Espaços métricos completosA razão porque Q não é localmente compacto é a existência de sucessões de raionais

com limite irracional. Vamos generalizar esta ideia para espaços métricos arbitrários.

Definição 1. Uma sucessão (xn) num espaço métrico X diz-se uma sucessão deCauhy se para qualquer ε ą 0 existir um p P N tal que d(xn, xm) ă ε para quais-quer n,m ą p.

Teorema 1. Qualquer sucessão convergente é de Cauchy, e qualquer sucessão de Cauchy é limitada.

Mas nem todas as sucessões de Cauchy são convergentes:

Exemplo 1. Uma sucessão de racionais com limite irracional é de Cauchy, pois é con-vergente em R, mas não é convergente em Q.

Definição 2. Dizemos que um espaço métrico X é completo se todas as sucessões deCauchy convergirem.

Para provar que um espaço métrico é completo é frequentemente útil usar o seguinteresultado:

Teorema2. Um espaço métricoX é completo sse qualquer sucessão de Cauchy tiver uma subsucessãoconvergente.

Demonstração. Seja (xn) uma sucessão de Cauchy e seja (xnk) uma subsucessão com

limite limk xnk= x. Queremos mostrar que xn Ñ x. Seja ε ą 0. Como (xn) é

Cauchy, existe um p P N tal que m,n ą p ñ d(xn, xm) ă ε/2. Tomando n = nk ą p

e tomando o limite quando k Ñ 8 temos limk d(xnk, xm) = d(x, xm) ď ε/2 ă ε para

qualquer m ą p, o que mostra que xn Ñ x. □

Como corolário imediato temos:

Teorema 3. Rk é um espaço métrico completo.

Demonstração. Uma sucessão de Cauchy é limitada, logo está contida num compacto,logo tem uma subsucessão convergente. □

Outro exemplo importante é o seguinte:

Teorema 4. Seja X um espaço compacto, (Y, d) um espaço métrico completo. Então o espaçoC(X,Y ) das funções contínuas f : X Ñ Y com a métrica ρ(f, g) = max

xPXd(f(x), g(x)

)é

completo.

Demonstração. Dada uma sucessão de Cauchy (fn), para cada x P X a sucessão(f(xn)

)é de Cauchy, logo converge. Seja f(x) = lim f(xn). Vamos provar que fn Ñ f

uniformemente. Dado um ε ą 0, existe um p ą 0 tal que m,n ą p ñ ρ(fn, fm) ă ε/2,1

2

logo, para qualquer x P X temos d(fn(x), fm(x)

)ă ε/2. Tomando o limite quando

m Ñ 8, d(fn(x), f(x)

)ď ε/2, pelo que, tomando o supremo em x P X , temos

supx d(fn(x), f(x)

)ď ε/2 ă ε. Concluimos que fn Ñ f uniformemente. Então f é

contínua, o que completa a demonstração. □

Teorema 5. Um espaço métrico é compacto sse for completo e totalmente limitado.

Demonstração. Ver Munkres. □

Em Rn os subespaços compactos são os subespaços limitados e fechados. Já vimosque em Rn limitado é equivalente a totalmente limitado.

Teorema 6. Um subespaço dum espaço completo é completo sse for fechado.

Q não é completo porque lhe faltam pontos: os limites das sucessões de Cauchy nãoconvergentes, que são os números irracionais. O próximo resultado é análogo à noçãode compactificação:

Teorema 7. Para qualquer espaço métrico X existe um espaço métrico completo Y tal que X Ă Y

e X = Y . Chamamos a Y o completado de X . Y é único a menos de isometria.

Exercícios.

(1) Indique justificando quais das seguintes sucessões são sucessões de Cauchy e quaissão convergentes nos espaços indicados:(a) xn = n em ]0,+8[.(b) xn = 1/n em ]0,+8[.(c) xn = 1/n em Q.

(2) Mostre que qualquer espaço métrico com a distância d(x, y) = 1 para x ‰ y écompleto.

(3) Seja X = ]0, 1] Ă R.(a) Mostre que a sucessão xn = 1/n em X é de Cauchy mas não converge, e

portanto X não é completo.(b) Mostre que a função f(x) = 1/x restrita a X é um homeomorfismo entre X e

um subespaço completo de R.(c) Mostre que a sucessão f(1/n) não é de Cauchy.

(4) Seja X um espaço métrico completo, A Ă X . Mostre que o completado de A é A.(5) Um espaço metrizável X diz-se topologicamente completo se existir uma métrica

para o qual X é completo, ou seja, se X for homeomorfo a um espaço métricocompleto.(a) Mostre que ]0, 1[ é topologicamente completo.(b) Mostre que t1, 1

2 ,13 , . . .u Ă R é topologicamente completo.

(6) Seja (xn) uma sucessão tal que, para qualquer m ą n, d(xn, xm) ď yn, em que yn

é uma sucessão em R com limite zero. Mostre que (xn) é Cauchy.

3

(7) Prove o Teorema 1:(a) Mostre que uma sucessão convergente é de Cauchy.(b) Mostre que uma sucessão de Cauchy é limitada.

(8) Prove o Teorema 6.(9) Seja X um espaço métrico.

(a) Mostre que se X for compacto então X é completo.(b) Mostre que se existir um ε ą 0 tal que todas as bolas de raio ε têm fecho com-

pacto, então X é completo.(c) Dê um exemplo dum espaço métrico localmente compacto que não seja com-

pleto.(10) Seja X um espaço topológico compacto e seja Y um espaço métrico completo. Mos-

tre que o espaço F das funções contínuas f : X Ñ Y , com a métrica uniforme, écompleto.

(11) Seja X um espaço métrico, AsubsetX um subespaço.(a) Mostre que A é totalmente limitado sse para qualquer ε ą 0 existirem pontos

x1, . . . , xk P X tais que A Ă B(x1, ε) Y ¨ ¨ ¨ Y B(xk, ε) (em que as bolas sãobolas em X ). Sugestão: use bolas de raio ε/2.

(b) Mostre que se X for totalmente limitado, A é também totalmente limitado.(c) Mostre que A é totalmente limitado sse A for totalmente limitado.

(12) Seja (xn) uma sucessão num espaço métrico completo tal que o conjunto dos ter-mos da sucessão txn : n P Nu é totalmente limitado. Mostre que (xn) tem umasubsucessão convergente.

(13) Dizemos que uma função d : X ˆ X Ñ [0,+8[ é uma pseudo-métrica se paraquaisquer x, y, z P X se tiver d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x) e d(x, y) + d(y, z) ď

d(x, z).(a) Mostre que a relação x „ y sse d(x, y) = 0 é uma relação de equivalência em

X .(b) Mostre que d induz uma função d : X/„ ˆ X/„ Ñ [0,+8[.(c) Mostre que d é uma métrica em X/„.

