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2 PROBABILIDADE Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentista e Axiomática Definição 2.1 (Clássica): Seja A um evento e Ω o espaço amostral finito, então se todos os resultados elementares de Ω sao equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento P (A)= #A em que #A é a cardinalidade de A e é a cardinalidade de Ω Definição 2.2 (Frequentista): Seja A um evento, então P (A) = lim n→∞ n A n em que n A é o número de ocorrências do evento A em n realizações. A definição frequentista baseia-se na frequência relativa de um número grande n. Definição 2.3 (Axiomática - Axiomas de Kolmogorov): Probabilidade ou medida de pro- babilidade na σ-algebra F e a função P , definida em F , e que satisfaz os axiomas seguintes: 1. Para algum A ∈F , existe um numero P (A) 0 2. P (Ω) = 1 3. (Aditividade finita). Se A 1 ,A 2 , .., A n ∈F são disjuntos (2 a 2), então P n [ i=1 A i ! = n X i=1 P (A i ) Os eventos são disjuntos, ou disjuntos 2 a 2, se são mutuamente exclusivos, ou seja, A i A j = se i 6= j

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PROBABILIDADE

Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentistae Axiomática

Definição 2.1 (Clássica): Seja A um evento e Ω o espaço amostral finito, então se todosos resultados elementares de Ω sao equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência doevento

P (A) =#A

em que #A é a cardinalidade de A e #Ω é a cardinalidade de Ω

Definição 2.2 (Frequentista): Seja A um evento, então

P (A) = limn→∞

nA

n

em que nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.

A definição frequentista baseia-se na frequência relativa de um número grande n.

Definição 2.3 (Axiomática - Axiomas de Kolmogorov): Probabilidade ou medida de pro-babilidade na σ-algebra F e a função P , definida em F , e que satisfaz os axiomas seguintes:

1. Para algum A ∈ F , existe um numero P (A) ≥ 0

2. P (Ω) = 1

3. (Aditividade finita). Se A1, A2, .., An ∈ F são disjuntos (2 a 2), então

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai)

Os eventos são disjuntos, ou disjuntos 2 a 2, se são mutuamente exclusivos, ou seja,Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j

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Probabilidade 2

2.1 ESPAÇOS DE PROBABILIDADE

Definição 2.4: A tripla (Ω,F , P ) é um espaço de probabilidade se

• Ω é um espaço de amostral

• F é uma σ-álgebra dos subconjuntos (eventos) mensuráveis de Ω

• P é uma medida de probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov.

Intuitivamente quando se modela uma problema através de probabilidade, basicamente, oque se faz é especificar cada uma das componentes da tipla (Ω,F , P ), em que:

• Os eventos são os elementos de F , aos quais se pode atribuir probabilidade.

• Probabilidade é uma função cujo argumento é um conjunto. Portanto, não somente con-juntos, como também as operações sobre eles, têm uma importância fundamental emteoria da probabilidade.

2.2 PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE

Teorema 2.1 (Propriedades de probabilidade): Dado um espaço de probabilidade (Ω,F , P )

e considerando os eventos abaixo nesse espaço, tem-se as propriedades de probabilidade

1. P (Ac) = 1− P (A)

2. P (∅) = 0

3. 0 ≤ P (A) ≤ 1 (Consequência do Axioma 1 e Propriedade 1)

4. Se A1 ⊂ A2 então P (A1) ≤ P (A2)

5. P (A1 ∪ A2) ≤ P (A1) + P (A2)

6. Regra da Adição de Probabilidades

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2)− P (A1 ∩ A2)

Exemplo 2.1: Um aluno leva dois livros para ler durante as férias. A probabilidade de elegostar do primeiro livro é de 0,5, de gostar do segundo livro é de 0,4 e de gostar de ambos oslivros é de 0,3. Qual é a probabilidade de que ele não goste de nenhum dos livros?

Seja o evento Li "Gostar do livro i". Então temos os seguintes eventos:

• gostar somente do livro 1 L1

• gostar somente do livro 1 L2

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Probabilidade 3

• gostar de ambos os livros é L1 ∩ L2.

• gostar de pelo menos um livro L1 ∪ L2.

• não gostar de nenhum livro Lc1 ∩ Lc

2.

Assim,

P (Lc1 ∩ Lc

2) = P ((L1 ∪ L2)c) = 1− P ((L1 ∪ L2))

P ((L1 ∪ L2)) = P (L1) + P (L2)− P ((L1 ∩ L2))

= 0, 5 + 0, 4− 0, 3

= 0, 6

P (Lc1 ∩ Lc

2) = 1− 0, 6 = 0, 4

Exemplo 2.2: Considere o lançamento de um dado viciado, no qual a probabilidade de umnumero ser impar é 0,6 e a probabilidade de um numero ser menor ou igual a 4 é 0,64. Qual éa probabilidade de se obter o numero "seis"?

