεια του κεφαλαιου θα δουμε οτι για μεγαλες τιμες του x αυτο σημαινει οτι η τακη μεγεθους των διακυμανσεων γινεται ανεξαρτητη απο το x.

Ολοκληρωνουμε την εξισωση (5.1.1) ως προς y, κατα ολο το πλατος του πεδιου ροης και ροης και μεταχειριζομενοι το γεγονος οτι οι τυρβωδεις διακυμανσεις μηδενιζονται για μεγαλες τιμες της απολυτης τιμης του y εχουμε:

Η εξισωση (5.1.2) περιγραφει την διατηρηση της ορμης σε ολοκληρωματικη μορφη: Μετα τις απλοποιητικες παραδοχες βλεπουμε οτι το ελλειμμα ορμης που προκαλει ο ομορρους παραμενει σταθερο. Στην πραγματικοτητα θα υπαρχει περραιτερω απωλεια ορμης λογω τυρβωδουσ διαχυσης στην x κατευθυνση και λογω της συνεκτικοτητας του ρευστου. Αυτη η επι πλεον απωλεια ειναι ομως μικρη.

Αναζητουμε λυσεις της απλοποιημενης εξισωσης ορμης (5.1.1) οι οποιες εχουν την ιδιοτητα της αυτοομοιοτητας, δηλαδη λυσεις με την ακολουθη μορφη:

Οπου η=y/b. Η συναρτηση f θα προσδιοριστει στην συνεχεια. Σημειωνουμε ομως οτι πρεπει να ικανοποιει τις ακολουθες οριακες συνθηκες που προκυπτουν απο τον ορισμο της:

Επιπλεον επιλεγουμε την δευτερη παραγωγο της f στο μηδεν να ειναι ιση με μειον ενα:

41

Καθε αλλη τιμη της δευτερας παραγωγου της f στο μηδεν μπορει να αναχθει στην παραπανω τιμη με διαφορετικο ορισμο του παχους του ομορρου b.

Αντικαθιστουμε την εξισωση (5.1.3) στην (5.1.2) και εχουμε:

Ολοκληρωνοντας ως προς x εχουμε την εναλλακτικη εκφραση:

Οπου q ειναι μια σταθερα.

Χρειαζομαστε επισης μια εκφραση για την ταση του Reynolds. Tην τελευταια γραφουμε οπως και στην περιπτωση του οριακου στρωματος σαν το γινομενο του συντελεστη τυρβωδους συνεκτικοτητας επι τον μεσο ρυθμο παραμορφωσης

Υποθετουμε οτι ο συντελεστης τυρβωδους διαχυσης γ εξαρταται μονο απο το ελλειμμα ταχυτητας και το παχος του ομορρου. Απο διαστατικη αναλυση επεται οτι:

Οπου C ειναι μια σταθερα.

Ετσι η εξισωση (1) παιρνει την ακολουθη μορφη:

Αντοκαθιστουμε τωρα την εξισωση (5.1.3) στην εξισωση (5.1.8) και μεταχειριζομενοι τον κανονα παραγωγισης συνθετης συναρτησης καταληγουμε στην ακολουθη εκφραση:

42

Διαιρουμε την εξισωση με την παραγωγο του ως προς x, και μεταχειριζομενοι την (5.1.5α) εχουμε:

Για η=0 η εξισωση (5.1.10) (λογω των (4a)-(4d)) δινει:

Ολοκληρωνουμε ως προς x και βρισκουμε οτι:

Οπου ειναι η σταθερα ολοκληρωσης. Βλεπουμε δηλαδη οτι το για μεγαλες τιμες του x, το παχος b του ομορρου αυξανει αναλογα με την τετραγωνικη ριζα του x.

Αντιστοιχα για το ελλειμμα της ταχυτητας , η εξισωση (5.1.5b) δινει οτι μειωνεται αντιστροφως αναλογα με την τετραγωνικη ριζα του x.

Επανερχομαστε στην εξισωση (5.1.10) που γραφεται λογω της (5.1.11) ως εξης:

Ολοκληρωνοντας δυο φορες ως προς η, και χρησιμοποιωντας τις οριακες συνθηκες για την f και τις παραγωγους της εχουμε οτι:

43

Δηλ. η κατανομη ταχυτητων στον ομορρου ακολουθει την καμπυλη του Gauss, ανεξαρτητα απο το σχημα του αντικειμενου. Η καμπυλη αυτη συμφωνει εξαιρετικα με τα πειραματα για τιμες της μεταβλητης η μεχρι περιπου 1.2. Μετα εμφανιζει μικρη αποκλιση.

Εικονα 5.1.1: Συγκριση της θεωρητικης προβλεψης του f απο την εξισωση 5.1.14 (συνεχης γραμμη) σαν συναρτηση της μεταβλητης η, με πειραματικες μετρησεις (διακεκομενη γραμμη) για ομορρου κυλινδρου.

5.2 Τυρβωδης φλεβα.

Φλεβα ρευστου δημιουργειται οταν μια ομοιομορφη ροη ρευστου διοχετευεται σε ακινητο ρευστο με τα ιδια χαρακτηριστικα. Θεωρουμε τυρβωδη φλεβα με διδιαστατη μεση ροημακρια απο το σημειο εκροης της. Η ταχυτητα στο κεντρο της φλεβας συμπβολιζεται με , και b παριστανει το παχος της φλεβας. Και τα δυο μεγεθη ειναι συναρτησεις της συντεταγμενης x.

Υποθετουμε οτι b << x, οποτε οι μεταβολες των μεσων μεγεθων στην x κατευθυνση ειναι πολυ βραδυτερες απο οτι οι μεταβολες των ιδιων μεγεθων στην y κατευθυνση.

Για τυρβωδη διδιαστατη φλεβα η μεση ταχυτητα στην x κατευθυνση εχει ταξη μεγεθους , και μια που τα ορια μεταβολης της ειναι απο μηδεν εως , οι παραγωγοι της ειναι επισης αναλογες με . Κατα συνεπεια η αναλυση της ταξης μεγεθους των εξισωσεων κινησης και συνεχειας εχει ως εξης:

(α) Εξισωση συνεχειας:

(β) Εξισωση ορμης στην x κατευθυνση:

44

Οπου ειναι μια ταχυτητα που χαρακτηριζει την ενταση της τυρβης.

Υποθετουμε οτι η ταση λογω συνεκτικοτητας ειναι πολυ μικροτερη απο την ταση του Reynolds, και οτι η ενταση της τυρβης συνδεεται με την ταχυτητα με την ακολουθη σχεση:

Καθως θα δουμε στην συνεχεια η εξισωση (5.2.1) συνεπαγεται οτι η ενταση της τυρβης αυξανεται με το x. Με βαση την ανωτερω αναλυση ταξης μεγεθους, καταληγουμε στην ακολουθη απλοποιημενη εξισωση ορμης στην x κατευθυνση:

Λογω του οτι η μεση ροη ειναι ασυμπιεστη, η εξισωση ορμης (5.2.2) μπορει να γραφτει και ως εξης:

Η τελευταια εξισωση ολοκληρουμενη ως προς y δινει οτι:

Η εξισωση εκφραζει οτι η ορμη της φλεβας παραμενει σταθερη. (Στην πραγματικοτητα θα υπαρξει μια μειωση της ορμης λογω ιξωδους και λογω τυρβωδους διαχυσης στην x κατευθυνση. Η μειωση αυτη ειναι ομως σχετικα μικρη σε σημεια μακρια απο το σημειο εκροης της φλεβας).

Αναζητουμε αυτο-ομοιες λυσεις της εξισωσης διατηρησης της ορμης (5.2.2), δηλαδη λυσεις της μορφης:

45

Οπου η=y/b και F μια αναλυτικη συναρτηση της μεταβλητης η. Η συναρτηση F πρεπει να ικανοποιει τις εξης οριακες συνθηκες:

Επισης εχουμε τις εξης συνθηκες:

Η (6d) προκυπτει απο την συμμετρια της ροης, που απαιτει η συναρτηση ροης να ειναι περιττη συναρτηση του y. Για την (6e), παρατηρουμε οτι η τριτη παραγωγος της F πρεπει να ειναι αρνητικη απο φυσικους λογους. Η απολυτη τιμη ειναι αυθαιρετη, οποιαδηποτε αλλη τιμη ομως μπορει να αναχθει στην παραπανω περιπτωση με διαφορετικο ορισμο του b (Αυτο θα γινει πιο σαφες στην συνεχεια, δες εξισωσςεις (5.2.12) και (5.2.13)).

Απο την εξισωση συνεχειας της μεσης ροης προκυπτει οτι η μεση ταχυτητα στην y κατευθυνση ικανοποιει την εξης εξισωση:

Ολοκληρωνοντας ως προς η παιρνουμε τη ακολουθη σχεση:

46

Αντικαθιστουμε πρωτα την εξισωση (5.2.5) στην ολοκληρωμενη διατηρηση ορμης (5.2.4) και παιρνουμε την ακολουθη σχεση:

Ολοκληρωνοντας ως προς x εχουμε οτι:

Οπου q ειναι μια σταθερα.

