PCSI 1, 2017/2018 Mathématiques Lycée Berthollet

Exercices chapitre 8Applications, relations

Exercice 1. Fonctions indicatrices.Soient A et B deux sous-ensembles de Ω

1. Vérifier que 1A ≤ 1B si et seulement si A ⊂ B. Que peut-on dire des ensembles A et B si1A = 1B ?

2. Exprimer les fonctions indicatrices du complémentaire de A, de A∩B et de A×B à l’aidedes fonctions indicatrices de A et B.

3. On suppose dans cette question que A et B sont deux ensembles disjoints. Exprimer lafonction indicatrice de A∪B à l’aide des fonctions indicatrices de A et de B.

4. Cas général : A et B sont maintenant deux sous-ensembles quelconques de Ω. Déterminerune partition de A∪B constitué de l’ensemble A et d’un autre ensemble à déterminer.En déduire une expression de la fonction indicatrice de A∪B à l’aide des fonctions indica-trices de A et de B.

5. Soit f une fonction définie sur un ensemble E à valeurs dans Ω. La fonction 1A f est-ellela fonction indicatrice d’un ensemble ? Si oui lequel ?

Exercice 2. Partitions.Soit A un ensemble. On appelle partition de A toute famille (A i)i∈I d’éléments de P (A) (pour Iun ensemble, en général I = 1, . . . ,n) vérifiant⋃

i∈IA i = A et ∀i 6= j, A i ∩ A j =; .

1. Pour i ∈ 0,1,2,3, on pose A i = 4 j+ i, j ∈N. Montrer que les quatre ensembles A0, A1,A2 et A3 définissent une partition de l’ensemble N.

2. Pour r ∈N, on pose Er = (p, q) ∈N2, p+ q = r. Montrer que Err∈N définit une partitionde N2.

3. Trouver un autre exemple de partition d’un ensemble.

4. Soit A i1≤i≤n une partition d’un ensemble A. Montrer qu’on an∑

i=11A i = 1A.

Exercice 3. Injection, surjection, bijection.Dire si ces fonctions sont injectives, surjectives, bijectives ?

1. f :R+ →R

x 7→p

x2 +1,

2. f :R2 →R2

(x, y) 7→ (x+ y, x− y),

3. f :R2 →R2

(x, y) 7→ (x+ y, xy),

4. f :C→C∗

z 7→ ez ,

5. f :R→R

x 7→ x+ 1x2+1

,

6. f :Z×N\0,1→Q

(p, q) 7→ p+ 1q

.

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Exercice 4. La réponse est dans la question.

Soit f :[0,1]→ [0,1]

x 7→

x si x ∈Q1− x sinon

.

Calculer f f . Qu’en déduire ?

Exercice 5. Où est la difficulté ?Soient a, b et c trois réels tels que c 6= 0 et a2 +bc 6= 0.On considère la fonction f :R\a/c→R\a/c définie par f (x)= ax+b

cx−a .

1. Justifier que l’application f est bien définie.

2. Calculer f f , en déduire que f est une permutation dont on déterminera l’applicationréciproque.

Exercice 6. Quelle est la meilleure méthode ?Soit a ∈C, |a| < 1.

1. Soit z ∈U . Montrer que 1− az 6= 0, puis quez−a

1− az∈U .

2. Montrer que f :U →U

z 7→ z−a1−az

est une bijection, dont on déterminera l’application réciproque.

Exercice 7. Théorie autour des bijections.Soient E,F,G trois ensembles, f : E → F, g : F →G et h : G → E.Établir que si h g f est injective et que g f h et f h g sont surjectives alors f , g et h sontbijectives.

Exercice 8. Tout ou rien.Soient E un ensemble et f : E → E telle que f f f = f .Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective.

Exercice 9. Pas besoin d’avoir une bijection.

1. Soient E,F,G trois ensembles, f1, f2 : E → F et g : F →G.On suppose g f1 = g f2 et g injective. Montrer que f1 = f2.

2. Soient E,F,G trois ensembles, f : E → F et g1, g2 : F →G.On suppose f surjective et g1 f = g2 f . Montrer que g1 = g2.

Exercice 10. Une fonction à valeurs dans P (A).Soit A un ensemble non vide. Notons f l’application définie sur A× A par f ((x, y)) = x, y pourtout (x, y) ∈ A× A.Déterminer l’image réciproque des éléments de P (A) par f .

Exercice 11. Faisons un dessin.Soit E un ensemble et A ⊂ E tel que A 6= ; et A 6= E.

f :P (E)→P (E)X 7→ X ∪ A

et g :P (E)→P (E)X 7→ X ∩ A

sont-elles injectives ? Surjectives ?

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Exercice 12. Une fonction sur P (E).Soient A et B deux parties d’un ensemble E et

f :

P (E)→P (A)×P (B)

X 7→ (X ∩ A, X ∩B)

Montrer que :

1. f est injective si, et seulement si, A∪B = E,

2. f est surjective si, et seulement si, A∩B =;.

3. À quelle condition f est-elle bijective ?

Exercice 13. Une relation d’équivalence sur R.Soit R la relation définie sur R par : ∀x, y ∈R, xR y⇔ xey = yex.

1. Montrer que R est une relation d’équivalence.

2. Pour tout x de R, préciser le nombre d’éléments de la classe d’équivalence de x modulo R.On sera amené à étudier la fonction réelle f : x 7→ x

ex .

Exercice 14. Une relation d’équivalence sur F (R).Soit R la relation définie sur F (R,R) par

∀ f , g ∈F (R,R), f Rg ⇔ (∃M ∈R∗+, ∀x > M, f (x)= g(x)

).

Montrer que R est une relation d’équivalence sur F (R,R).

Exercice 15. Une relation d’équivalence sur P (E).Soit E un ensemble.

1. Soient A, B, C et D quatre parties de E. Montrer que

(B\C ⊂ A et C\D ⊂ A)⇒ B\D ⊂ A.

2. Soit A ∈P (E). Prouver que la relation RA définie sur P (E) par :

∀B,C ∈P (E), (BRA C ⇔ B∆C ⊂ A)

est une relation d’équivalence sur P (E). On rappelle que ∆ est l’opérateur différence sy-métrique : ∀B,C ∈P (E), B∆C = B\C∪C\B.

3. Pour tout B de P (E), préciser la classe de B modulo RA.

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