Sejam os eventos:

• A: o numero ser impar⇒ A = 1, 3, 5

• B: o numero ser menor ou igual a 4⇒ A = 1, 2, 3, 4

• C: o numero ser igual a 6

Então temos que:

C = (A ∪B)c ⇒ P (C) = P (A ∪B)c = 1− P (A ∪B)

Assim,

P (C) = 1− (P (A) + P (B)− P (A ∩B))

= 1− (0, 60 + 0, 64− P (A ∩B))

= 1− 1, 24 + P (A ∩B)

= P (A ∩B)− 0, 24

Não conhecemos P (A ∩ B), desta forma não é possível obter a probabilidade exata doevento C, mas como (A ∩B) ⊂ B, assim P (A ∩B) ≤ P (B), ou seja P (A ∩B) ≤ 0, 64.

Assumindo P (A ∩B) = 0, 64, temos

P (C) = 0, 64− 0, 24 = 0, 40

Assim0 ≤ P (C) ≤ 0, 40

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Probabilidade 4

2.3 PROBABILIDADE CONDICIONAL

Definição 2.5: Seja (Ω,F , P ) um espaço de probabilidade. Se A e B ∈ F e P (B) > 0,então a probabilidade condicional de A dado B é definida por:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)

Observações:

• Se A e B forem mutuamente exclusivos, então A ∩B = ∅, desse modo P (A|B) = 0

• Se B ∈ A então P (A|B) = 1

É possível verificar que, para P (B) > 0, a função P1 aplicada em conjuntos FB é definidapor

P1(A) =P (A ∩B)

P (B)

satisfaz os Axiomas de Kolmogorov sendo assim uma probabilidade.Desse modo, construímos um novo espaço de probabilidade (B,FB, P1) partindo do original

(Ω,F , P ). Consequentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por exemplo

P (Ac|B) = 1− P (A|B)

Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de secalcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Estaexpressão é denominada de teorema da multiplicação

P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A)

Exemplo 2.3: Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se queentre 1000 famílias, os assinantes se dispõem da seguinte forma

Jornais A B C A e B A e C B e C A e B e CNumero de familias 140 230 370 80 90 130 50

Qual a probabilidade de:

a) Uma familia assinar o jornal A, dado que assinou o jornal B?

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=

80/1000

230/100=

80

230= 0, 3478

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Probabilidade 5

b) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos outros2 jornais ?

P (A|B ∪ C) =P (A ∩ (B ∪ C)

P (B ∪ C)

P (A ∩ (B ∪ C) = P ((A ∩B) ∪ (A ∩ C)) = P (A ∩B) + P (A ∩ C)− P (A ∩B ∩ C)

=80 + 90− 150

1000=

120

1000

P (B ∪ C) = P (B) + P (C)− P (B ∩ C) =230 + 370− 130

1000=

470

1000

P (A|B ∪ C) =120

470= 0, 2553

c) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos 3 jornais?

Exemplo 2.4: Suponha que A,B e C sejam eventos tais que P (A) = P (B) = P (C) =

1/4, P (A ∩B) = P (C ∩B) = 0 e P (A ∩ C) = 1/8. Calcule a as seguintes probabilidades:

a) P (A|B)

P (A|B) = 0 pois P (A ∩B) = 0

b) P (A|C)

P (A|C) =P (A ∩ C)

P (C)=

1/8

1/4=

1

2

c) P (A ∩ (B ∪ C)) Temos que

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) = ∅ ∪ (A ∩ C) = (A ∩ C)

AssimP (A ∩ (B ∪ C)) = P (A ∩ C) =

1

8

2.3.1 Independência

Definição 2.6: Seja o espaço de probabilidade (Ω,F , P ). Os eventos aleatórios A e B sãoindependentes (estocastimente) se:

P (A ∩B) = P (A)P (B)

Da definição de independência verifica-se que os eventos A e B sao independentes se

P (A|B) = P (A) e P (B|A) = P (B)

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Probabilidade 6

Exemplo 2.5: Se A e B são independentes, P (A) = 13

e P (Bc) = 14, determine P (A ∪B)

P (B) = 1− P (Bc) = 1− 1

4=

3

4

P (A ∩B) = P (A)P (B) =1

3

3

4=

1

4

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =1

3+

3

4− 1

4=

5

6

Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce nenhuma influênciana probabilidade de ocorrência do outro

Exemplo 2.6: Se P (A) = 12, P (Bc) = 1

4e P (A ∪B) = 3

4, A e B são independentes?