(14) Seja F o espaço das funções f : [´1, 1] Ñ R integráveis à Riemann com a pseudo-métrica d(f, g) =

ş1

0

ˇ

ˇf(x)´g(x)ˇ

ˇ dx, e sejaC(X,Y ) Ă F o subconjunto das funçõescontínuas.(a) Verifique que d é uma pseudo-métrica.(b) Mostre que a restrição de d ao conjunto C([´1, 1],R) das funções contínuas é

uma métrica.

4

(c) Para cada n P N seja fn : [´1, 1] Ñ R a função definida por

fn(x) =

$

’

’

’

&

’

’

’

%

´1 se ´1 ď x ď ´1/n

nx se ´1/n ď x ď 1/n

1 se 1/n ď x ď 1

Mostre que cada fn é contínua e a sucessão (fn) converge pontualmente parauma função f que não é contínua.

(d) Mostre que lim d(fn, f) = 0.(e) Seja p : F Ñ F/„ o quociente pela relação f „ g ô d(f, g) = 0, e considere

a métrica induzida em F/„. Mostre que a restrição de p a C([´1, 1],R) é umaisometria.

(f) Mostre que C([´1, 1],R) não é completo com a distância d.(15) Pag. 270, exercícios 6, 9, 10.

AplicaçõesVamos agora ver algumas propriedades dos espaços completos.

Definição 3. Sejam X, Y espaços métricos. Dizemos que uma função f : X Ñ Y

é contractante se existir uma constante c P ]0, 1[ tal que, para qualquer x, y P X,d(f(x), f(y)

)ď cd(x, y).

Teorema 8 (Ponto fixo). Seja X um espaço métrico completo, f : X Ñ X uma função contrac-tante. Então existe um único x P X tal que f(x) = x.

Demonstração. A unicidade do ponto fixo sai de imediato de d(f(x), f(y)

)ď cd(x, y).

Para provar existência definimos uma sucessão por recorrência tomando um qualquerx0 P X e definindo xn+1 = f(xn). Então

d(xn+1, xn) = d(f(xn), f(xn´1)

)ď cd(xn, xn´1)

ď c2d(xn´1, xn´2) ď ¨ ¨ ¨ ď cnd(x1, x0).

logo, para qualquer m ą n temos

d(xn, xm) ď d(xn, xn+1) + ¨ ¨ ¨ + d(xm´1, xm)

ď cn + ¨ ¨ ¨ + cm´1 ď

8ÿ

k=n

ck =cn

1 ´ c

Como cn/(1 ´ c) Ñ 0, segue facilmente que (xn) é Cauchy (ver exercícios). Sejax = limxn. Então x = limxn+1 = lim f(xn) = f(x). □

Teorema 9. Um espaço métrico X é completo sse para qualquer sucessão de conjuntos fechadosencaixados F1 Ą F2 Ą F3 Ą ¨ ¨ ¨ tais que diamFk Ñ 0, se tiver

Ş

k Fk ‰ H.

5

Definição 4. Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Baire se a uniãocontável de fechados de interior vazio tiver interior vazio.

Passando ao complementar vemos que um espaço X é de Baire sse a intersecçãocontável de abertos densos for densa.

Teorema 10 (Baire). Qualquer espaço métrico completo X é um espaço de Baire.

Demonstração. Seja (An) uma sucessão de abertos densos. Dado um aberto U , vamosmostrar que U X

Ş

An ‰ H. Como A0 é denso, A0 X U ‰ H. Então regularidadeimplica que podemos tomar um aberto U1 tal que U1 Ă A1 X U e diamU1 ă 1.Prosseguimos recursivamente tomandoUn+1 com diâmetro inferior a 1/(n+1) e tal queUn+1 Ă UnXAn. Então UX

Ş

An ĄŞ

Un ‰ H o que completa a demonstração. □

Exercícios.

(1) Mostre que o diâmetro duma bola de raio r é menor ou igual a 2r.(2) Mostre que, se f : X Ñ Y é contractante, então para qualquer conjunto A Ă X

temos diam f(A) ď c diamA.(3) Mostre o Teorema 9:

(a) Mostre que uma sucessão (xn) é de Cauchy sse limk diamtxk, xk+1, xk+2, . . .u =

0.(b) Mostre que diamA = diamA.(c) Mostre que, se qualquer sucessão de fechados encaixados com diâmetro a ten-

der para zero tiver intersecção não vazia, então o espaço é completo.(d) Mostre o recíproco da alínea anterior. Sugestão: tome um ponto em cada fe-

chado e mostre que a sucessão assim obtida é de Cauchy.(4) Mostre que Q não é topologicamente completo, ou seja, que não existe nenhuma

métrica em Q para a qual Q seja completo.(5) Seja f : R Ñ R uma função diferenciável tal que |f 1(x)| ď k para todo o x e para

uma constante k ă 1. Mostre que f tem um ponto fixo.(6) Mostre que um espaço topológico X é de Baire sse a intersecção contável de abertos

densos for densa.(7) Mostre que se um espaço métrico completo X for contável, tem que conter pontos

isolados.(8) Mostre que um espaço compacto de Hausdorff é um espaço de Baire.(9) Pag. 298, exercícios 1 a 4, 7 a 10.

Funções uniformemente contínuasA noção de espaço métrico completo não é uma noção topológica: R é completo

mas ]0, 1[ não é, embora seja homeomorfo a R.

6

Definição 5. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é uniformemente contínua se,para qualquer ε ą 0, existir um δ ą 0 tal que, para quaisquer x, y P X , se d(x, y) ă δ

então d(f(x), f(y)) ă ε.

Teorema 11. Uma função uniformemente contínua preserva sucessões de Cauchy.

Demonstração. Seja (xn) uma sucessão de Cauchy em X, f : X Ñ Y uma função uni-formemente contínua. Queremos mostrar que f(xn) é Cauchy. Dado um ε ą 0, existeum δ ą 0 tal que d(x, y) ă δ ñ d

(f(x), f(y)

)ă ε. Como (xn) é Cauchy, existe um

p P N tal que n,m ą p ñ d(xn, xm) ă δ donde se conclui que d(f(xn), f(xm)

)ă ε.

Assim,(f(xn)

)é Cauchy. □

Definição 6. Um homeomorfismo uniforme é um homeomorfismo f : X Ñ Y tal quef e f´1 são ambas uniformemente contínuas. Chamamos propriedades uniformes àspropriedades preservadas por homeomorfismos uniformes.

Exemplo 2. A propriedade de ser um espaço completo não é uma propriedade topoló-gica, mas é uma propriedade uniforme.

Teorema 12. Seja X um espaço compacto. Então qualquer função f : X Ñ Y contínua éuniformemente contínua.

Demonstração. Ver Munkres □

Teorema 13. Dados espaços métricosX , Y com Y completo, e uma função uniformemente contínuaf : A Ă X Ñ Y , existe uma única função uniformemente contínua f : A Ñ Y tal que f |A = f .