Για την ταση του Reynolds εχουμε:

Υποθετουμε οτι ο συντελεστης τυρβωδους διαχυσης γ εξαρταται μονο απο την ταχυτητα και το πλατος της βλεβας b. Διαστατικη αναλυση του προβληματος μας δινει οτι:

Οπου C ειναι μια σταθερα.

Αντικαθιστωντας τις εξισωσεις (5.2.5), (5.2.7) (5.2.10) και (5.2.11) στην διαφορικη εξισωση ορμης (5.2.2) παιρνουμε την ακολουθη εξισωση:

Διαιρουμε με και μεταχειριζομενοι την εξισωση (5.2.8) βρισκουμε:

47

Τωρα θετουμε η=0 στην εξισωση (5.2.12), και χρησιμοποιωντας τις οριακες συνθηκες (6a)-(6e) παιρνουμε την ακολουθη διαφορικη εξισωση για το b:

Ολοκληρωνοντας την εξισωση (5.2.13) ως προς x βλεπουμε οτι το b αυξανει γραμμικα με την αποσταση x:

Οπου ειναι η σταθερα ολοκληρωσης.

Απο την εξισωση (5.2.9) βρισκουμε οτι η ταχυτητα στο κεντρο της φλεβας δινεται απο την ακολουθη σχεση:

Βλεπουμε δηλαδη οτι για μεγαλες τιμες του x, η ταχυτητα μειωνεται αντιστροφως αναλογα με την τετραγωνικη ριζα του x.

Επανερχομενοι στην εξισωση ορμης (5.2.12) εχουμε:

¨Ολοκληρωνοντας δυο φορες ως προς η, και μεταχειριζομενοι τις οριακες συνθηκες για το F, βρισκουμε οτι:

Απο οπου βρισκουμε οτι η κατανομη της μεσης τιμης της ταχυτητας στην φλεβα δινεται απο την ακολουθη σχεση:

48

Η αυτο-ομοια λυση για την μεση ροη τυρβωδους διδιαστατης φλεβας συμφωνει πολυ ικανοποιητικα με τις πειραματικες μετρησεις, εκτος απο την περιοχη οπου τελειωνει η φλεβα, οπου η υποθεση της σταθερης τυρβωδους συνεκτικοτητας δεν ισχυει.

5.3 Αξονοσυμμετρικες ροες

Αυτο-ομοιες λυσεις υπαρχουν και για αξονοσυμμετρικες ροες που ειναι σχεδον παραλληλες, δηλαδη που οι μεταβολες της μεσης ταχυτητας στην κατευθυνση της ροης ειναι πολυ βραδυτερες απο τις μεταβολες της μεσης ταχυτητας καθετα προς την ροη. Οι λυσεις αυτες προκυπτουν απο τις εξισωσεις του Reynolds γραμμενες σε αξονοσυμμετρικη μορφη. Οι παραδοχες και η μεθοδολογια ειναι τελειως αναλογες με αυτες που μεταχειριστηκαμε για τις επιπεδες ροες, οποτε δινουμε κατ’ευθειαν το αποτελεσμα:

5.3.α Αξονοσυμμετρικος ομορρους.

Η αυτοομοια λυση για τον ομορρου ενος αξονοσυμμετρικου αντικειμενου (π.χ. σφαιρα, ελλειψοειδες εκ περιστροφης κλπ.). προβλεπει την εξης ασυμπτωτικη συμπεριφορα για το ελλειμμα της ταχυτητας και το παχος του ομορρου για μεγαλες τιμες του x:

Συγκρινοντας τις παραπνω εκφρασεις με τον διδιαστατο ομορρου βλεπουμε οτι το παχος μειωνεται πολυ ταχυτερα στον τριδιαστατο ομορρου. Επι πλεον, ο αριθμος του Reynolds βασισμενος στο ελλειμμα της ταχυτητας και στο παχος του ομορρου μειωνεται αντιστροφως αναλογα με x στην δυναμη 3/5. Για διδαστατο αντικειμενο, ο αντιστοιχος αριθμος Reynolds παραμενει σταθερος. Εχουμε δηλαδη μια ταχυτερη μειωση του παχους του ομορρου και της εντασης της τυρβης στην περιπτωση τριδιαστατης ροης σε συγκριση με τα αντιστοιχα μεγεθη σε ροη στις δυο διαστασεις.

5.3.β Αξονοσυμμετρικη φλεβα

Τυρβωδεις αξονοσυμμετρικες φλεβες χρησιμοποιουνται πολυ συχνα σε πρακτικες εφαρμογες (π.χ. η φλεβα που βγαινει απο μια καμιναδα). Η αυτο-ομοια λυση προβλεπει την εξης ασυμπτωτικη συμπεριφορα για την μεγιστη ταχυτητα της φλεβας και το παχος της φλεβας για μεγαλες τιμες του x:

Βλεπουμε οτι το παχος μιας αξονοσυμμετρικης φλεβας αυξανει στον ιδιο ρυθμο με το παχος μιας διδιαστατης φλεβας (γραμμικα με την μεταβλητη x), αλλα η ταχυτητα μειωνεται ταχυτερα στην αξονοσυμμετρικη φλεβα λογω της ταχυτερης τυρβωδους

49

διαχυσης της ορμης που προκαλει η τριδιαστατη γεωμετρια της φλεβας. Ο αροθμος Reynolds βασισμενος στην ταχυτητα και στο παχος της φλεβας μενει σταθερος για την τριδιαστατη φλεβα, ενω αυξανει αναλογα με την τετραγωνικη ριζα του x για την διδιαστατη φλεβα.

50

6. Στατιστικη θεωρια της τυρβης

Η στατιστικη θεωρια της τυρβης ειναι ενα τεραστιο σε εκταση θεμα, που ελκει την καταγωγη της στην θεωρια του Kolomogorov (1941). Η θεωρια του Kolmogorov (που θα την αναφερουμε σαν [Κ41] για συντομια) προβλεπει σωστα τα γενικα χαρακτηριστικα της τυρβης, με την εννοια οτι τα αποτελεσματα της εχουν επαληθευθει απο πειραματικες μετρησεις. Η θεωρια [Κ41] δεν κανει χρηση των εξισωσεων Navier-Stokes, αλλα μεταχειριζεται μονο μερικες απλες στατιστικεες παραδοχες και διαστατικη αναλυση των μεγεθων του προβληματος της τυρβης.

Η στατιστικη θεωρια της τυρβης παρουσιαζει ενδιαφερον σαν επιστημονικη θεωρια, αλλα και για πολλες πρακτικες εφαρμογες, οπως γεωφυσικες και περιβαλλοντολογικες ροες. Παρουσιαζει επισης ενδιαφερον σαν εργαλειο για την μοντελοποιηση της τυρβης στην μεθοδο προσομοιωσης μεγαλων δινων (large eddy simulation). Στο κεφαλαιο αυτο δινουμε μονο μια εισαγωγη στην στατιστικη θεωρια της τυρβης, που ελπιζουμε οτι θα παρακινησει σε περραιτερω μελετη του θεματος.

6.1 Ορισμοι

Στα προηγουμενα κεφαλαια αναπτυξαμε την θεωρια για την μεση ταχυτητα τυρβωδους ροης. Στο τωρινο κεφαλαιο θα συζητησουμε την συμπεριφορα των διακυμανσεων της τυρβης μεταχειριζομενοι στατιστικες μεθοδους. Θεωρουμε οτι οι διακυμανσεις των μεγεθων της ροης χαρακτηριζονται απο την παρουσια τοσων πολλων διαφορετικων κλιμακων στον χωρο, ωστε να μπορουν να θεωρηθουν σαν «τυχαιες», παρα το γεγονος οτι ικανοποιουν τις εξισωσεις κινησης. Θεωρουμε κατα συνεπεια οτι επαναληψεις του ιδιου πειραματος οδηγουν σε διαφορετικα μεγεθη ροης καθε φορα.

Βασικη στην στατιστικη θεωρια ειναι η παρατηρηση οτι, ενω σε τα στιγμιαια χαρακτηριστικα της τυρβης επηρρεαζονται απο τυχαια συμβαντα και ειναι διαφορετικα σε επαναληψεις του ιδιου πειραματος, τα μεσα χαρακτηριστικα ειναι ταυτοσημα σε επαναληψεις του ιδιου πειραματος. Παρ’οτι δεν υπαρχει μαθηματικη αποδειξη της παρατηρησης, αυτης, τα πειραματα την επιβεβαιωνουν, και ειναι γενικα παραδεκτη.

