Estabilidad Dinámica Longitudinal

Bibliografía de Referencia

● Etkin – 1996 – Caps. 4, 5, 6

● Cook – 2007 – Caps. 4, 5, 6

● Schmidt – Cap. 5, 6

● Russell – Cap. 9

LinealizaciónHipótesis

● Tierra Inmóvil y Plana

● Avión en equilibrio inicial

● Avión simétrico en el plano XZ

● Vuelo simétrico, sin rolido

ωE=0 ; RE=∞ X d=Y d=Z d=Ld=M d=N d=0ωE=0 ; RE=∞ωE=0 ; RE=∞

ϕ=β= ψ=0

● Atmósfera en reposo

● Perturbaciones respecto al estado inicial

● Velocidades angulares pequeñas

● Uso de ejes cuerpo, aerodinámico y vertical del vehículo

X=Y=Z=L=M=N=0

I xy=I yz=0

[UVW ]=[

U e+ uV e+ v=vW e+ w

]

● Nos queda:

m[u+ qW e

v+ pW e+ r U e

w−qU e]=[

X a+ X g+ X c+ X p

Y a+ Y g+ Y c+ Y p

Z a+ Z g+ Z c+ Z p]

[I x p−I xz r

I y qI z r− I xz p

]=[La+ Lg+ Lc+ Lp

M a+ M g+ M c+ M p

N a+ N g+ N c+ N p]

● Gravedad: ● Propulsión:

[X g

Y g

Z g]=[

1 ψ −θ−ψ 1 ϕθ −ϕ 1 ][

−mg sθe

0m g cθe

] [X p

Y p

Z p]=(T e+ Δ T )[

cαt

0−sα t

]

Fuerzas Aerodinámicas

● Las fuerzas y momentos aerodinámicos son función sólo de las variables perturbadas y sus derivadas.

● Expandiendo por Taylor:

que queda:

● Desarrollo similar para las otras Fuerzas y Momentos

X a=X ae+ (∂ X∂UU+

∂2 X

∂U 2

U 2

2!+ ...)+ (∂ X∂V

V +∂2 X

∂V 2

V 2

2!+ ...)+ (∂ X

∂WW+

∂2 X

∂W 2

W 2

2!+ ...)+(∂ X

∂ pp+

∂2 X

∂ p2p2

2!+ ...)+ ...

X a=X ae+ (∂ X∂UU+

∂ X∂V

V +∂ X∂W

W+∂ X∂ p

p+∂ X∂ q

q+∂ X∂r

r+∂ X∂W

W )

Fuerzas y Momentos de Control

● Igual tratamiento que para las aerodinámicas

[XYZ ]

c

=[∂X∂ ξ

∂Y∂ ξ

∂Z∂ ξ

]ξ+ [∂X∂η

∂Y∂η

∂Z∂η

]η+ [∂X∂ζ

∂Y∂ζ

∂Z∂ζ

]ζ

[LMN ]

c

=[∂L∂ξ

∂M∂ξ

∂N∂ξ

]ξ+ [∂L

∂η

∂M∂η

∂N∂η

]η+ [∂L∂ζ

∂M∂ζ

∂N∂ζ

]ζ

● Reemplazamos:

m[u+ qW e

v+ pW e+ r U e

w−qU e]=[

X a+ X g+ X c+ X p

Y a+ Y g+ Y c+ Y p

Z a+ Z g+ Z c+ Z p]

[I x p−I xz r

I y qI z r− I xz p

]=[La+ Lg+ Lc+ Lp

M a+ M g+ M c+ M p

N a+ N g+ N c+ N p]

Desacople de las ecuaciones

● Plano XZ => Ec. Longitudinales

[m ( u+ qW e)m ( w−qU e )

I y q]=[

X a+ X g+ X c+ X p

Za+ Z g+ Z c+ Z p

M a+ M g+ M c+ M p]

● Incorporando el ángulo de actitud q

[m ( u+ qW e)m ( w−qU e)

I y qθ

]=[X a+ X g+ X c+ X p

Z a+ Z g+ Z c+ Z p

M a+ M g+ M c+ M p

q]

Queda:

[uwqθ]=[

xu xw xq xθ

zu zw zq zθ

mu mw mq mθ

0 0 1 0][uwqθ]+ [

xη xτ

z η z τ

mη mτ

0 0][ητ ]

[ x ]=[A ] [ x ]+ [B ] [u ]

Otra forma (de Schmidt):

[uαqθ]=[

xu xα xq xθ

z u zα z q zθ

mu mα mq mθ

0 0 1 0][ uαqθ]+ [

xη xτ

z η z τ

mη mτ

0 0][ητ ]

[ x ]=[A ] [ x ]+ [B ] [u ]

Si hacemos u=0:

y la Ecuación característica:

donde :

[ x ]=[A ] [ x ]

[A−λ I ]v=0∣A−λ I∣=0

λ : autovaloresv :autovector

x= x0eλ t

La solución de la Ecuación característica tiene la forma:

con cuatro raíces.

● La solución general de la ec. de movimiento es

Aλ4+ Bλ

3+ C λ

2+ Dλ+ E=0

x= x0ieλ i t

λ> 0, Real

λ< 0, Real

λ=n±iω , n> 0

λ=n±iω , n< 0

Ecuación Característica● Volviendo a la ec:

Criterio de Estabilidad de Routh

Aλ4+ Bλ

3+ C λ

2+ Dλ+ E=0

A , B , D , E> 0

R=D (BC−AD )−B2E> 0

E< 0⇒divergenciaR< 0⇒oscil. divergente

Ecuación Característica● Volviendo a la ec:

Criterio de Estabilidad de Routh

Aλ4+ Bλ

3+ C λ

2+ Dλ+ E=0

A , B , D , E> 0

R=D (BC−AD )−B2E> 0

E< 0⇒divergenciaR< 0⇒oscil. divergente

Modos B-747

● Etkin95

Variaciones con velocidad y altitud

Práctico

● Determinar los coeficientes A, B, C, D, E de la Ecuación Característica en función de las derivadas de estabilidad

● Determinar las características de los autovalores según los coeficientes

● Sobre el ejemplo 4.2. de [Cook], calcular los coeficientes y los autovalores para el F-4 Phantom