Demonstração. Para cada x P A fixamos uma sucessão (xn) em A com limxn = x.Como f é uniformemente contínua, f(xn) é Cauchy. Definimos f(x) = lim f(xn).A continuidade de f mostra que f(x) = f(x) para x P A. Vamos mostrar que f éuniformemente contínua. Seja ε ą 0. Como f é uniformemente contínua, existe umδ1 ą 0 tal que, para quaisquer x, y P A, d(x, y) ă δ1 ñ d

(f(x), f(y)

)ă ε/3. Seja

δ = δ1/3. Dados x, y P A com d(x, y) ă δ, seja n P N tal que

d(xn, x) ă δ, d(yn, y) ă δ, d(f(xn), f(x)

)ă ε/3, d

(f(yn), f(y)

)ă ε/3 ,

em que (xn) e (yn) são as sucessões usadas na definição de f . Então, pela desigualdadetriangular, d(xn, yn) ă 3δ = δ1, logo d

(f(xn, f(yn)

)ă ε/3. Usando de novo a desi-

gualdade triangular, obtemos d(f(x), f(y)

)ă ε. Provámos assim que f é uniforme-

mente contínua. Para mostrar unicidade do prolongamento, note que dado qualquerprolongamento contínuo g : A Ñ Y , g(x) = lim g(xn) = lim f(xn) = f(x). □

Exercícios.

(1) Mostre que uma isometria é uniformemente contínua.

7

(2) Mostre que a função f(x) = x2 não é uniformemente contínua. Sugestão: parax ą y ą 0, temos |x2 ´ y2| ą 2y|x ´ y|.

(3) Mostre que a função f(x) = 1/x não é uniformemente contínua.(4) Mostre que a função f(x) = sin(1/x) não é uniformemente contínua. Sugestão:

seja xn = ( 12π + 2nπ)´1 e seja yn = ´ 12π + 2nπ; calcule xn ´ yn e f(xn) ´ f(yn).

(5) Mostre que a composição de funções uniformemente contínuas é uniformementecontínua.

(6) Dizemos que uma função f é Lipschitz se existir uma constante K P R tal qued(f(x), f(y)) ď Kd(x, y).(a) Mostre que uma função de Lipschitz é uniformemente contínua.(b) Seja C([0, 1],R) o espaço das funções contínuas f : [0, 1] Ñ R com a métrica

uniforme. Mostre que a função Int : C([0, 1],R) Ñ R definida por Int(f) =ş1

0f é uma função uniformemente contínua.

(c) Seja f : D Ă R Ñ R uma função diferenciável com derivada limitada. Entãof é uniformemente contínua. Sugestão: Teorema de Lagrange.

(d) Seja f : R Ñ R uma função diferenciável tal que limxÑ+8

f 1(x) = +8. Mostreque f não é uniformemente contínua.

(e) Dê um exemplo duma função f : [0, 1] Ñ R uniformemente contínua com de-rivada ilimitada.

(7) Sejam X, Y espaços métricos, f : X Ñ Y .(a) Mostre que se f é uniformemente contínua, então para qualquer A Ă X a

restrição f |A é uniformemente contínua.(b) Mostre que se X = AYB e se f |A e f |B forem uniformemente contínuas então

f é uniformemente contínua.(c) Mostre que a função f(x) = x2 é uniformemente contínua em qualquer con-

junto limitado A Ă R.(8) Mostre que a função sin(1/x) é uniformemente contínua em qualquer intervalo

[a,+8[ com a ą 0. Sugestão: calcule f 1(x).(9) Dados espaços métricos X , Y , considere o produto X ˆY com a métrica uniforme.

(a) Mostre que as projecções são uniformemente contínuas.(b) Mostre que a soma, como função Rn ˆ Rn Ñ Rn, é uniformemente contínua.(c) Decida se o produto por um escalar, visto como uma função R ˆ Rn Ñ Rn, é

ou não uniformemente contínuo.(10) Dizemos que duas métricas d1, d2 num conjunto X são uniformemente equivalentes

se a identidade (X, d1) Ñ (X, d2) for um homeomorfismo uniforme.(a) Mostre que as métricas d(x, y) = mintd(x, y), 1u e d1(x, y) = d(x, y)/

(d(x, y)+

1)

são uniformemente equivalentes a d.(b) Decida se a propriedade de ser limitado é ou não uma propriedade uniforme.

8

(c) Mostre que, se existirem m,M ą 0 tais que md(x, y) ď d2(x, y) ď Md1(x, y)

então d1 e d2 são uniformemente equivalentes.(d) Mostre que as seguintes métricas em Rn são uniformemente equivalentes:

d1(x, y) =n

ÿ

i=1

|xi ´ yi| d2(x, y) =

g

f

f

e

nÿ

i=1

|xi ´ yi|2 d8(x, y) = maxi

|xi ´ yi|

(11) Mostre que as seguintes propriedades são propriedades uniformes:(a) Um espaço ser completo.(b) Um espaço ser totalmente limitado.

(12) Seja X um espaço topológico e Y , Z espaços métricos. Mostre que, se uma sucessãode funções fn : X Ñ Y convergir uniformemente para uma função f e g : Y Ñ Z

for uniformemente contínua então (g ˝ fn) converge uniformemente para g ˝ f .

Teorema de Ascoli-ArzeláSeja X um conjunto, Y um espaço métrico. Nesta secção queremos ver em que

condições podemos garantir que uma sucessão de funções contínuas fn : X Ñ Y temuma subsucessão convergente. Tal acontecerá sempre que a sucessão esteja contidanum subespaço sequencialmente compacto, o que num espaço métrico é equivalente aser completo e totalmente limitado. Em particular, temos que:

Teorema 14. Seja (xn) uma sucessão num espaço métrico completo. Se o conjunto txn : n P Nu

for totalmente limitado, a sucessão (xn) tem uma subsucessão convergente.

Demonstração. O conjunto txn : n P Nu é completo e totalmente limitado, logo é sequen-cialmente compacto. □

Já estudámos duas topologias no conjunto Y X das funções f : X Ñ Y :

‚ A topologia produto, ou da convergência pontual, com subbase os conjuntosS(x,U) = tf : f(x) P Uu, com x P X e U Ă Y um aberto.

‚ A topologia uniforme, com base as ``bolas'':

B(f, ε) =!

g : supxPX

d(f(x), g(x)

)ă ε

)

.

Representamos por Y Xp e Y X

u , respectivamente, o conjunto Y X com as topologias pro-duto e uniforme. Assumimos primeiro que X é compacto e Y é completo. Então oespaço C(X,Y ) das funções contínuas de X em Y é completo com a métrica uniforme.

Definição 7. Dizemos que uma família de funções F Ă C(X,Y ) é equicontínua numponto a P X sse:

@εą0

DUPVa

@fPF

x P U ñ d(f(x), f(a)

)ă ε

Repare que a vizinhança U não depende da função f .

9

Teorema 15. Seja F Ă Y Xu um subespaço totalmente limitado. Então F é equicontínuo.