Μεχρι τωρα μεταχειριστηκαμε σαν μεση ποσοτητα τον χρονικο μεσο ορο αυτης της ποσοτητας. Η χρηση του χρονικου μεσου ορου εμπεριεχει την υποθεση οτι η ποσοτητα ειναι «στασιμη» χρονικα, δηλαδη οτι ο μεσος ορος που υπολογιχουμε δεν εξαρταται απο την χρονικη στιγμη που αρχιζουμε τις μετρησεις.. Σε πολλες περιπτωσεις αυτη η παραδοχη ειναι βασιμη, οπως στις τυρβωδεις ροες που αναλυσαμε στα προηγουμενα κεαφαλαια. Σε αλλες περιπτωσεις ομως δεν ισχυει, οπως για παραδειγμα στην περιπτωση οπου τυρβωδης ροη δημιουργειται με αναμειξη και στην συνεχεια αποσβενυται χρονικα. Για τις περιπτωσεις αυτες μεταχειριζομαστε ενα διαφορετικο μεσο ορο, στηριγμενο στην θεωρια πιθανοτητων. (Υποθετουμε οτι ο αναγνωστης εχει βασικες γνωσεις θεωριας πιθανοτητων).

Σε αντιστοιχια με τα προαναφερθεντα, θεωρουμε οτι το πεδιο ταχυτητων ειναι τυχαιο (με την εννοια που αναφεραμε παραπανω) και οριζουμε ενα αφηρημενο χωρο πιθανοτητων Ω. Καθε σημειο ω αυτου του χωρου αντιστοιχει και μια

51

πραγματοποιηση του πεδιου ροης (ας πουμε ενα πειραμα στο οποιο μετρησαμε το πεδιο ροης). Ενδεικτικα θα παριστανουμε την ταχυτητα ως εξης:

(Θα παραλειπουμε ομως χαριν συντομιας στην γραφη την εξαρτηση απο το πειραμα οταν δεν υπαρχει φοβος συγχυσης). Θεωρουμε δηλαδη οτι η ταχυτητα εξαρταται παραμετρικα απο το πειραμα. Ειναι φυσικα δυνατο δυο (η και περισσοτερα) διαφορετικα πειραματα να δοσουν το ιδιο ακριβως πεδιο ταχυτητων. Δεν ειναι ομως και πολυ «πιθανο».

Σε καθε πειραμα ω αντιστοιχουμε τον μη αρνητικο αριθμο P(ω) που ονομαζουμε πιθανοτητα του ω, με την ιδιοτητα:

Ενα «γεγονος» Ε συνδεεται με ενα υποσυνολο Α του χωρου Ω. Παραδειγμα ενος γεγονοτος ειναι το να βρεθει το μεγεθος των συνιστωσων της ταχυτητας μεταξυ δυο προκαθορισμενων οριων. Η πιθανοτητα ενος γεγονοτος Ε οριζεται ως εξης:

Με βαση τα ανωτερω (και την θεωρια ολοκληρωσης κατα Lebesgue) οριζουμε σαν μεση τιμη η αναμενομενη τιμη ενος οποιουδηποτε μεγεθους Χ που προκυπτει απο τα πειραματα (π.χ. η ταχυτητα) ως εξης:

Η αναμενομενη τιμη που ορισαμε (που θα την αναφερουμε και σαν μεση τιμη) εχει τις ιδιοτητες που εχει ο χρονικος μεσος ορος (κεφαλαιο 2.1), με την σημαντικη διαφορα οτι οι μεσες ποσοτητες ειναι συναρτησεις και του χρονου. Εχει το επιπλεον πλεονεκτημα οτι δεν απαιτει «στασιμοτητα» του πεδιου ροης. Εχει ομως και το μειονεκτημα οτι η συναρτηση P ειναι αγνωστη. Τα αποτελεσματα ομως της θεωριας που παρουσιαζουμε δεν εξαρτωνται απο την συναρτηση P. Οι παραπανω ορισμοι μας δινουν ενα γονιμο ενοιολογικο πλαισιο στο οποιο μπορουμε να στηριξουμε την θεωρια της τυρβης. Σημειωνουμε οτι ο χρονικος μεσος ορος που εχουμε μεταχειριστει στα προηγουμενα κεφαλαια μπορει να προκυψει και απο τον ανωτερω ορισμο αν επιλεξουμε σαν συναρτηση Ρ το ποσοστο του χρονου κατα το οποιο το μεγεθος που θεωρουμε εχει τιμη μικροτερη απο καποια τιμη Χ (αυτο αφηνεται σαν ασκηση).

Η τυρβωδης ροη λεγεται ομοιογενης εαν τα μεσα μεγεθη της ροης δεν εξαρτωνται απο την θεση στην οποια βρισκομαστε. Ισοδυναμα μπορουμε να πουμε οτι η τυρβωδης ροη λεγεται ομοιογενης εαν τα μεσα μεγεθη της ροης παραμενουν αναλλοιωτα σε παραλληλες μετατοπισεις των αξονων του συστηματος αναφορας.

52

Η τυρβωδης ροη λεγεται ισοτροπικη, εαν εαν σε καθε σημειο τα μεσα μεγεθη της ροης παραμενουν αναλλοιωτα σε οποιαδηποτε περιστροφη η κατοπτρισμο των αξονων του συστηματος αναφορας. Αμεση συνεπεια της ισοτροπιας ειναι οτι η μεση ταχυτητα ειναι μηδεν. Επισης επειδη τα μεσα μεγεθη της ροης μενουν αναλλοιωτα σε μια περιστροφη κατα ενενηντα μοιρες, η ενταση των διακυμανσεων της τυρβης ειναι η ιδια σε ολες της κατευθυνσεις:

Αντιστοιχα, σε μια περιστροφη των αξονων κατα ενενηντα μοιρες γυρω απο τον αξονα των z η ισοτροπια της ροης απαιτει , και κατα συνεπεια . Θεωρωντας περιστροφες γυρω απο τους δυο αλλους αξονες καταληγουμε στο οτι ολες οι εκτος διαγωνιου τασεις του Reynolds μηδενιζονται::

Κατα συνεπεια, σε ισοτροπικη τυρβη ο τανυστης των τασεων Reynolds εχει μονο μια ανεξαρτητη συνιστωσα, η οποια ειναι ιση με το τετραγωνο της εντασης της τυρβης. Ο μηδενισμος των

Ο τανυστης συσχετισης δυο σημειων Α και Β με διανυσματα θεσης και οριζεται ως εξης:

Ο τανυστης στην εξισωση (6.1.1) λεγεται τανυστης συσχετισης γιατι εκφραζει ποσο καλα συσχετισμενες για μεγαλο χρονικο διαστημα ειναι οι συνιστωσες ι και k των διακυμανσεων της ταχυτητας στα δυο σημεια. Α και Β. Οταν οι συνιστωσες της ταχυτητας δεν ειναι καλα συσχετισμενες, π.χ. η διακυμανση της ταχυτητας στο Β ειναι αρνητικη οταν στο Α ειναι θετικη, και αντιστροφα, οι συναρτησεις θα εχουν μικρη τιμη. Εαν οι διακυμανσεις της ταχυτητας ειναι τελειως ασυσχετιστες μεταξυ τους οι συσχετισεις θα ειναι μηδεν. Σε τυρβωδη ροη η συσχετιση μειωνεται οταν η αποσταση των δυο σημειων αυξανεται. Η μεγιστη συσχετιση επιτυγχανεται οταν τα δυο σημεια Α και Β συμπιπτουν, οποτε ο τανυστης συσχετισης ταυτιζεται με τον τανυστη των τασεων του Reynolds.

Οταν η τυρβη ειναι ομοιογενης, ο τανυστης R εξαρταται μονο απο την διανυσματικη αποσταση των δυο σημειων Α και Β. Αν η τυρβη ειναι επιπλεον και ισοτροπικη, ο τανυστης R εξαρταται μονο απο την απολυτη τιμη του διανυσματος ΑΒ. Σε ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη ολες οι συνιστωσες του τανυστη R μπορουν να εκφραστουν συναρτησει των εξης δυο ποσοτητων:

53

και

οπου ειναι, αντιστοιχα, η προβολη της ταχυτητας πανω στην ευθεια ΑΒ και σε επιπεδο καθετο προς την ΑΒ.

Για ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη οι συναρτησεις συσχετισης διδονται απο την εξης σχεση:

οπου ειναι ο μοναδιαιος τανυστης και ειναι οι συνιστωσες του μοναδιαιου διανυσματος κατα την κατευθυνση ΑΒ. Βλεπουμε δηλαδη οτι οι συναρτησεις συσχετισης δεν εξαρτωνται κατ’ευθειαν απο το συστημα συντεταγμενων, εξαρτωνται μονο απο την αποσταση των δυο σημειων απο το μοναδιαιο διανυσμα στην κατευθυνση ΑΒ και απο τον μοναδιαιο τανυστη. Αν παρουμε το οριο της εξισωσης (6.3.4) οταν καταληγουμε , που δεν ειναι τιποτε αλλο απο την συνθηκη ισοτροπιας του τανυστη των τασεων Reynolds.