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)3

4=

1

2+

1

4− P (A ∩B)

3

4=

3

4− P (A ∩B)

P (A ∩B) = 0

Logo os eventos não são independentes

Teorema 2.2: Se A e B são independentes, então A e Bc; Ac e B; Ac e Bc também sãoindependentes.

Definição 2.7: Os eventos aleatórios A1, A2, ..., An,são:

• independente dois a dois (pares) se

P (Ai ∩ Aj) = P (Ai)P (Aj)

• coletivamente independentes se

P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P (A1)P (A2)...P (An)

Independência a pares não implica independência coletiva.

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Probabilidade 7

Exemplo 2.7: Seja Ω = w1, w2, w3, w4 e P (W ) = 14

para todo w ∈ Ω. Sejam os eventosA = w1, w4, B = w2, w4 e C = w3, w4. Então temos

P (A) = P (B) = P (C) =1

4+

1

4=

1

2

P (A ∩B) =1

4= P (A)P (B)

P (A ∩ C) =1

4= P (A)P (C)

P (B ∩ C) =1

4= P (B)P (C)

Então os eventos são independentes dois a dois, mas

P (A ∩B ∩ C) =1

4

P (A)P (B)P (C) =1

2

1

2

1

2=

1

8P (A ∩B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C)

2.3.2 Teorema de Bayes

Definição 2.8: Uma partição do espaço amostral Ω é uma família de conjuntosA1, A2, ..., An

mutuamente exclusivos, isto é:

•n⋃

i=1

Ai = Ω

• Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j

Teorema 2.3 (Teorema da Probabilidade Total): Se a sequencia de eventos aleatóriosA1, A2, ..., An

forma uma partição do espaço amostral Ω, então a probabilidade de um evento B contido emΩ e dada por

P (B) =n∑

i=1

P (Ai)P (B|Ai)

Teorema 2.4 (Formula de Bayes): Se a sequencia de eventos aleatóriosA1, A2, ..., An formauma partição do espaço amostral Ω, então

P (Ai|B) =P (Ai)P (B|Ai)∑j P (Aij)P (B|Aj)

Exemplo 2.8: 8) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Daspessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dosque não tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população e selecionada aoacaso e o teste Y é aplicado.

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Probabilidade 8

a) Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente aoteste?Sejam os eventos:

– A o teste Y reagiu positivamente

– N o teste Y reagiu negativamente

– T a pessoa tem tuberculose

– NT a pessoa não tem tuberculose

P (T ) =1

10= 0, 1

P (NT ) =9

10= 0, 9

P (A|T ) = 0, 8⇒ P (N |T ) = P (Ac|T ) = 1− P (A|T ) = 1− 0, 8 = 0, 20

P (A|NT ) = 0, 3⇒ P (N |NT ) = P (Ac|NT ) = 1− P (A|NT ) = 1− 0, 30 = 0, 70

P (A) = P (T ∩ A) + P (NT ∩ A) = P (A|T )P (T ) + P (A|NT )P (NT )

= 0, 80× 0, 10 + 0, 30× 0, 90 = 0, 08 + 0, 27 = 0, 35

P (T |A) =P (T ∩ A)

P (A)=

0, 08

0, 35= 0, 2286

b) Qual a probabilidade de que essa pessoa não tenha tuberculose, se reagiu negativamenteao teste?

2.4 EXERCÍCIOS

2.4.1 Teóricos

2.1) Mostre que para quaisquer A1, A2, .., An ∈ F

P

(n⋃

i=1

Ai

)≤

n∑i=1

P (Ai)

2.2) Mostre que:

a)

P (A1∪A2∪A3) = P (A1)+P (A2)+P (A3)−P (A1∩A2)−P (A1∩A3)−P (A2∩A3)+P (A1∩A2∩A3)

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Probabilidade 9

b)

P (A1 ∪ A2 ∪ .. ∪ An) =n∑

j=1

P (Ai)−∑∑

i<j

P (Ai ∩ Aj) +∑∑∑

i<j<k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak)− ...

+(−1)n+1P (A1 ∩ A2 ∩ .. ∩ An)

c)

P

(n⋂i

Ai

)= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2)...P (An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1)

2.3) Seja A ∈ B. Expresse as seguintes probabilidades da forma mais simples possível.

P (A|B), P (A|Bc), P (B|A), P (B|Ac)

2.4) Se Ai, i = 1, 2, 3, ... são mutuamente exclusivos, mostre que:

P

(∞⋃i=1

Ai|B

)=∞∑i=1

P (Ai|B)

2.5) Seja P uma probabilidade sobre um espaço amostral e suponha que A é um evento com0 < P (A) < 1. Mostre que A e B são independentes se e somente se P (B|A) = P (B|Ac).