Demonstração. Como F é totalmente limitado temos F = B(f1, ε/3)Y¨ ¨ ¨YB(fk, ε/3).Para cada i, a função fi é contínua em a, logo existe uma vizinhança Ui de a tal quex P Ui ñ d

(f(x), f(a)

)ă ε/3. Seja U = U1 X ¨ ¨ ¨ X Uk. Então, dado um x P U e

uma função f P F , f P B(fi, ε/3) para algum i logo

d(f(x), f(a)) ď d(f(x), fi(x)) + f(fi(x), fi(a)) + d(fi(a), f(a))

ă ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. □

Mas, como veremos brevemente, o recíproco só é verdadeiro se X e Y forem amboscompactos:

Exemplo 3. Seja F = tfnu P C([0, 1],R) a família de funções fn(x) = n. Esta famíliaé equicontínua mas não é totalmente limitada.

Exemplo 4. Seja F = tfnu P C(R, [´1, 1]) a família de funções definida por:

fn(x) =

$

’

’

’

&

’

’

’

%

´1 se x ď n ´ 1

x ´ n se n ´ 1 ď x ď n+ 1

1 se x ě n+ 1

Esta família é equicontínua mas não é totalmente limitada.

No caso em que X não é compacto, precisamos de introduzir uma nova topologiaem Y X . Dado um compacto K Ă X um ε ą 0 e uma função f : X Ñ Y definimos as``bolas'':

BK(f, ε) =!

g P Y X : supxPK

d(f(x), g(x)) ă ε)

Definição 8. A topologia da convergência uniforme em compactos é a topologia ge-rada pela colecção tBK(f, ε)u.

Teorema 16. Dado um f P Y X , a colecção tBK(f, ε)u é uma base de vizinhanças de f .

Demonstração. Se f P BK(g, ε), seja δ = ε ´ supxPK

d(f(x), g(x)

). Então BK(f, δ) Ă

BK(g, ε). □

Representamos por Y Xc o conjunto Y X com esta topologia. Vê-se facilmente que a

topologia Y Xc é mais fina que a topologia Y X

p .

Teorema 17. Seja X um espaço topológico, Y um espaço métrico, e seja F uma família equicon-tínua de funções f : X Ñ Y . Então as topologias produto e da convergência uniforme em compactosem F coincidem.

10

Demonstração. Representamos por Fp e Fc o conjunto F com as topologias produto euniforme em compactos. Seja V Ă Fc um aberto. Vamos mostrar que para qualquerf P V , existe um aberto W Ă Fp tal que f P W Ă V , e portanto V é aberto em Fp.

Começamos por tomar um compacto K Ă X e um ε ą 0 tal que BK(f, ε) Ă V .Como F é equicontínua, para cada a P K existe uma vizinhança Ua P Va tal que, paraqualquer f P F , x P Ua ñ d(f(x), f(a)) ă ε/3. Como K é compacto, a coberturatUau tem uma subcobertura finita: K Ă Ua1 Y ¨ ¨ ¨ Y Uak

. Seja W o conjunto dasfunções g P F tais que d(g(ai), f(ai)) ă ε/3 para i = 1, . . . , k:

W = S(a1, B(f(a1), ε/3)

)X ¨ ¨ ¨ X S

(ak, B(f(ak), ε/3)

).

Claramente f P W . Vamos ver que W Ă BK(f, ε). Seja g P W . Dado um x P K,temos x P Uai para algum i e então:

d(g(x), f(x)) ď d(g(x), g(ai)) + d(g(ai), f(ai)) + d(f(ai), f(x))

ă ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε .

Assim maxxPK d(g(x), f(x)) ă ε, logo g P BK(f, ε). Assim, W Ă BK(f, ε) Ă V , oque termina a demonstração. □

Teorema 18. Seja F Ă Y X uma família equicontínua. Então o fecho F p na topologia produtoé também equicontínuo.

Demonstração. Seja a P X. Dado ε ą 0, como F é equicontínua, existe uma vizinhançaU P Va tal que x P U ñ d(f(x), f(a)) ă ε/3 para qualquer f P F . Vamos mostrarque x P U ñ d(g(x), g(a)) ă ε para qualquer g P F p. Seja x P U e g P F p. Seja

W = S(a,B(g(a), ε/3)) X S(x,B(g(x), ε/3)).

Então W é uma vizinhança de g logo podemos tomar um f P F X W . Então

d(g(x), g(a)) ď d(g(x), f(x)) + d(f(x), f(a)) + d(f(a), g(a))

ă ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

o que termina a demonstração. □

Como corolário imediato temos:

Teorema 19. Seja F Ă Y X uma família equicontínua. Então os fechos F p e F c coincidem.

Demonstração. Como Y Xc é mais fina que Y X

p , F c Ă F p. Como F p é equicontínua,F p = F c. □

Teorema 20 (Ascoli-Arzelá). Seja F Ă Y X uma família equicontínua de funções tal que,para qualquer a P X , o conjunto F (a) = tf(a) : f P F u Ă Y tem fecho compacto. EntãoF c Ă Cc(X,Y ) é compacto.

11

Demonstração. Basta observar que, na topologia produto,

F Ăź

aPX

F (a) =ź

aPX

F (a)

que é compacto pelo Teorema de Tychonoff. Assim, F c = F p é compacto. □

Exercícios.

(1) Mostre que um conjunto X Ă R tem fecho compacto sse for limitado.(2) Considere a sucessão de funções fn : R Ñ R definida por fn(x) = (n+ 1)x/n.

(a) Mostre que fn converge para x uniformemente em compactos.(b) Mostre que fn não converge uniformemente para x.(c) Mostre que tfnu é equicontínua.(d) Mostre que, para cada x P R, a sucessão

(fn(x)

)é limitada.

(3) Repita o exercício anterior para a sucessão de funções fn : R Ñ R definidas porfn(x) = x/n.

(4) Para cada n P N seja fn : [0, 1] Ñ R a função fn(x) = n (Exemplo 3).(a) Mostre que tfnu é equicontínua.(b) Mostre que tfnu não tem nenhuma subsucessão convergente.(c) Use a alínea anterior para mostrar que tfnu não é totalmente limitada na mé-

trica uniforme.(d) Prove directamente que tfnu não é totalmente limitada.

(5) Considere a sucessão de funções fn : R Ñ [´1, 1] do exemplo 4.(a) Mostre que fn converge pontualmente para uma função f contínua.(b) Mostre que nenhuma subsucessão de (fn) converge para f uniformemente.(c) Usando a alínea anterior conclua que tfnu não é totalmente limitada.(d) Mostre que fn converge para f uniformemente em compactos.(e) Mostre que, para cada x P R, tfn(x)u é limitada.(f) Mostre que tfnu é equicontínua.

(6) Mostre que a topologia da convergência uniforme em compactos em Y X é mais finaque a topologia produto.

(7) Mostre que a topologia uniforme em Y X é mais fina que a topologia da convergênciauniforme em compactos, e que elas coincidem quando X é compacto.

(8) Seja F uma colecção de funções f : R Ñ R com a seguinte propriedade: existe umaconstante M ą 0 tal que |f(x) ´ f(y)| ď M |x ´ y| para qualquer função f P F equaisquer pontos x, y P R.(a) Mostre que, se existir uma constante M ą 0 tal que |f(x) ´ f(y)| ď M |x ´ y|

para qualquer função f P F e quaisquer pontos x, y P R, então F é equicon-tínua.