Η ομοιογενης και ισοτροπικη τυρβη ειναι μια εξιδανικευμενη εννοια. Υπαρχουν περιπτωσεις οπου η τυρβη προσεγγιζει αυτες τις ιδιοτητες οπως π.χ. η τυρβη που δημιουργειται οταν συρουμε στο νερο ενο πολυ λεπτο κοσκινο. Υπαρχει φυσικα η περιπτωση η ροη να εχει μερικα μονο αυτες τις ιδιοτητες, π.χ. να ειναι ομοιογενης και ισοτροπικη στις κατευθυνσεις x,y μονο. Αυτο συμβαινει για παραδειγμα σε ροη αναμεσα σε δυο παραλληλες πλακες, οπου η ροη ειναι ομοιογενης και ισοτροπικη σε επιπεδα παραλληλα προς τις πλακες.

Ασκηση: Για ροες που ειναι στατιστικα ομοιογενεις σε επιπεδα παραλληλα μεταξυ τους (π.χ. επιπεδα καθετα στον αξονα των z), μεταχειριζομαστε τον ακολουθο μεσο ορο:

οπου Α ειναι μια περιοχη στο επιπεδο x-y εξω απο την οποια υπαρχουν συνθηκες οιοιομορφης ροης. Για ροη με μεση ταχυτητα παραλληλη προς τον αξονα των x να αποδειχθει οτι η μοναδικη συνιστωσα της μεσης ταχυτητας που ειναι μη μηδενικη ειναι παραλληλη προς τον αξονα των x, και οτι η ταση Reynolds 2- 3 ειναι μηδεν.

Λυση: Σημειωνουμε κατ’αρχην οτι εξ ορισμου ολα τα μεσα μεγεθη ειναι συναρτησεις των z,t μονο. Η μεση ταχυτητα στην y κατευθυνση ειναι λογω συμμετριας μηδεν. Για την μεση ταχυτητα στην z κατευθυνση παιρνουμε τον μεσο ορο της εξισωσης συνεχειας που μας δινει:

Δηλαδη η συνιστωσα ειναι ανεξαρτητη και απο το z, και μια που μηδενιζεται στα ορια του πεδιου ειναι παντου μηδεν.

54

Σημειωνουμε επισης οτι λογω της υποθεσης μας οτι εξω απο την περιοχη Α υπαρχουν συνθηκες οιοιομορφης ροης, και απο τον ορισμο του μεσου ορου, προκυπτει οτι ο μεσος ορος οποιασδηποτε παραγωγου συνιστωσας ταχυτητας ως προς x η ως προς y ειναι μηδεν. Κατοπιν αυτου παιρνουμε τον μεσο ορο της εξισωσης κινησης στην y κατευθυνση και, με χρηση της εξισωσης συνεχειας, καταληγουμε στην ακολουθη σχεση:

Βλεπουμε δηλαδη οτι η ταση 2-3 ειναι ανεξαρτητη απο το z. Δεδομενου οτι η ταση 2-3 θα μηδενιζεται στα ακρα του πεδιου ροης, συμπεραινουμε οτι ειναι παντου μηδεν.

6.2 Οι μικρο-κλιμακες της τυρβης

Οποιαδηποτε τυρβωδης ροη περιεχει μεγαλο αριθμο δινων με πολυ διαφορετικες διαστασεις. (Σαν διασταση μιας δινης θερουμε την ταξη μεγεθους του μηκους που απαιτειται για να μεταβληθει σημαντικα η ταχυτητα). Οπως συμβαινει και σε αλλες περιοχες της Φυσικης, οντοτητες με πολυ διαφορετικες διαστασεις κυριαρχουνται απο πολυ διαφορετικα φαινομενα: Υπαρχουν οι μεγαλες δινες που περιεχουν το μεγαλυτερο ποσοστο ενεργειας της ροης και χαρακτηριζονται απο ελαχιστη αποσβεση ενεργειας, και, δινες με πολυ μικρες διαστασεις και ταχυτητες που περιεχουν ελαχιστη ενεργεια και χαρακτηριζονται απο υψηλη αποσβεση ενεργειας, Υπαρχει και μεγαλος αριθμος δινων με διαστασεις ενδιαμεσες στις δυο ακραιες περιπτωσεις. Οι μεγαλες δινες δινουν ενεργεια στις αμεσως μικροτερες τους δινες, αυτες στις αμεσως μικροτερες τους, και ουτω καθ’ εξης μεχρι τις ελαχιστες δινες της ροης. Δημιουργειται δηλαδη μια ιεραρχικη ροη ενεργειας απο τις μεγιστες δινες προς τις ελαχιστες δινες της ροης, η οποια ροη συντηρει το φαινομενο της τυρβης.

Στο κεφαλαιο αυτο θα εκτιμησουμε την ταξη μεγεθους των μικροτερων (ελαχιστων) δινων της ροης. Για ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη η θεωρια [Κ41] υποθετει οτι η αποσβεση ισχυος ανα μοναδα μαζας, που συμβολιζεται με ε, ειναι σταθερη. Η υποθεση αυτη, αν και καπως αυθαιρετη, ειναι συνεπης με την υποθεση οτι η τυρβη ειναι ομοιογενης. Η διασταση των μικροτερων δινων της ροης, εστω ξ, εξαρταται απο την κινηματικη συνεκτικιτητα του ρευστου ν (διαστασεις ) και την αποσβεση ε (διαστασεις ). Απο διαστατικη αναλυση τοτε συμπεραινουμε οτι:

Οπου C ειναι μια σταθερα. Αυτο μας δινει την ακολουθη εκφραση για την ταξη μεγεθους του ξ:

55

Η διασταση ξ λεγεται διασταση του Kolmogorov και εκφραζει την διασταση της μικροτερης δινης που επηρρεαζει δυναμικα την ροη. Δινες με διασταση μικροτερη απο ξ εκμηδενιζονται απο το ιξωδες του ρευστου.

Ομοιως (δηλαδη με διαστατικη αναλυση) εχουμε τις ακολουθες εκφρασεις για την χαρακτηριστικη ταχυτητα v και χαρακτηριστικο χρονο τ των μικρων δινων:

Τωρα θα μεταχειριστουμε την εξισωση (6.2.2) για εκτιμησουμε τον αριθμο των βαθμων ελευθεριας μιας τυρβωδους ροης, κανοντας την φυσικη επιλογη να ορισουμε σαν εκτιμησουμε τον αριθμο των βαθμων ελευθεριας τον λογο της διαστασης των μεγαλων δινων προς την διασταση των ελαχιστων δινων.

Υποθετουμε οτι η αποσβεση ισχυος ανα μοναδα μαζας ε προσδιοριζεται απο την χαρακτηριστικη ταχυτητα u και χαρακτηριστικο μηκος L των μεγαλων δινων. Η υποθεση αυτη ειναι συνεπης με την βασικη ιδεα της ροης ενεργειας απο τις μεγαλες δινες προς τις μικροτερες: Η ισχυς που αποσβενυται ειναι αναλογη με την ισχυ που ειναι διαθεσιμη στις μεγαλες δινες, η οποια προσδιοριζεται απο τις παραμετρους u,και L.

Διαστατικη αναλυση του προβληματος μας δινει οτι η ποσοτητα ε δινεται απο την ακολουθη εκφραση:

Συνδυαζοντας τις εκφρασεις (6.2.2) και (6.2.4) παιρνουμε την ακολουθη σχεση αναμεσα στην διασταση των μικρων και στην διασταση των μεγαλων δινων:

Οπου Re ειναι ο αριθμος του Reynolds βασισμενος στην χαρακτηριστικη ταχυτητα και διασταση των μεγαλων δινων:

Ομοιως παιρνουμε τις ακολουθες σχεσεις αναμεσα στις χαρακτηριστικες ταχυτητες και χρονους μικρων/μεγαλων δινων:

56

Οι εξισωσεις (6.2.5), (6.2.7a) μας εξηγουν γιατι ειναι αδυνατη η αυστηρη προσομοιωση ροων με με μεγαλο αριθμο Reynolds. Για να προσομοιωσουμε μια τετοια ροη πρεπει η διασταση του υπολογιστικου πεδιου να ειναι τουλαχιστον ιση με την διασταση των μεγαλων δινων. Αντιστοιχα το βημα του υπολογιστικου πλεγματος πρεπει να ειναι το πολυ ισο με την διασταση των μικρων δινων. Δεδομενου οτι η ροη ειναι τριδιαστατη παιρνουμε τον ακολουθο ελαχιστο αριθμο σημειων Ν:

Αντιστοιχα, δεδομενου οτι η ροη ειναι μη μονιμη και πρεπει οι εξισωσεις κινησης να ολοκληρωθουν χρονικα, πρεπει να μεταχειριστουμε ενα βημα ολοκληρωσης μικροτερο απο τον χαρακτηριστικο χρονο των μικροτερων δινων του συστηματος. Η προσομοιωση πρεπει να διαρκεσει τουλαχιστον ισο με τον χαρακτηριστικο χρονο των μεγαλων δινων. Κατα συνεπεια χρειαζομαστε να εκτελεσουμε (η μαλλον ο υπολογιστης μας χρειαζεται να εκτελεσει) τον ακολουθο αριθμο βηματων:

