Sumatoria

Reglas

1

Reglas de sumatorias

• La sumatoria es un símbolo muy utilizado

en matemáticas que sirve para simplificar

formulas estadísticas.

• Una sumatoria permite representar

sumas muy grandes, de n sumandos o

incluso sumas infinitas y se expresa con

la letra griega sigma (Σ).

2

Índice de la

suma

Límite inferior

Límite superior

Condición:

5 + 4 + 8 + 7 + 5 + 1

Elementos a

sumar

3

Reglas de sumatorias

• Las sumatorias son útiles para expresar

sumas arbitrarias de números, por

ejemplo en fórmulas: así, si queremos

representar la «fórmula» para hallar la

media aritmética de n números:

4

Reglas de la sumatoria

1. Sumatoria de los datos de una variable.

Fuente: Matemáticas III, Estadística y Probabilidad, de Luis Magaña Cuéllar5

2. Sumatoria de una constante.

6

3. Sumatoria de una variable y una

constante sumada o restada.

7

4. Sumatoria de una variable con un

multiplicador o un divisor constantes.

8

5. Sumatoria de potencias y raíces de una

variable.

9

6. Regla para distribuir la sumatoria.

10

7. Sumatoria del producto o el cociente de

dos o más variables.

11

Reglas de sumatorias

i X Y

1 2 5

2 3 2

3 4 0

4 1 1

12

Reglas de sumatorias

i X Y

1 2 -5

2 8 2

3 -7 1

4 0 3

13

Hoja de Ejercicios

14

Medidas de Tendencia

Central

La media aritmética

La mediana

La moda

- Datos no agrupados. - Datos agrupados.

15

Resumen de datos36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 3

1, 35, 22, 32, 21, 32, 25, 34, 33, 24, 25, 36, 34, 24, 33, 26, 23, 35, 32, 23, 24, 31, 24, 35, 34, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23,

29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 31, 35, 22, 32, 21, 32, 25, 34, 33, 24, 25, 36, 34, 24, 33, 26, 23, 35, 32, 23, 24, 31, 24, 35, 3

4, 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25,

31, 35, 22, 32, 21, 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25

Clase Marca de clase Frecuencia

30-32 31 5

32-34 33 3

34-36 35 2

36-38 37 4

Media = 35

16

Medidas de Tendencia Central -

Generalidades

• Aunque las distribuciones de frecuencia

sirven para propósitos útiles, existen

muchas situaciones en las que se requiere

otro tipo de resumen de datos.

• Existen situaciones en que se necesita

condensar los datos a través de tan solo

unas cuantas medidas descriptivas, las

cuales se pueden calcular a partir de los

datos de una muestra o de una población.17

Medidas de Tendencia Central -

Generalidades

• A) Una medida descriptiva calculada a

partir de los datos de una muestra, se le

llama estadístico.

• B) Una medida descriptiva calculada a

partir de los datos de una población, se le

llama parámetro.

18

Medidas de Tendencia Central -

Generalidades

• Una medida de tendencia central es un

intento de identificar la calificación más

característica o central en un grupo de

calificaciones.

• Algunas de las MTC:

– Media.

– Moda.

– Mediana.

– Media ponderada.

– Media móvil.

– Media geométrica.

Más comunes Menos comunes19

Media - Características

• Es la medida de tendencia central más

usada.

• Se le conoce técnicamente como “media

aritmética”.

• Es el punto de equilibrio o centro de

gravedad de una serie de datos.

• Se define como la suma de todos los

datos dividido entre el número de

observaciones.20

Media - Características

• Su fórmula es:

• Ejemplo:

– Media de edades en un grupo:

• 18, 20, 21, 18, 19

21

Media - Características

• Características:

– Es única. Para un conjunto de datos, hay una y

sólo una media.

– Simplicidad. El cálculo y comprensión de la

media son muy sencillos.

– Como todos y cada uno de los valores en el

conjunto de datos entran en su cálculo, ésta es

afectada por cada valor. Por lo tanto los valores

de extremos influyen en la media y en algunos

casos pueden distorsionarla y llega a ser

indeseable como MTC.22

Mediana - Características

• Es aquel valor que divide al conjunto de

datos en dos partes iguales. De manera

que el 50% de los datos tenga un valor

mayor que la mediana, y el 50% de los

datos tenga un valor menor.

• Teniendo todos los datos ordenados de

menor a mayor, la mediana sería:

– En caso de datos impares: valor a la mitad.