12

(b) Mostre que se as funções f P F forem diferenciáveis e se existir uma constanteM ą 0 tal que |f 1(x)| ď M para qualquer função f P F e qualquer pontoc P R, então F é equicontínua. Sugestão: Teorema de Lagrange.

(c) Mostre que, se a condição |f 1(x)| ď M se verificar apenas para x num abertoU Ă R, podemos ainda concluir que F é equicontínua em qualquer pontoa P U .

(9) Seja X um espaço topológico compacto e Y um espaço métrico compacto. Mostreque, na métrica uniforme, uma família F Ă C(X,Y ) é totalmente limitada sse forequicontínua.

(10) Considere a sucessão de funções fn : [0, 1] Ñ R definidas por fn(x) = xn.(a) Mostre que (fn) é pontualmente limitada.(b) Calcule o limite f de (fn) na topologia da convergência pontual.(c) Mostre que nenhuma subsucessão de fn converge para f uniformemente.(d) Use o Teorema de Ascoli-Arzelá para concluir que tfnu não é equicontínua.(e) Verifique directamente que (fn) não é equicontínua em a = 1, resolvendo ex-

plicitamente a equação |fn(x) ´ fn(1)| ă ε.(f) Seja b ă 1. Mostre que existe uma constante M (que depende de b) tal que

f 1n(x) ď M para qualquer n P N e qualquer x P [0, b[. Conclua que tfnu é

equicontínua em qualquer ponto a P [0, 1[.(11) Considere a sucessão de funções fn : R Ñ R definida por fn(x) = x+ sin(nx).

(a) Decida se tfnu é pontualmente limitada.(b) Mostre que tfnu não é equicontínua em a = 0. Sugestão: se fosse, existiria um

δ ą 0 tal que |fn(x)| ă 1 para qualquer n P N e qualquer x P ]´δ, δ[; tome umn P N tal que x = π/(2n) ă δ.

(12) Quais das seguintes ducessões de funções em C(R,R) são pontualmente limitadas?Quais são equicontínuas?(a) gn(x) = n+ sinx. Sugestão: calcule |fn(x) ´ fn(a)|.(b) hn(x) = |x|1/n. Sugestão: calcule o limite pontual h de hn e mostre que ne-

nhuma subsucessão de hn converge para h.(c) kn(x) = n sin(x/n). Sugestão: derive kn.

(13) (Ver Munkres) Um espaço topológico X diz-se compactamente gerado se a seguintecondição se verificar: um conjunto U Ă X é aberto sse para qualquer compactoK Ă X , K X A for compacto.(a) Mostre que um espaço localmente compacto é compactamente gerado.(b) Mostre que um espaço que satisfaça o primeiro axioma de numerabilidade é

compactamente gerado.(c) Mostre que, se X é compactamente gerado, uma função f : X Ñ Y é contínua

sse para qualquer compacto K Ă X , f |K for contínua.

13

(d) Mostre que se X é compactamente gerado e Y é um espaço métrico, entãoC(X,Y ) é fechado em Y X na topologia da convergência uniforme em com-pactos.

(14) Seja X um espaço topológico separável, Y um espaço métrico, e considere C(X,Y )

com a topologia da convergência uniforme em compactos. Seja (fn) uma sucessãoequicontínua em C(X,Y ) tal que as sucessões (fn(x)) têm fecho compacto.(a) Mostre que, se A Ă X é um conjunto contável, (fn) tem uma subsucessão fnk

que converge pontualmente nos pontos x P A.(b) Mostre que, se A for denso, a subsucessão fnk

converge uniformemente emqualquer compacto K Ă X.

(15) Pag. 280, exercícios 1 a 3, 5.(16) Pag. 288, exercícios 1, 3.(17) Pag. 292, exercícios 1 a 5.

A topologia compacta abertaDefinição 9. Sejam X, Y espaços topológicos. Dado um compacto K Ă X e umaberto U Ă Y seja S(K,U) = tf P Y X : f(K) Ă Uu. Chamamos topologia compactaaberta em Y X à topologia gerada pela colecção tS(K,U)u.

Teorema 21. Seja X um espaço localmente compacto e seja Y um espaço métrico. Então astopologias compacta aberta e uniforme em compactos coincidem em C(X,Y ).

Demonstração. Dado um compacto K Ă X, um aberto U Ă Y , e uma função f P

S(K,U), seja ε = d(f(K), X ´U). Então BK(f, ε) Ă S(K,U) logo S(K,U) é abertona topologia uniforme em compactos. Seja agora V Ă C(X,Y ) um aberto na topo-logia uniforme em compactos, e seja f P U . Então existe um compacto K Ă X e umε ą 0 tal que BK(f, ε) Ă U . Como f é contínua e X é localmente compacto, para cadaa P K existe um aberto Va P Va tal que V a é compacto e x P V a ñ d(f(x), f(a)) ă

ε/3. A cobertura tVau de K tem uma subcobertura finita Va1 , . . . , Van . Seja

W = S(V 1, B(f(a1), ε/3)) X ¨ ¨ ¨ X S(V n, B(f(an), ε/3)).

Então f P W Ă BK(f, ε), o que termina a demonstração. □

Teorema 22. Sejam X , Y , Z espaços topológicos e seja f : X Ñ Y uma função contínua. Então,na topologia compacta aberta, composição com f induz funções contínuas f˚ : C(Z,X) Ñ C(Z, Y )

e f˚ : C(Y, Z) Ñ C(X,Z).

Em particular, restrição é uma função contínua.

Teorema 23. A função ev : X ˆ C(X,Y ) Ñ Y definida por ev(x, f) = f(x) é contínua.

14

Dada uma função f : X ˆ Y Ñ Z, para cada y P X temos uma função fy : X Ñ Z

definida por fy(x) = f(x, y). Obtemos assim uma função F : Y Ñ ZX com F (y) =

fy. Obtemos assim uma correspondência bijectiva entre ZXˆY e (ZX)Y . No caso emque X , Y , Z são espaços topológicos, se f : XˆY Ñ Z for contínua, cada fy é tambémcontínua pelo que F tem imagem em C(X,Z).

Teorema 24. Consideremos a topologia compacta aberta em C(X,Y ). Se f : X ˆ Y Ñ Z forcontínua então F : Y Ñ C(X,Z) é contínua. O recíproco é verdadeiro se X for localmente compactode Hausdorff.

Demonstração. Ver Munkres. □

Definição 10. Seja X um espaço topológico, a, b P X . Um caminho em X de a parab é uma funçõ contínua α : [0, 1] Ñ X tal que α(0) = a e α(1) = b.

Como [0, 1] é localmente compacto de Hausdorff, um caminho em C(X,Y ) é omesmo que uma função H : X ˆ [0, 1] Ñ Y .