Για παραδειγμα ας θεωρησουμε μια ροη με αριθμο Reynolds δεκα στην δωδεκατη. (Σε γεωφυσικες ροες ο αριθμος αυτος δεν ειναι ιδιαιτερα ασυνηθιστος). Η εξισωση (6.2.8) μας δινει ενα αριθμο σημειων της ταξεως του δεκα στην εικοστη εβδομη. Για καθε σημειο εχουμε τουλαχιστον τρεις ταχυτητες και μια πιεση. Ακομη και με single precision βρισκουμε σαν απαιτουμενη μνημη RAM 32 φορες επι το δεκα στην εικοστη εβδομη Gigabytes. Η μνημη αυτη ξεπερνα κατα πολλες ταξεις μεγεθους την μνημη και των μεγαλυτερων υπερ-υπολογιστων που υπαρχουν. Ακομη πιο αποθαρρυντικο ειναι οτι, και αν ακομη μπορουσαμε να βρουμε την μνημη, ο χρονος υπολογισμου οπως προκυπτει απο την εξισωση (6.2.9), ακομη και με τους ταχυτερους υπερ-υπολογιστες, ανερχεται σε πολλες χιλιαδες αιωνες! (Αυτο αφηνεται σαν ασκηση). Ο μεγαλυτερος αριθμος Reynolds για τον οποιο εχουν γινει αυστηροι υπολογισμοι δεν ξεπερνα το 50,000, ανεπαρκης για πρακτικες εφαρμογες, αλλα επαρκης για να επαληθευσει τα αποτελεσματα της θεωριας [Κ41].

6.3 Συναρτησεις δομης-Τοπικα ισοτροπικη τυρβη

Για την στατιστικη περιγραφη τυρβωδων ροων μεταχειριζομαστε συνηθεστερα τις λεγομενες συναρτησεις δομης, που οριζονται σαν οι συνιστωσες του ακολουθου συμμετρικου τανυστη:

57

Οι συναρτησεις δομης δεν ειναι ανεξαρτητες απο τις συνιστωσες του τελεστη συσχετισης. Απο τον ορισμο τους οι δυο τανυστες συνδεονται με την σχεση:

Οπως και για τον τανυστη συσχετισεων, οταν η τυρβη ειναι ομοιογενης, ο τανυστης D εξαρταται μονο απο την διανυσματικη αποσταση των δυο σημειων Α και Β. Αν η τυρβη ειναι επιπλεον και ισοτροπικη, ο τανυστης D εξαρταται μονο απο την απολυτη τιμη του ΑΒ. Για ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη η σχεση αναμεσα στους τανυστες D, R γραφεται ως εξης:

Αφου οι τελεστες R και D εχουν αντιστοιχες ιδιοτητες, και συνδεονται μεταξυ τους, ανακυπτει τοτε το ερωτημα γιατι να προτιμησουμε τις συναρτησεις δομης απο τις συσχετισεις. Ο λογος ειναι ο εξης: Πραγματικες τυρβωδεις ροες, οπως για παραδειγμα τα θαλασσια ρευματα, δεν ειναι ποτε πραγματικα ομοιογενεις και ισοτροπικες (αρκει να σημειωσουμε οτι ομοιογενης ροη συνεπαγεται οτι και οι τρεις συνιστωσες της μεσης ταχυτητας ειναι ανεξαρτητες των συντεταγμενων ). Στις πραγματικες ροες υπαρχουν παντοτε ροικες μορφες μεγαλης κλιμακας οι οποιες επηρεαζονται απο τα ορια τις ροης, και προκαλουν ανομοιογενεια και ανισοτροπια στην ροη. Η διαφορα στις διακυμανσεις ταχυτητας αναμεσα σε δυο σημεια οφειλεται κυριως σε δινες με διαστασεις μικροτερες απο την αποσταση των δυο σημειων. Κατα συνεπεια αν η αποσταση αναμεσα στα δυο σημεια Α και Β δεν ειναι μεγαλη, η διαφορα ταχυτητας αναμεσα στο Α και στο Β οφειλονται σε μικρες δινες, οι οποιες μπορουν να θεωρηθουν ισοτροπικες. Οι συναρτησεις δομης ειναι δηλαδη πιο καταλληλες απο τις συσχετισεις για την περιγραφη τυρβωδων ροων που ειναι ισοτροπικες μονο τοπικα.

Για τοπικα ισοτροπικη τυρβη ασυμπιεστου ρευστου, ολες οι συναρτησεις δομης μπορουν να παραχθουν μονο απο την ακολουθη συναρτηση δομης:

Οπου ειναι η προβολη της ταχυτητας πανω στην ευθεια που ενωνει το σημειο Α με το Β.

58

Οριζουμε την συναρτηση δομης για την συνιστωσα της ταχυτητας καθετη στην αποσταση ΑΒ, δηλαδη:

οπου ειναι η συνιστωσα της ταχυτητας καθετη στην αποσταση ΑΒ.

Για τοπικα ισοτροπικη τυρβη ασυμπιεστου ρευστου ολες οι συνιστωσες του τανυστη συνδεονται με τις συναρτησεις και με την ακολουθη σχεση:

Οπου ειναι οι συνιστωσες του μοναδιαιου διανυσματος πανω στην ευθεια ΑΒ, ειναι ο τανυστης του Kronecker, και Για ισοτροπικη τυρβη ασυμπιεστου ρευστου η συναρτηση μπορει να εκφραστει συναρτησει της με την ακολουθη σχεση:

οποτε καταληγουμε στην ακολουθη εκφραση για τις συναρτησεις δομης:

Η αποδειξη της εξισωσης (5) ειναι λιγο μακροσκελης και την παραλειπουμε. (Οι ενδιαφερομενοι μπορουν να την βρουν στο κλασσικο βιβλιο του Batchelor, “The theory of homogeneous turbulence”, Cambridge University Press, 1953). Η εξισωση (5) δειχνει οτι ειναι αρκετη η γνωση μιας συναρτησης δομης (της ) για να βρουμε ολες τις συναρτησεις δομης ομογενους και ισοτροπικης τυρβης.

Οταν η αποσταση r αναμεσα στα δυο σημεια ειναι πολυ μικροτερη απο τις διαστασεις των μεγαλων δινων, η διαφορα ταχυτητας αναμεσα στα δυο σημεια δεν επηρεαζεται απο τις μεγαλες δινες της ροης. Αν επιπλεον το r ειναι πολυ μεγαλυτερο απο την μικροκλιμακα ξ, η διαφορα ταχυτητας αναμεσα στα δυο σημεια επηρεαζεται μονο απο τις ισοτροπικες δινες της ροης οι οποιες δεν εξαρτωνται απο το ιξωδες του ρευστου. Μπορουμε τοτε να υποθεσουμε οτι η συναρτηση εξαρταται μονο απο

59

την αποσβεση ισχυος ανα μοναδα μαζας ε και την αποσταση r. Διαστατικη αναλυση μας δινει την ακολουθη σχεση:

Οπου C ειναι μια αδιαστατη σταθερα η οποια εχει ταξη μεγεθους μοναδα. Η εξισωση (6.3.3) ανακαλυφθηκε απο τους Kolmogorov και Obukhov και λεγεται «νομος των δυο τριτων», και εχει επαληθευθει πειραματικα. Μετρησεις τυρβης στα χαμηλα στρωματα της ατμοσφαιρας δειχνουν οτι ο νομος των δυο τριτων ισχυει για αποστασεις της ταξης απο εκατοστα μεχρι μετρα. Μετρήσεις σε τυρβώδες οριακό στρώμα δείχνουν ότι η τιμή της σταθεράς C είναιίση με δύο

Ενα αξιοσημειωτο χαρακτηριστικο της εξισωσης (6.3.6) ειναι οτι η συμπεριφορα της ειναι ανωμαλη οταν το r τεινει στο μηδεν. Βεβαια η (6.3.6) παυει να ισχυει οταν το r γινει συγκρισιμο με το ξ. Για πολυ μικρα r, μπορουμε να γραψουμε:

Οπου a ειναι ενα σταθερο διανυσμα με διαστασεις 1/Τ. Κατα συνεπεια, απο τον ορισμο (6.3.4) συμπεραινουμε οτι:

Οπου α ειναι μια θετικη σταθερα. Κατα συνεπεια η συναρτηση ειναι τελικα αναλυτικη στο r=0. Το γεγονος ομως οτι η εξισωση (6.3.6) ισχυει για μικρες τιμες του r (υπενθυμιζουμε οτι για μεγαλους αριθμους Reynolds η διασταση ξ ειναι παρα πολυ μικρη) ειναι μια ενδειξη οτι το τυρβωδες πεδιο ροης ειναι «κατσαρο». Πραγματι, αριθμητικες προσομοιωσεις τυρβωδων ροων δειχνουν μια εξαιρετικα περιπλοκη γεωμετρια των επιφανειων στροβιλοτητας. Αυτη η διαπιστωση εχει οδηγησει στην χρηση εννοιων απο fractal geometry για την περιγραφη του πεδιου ροης.