2.6) Os eventos A,B e C são independentes. Prove que P (B|A∩C) = P (B|A∪C) = P (B).

2.7) Demonstre ou dê um contra exemplo:

a) Se A é independente de B, e A é independente de C, então A é independente de B ∪ C

b) Se A é independente de B, e A é independente de C, com B ∩ C = ∅ então A éindependente de A ∪B

2.8) Seja A um evento qualquer, mostre que:

a) A e ∅ são independentes

b) A e Ω são independentes

2.9) Demonstre que se P (B|Ac) = P (B|A), então P (B|A) = P (B)

2.4.2 Práticos

2.1) Considere um círculo inscrito em um triângulo equilátero. Pergunta-se

a) Se um inseto pousar no círculo, qual a probabilidade de que tenha pousado também notriangulo?

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Probabilidade 10

b) Se um inseto pousar no triangulo, qual a probabilidade de que tenha pousado também nocirculo?

2.2) Durante um período de 24 h, em algum momento X , uma chave é posta na posição "li-gada". Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada paraa posição "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, como início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par denúmeros (X, Y ).

a) Descreva o espaço amostral.

b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:

1. O circuito está ligado por uma hora ou menos.

2. O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h.

3. O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (t1 < t2) são2 instantes durante o período de 24 h especificado).

4. O circuito permanece ligado 2 vezes mais tempo do que desligado

2.3) A probabilidade de um estudante ter o cartão de credito A é 0,5, de ter o cartão de creditoB é 0,4 e de ter ambos os cartões é 0,25. Determine a probabilidade de:

a) Um estudante ter pelo menos um dos dois cartões.

b) Um estudante não ter nenhum dos dois cartões.

2.4) Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmaschances de vencer e, cada um, e tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Qual aprobabilidades de A ou C vencer?.

2.5) Escolha um ponto, ao acaso, no círculo unitário com centro na origem. Qual é a probabi-lidade da distância desse ponto à circunferência, que limita o círculo, ser inferior a 1/2.

2.6) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se aprobabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência deA for igual a 0,4 determine a probabilidade da ocorrência de B.

2.7) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P (A) = 0, 4

enquanto P (A ∪B) = 0, 7. Seja P (B) = p.

a) Para qual valor de p, A e B serão mutuamente excludentes?

b) Se A e B não são disjuntos, para qual valor de p, A e B são independentes?

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Probabilidade 11

2.8) As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança,depois de beber, são de 1

3, 1

4e 1

5, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, depois de

beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? Qual aprobabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo?

2.9) Sendo P (A) = 12

e P (A ∪B) = 34, determine P (B) no seguintes casos:

a) A e B são independentes

b) A e B são disjuntos

c) A está contido em B

2.10) A probabilidade de fechar o i-ésimo rele em um circuito é dado por pi, i = 1, 23, 4 e 5.Se todos os reles funcionam independentemente. Qual a probabilidade da corrente passar entreos pontos A e B.

2.11) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dis duas en que faz bomtempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade dechover?

2.12) Considere dois eventos A e B tais que:

P (A) =1

4, P (B|A) =

1

2, P (A|B) =

1

4

a) A e B são mutuamente excludentes?

b) A e B são independentes?

c) Determine P (Ac|Bc), P (Ac|B) + P (A|B) e P (A|Bc)

2.13) Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9; 0,8 e0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou3 não funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultâneade 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionemindependentemente, calcular a confiabilidade do sistema.

2.14) Uma válvula a vácuo pode provir de 3 fabricantes, com probabilidade 0,25; 0,50 e 0,25.As probabilidades de que , durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são,respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4, para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de queuma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado.

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Probabilidade 12

2.15) Um treinador de basquete tem duas jogadas em mente que podem ser úteis em momentosdecisivos de uma partida. Ele acha que a probabilidade de que a jogada de ataque dê certo é de0.5. Se a jogada de ataque dá certo, a chance do time roubar a bola na defesa é de 0,75; casocontrário, a probabilidade se reduz a 1/3. Determine:

a) a probabilidade do time conseguir sucesso nas duas jogadas;

b) a probabilidade de ambas jogadas darem errado;

c) a probabilidade de somente a jogada de defesa ser bem sucedida.

2.16) Considere três conjuntos A, B e C, sendoP (A) = P (B) = P (C) = 1/4, P (A ∩ B) =

1/8, P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0. Determine a probabilidade de:

a) somente um dos eventos ocorrer

b) todos os eventos ocorrerem

c) nenhum dos eventos ocorrer.