Definição 11. Dizemos que duas funções f, g : X Ñ Y são homotópicas se existir umcaminho em C(X,Y ) de f para g, ou seja, se existir uma função H : X ˆ [0, 1] Ñ Y

tal que H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x).

Estudaremos melhor caminhos e homotopias nas próximas secções.

Exercícios.

(1) Sejam X, Y espaços topológicos. Mostre que a topologia compacta aberta em Y X

é mais fina que a topologia produto.(2) Seja Y um espaço de Hausdorff. Mostre que Y X é um espaço de Hausdorff na

topologia compacta aberta e na topologia produto.(3) Demonstre o Teorema 22:

(a) Mostre que, dado um compacto K Ă Z e um aberto U Ă Y , (f˚)´1S(K,U) =

S(K, f´1(U).(b) Mostre que, dado um compacto K Ă X e um aberto U Ă Z, (f˚)´1S(K,U) =

S(f(K), U).(c) Conclua que f˚ e f˚ são contínuas.

(4) Mostre que se X1 é homeomorfo a X2 então C(X1, Y ) é homeomorfo a C(X2, Y ).Analogamente, se Y1 é homeomorfo a Y2, entãoC(X,Y1) é homeomorfo aC(X,Y2).

(5) Seja X um espaço localmente compacto de Hausdorff, Y um espaço métrico, econsidere C(X,Y ) com a topologia da convergência uniforme em compactos. SejaF Ă C(X,Y ) com fecho F compacto.(a) Mostre que, para cada x P X, F (x) Ă Y tem fecho compacto.(b) Mostre que para qualquer compacto K Ă X , tf |K : f P F u Ă C(K,Y ) é

totalmente limitado na métrica uniforme.

15

(c) Mostre que F é equicontínua em qualquer ponto x P X .(6) Considere a função cte : Y Ñ C(X,Y ) que leva cada ponto y P Y para a função

constante igual a y.(a) Mostre que cte é um mergulho, tanto na topologia produto como na topologia

compacta aberta.(b) Mostre que, se Y é Hausdorff, a imagem de cte é fechada, tanto na topologia

produto como na topologia compacta aberta.(c) Mostre que se Cca(X,Y ) é Hausdorff, regular ou normal, então Y é Hausdorff,

regular ou normal.(7) Seja H(X) Ă C(X,X) o subespaço dos homeomorfismos. Mostre que a função

H(X) Ñ H(X) que leva f para f´1 é contínua.(8) Sejam X , Y espaços topológicos, Z Ă Y . Mostre que, na topologia compacta

aberta, C(X,Z) é homeomorfo ao subespaço de C(X,Y ) das funções com contra-domínio contido em Z.

(9) Sejam X e Y espaços topológicos, B uma base de Y . Mostre que a colecçãotS(K,U)u, em que K Ă X é compacto e U P B, é uma subbase da topologiacompacta aberta em C(X,Y ).

(10) Pag. 288, exercícios 6, 7.

Espaços conexosDefinição 12. Uma separação dum espaço topológicoX é um par de abertos disjuntosnão vazios A, B cuja união é X. O espaço X diz-se conexo se não tiver nenhumaseparação.

Teorema 25. X é conexo sse os únicos subconjuntos de X simultaneamente abertos e fechados foremX , H.

Demonstração. Se A, B for uma separação de X, A é também fechado pois A = X ´B.Reciprocamente, se A Ă X for aberto e fechado, A, X ´A é uma separação de X . □

Teorema 26. X é conexo sse todas as funções contínuas f : X Ñ t0, 1u forem constantes.

Demonstração. Dada uma separação de X podemos construir a função sobrejectiva

f(x) =

$

&

%

0 x P A

1 x P B

e dada uma função f : X Ñ t0, 1u sobrejectiva podemos definir a separação A =

f´1(0) e B = f´1(1). □

Podemos agora caracterizar os subespaços conexos de R:

Teorema 27. Um espaço Y Ă R é conexo sse for um intervalo.

16

Demonstração. Se Y não for um intervalo, existem pontos a ă c ă b tais que a, b P

Y mas c R Y . Então A = ]´8, c[ e B = ]c,+8[ formam uma separação de Y .Reciprocamente, se Y for um intervalo, o Teorema de Bolzano diz que qualquer funçãof : Y Ñ t0, 1u Ă R tem por contradomínio um intervalo, logo é constante, portanto Y

é conexo. □

Os próximos quatro teoremas dizem-nos como construir novos espaços conexos:

Teorema 28. Dada uma colecção tXαu de subespaços conexos de X , seŞ

Xα ‰ H entãoŤ

Xα é conexo.

Demonstração. Assumimos por absurdo que existe uma função f :Ť

Xα Ñ t0, 1u quenão é constante. Então existem pontos a, b P

Ť

Xα tais que f(a) = 0 e f(b) = 1.Temos a P Xα e b P Xβ para alguns α, β, e como Xα e Xβ são conexos, f |Xα ” 0 ef |Xβ

” 1. Mas isto é impossível pois Xα X Xβ ‰ H. □

Teorema 29. Seja A Ă X conexo. Então qualquer espaço B tal que A Ă B Ă A é tambémconexo.

Demonstração. Dada uma função contínua f : B Ñ t0, 1u, a restrição f |A é constantepelo que podemos assumir que f |A ” 0. Assumimos por absurdo que existia um x P

B Ă A com f(x) = 1. Então U = f´1(t1u) é uma vizinhança de x pelo que A X U ‰

H, o que é uma contradição pois f |U ” 1. □

Teorema 30. Se X é conexo e f : X Ñ Y é contínua, então f(X) é conexo.

Demonstração. Dada uma função g : f(X) Ñ t0, 1u, a composição g ˝ f : X Ñ t0, 1u éconstante, logo g é constante. □

Teorema 31. Se X , Y são espaços conexos então X ˆ Y é também conexo.

Demonstração. Para quaisquer x P X e y P Y , a ``cruz'' Tx,y =(txu ˆY

)Y(X ˆ tyu

)é

conexa. Então, fixando um ponto x P X , XˆY =Ť

yPY Tx,y logoXˆY é conexo. □

O Teorema de Bolzano pode ser generalizado a funções com domínio conexo:

Teorema 32. Seja X um espaço conexo, f : X Ñ R uma função contínua. Então, dados quais-quer a, b P X , f toma todos os valores entre f(a) e f(b).

Definição 13. Dado um espaço topológico X , dizemos que um ponto a P X é umponto de corte se X ´ tau não for conexo.

Um homeomorfismo preserva pontos de corte:

Teorema 33. Seja f : X Ñ Y um homeomorfismo. Então um ponto a P X é um ponto de cortede X sse f(a) for um ponto de corte de Y .

17

Exercícios.