Αντικαθιστώντας την (6.3.8) στην εξισωση (6.3.3) προκυπτει οτι για μικρα r εχουμε:

Θετοντας εχουμε:

Παραγωγίζουμε ως προς . Αυτο μας δινει

60

Λογω ομοιογενειας της τυρβης εχουμε οτι . Κατα συνεπεια:

Παραγωγιζουμε τωρα ως προς οποτε εχουμε οτι:

Λογω ομοιογενειας της τυρβης εχουμε οτι . Οποτε παρατηρωντας οτι εξ ορισμου , προπκυπτει:

Αθροιζουμε πρωτα ως προς τον δεικτη και υστερα ως προς τον δεικτη και καταληγουμε οτι:

Παιρνουμε το οριο οταν . Το αριστερο μελος της εξισωσης ειναι οπως ειδαμε στην εισαγωγη η μεση αποσβεση ενεργειας ανα μοναδα μαζας, ειναι δηλαδη η παραμετρος ε της θεωριας του Kolmogorov. Καταληγουμε επομενως στην σχεση:

Οποτε η (6.3.8) γραφεται ως εξης:

.

Οι συναρτησεις δομης εχουν παραβολικη μορφη για μικρες αποστασεις αναμεσα στα σημεια Α και Β, ενω οι τιμες τους αυξανουν αναλογα με για αποστασεις μεγαλυτερες απο την κλιμακα του Kolmogorov. Τελος για διαστασεις συγκρισιμες με την διασταση των μεγαλων δινων η τυρβη δεν ειναι ισοτροπικη και δεν υπαρχει γενικη εκφραση για την συναρτηση δομης που να καλυπτει ολες τις ροες. Για μεγαλες τιμες του r η συναρτηση δομης εχει μορφη που εξαρταται απο την συγκεκριμενη ροη.

61

Απο τις εξισωσεις (6.3.6) και (6.3.9) μπορουμε να παρουμε μια ακριβεστερη εκφραση για την κλιμακα Kolmogorov. Οριζουμε σαν την κλιμακα ξ την αποσταση στην οποια οι δυο εκφρασεις γινονται ισες

Αυτο μας δινει την ακολουθη εκφραση για το ξ:

Η σταθερα C μπορει να προσδιοριστει πειραματικα οπως και η μεση αποσβεση ισχυος ε.

6.4 Το φασμα της τυρβης

Για ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη οι συνημιτονικοι μετασχηματισμοι Fourier των συνιστωσων του τανυστη συναρτησης συσχετισης λεγονται φασματικες συναρτησεις

Οπου k ειναι η μεταβλητη του μετασχηματισμου Fourier, που λεγεται κυματαριθμος. Οι συναρτησεις οριζονται οπως στην εξισωση (6.4.1α) μονο για ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη. Εαν η ροη δεν ειναι ισοτροπικη, οι συνιστωσες του R εξαρτωνται απο το διανυσμα , και χρειαζεται να καταφυγουμε σε τριδιαστατους μετασχηματισμους Fourier.

Η μεση κινητικη ενεργεια των διακυμανσεων της τυρβης δινεται απο την ακολουθη σχεση:

Οπου η συναρτηση Φ λεγεται φασμα, και οριζεται ως εξης:

62

Φυσικη ερμηνεια της εξισωσης (6.4.3) ειναι οτι η μεση κινητικη ενεργεια των διακυμανσεων της τυρβης σε καθε σημειο ειναι το αθροισμα της κινητικης ενεργειας απο δινες διαφορων μεγεθων. Η συνεισφορα της δινης με διασταση 2π/k ειναι η αντιστοιχη τιμη του φασματος Φ(k). Η θεωρια [Κ41] δινει μια γενικη εκφραση για την μορφη του φασματος για πληρως ανεπτυγμενη τυρβωδη ροη.

Οπως υποθεσαμε η αποσβεση ενεργειας γινεται σχεδον αποκλειστικα στις ελαχιστες δινες του συστηματος. Κατα συνεπεια για διαστασεις πολυ μεγαλυτερες απο την διασταση του Kolmogorov, αλλα πολυ μικροτερες απο τις μεγαλες δινες του συστηματος μπορουμε να υποθεσουμε οτι η τιμη του φασματος εξαρταται μονο απο την παραμετρο ε και απο την διασταση της δινης, η ισοδυναμα, απο τον κυματαριθμο k. Τοτε η διαστατικη αναλυση μας δινει την ακολουθη εκφραση για το φασμα:

Οπου Α ειναι σταθερα. Η εξισωση (6.2.4) ειναι ο «νομος των πεντε τριτων», η φασμα του Kolmogorov, και εχει επαληθευθει πειραματικα και με αριθμητικους υπολογισμους. Ο νομος των 5/3 χαρακτηριζεται σαν παγκοσμιος επειδη ειναι ιδιοτητα ολων των ροων με πληρως ανεπτυγμενη τυρβη.

Δινες με διασταση συγκρισιμη με αυτη των μεγαλων δινων επηρεαζονται απο τις οριακες συνθηκες της ροης,. Κατα συνεπεια η περιοχη του φασματος που αντιστοιχει στις μεγαλες δινες δεν ακολουθει τον νομο των πεντε τριτων. Το φασμα στην περιοχη των μεγαλων δινων διαφερει απο ροη σε ροη, δεν ειναι δηλαδη παγκοσμια. Αντιστοιχα, για δινες με διασταση μικροτερη απο την διασταση Kolmogorov η τιμη του φασματος μειωνεται εκθετικα. Η περιοχη αυτη του φασματος λεγεται περιοχη ισορροπιας (equilibrium range). Τελος η περιοχη που ισχυει ο νομος των πεντε τριτων λεγεται αδρανειακη περιοχη του φασματος (inertial range).

Η ακολουθη εκφραση καλυπτει και τις τρεις περιοχες του φασματος, δηλαδη την περιοχη των μεγαλων δινων, την αδρανειακη περιοχη, και την περιοχη ισορροπιας:

Η συναρτηση χ(kL) περιγραφει το φασμα για μικρους κυματαριθμους (μεγαλες δινες), και τεινει σε μια σταθερα για τιμες του kL πολυ μικροτερες απο την μοναδα. H συναρτηση) ψ(kξ) περιγραφει το φασμα για μεγαλους κυματαριθμους (μικρες δινες τεινει σε αλλη σταθερα για τιμες του kξ πολυ μεγαλυτερες απο την μοναδα. Το γινομενο των δυο σταθερων ειναι αναλογο με την μεση αποσβεση ισχυος ε στην δυναμη 1/3. Ετσι για kL >> 1 και kξ <<1 η εξισωση (6.4.5) αναγεται στον νομο των πεντε τριτων (6.4.4).

Ενα παραδειγμα φασματος που εχει ομαλη συμπεριφορα για ολες τις τιμες του κυματαριθμου ειναι η ακολουθη συναρτηση:

63

Η εξισωση (6.4.6) λεγεται φασμα της συναρτησης Von Karman. Η σταθερα L ειναι η χαρακτηριστικη διασταση των μεγαλων δινων. Η εξισωση (6.4.11) για kL>>1 αναγεται στο φασμα του Kolmogorov, και παραμενει πεπερασμενη για k=0.

Το φασμα του Kolmogorov εχει επαληθευθει πειραματικα και με αριθμητικες προσομοιωσεις. Ενδεικτικα παραθετουμε το πειραματικα μετρημενο φασμα των διακυμανσεων ταχυτητας απο τυρβωδη φλεβα που δειχνει καθαρα ολες τις περιοχες του φασματος που συζητησαμε.

Εικονα 6.4.1: Φασμα των διακυμανσεων ταχυτητας σε τυρβωδη φλεβα.. Οι κλιμακες και των δυο αξονων ειναι λογαριθμικη. Το αδρανειακο τμημα του φασματος παρουσιαζεται σαν ευθεια γραμμη με κλιση –5/3. Ο κυματαριθμος της κλιμακας Kolmogorov ( ) επισης σημειωνεται. (Πειραματα απο Champagne, 1979).