– En caso de datos pares: promedio de los dos

valores que quedan a la mitad de los datos. 23

Mediana - Ejemplo

• Obtener la mediana de:

– 10, 54, 21, 33, 53.

– 15, 10, 25, 30, 28, 21.

24

Moda - Características

• Es aquel valor que ocurre con mayor

frecuencia. Si todos los valores son

diferentes, no hay moda.

• En un conjunto de datos puede haber más

de una moda:

– Dos modas: bimodal.

– Más de dos modas: multimodal.

• Se puede utilizar para datos cualitativos

(ej. Diagnósticos).25

Moda - Ejemplo

26

• Edades de cinco empleados:

– 30, 55, 47, 21, 18

• Edades de seis empleados:

– 21, 20, 21, 21, 21, 18

• Edades de diez empleados:

– 20, 21, 20, 34, 22, 24, 20, 27, 27 y 27.

Posición en la gráfica

27

Media ponderada

• A veces puede ser útil otorgar pesos o

valores a los datos dependiendo de su

relevancia para determinado estudio. En

esos casos se puede utilizar una media

ponderada.

28

Media ponderada

29

Media ponderada

• Ejemplo:

30

Parcial Peso

(p)

Calificación

obtenida

(X)

(p) (X)

1er Parcial

2do Parcial

3er Parcial

4to Parcial

Sumas:

Media móvil

• El método de las medias móviles en

estadística es un método utilizado para

analizar un conjunto de datos en modo de

puntos para crear series de promedios.

Así las medias móviles son una lista de

números en la cual cada uno es el

promedio de un subconjunto de los datos

originales.

31

Media móvil

• Por ejemplo, si se tiene un conjunto de

100 datos el primer valor de la serie de

medias móviles podría ser el promedio de

los primeros 25 términos, luego el

promedio de los términos 2 al 26, el tercer

elemento de los términos 3 al 27 y así,

hasta por último el promedio de los

últimos 25 números del 76 al 100.

32

Media móvil

33

Media geométrica

• El empleo más frecuente de la media

geométrica es el de promediar variables

tales como porcentajes, tasas, números

índices, etc., es decir, en los casos en los

que se supone que la variable presenta

variaciones acumulativas.

34

Media geométrica

• Ventajas e inconvenientes:

– En su cálculo intervienen todos los valores de

la distribución.

– Los valores extremos tienen menor influencia

que en la media aritmética.

– Es única.

– Su cálculo es más complicado que el de la

media aritmética.

– Cuando la variable toma al menos un x = 0

entonces G se anula.35

Media geométrica

• Por ejemplo, la media geométrica de 2 y

18 es

• Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

36

Media geométrica

• Ejemplo:

Las tasas de interés de tres bonos son

5%, 18% y 3%.

La media geométrica es = 1.0847.

La media aritmética es (5 + 7 + 4)/3 =

1.0867.

La MG da una cifra de ganancia más

conservadora porque no tiene una

ponderación alta para la tasa de 18%. 37

Hoja de ejercicios

• Media, mediana y moda

38

Medidas de posición

“Cuantiles”:

Cuartil, Decil y Percentil

39

• Un conjunto de puntuaciones o

mediciones puede dividirse en un cierto

número de partes iguales mediante la

selección de valores que correspondan a

una posición determinada en dicho

conjunto.

• Ejemplo:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

50% 50%11 40

Cuantil - Definición

• Término estadístico que designa

parámetros de posiciones que subdividen

en partes iguales el conjunto de valores

ordenados (según el criterio asumido

previamente) de menor a mayor.

41

Cuartil (cuartila)

• Cada uno de los 3 puntos o valores que

dividen al grupo de datos en 4 partes

iguales.

• Se representan por Q1, Q2, Q3:

42

Decil (decila)

• Cada uno de los 9 puntos o valores que

dividen al grupo de datos en 10 partes

iguales.

• Se pueden representar:

43

Percentil (porcentil, o centil)

• Cada una de las 99 puntuaciones o

valores que dividen al grupo de datos en

100 partes iguales.

• El percentil indica el porcentaje de valores

del conjunto que queda por debajo de ese

valor en particular.

• Ejemplo, Percentil 70, significa que ese

valor es más alto que el 70% de los datos,

y menor que el 30%.44

Percentil (centil)

P55 P70P7 P95

45

Comparación entre cuantiles

46

Comparación entre cuantiles

Q1 = P25

Q2 = D5 = P50 = Mediana

Q3 = P75

47

Ejemplo:

• Calcular cuartiles y deciles:

– 56, 64, 67, 78, 79, 88, 89, 90, 94, 95

– 20, 21, 20, 34, 22, 24, 20, 27, 27, 27

• Ordenar de menor a mayor, luego dividir

en partes iguales.

