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PROBABILIDADE
Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentistae Axiomática
Definição 2.1 (Clássica): Seja A um evento e Ω o espaço amostral finito, então se todosos resultados elementares de Ω sao equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência doevento
P (A) =#A
#Ω
em que #A é a cardinalidade de A e #Ω é a cardinalidade de Ω
Definição 2.2 (Frequentista): Seja A um evento, então
P (A) = limn→∞
nA
n
em que nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
A definição frequentista baseia-se na frequência relativa de um número grande n.
Definição 2.3 (Axiomática - Axiomas de Kolmogorov): Probabilidade ou medida de pro-babilidade na σ-algebra F e a função P , definida em F , e que satisfaz os axiomas seguintes:
1. Para algum A ∈ F , existe um numero P (A) ≥ 0
2. P (Ω) = 1
3. (Aditividade finita). Se A1, A2, .., An ∈ F são disjuntos (2 a 2), então
P
(n⋃
i=1
Ai
)=
n∑i=1
P (Ai)
Os eventos são disjuntos, ou disjuntos 2 a 2, se são mutuamente exclusivos, ou seja,Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j
Probabilidade 2
2.1 ESPAÇOS DE PROBABILIDADE
Definição 2.4: A tripla (Ω,F , P ) é um espaço de probabilidade se
• Ω é um espaço de amostral
• F é uma σ-álgebra dos subconjuntos (eventos) mensuráveis de Ω
• P é uma medida de probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov.
Intuitivamente quando se modela uma problema através de probabilidade, basicamente, oque se faz é especificar cada uma das componentes da tipla (Ω,F , P ), em que:
• Os eventos são os elementos de F , aos quais se pode atribuir probabilidade.
• Probabilidade é uma função cujo argumento é um conjunto. Portanto, não somente con-juntos, como também as operações sobre eles, têm uma importância fundamental emteoria da probabilidade.
2.2 PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE
Teorema 2.1 (Propriedades de probabilidade): Dado um espaço de probabilidade (Ω,F , P )
e considerando os eventos abaixo nesse espaço, tem-se as propriedades de probabilidade
1. P (Ac) = 1− P (A)
2. P (∅) = 0
3. 0 ≤ P (A) ≤ 1 (Consequência do Axioma 1 e Propriedade 1)
4. Se A1 ⊂ A2 então P (A1) ≤ P (A2)
5. P (A1 ∪ A2) ≤ P (A1) + P (A2)
6. Regra da Adição de Probabilidades
P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2)− P (A1 ∩ A2)
Exemplo 2.1: Um aluno leva dois livros para ler durante as férias. A probabilidade de elegostar do primeiro livro é de 0,5, de gostar do segundo livro é de 0,4 e de gostar de ambos oslivros é de 0,3. Qual é a probabilidade de que ele não goste de nenhum dos livros?
Seja o evento Li "Gostar do livro i". Então temos os seguintes eventos:
• gostar somente do livro 1 L1
• gostar somente do livro 1 L2
Probabilidade 3
• gostar de ambos os livros é L1 ∩ L2.
• gostar de pelo menos um livro L1 ∪ L2.
• não gostar de nenhum livro Lc1 ∩ Lc
2.
Assim,
P (Lc1 ∩ Lc
2) = P ((L1 ∪ L2)c) = 1− P ((L1 ∪ L2))
P ((L1 ∪ L2)) = P (L1) + P (L2)− P ((L1 ∩ L2))
= 0, 5 + 0, 4− 0, 3
= 0, 6
P (Lc1 ∩ Lc
2) = 1− 0, 6 = 0, 4
Exemplo 2.2: Considere o lançamento de um dado viciado, no qual a probabilidade de umnumero ser impar é 0,6 e a probabilidade de um numero ser menor ou igual a 4 é 0,64. Qual éa probabilidade de se obter o numero "seis"?
Sejam os eventos:
• A: o numero ser impar⇒ A = 1, 3, 5
• B: o numero ser menor ou igual a 4⇒ A = 1, 2, 3, 4
• C: o numero ser igual a 6
Então temos que:
C = (A ∪B)c ⇒ P (C) = P (A ∪B)c = 1− P (A ∪B)
Assim,
P (C) = 1− (P (A) + P (B)− P (A ∩B))
= 1− (0, 60 + 0, 64− P (A ∩B))
= 1− 1, 24 + P (A ∩B)
= P (A ∩B)− 0, 24
Não conhecemos P (A ∩ B), desta forma não é possível obter a probabilidade exata doevento C, mas como (A ∩B) ⊂ B, assim P (A ∩B) ≤ P (B), ou seja P (A ∩B) ≤ 0, 64.