Τελος σημειωνουμε την σχεση αναμεσα στις συναρτησεις δομης και στο φασμα της, τυρβης. Απο την εξισωση (6.3.5) παιρνουμε την ακολουθη σχεση:

64

Απο τις εξισωσεις (6.3.3) και (6.4.2) καταληγουμε στην ακολουθη σχεση:

Ισοδυναμα (εξισωση (6.4.6)) εχουμε οτι:

Σημειωνουμε οτι το ολοκληρωμα στις (6.4.7), (6.4.8) συγκλινει αν αντικαταστησουμε στην (6.4.8) την εκφραση (6.4.4) για την αδρανειακη περιοχη του φασματος. και χωρις την εξομαλυνση του φασματος για μικρες και τις μεγαλες τιμες του κυματαριθμου. Αν αντικαταστησουμε την (6.4.4) στην (6.4.8) και θεσουμε χ=kr καταληγουμε στην ακολουθη εκφραση:

Η σταθερα q στην εξισωση (6.4.9) εχει την ακολουθη τιμη:

Δηλαδη επαληθευουμε τον νομο των δυο τριτων για την συναρτηση δομης. Συγκρινοντας την (6.4.9) με την (6.3.7) βρισκουμε την ακολουθη σχεση αναμεσα στις σταθερες A,C.

Η τιμή αυτή διαφέρει αρκετά από πειραματικές μετρήσεις αφού q=2. Η διαφορά οφείλεται στο ότι λάβαμε υπόψη μόνο την αδρανειακή περιοχή της ροής.

Η παραπανω επαληθευση εχει νοημα για τυρβωδεις ροες με πολυ μεγαλο αριθμο Reynolds, οπου η αδρανειακη περιοχη καλυπτει το μεγαλυτερο μερος του φασμαπτος και η συνεισφορα απο την υπερυθρη και την υπεριωδη περιοχη του φασματος στο ολοκληρωμα της (6.4.8) μπορει να αγνοηθει.6.5. Σημειωση για τις τυρβωδεις ροες με μεση ταχυτητα

Η ομοιογενης και ισοτροπικη τυρβη αποσβενυται κατ’αναγκη με την παροδο του χρονου, αφου δεν υπαρχουν πηγες ενεργειας που να αντικαταστησουν την ενεργεια που καταστρεφεται απο την συνεκτικοτητα του ρευστου. Για ροες με μεση ταχυτητα που δεν ειναι σταθερη στον χωρο τα πραγματα αλλαζουν γιατι υπαρχουν ροικες

65

μορφες που θα παραχθουν αντλωντας ενεργεια απο την μεση ροη (οπως για παραδειγμα με τον μηχανισμο υδροδυναμικης ασταθειας Kelvin-Helmholtz). Οι ροικες μορφες αυτες ειναι βασικα ντετερμινιστικες. Πολλες μελετες εχουν αποδειξει οτι τα χαρακτηριστικα τους μπορουν να προβλεφθουν με (σχετικα) απλη αναλυση απο την θεωρια υδροδυναμικης ασταθειας. Οι ροικες μορφες που αντιστοιχουν σε δινες μικρων διαστασεων περιγραφονται απο την θεωρια των κεφαλαιων 6.3 και 6.4.

Υποθετουμε οτι υπαρχει ενα μηκος που χαρακτηριζει αυτες τις ροικες μορφες που παραγονται απο την μεση διατμηση. Το μηκος αυτο εξαρταται απο την μεση αποσβεση ισχυος ανα μοναδα μαζας ε (διαστασεις ) και απο την χαρακτηριστικη τιμη της μεσης διατμησης (διαστασεις ). Τοτε διαστατικη αναλυση μας δινει την ακολουθη ταξη μεγεθους για την κλιμακα μηκους

Η κλιμακα αυτη λεγεται κλιμακα του Corrsin και χαρακτηριζει την επιδραση της μεσης διατμησης στην τυρβη με την ακολουθη εννοια: Δινες με διαστασεις σημαντικα μικροτερες απο ειναι ισοτροπικες κατα την εννοια του κεφαλαιου 6.3. Δινες με διαστασεις μεγαλυτερες απο (η συγκρισιμες με ) κυριαρχουνται απο την μεση διατμηση.

Η επιδραση των μικρων δινων στις μεγαλες δινες μπορει να περιγραφει σαν φαινομενικη συνεκτικοτητα (η τυρβωδης συνεκτικοτητα, οπως την ονομασαμε στα προηγουμενα κεφαλαια). Αυτο φαινεται ιδιαιτερα καλα σε ελευθερες τυρβωδεις ροες. Μακρια απο το σημειο προελευσης τους η μεση διατμηση εχει μειωθει, οποτε οι υδροδυναμικες ασταθειες δεν παιζουν πια σημαντικο ρολο. Στην περιπτωση αυτη μπορουμε να προσδιορισουμε την μεση ροη μεταχειριζομενοι απλες εκτιμησεις της τυρβωδους δυνεκτικοτητας (κεφαλαιο 5). Η κλιμακα Corrsin στις ροες αυτες ισουται με την εγκαρσια χαρακτηριστικη διασταση της ροης. Οι τυρβωδεις ροες με διατμηση ειναι απλουστερες απο την εξιδανικευμενη ομοιογενη και ισοτροπικη τυρβη.

6.6 Τυρβη σε ροη με διαστρωματωση

Η ροη εχει διαστρωματωση οταν η πυκνοτητα του ρευστου δεν ειναι σταθερη. Αυτο συμβαινει συνηθεστατα στην θαλασσα, οπου λογω θερμοκρασιακης διαφορας αναμεσα στην επιφανεια και στον πυθμενα υπαρχει μεταβολη της πυκνοτητας του νερου με το βαθος. Η μεταβολη της πυκνοτητας εκφραζεται με την συχνοτητα ανωσης N (η αλλοιως συχνοτητα Brunt-Vaisala), που οριζεται ως εξης:

Οπου g ειναι η επιταχυνση της βαρυτητας, ρ η πυκνοτητα του ρευστου, και z ο κατακορυφος αξονας με θετικη φορα προς τα ανω. Το αρνητικο προσημο εμφανιζεται επειδη σε ρευστο με ευσταθη διαστρωματωση (οπου δηλαδη το βαρυτερο ρευστο ειναι απο κατω) . Η συχνοτητα ανωσης ειναι η συχνοτητα ελευθερων

66

ταλαντωσεων των σωματιδιων του ρευστου στην κατακορυφη διευθυνση. Οσο ισχυροτερη ειναι η διαστρωματωση τοσο μεγαλυτερη ειναι και η συχνοτητα ανωσης,

Η διαστρωματωση περιοριζει τις κατακορυφες διακυμανσεις της ταχυτητας, επειδη κατακορυφες ταλαντωσεις των σωματιδιων του ρευστου συνεπαγονται μεταβολες της δυναμικης ενεργειας, εκτος απο τις πολυ μικρες κλιμακες οπου οι μεταβολες της δυναμικης ενεργειας ειναι αμελητεες. Εξ αιτιας της διαστρωματωσης οι οριζοντιες ταλαντωσεις της ταχυτητας γινονται μεγαλυτερες απο τις κατακορυφες, και οι αξονες περιστροφης των δινων τεινουν να γινουν κατακορυφοι. Κατα συνεπεια η διαστρωματωση καταστρεφει την ισοτροπια της τυρβης εκτος απο τις μικρες κλιμακες.

Με την βοηθεια της διαστατικης αναλυσης μπορουμε να εκτιμησουμε την ταξη μεγεθους των κλιμακων που επηρρεαζονται απο την διαστρωματωση. Εστω η ζητουμενη χαρακτηριστικη κλιμακα μηκους πανω απο την οποια η διαστρωματωση γινεται αισθητη. Υποθετουμε οτι εξαρταται μονο απο την μεση αποσβεση ισχυος ανα μοναδα μαζας ε, και απο την συχνοτητα ανωσης,. Κατα συνεπεια απο διαστατικη αναλυση προκυπτει η ακολουθη σχεση:

Δινες με χαρακτηριστικη διασταση πολυ μικροτερη απο δεν επηρρεαζονται απο την διαστρωματωση, και περιγραφονται απο την θεωρια των κεφαλαιων 6.3 και 6.4. Δινες με χαρακτηριστικη διασταση συγκρισιμη η μεγαλυτερη απο επηρρεαζονται απο την διαστρωματωση. Η συμπεριφορα τους μοιαζει με αυτη των εσωτερικων κυματων βαρυτητας (internal gravity waves). Η κλιμακα λεγεται κλιμακα του Ozmidov.

Συνηθεστατα οι ροες στην θαλασσα εχουν επιπλεον μεση ταχυτητα με σημαντικη διατμηση.στην κατακορυφη κατευθυνση:

Η διατμηση ενεργει αντιθετα απο την διαστρωματωση επειδη προσφερει ενεργεια σε δινες με οριζοντιο αξονα περιστροφης μεσω του μηχανισμου υδροδυναμικης ασταθειας. Η σχετικη σημασια διατμησης και διαστρωματωσης εκτιμαται με τον αριθμο του Richardson, Ri, που οριζεται σαν το τετραγωνο του λογου της συχνοτητας ανωσης προς την μεση διατμηση :

Για τιμες του Ri μικροτερες απο 0.25 η διατμηση κυριαρχει, και παραγει μεσω υδροδυναμικης ασταθειας δινες με αξονα περιστροφης οριζοντιο. Εαν η περιοχη μεγιστης διατμησης βρισκονται κοντα στην επιφανεια της θαλασσας, οι δινες αυτες

67

προκαλουν επιφανειακα κυματα. Αντιθετα για τιμες του Ri μεγαλυτερες απο 0.25 η ροη ειναι υδροδυναμικα ευσταθης και η διαστρωματωση κυριαρχει.