48

Medidas de dispersión

Rango, Varianza y Desviación

estándar

49

Importancia de una medida de

dispersión• Caso 1:

– 50, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 56

– Media = 53

– Desviación estándar = 2.3979

• Caso 2:

– 1, 2, 5, 10, 53, 96, 101, 104, 105

– Media = 53

– Desviación estándar = 48.6261

50

Importancia de una medida de dispersión

• Caso 1:

– Media = 24.5

• Caso 2:

– Media = 24.5

Li - Ls X F

10 – 19 14.5 10

20 – 29 24.5 11

30 – 39 34.5 10

Li - Ls X F

10 – 19 14.5 1

20 – 29 24.5 30

30 – 39 34.5 10

5

10

15

20

25

30

35

10 - 19 20 - 29 30 - 39

51

Generalidades

• Las medidas de dispersión nos permitirán

ver cuánto se alejan de la media una serie

de datos.

• Es decir, si los valores son parecidos o

varían mucho entre sí.

52

Tipos

• Rango.

• Desviación media.

• Varianza.

• Desviación estándar.

53

Rango

• Es la diferencia entre el valor máximo de

los datos, y el valor mínimo.

• Fórmula

54

Desviación media

• Es el promedio de la desviación en

números absolutos de un conjunto de

datos respecto de su media.

• Fórmula:

55

Varianza

• Da una medida de la variación de los

datos respecto a la media (los valores

están elevados al cuadrado).

• Fórmula

56

Desviación estándar (típica)

• Nos da la medida típica en que los datos

se desvían de la media. A mayor el valor,

mayor la distancia entre cada dato y la

media.

• Fórmula

57

Ejemplo:

• Obtener Rango, Varianza y Desviación

estándar.

• Edades de cinco empleados:

– 20, 21, 20, 34, 22.

58

Solución:

59

X

20 23.4 -3.4 11.56

21 23.4 -2.4 5.76

20 23.4 -3.4 11.56

34 23.4 10.6 112.36

22 23.4 -1.4 1.96

143.2

Fórmula simplificada de

Varianza y Desviación estándar

60

Ejemplo:

• Obtener Rango, Varianza y Desviación

estándar.

• Edades de cinco empleados:

– 20, 21, 20, 34, 22.

61

Solución:

62

20 400

21 441

20 400

34 1156

22 484

Hoja de ejercicios

• Rango, varianza y desviación estándar

63

64

Medidas de Tendencia

Central con

Datos agrupados

65

Datos agrupados

• “Datos no agrupados” le llamamos a los

datos “crudos” o “en bruto”, es decir, a los

datos dispersos. Ej. 5, 7, 5, 4, 7 (años de

niños en un grupo).

• “Datos agrupados” le llamamos a los

datos organizados en tablas o en

distribuciones de frecuencias.

• La diferencia en la presentación de los

datos hace que el procedimiento para

calcular las medidas sea diferente. 66

Media en Datos Agrupados

f = Frecuencia de cada clase.

X = Marca de clase (de cada clase).

n = Total de datos.

67

Mediana en Datos Agrupados

Li = Límite inferior de la clase donde se encuentra

la mediana.

n = Total de datos.

FAa = Frecuencia Acumulada de la clase anterior.

f = Frecuencia de la clase de la mediana.

T.C. = Tamaño de la clase de la mediana.68

Moda en Datos Agrupados

Li = Límite inferior de la clase donde se encuentra

la moda.

d1 = Resta entre la frecuencia de la clase donde

se encuentra la moda, y la clase anterior.

d2 = Resta entre la frecuencia de la clase donde

se encuentra la moda, y la clase siguiente.

T.C. = Tamaño de la clase de la moda.69

Medidas de Dispersión con

Datos agrupados

70

Rango

• Fórmula:

– Límite superior de la última clase, menos

Límite inferior de la primera clase.

71

Varianza

• Fórmula

72

Desviación estándar

• Fórmula

73

Fórmula simplificada

74

Ejercicio

Li - Ls LRi - LRs X F Fr F. A.

5 – 8 4.5 – 8.5 6.5 3 0.215 3

9 – 12 8.5 – 12.5 10.5 5 0.357 8

13 – 16 12.5 – 16.5 14.5 4 0.206 12

17 – 20 16.5 – 20.5 18.8 2 0.142 14

75