(1) Encontre uma separação de cada um dos seguintes espaços:(a) X = ]´1, 0[ Y ]0, 1[ Ă R.(b) Y = [0, 1] Y [2, 3] Ă R.(c) A união das bolas de raio um em R2 centradas nos pontos (´1, 0), (0,´1) e

(1, 1).(2) Mostre que os seguintes espaços são conexos:

(a) A circunferência S1. Sugestão: construa uma função com contradomínio S1.(b) O toro S1 ˆ S1.(c) A circunferência S1 menos um ponto.(d) Rn.(e) Uma bola B(x, ε) Ă Rn.(f) O conjunto t(x, y) P R2 : x2 + y2 ď 1u.

(3) Mostre que nenhum dos seguintes espaços é homeomorfo a nenhum outro: S1,[0, 1], [0, 1[, ]0, 1[, [0, 1] Y [2, 3], R2, S1 _ S1 (a união de duas círcunferências comum ponto em comum). Sugestão: pontos de corte.

(4) Decida, justificando, se os seguintes subconjuntos de R2 são ou não conexos:(a) A união das circunferências de raio um centradas nos pontos (2n, 0) P R2, com

n P Z.(b) O complementar do conjunto da alínea (a).(c) A união das circunferências de raio um centradas nos pontos (3n, 0) P R2, com

n P Z.(d) A união em n P N das circunferências de raio 1/n centradas em (1/n, 0) P R2.(e) A união em n P N das circunferências de raio 1/n centradas na origem.(f) O conjunto dos pontos (x, y) P R2 com x, y P Q.(g) O conjunto dos pontos (x, y) P R2 com x P Q ou y P Q.(h) O conjunto dos pontos (x, y) P R2 com x P Q.(i) A união em m P Q das rectas y = mx+ b (com b P R fixo).(j) A união em b P Q das rectas y = mx+ b (com m P R fixo).(k) A união em m, b P Q das rectas y = mx+ b.(l) O conjunto t(x, y) P R2 : xy ą 0u.

(m) O fecho do conjunto da alínea anterior.(5) Mostre que não existe qualquer relação entre a conexidade dum conjunto A Ă R2,

a conexidade do seu interior e a conexidade da sua fronteira, dando exemplos deconjuntos A cobrindo as 23 = 8 possibilidades.

(6) Seja f : Df Ñ R uma função contínua. Mostre que o gráfico de f é conexo sse Df

for um intervalo.(7) Seja A, B uma separação de X . Mostre que qualquer subespaço conexo Y Ă X

tem que estar contido ou em A ou em B.

18

(8) Sejam X, Y espaços conexos e fixemos pontos x P X e y P Y . Definimos X _ Y

como o quociente (X+Y )/„ da união disjunta pela relação de equivalência geradapor x „ y. Mostre que X _ Y é conexo.

(9) Pag. 152, exercícios 1 a 3, 5, 7, 9 a 11.

Caminhos. Espaços conexos por arcosDefinição 14. Dado um espaço topológico X e pontos a, b P X , um caminho de a

para b é uma função contínua α : [0, 1] Ñ X tal que f(0) = a e f(1) = b.

Definição 15. Seja X um espaço topológico.

(1) Dado um ponto a P X , representamos por ea o caminho constante: ea(t) = a

para qualquer t P [0, 1].(2) Dado um caminho α em X de a para b, representamos por α o caminho de b

para a definido por α(t) = α(1 ´ t).(3) Dados pontos a, b, c P X, um caminho α de a para c e um caminho β de c para

b, chamamos concatenação dos caminhos α e β ao caminho α ‹ β definido pelaequação

α ‹ β(t) =

$

&

%

α(2t) se t P [0, 12 ]

β(2t ´ 1) se t P [ 12 , 1]

Para provar que α ‹ β é contínua basta observar que [0, 12 ] e [ 12 , 1] são subconjuntos

fechados de [0, 1] e que na intersecção os dois ramos coincidem pois α(1) = β(0) = c.

Definição 16. Dizemos que um espaço X é conexo por arcos se para quaisquer a, b P

X existir um caminho em X de a para b.

Teorema 34. Se X é conexo por arcos então X é conexo.

Demonstração. Assumimos por absurdo que existe uma função sobrejectiva f : X Ñ

t0, 1u. Então existem pontos a, b P X com f(a) = 0 e f(b) = 1. Seja α : [0, 1] Ñ X

um caminho de a para b. Então f ˝ α é sobrejectiva, o que é impossível pois [0, 1] éconexo. □

Exemplo 5. Seja f : ]0,+8[ a função definida para x ą 0 por f(x) = cos(2π/x)/x eseja X = t(x, y) P R2 : x ą 0, y = f(x)u o gráfico de f . X é conexo pois é a imagemde ]0,+8[ pela função contínua g(x) = (x, f(x)). Como (0, 0) P X , X Y t(0, 0)u étambém conexo. Mas X Y t(0, 0)u não é conexo por arcos: vamos supor por absurdoque existe um caminho α = (α1, α2) em X Y t(0, 0)u unindo os pontos (0, 0) e (1, 1).Pelo Teorema de Weierstrass α2 é limitada logo existe um n P N tal que n ą α2(t)

para qualquer t P [0, 1]. Pelo teorema de Bolzano existe um t P [0, 1] tal que α1(t) =

1/n. Como α(t) P X , α2(t) = f(α1(t)) = f(1/n) = n o que é uma contradição.Concluímos que X Y t(0, 0)u não é conexo por arcos.

19

Teorema 35. Seja C uma colecção de espaços conexos por arcos tal queŞ

CPC C ‰ H. Entãoa união X =

Ť

CPC C é conexa por arcos.

Demonstração. Sejam a, b P X . Então existem A,B P C tais que a P A e b P B. Sejac P AXB. Como A é conexo por arcos, exite um caminho α em A de a para c. ComoB é conexo por arcos, exite um caminho β em B de c para b. Então a concatenaçãoα ‹ β é um caminho de a para b. □

Teorema 36. Seja X um espaço conexo por arcos, f : X Ñ Y uma função contínua. Entãof(X) é também conexo por arcos.

Demonstração. Sejam a, b P f(X). Então a = f(x) e b = f(y) para alguns x, y P X.Como X é conexo por arcos, existe um caminho α : [0, 1] Ñ X de x para y. Então ocaminho f ˝ α : [0, 1] Ñ Y é um caminho de a para b. □

Dada uma função contínua f : X Ñ Y e um caminho α em X, é costume represen-tar o caminho f ˝ α em Y por f˚α = f ˝ α.

Exercícios.

(1) Mostre que um subespaço de R é conexo sse for conexo por arcos.(2) Considere os caminhos α, β, γ : [0, 1] Ñ R em R definidos por α(t) = t(1 ´ t),

β(t) = t e γ(t) = 1. Calcule e esboce os gráficos das funções α ‹β, β ‹ γ, (α ‹β) ‹ γ

e α ‹ (β ‹ γ).(3) Considere o caminho α : [0, 1] Ñ S1 definido por α(t) =

(cos(2πt), sin(2πt)

). Cal-

cule α ‹ α e verifique que (α ‹ α) ‹ α ‰ α ‹ (α ‹ α).(4) Dizemos que um conjunto X Ă Rn é um conjunto em estrela se existir um ponto

a P X tal que, para qualquer x P X, o segmento de recta entre a e x:

L = ttx+ (1 ´ t)a : 0 ď t ď 1u

estiver contido em X . Mostre que qualquer conjunto em estrela é conexo por arcos.(5) Sejam X , Y espaços topológicos, f : X Ñ Y uma função contínua, a, b, c P X, α

um caminho entre a e b e β um caminho entre b e c. Mostre que:(a) ea = ea e α = α.(b) α ‹ β = β ‹ α.(c) f˚(ea) = ef(a) e f˚α = f˚α.(d) f˚(α ‹ β) = (f˚α) ‹ (f˚β).