Σε διαστρωματωμενες ροες η πυκνοτητα παρουσιαζει διακυμανσεις χρονικα και χωρικα. Η εξισωση συνεχειας για μεταβλητη πυκνοτητα ειναι (με τανυστικο συμβολισμο):

Μπορουμε να γραψουμε για την πυκνοτητα οπως καναμε και για την ταχυτητα:

Αντικαθιστουμε στην εξισωση συνεχειας και παιρνουμε τον μεσο ορο. Αυτο μας δινει την ακολουθη εξισωση για την μεση πυκνοτητα:

Το διανυσμα με συνιστωσες ειναι αναλογο με τον τανυστη των τασεων στις εξισωσεις ορμης. Στην εξισωση συνεχειας ειναι διανυσμα επειδη η πυκνοτητα ειναι βαθμωτο μεγεθος.

Η συνιστωσα του διανυσματος στην κατακορυφη διευθυνση εχει ιδιαιτερο ενδιαφερον επειδη σχετιζεται με την μεταβολη της δυναμικης ενεργειας του ρευστου. Σε καθε σημειο η ποσοτητα εκφραζει την συσχετιση αναμεσα στις διακυμανσεις της ταχυτητας και της πυκνοτητας. Οπου αυτη ειναι θετικη σημαιναι οτι βαρυτερο ρευστο ανερχεται η ελαφρυτερο ρευστο κατερχεται, και κατα συνεπεια εχουμε αυξηση της δυναμικης ενεργειας. Το αντιστροφο συμβαινει αν η ποσοτητα ειναι αρνητικη. Οι κινησεις αυτες εχουν ιδιαιτερη σημασια στην θαλασσα οπου εχουν αναπτυχθει τεχνικες για την μετρηση τους.

6.7 Τυρβωδης αναμειξη διαλυτων ουσιων

Η αναμειξη διαλυτων ουσιων επιταχυνεται σημαντικα απο την ενεργεια των διακυμανσεων της τυρβης. Θεωρουμε μια διαλυτη ουσια με συγκεντρωση (δηλαδη μαζα ανα μοναδα μαζας ρευστου) . Η συγκεντρωση ειναι συναρτηση του χρονου και των τριων συντεταγμενων . Απο διατηρηση μαζας η συγκεντρωση ικανοποιει την ακολουθη εξισωση (τανυστικος συμβολισμος):

68

οπου ειναι ο συντελεστης μοριακης διαχυσης της ουσιας. Η αποδειξη ειναι τελειως αναλογη με την αποδειξη της εξισωσης συνεχειας.

Η ουσια λεγεται και παθητικη γιατι επηρρεαζεται παθητικα απο την κινηση του ρευστου, χωρις να επηρρεαζει με τη σειρα της την ροη. Μια ουσια μπορει να χαρακτηριστει παθητικη αν οι συγκεντρωσεις μαζας ειναι μικρες ωστε να μην μεταβαλλουν την πυκνοτητα του ρευστου αισθητα. Σε αντιθετη περιπτωση παυουν να συμπεριφερονται παθητικα γιατι επηρρεαζουν την δυναμικη του ρευστου μεσω της εξισωσης ορμης. Και η θερμοκρασια για μικρες διακυμανσεις (οπως για παραδειγμα αυτες που παρατηρουνται στην θαλασσα) μπορει να θεωρηθει οτι συμπεριφερεται σαν παθητικη διαλυομενη ουσια. Αυτο φυσικα παυει να ισχυει αν οι θερμοκρασιακες μεταβολες ειναι σημαντικες (π.χ. φαινομενο βρασμου).

Για τυρβωδη ροη αναλυουμε την ταχυτητα και την συγκεντρωση σε ενα μεσο και ενα διακυμενομενο μερος, δηλαδη

Αντικαθιστουμε τις (6.7.2) και (6.7.3) στην (6.7.1), παιρνουμε τον μεσο ορο της εξισωσης, και μεταχειριζομενοι οτι η ροη και η μεση ροη ειναι ασυμπιεστες, βρισκουμε οτι η μεση συγκεντρωση ικανοποιει την ακολουθη εξισωση τυρβωδους διαχυσης:

Ο ορος στο δευτερο μελος ειναι το αντιστοιχο των τασεων του Reynolds και οφειλεται στην τυρβωδη διαχυση της ουσιας απο τις διακυμανσεις τις ταχυτητας.

Κατ’ αναλογια με το τι καναμε στις εξισωσεις ορμης θετουμε αυτο τον ορο να ειναι αναλογος με το grad της συγκεντρωσης:

οπου ειναι ο συντελεστης τυρβωδους διαχυσης της ουσιας και οπως η τυρβωδης συνεκτικοτητα στις εξισωσεις ορμης ειναι αγνωστος.

Αφαιρουμε την (6.7.4) απο την (6.7.1) και βρισκουμε την εξισωση για τη διακυμανση της συγκεντρωσης:

69

Πολλαπλασιαζουμε την εξισωση (6.7.6) επι , και καταληγουμε στην ακολουθη εξισωση:

Για να καταληξουμε στην εξισωση (6.7.7) μεταχειριστηκαμε τις ακολουθες (λιγο ως πολυ προφανεις) σχεσεις:

Παιρνουμε τον μεσο ορο της εξισωσης (6.7.7) και μεταχειριζομενοι το γεγονος οτι

καταληγουμε στην ακολουθη εξισωση:

Ολοκληρωνουμε τωρα την εξισωση (6.7.8) στον ογκο στον οποιο γινεται η τυρβωδης αναμειξη και μεταχειριζομενοι το θεωρημα του Gauss καταληγουμε οτι:

οπου Α ειναι η επιφανεια που περικλειει τον ογκο V και ειναι το μοναδιαιο διανυσμα καθετο στην επιφανεια Α.Μπορουμε να υποθεσουμε οτι στα ορια του ογκου οι τυρβωδεις διακυμανσεις μηδενιζονται, οποτε αυτο μας δινει οτι:

70

οπου οριζεται ως εξης:

Η ποσοτητα ειναι ενα ποσοτικο μετρο των διακυμανσεων της συγκεντρωσης της ουσιας στο πεδιο ροης. Αν οι διακυμανσεις ειναι παντου αμελητεες, τοτε και το ειναι μηδεν. Στην περιπτωση αυτη η μοριακη διαχυση θα δημιουργησει βαθμιαια ομοιομορφη συγκεντρωση της ουσιας σε ολο το πεδιο. Αν σε καποιο μερος του πεδιου οι διακυμανσεις ειναι μη μηδενικες, οποτε η τιμη του γινεται θετικη, η συγκεντρωση παραμενει ανομοιογενης. Οσο αυξανει το μερος του πεδιου ροης στο οποιο οι διακυμανσεις ειναι μη μηδενικες, οποτε αυξανει και η τιμη του , και η συγκεντρωση γινεται πιο ανομοιογενης. Γι’ αυτο το λογο το μπορει να θεωρηθει σαν ποσοτικο μετρο της ανομοιογενειας της συγκεντρωσης στο πεδιο ροης.

Η εξισωση (6.7.9) δειχνει οτι η τυρβωδης αναμειξη τεινει να αυξησει τις διακυμανσεις της συγκεντρωσης, ενω η μοριακη διαχυση τεινει να τις μειωσει. Αυτο μπορει να φανει πιο καθαρα αν αντικαταστησουμε την εξισωση (6.7.5) στην εξισωση (6.7.9), οποτε βρισκουμε οτι:

Κατα συνεπεια η μοριακη διαχυση κανει αρνητικη την παραγωγο του ως προς τον χρονο (οποτε η ποσοτητα ειναι φθινουσα συναρτηση του χρονου), ενω η τυρβωδης διαχυση την κανει θετικη (οποτε η ποσοτητα ειναι αυξουσα συναρτηση του χρονου).

Για στατιστικα μονιμες ροες το αριστερο μελος της εξισωσης (6.7.11) μηδενιζεται οποτε εχουμε την εξης συνθηκη ισορροπιας:

Κατα συνεπεια η ποσοτητα

μπορει να θεωρηθει οτι περιγραφει ποσοτικα τον ρυθμο καταστροφης της ανομοιογενειας της ουσιας ανα μοναδα ογκου στις διακυμανσεις, και ειναι αντιστοιχη της ποσοτητας ε που ειδαμε στα προγουμενα κεφαλαια. Η ποσοτητα

μπορει να θεωρηθει οτι περιγραφει ποσοτικα τον ρυθμο δημιουργιας ανομοιογενειας ανα μοναδα ογκου λογω τυρβης και ειναι αναλογη με την ποσοτητα που δινει την ενεργεια των μεγαλων δινων (εξισωση (6.2.4)).

71

72