(6) Para cada n P N seja Fn = t1/nu ˆ [´n, n] Ă R2 e seja X = R2 ´(Ť

Fn

).

(a) Seja Y = t(x, y) P X : x ą 0u. Mostre que Y é conexo por arcos.(b) Mostre que X é conexo. Sugestão: escreva X como uma união AYY para um

espaço A apropriado.(c) Mostre que X não é conexo por arcos.

(7) Mostre que o produto de espaços conexos por arcos é conexo por arcos.

20

(8) Pag. 157, exercícios 1, 9, 10

ComponentesComeçamos por introduzir uma relação de equivalência em X :

Definição 17. Dados a, b P X , dizemos que a „ b se existir um caminho em X de a

para b.

Teorema 37. A relação „ é uma relação de equivalência.

Demonstração.

(1) Para mostrar que a „ a basta considerar o caminho constante ea(t) = a.(2) Vamos ver que (a „ b) ô (b „ a). Basta observar que se α é um caminho em

X de a para b então o caminho α(t) = α(1´ t) é um caminho em X de b paraa.

(3) Vamos supor que a „ b e que b „ c. Então existe um caminho α de a para b eum caminho β de b para c. A concatenação α ‹ β é um caminho de a para c.

□

Definição 18. Chamamos componentes conexas por arcos de X às classes de equiva-lência Px = [x] da relação de equivalência „.

Como sempre acontece com relações de equivalência, dados x, y P X , ou Px = Py

ou Px X Py = H. Assim, as componentes conexas por arcos formam uma partição deX .

Teorema 38. Px é o maior conjunto conexo por arcos que contém x. Ou seja, Px é conexo porarcos, e dado qualquer conjunto A conexo por arcos tal que x P A, temos A Ă Px.

Demonstração. Começamos por ver que Px é conexo por arcos: se a, b P Px então a „ x

e b „ x logo a „ b logo existe um caminho de a para b. Supomos agora que A é conexopor arcos e que x P A. Então, para qualquer y P A existe um caminho em A de x paray, logo x „ y, logo y P Px. Assim, A Ă Px. □

De modo semelhante, podemos introduzir a noção de componente conexa.

Definição 19. Dizemos que a „ b se existir um conjunto A conexo tal que x, y P A.Chamamos componentes conexas de X às classes de equivalência, que representamospor Cx = [x].

Para ver que se trata duma relação de equivalência a única dificuldade é provar atransitividade: Se a „ b e b „ c, existem conexos A e C com a, b P A e b, c P C. Masentão b P A X C logo A Y C é conexo e a, c P A Y C logo a „ c.

Tal como antes, as componentes conexas formam uma partição de X e temos:

21

Teorema 39. Cx é o maior conjunto conexo que contém x.

Demonstração. Se A for conexo e x P A, para qualquer y P A temos x „ y logo y P Cx.Assim A Ă Cx. Falta ver que Cx é conexo. Para tal basta ver que

Cx =ď

tA Ă X : A é conexo e x P Au

pois trata-se da união de conjuntos conexos com intersecção não vazia. Já provámosĄ pois qualquer A conexo com x P A está contido em Cx. Para provar Ă tomamosum y P Cx. Então y „ x logo existe um conexo A tal que x, y P A, o que termina ademonstração. □

Teorema 40. Para qualquer x P X , Cx é fechado em X .

Demonstração. Como Cx é conexo, Cx também é conexo, logo Cx Ă Cx pelo que Cx éfechado. □

Em geral, as componentes conexas não são abertas. Para tal precisamos duma con-dição extra:

Definição 20. Dizemos que um espaçoX é localmente conexo se para qualquer x P X

e qualquer U P Vx, existir uma vizinhança V P Vx conexa. Analogamente, dizemosque X é localmente conexo por arcos se para qualquer x P X e qualquer U P Vx,existir uma vizinhança V P Vx conexa por arcos.

Teorema 41. Se X é localmente conexo (ou localmente conexo por arcos) e A Ă X é aberto entãoA é também localmente conexo (ou localmente conexo por arcos).

Teorema 42. Se X é localmente conexo então as componentes conexas de X são abertas. Se X élocalmente conexo por arcos então as componentes conexas por arcos de X são abertas.

Teorema 43. Num espaço localmente conexo por arcos as componentes conexas e as componentesconexas por arcos coincidem.

Exercícios.

(1) Seja A Ă R um aberto.(a) Mostre que as componentes conexas de A são intervalos abertos.(b) Conclua que qualquer aberto em R é uma união de intervalos abertos disjuntos.

(2) Mostre que X ˆ Q não é localmente conexo em nenhum ponto.(3) Seja X Ă R2 a união das rectas y = mx com m P Q.

(a) Mostre que X é localmente conexo em 0 P X .(b) Mostre que X ´ t0u é homeomorfo a S1 ˆ Q.(c) Conclua que X só é localmente conexo em 0.

(4) Dado um espaço topológico X , representamos por π0(X) o conjunto das compo-nentes conexas por arcos de X.

22

(a) Dada uma função contínua f : X Ñ Y , e uma componente conexa C Ă X,mostre que existe uma única componente conexa C 1 Ă Y tal que f(C) Ă C 1.Definimos a função f˚ : π0(X) Ñ π0(Y ) por f˚C = C 1.

(b) Dadas funções contínuas f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z, mostre que (g˝f)˚ = g˚ ˝f˚.(c) Mostre que se f : X Ñ Y é um homeomorfismo, então f˚ é uma bijecção.(d) Mostre que π0(X ˆ Y ) é isomorfo a π0(X) ˆ π0(Y ) (isto é, tem a mesma car-

dinalidade).(5) Mostre que a relação de homotopia f » g entre duas funções f, g : X Ñ Y é uma

relação de equivalência. Sugestão: recorde que uma homotopia pode ser vista comoum caminho num espaço de funções.

(6) Seja X um espaço topológico, a, b P X . Seja Ca,b Ă C([0, 1], X) o espaço doscaminhos entre a e b, com a topologia compacta aberta. Mostre que dois caminhosα, β P Ca,b estão na mesma componente conexa por arcos sse existir uma funçãocontínua H : [0, 1]ˆ [0, 1] Ñ X tal que H(s, 0) = α(s), H(s, 1) = β(s), H(0, t) = a

e H(1, t) = b (dizemos então que os dois caminhos são homotópicos).(7) Pag. 162, exercícios 1, 2, 5, 10.