Assumindo P (A ∩B) = 0, 64, temos
P (C) = 0, 64− 0, 24 = 0, 40
Assim0 ≤ P (C) ≤ 0, 40
Probabilidade 4
2.3 PROBABILIDADE CONDICIONAL
Definição 2.5: Seja (Ω,F , P ) um espaço de probabilidade. Se A e B ∈ F e P (B) > 0,então a probabilidade condicional de A dado B é definida por:
P (A|B) =P (A ∩B)
P (B)
Observações:
• Se A e B forem mutuamente exclusivos, então A ∩B = ∅, desse modo P (A|B) = 0
• Se B ∈ A então P (A|B) = 1
É possível verificar que, para P (B) > 0, a função P1 aplicada em conjuntos FB é definidapor
P1(A) =P (A ∩B)
P (B)
satisfaz os Axiomas de Kolmogorov sendo assim uma probabilidade.Desse modo, construímos um novo espaço de probabilidade (B,FB, P1) partindo do original
(Ω,F , P ). Consequentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por exemplo
P (Ac|B) = 1− P (A|B)
Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de secalcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Estaexpressão é denominada de teorema da multiplicação
P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A)
Exemplo 2.3: Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se queentre 1000 famílias, os assinantes se dispõem da seguinte forma
Jornais A B C A e B A e C B e C A e B e CNumero de familias 140 230 370 80 90 130 50
Qual a probabilidade de:
a) Uma familia assinar o jornal A, dado que assinou o jornal B?
P (A|B) =P (A ∩B)
P (B)=
80/1000
230/100=
80
230= 0, 3478
Probabilidade 5
b) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos outros2 jornais ?
P (A|B ∪ C) =P (A ∩ (B ∪ C)
P (B ∪ C)
P (A ∩ (B ∪ C) = P ((A ∩B) ∪ (A ∩ C)) = P (A ∩B) + P (A ∩ C)− P (A ∩B ∩ C)
=80 + 90− 150
1000=
120
1000
P (B ∪ C) = P (B) + P (C)− P (B ∩ C) =230 + 370− 130
1000=
470
1000
P (A|B ∪ C) =120
470= 0, 2553
c) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos 3 jornais?
Exemplo 2.4: Suponha que A,B e C sejam eventos tais que P (A) = P (B) = P (C) =
1/4, P (A ∩B) = P (C ∩B) = 0 e P (A ∩ C) = 1/8. Calcule a as seguintes probabilidades:
a) P (A|B)
P (A|B) = 0 pois P (A ∩B) = 0
b) P (A|C)
P (A|C) =P (A ∩ C)
P (C)=
1/8
1/4=
1
2
c) P (A ∩ (B ∪ C)) Temos que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) = ∅ ∪ (A ∩ C) = (A ∩ C)
AssimP (A ∩ (B ∪ C)) = P (A ∩ C) =
1
8
2.3.1 Independência
Definição 2.6: Seja o espaço de probabilidade (Ω,F , P ). Os eventos aleatórios A e B sãoindependentes (estocastimente) se:
P (A ∩B) = P (A)P (B)
Da definição de independência verifica-se que os eventos A e B sao independentes se
P (A|B) = P (A) e P (B|A) = P (B)
Probabilidade 6
Exemplo 2.5: Se A e B são independentes, P (A) = 13
e P (Bc) = 14, determine P (A ∪B)
P (B) = 1− P (Bc) = 1− 1
4=
3
4
P (A ∩B) = P (A)P (B) =1
3
3
4=
1
4
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =1
3+
3
4− 1
4=
5
6
Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce nenhuma influênciana probabilidade de ocorrência do outro
Exemplo 2.6: Se P (A) = 12, P (Bc) = 1
4e P (A ∪B) = 3
4, A e B são independentes?
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)3
4=
1
2+
1
4− P (A ∩B)
3
4=
3
4− P (A ∩B)
P (A ∩B) = 0
Logo os eventos não são independentes
Teorema 2.2: Se A e B são independentes, então A e Bc; Ac e B; Ac e Bc também sãoindependentes.
Definição 2.7: Os eventos aleatórios A1, A2, ..., An,são:
• independente dois a dois (pares) se
P (Ai ∩ Aj) = P (Ai)P (Aj)
• coletivamente independentes se
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P (A1)P (A2)...P (An)
Independência a pares não implica independência coletiva.
Probabilidade 7
Exemplo 2.7: Seja Ω = w1, w2, w3, w4 e P (W ) = 14
para todo w ∈ Ω. Sejam os eventosA = w1, w4, B = w2, w4 e C = w3, w4. Então temos
P (A) = P (B) = P (C) =1
4+
1
4=
1
2
P (A ∩B) =1
4= P (A)P (B)
P (A ∩ C) =1
4= P (A)P (C)
P (B ∩ C) =1
4= P (B)P (C)
Então os eventos são independentes dois a dois, mas
P (A ∩B ∩ C) =1
4
P (A)P (B)P (C) =1
2
1
2
1
2=
1
8P (A ∩B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C)
2.3.2 Teorema de Bayes
Definição 2.8: Uma partição do espaço amostral Ω é uma família de conjuntosA1, A2, ..., An
mutuamente exclusivos, isto é:
•n⋃
i=1
Ai = Ω
• Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j
Teorema 2.3 (Teorema da Probabilidade Total): Se a sequencia de eventos aleatóriosA1, A2, ..., An
forma uma partição do espaço amostral Ω, então a probabilidade de um evento B contido emΩ e dada por
P (B) =n∑
i=1
P (Ai)P (B|Ai)
Teorema 2.4 (Formula de Bayes): Se a sequencia de eventos aleatóriosA1, A2, ..., An formauma partição do espaço amostral Ω, então
P (Ai|B) =P (Ai)P (B|Ai)∑j P (Aij)P (B|Aj)
Exemplo 2.8: 8) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Daspessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dosque não tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população e selecionada aoacaso e o teste Y é aplicado.
Probabilidade 8
a) Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente aoteste?Sejam os eventos:
– A o teste Y reagiu positivamente
– N o teste Y reagiu negativamente
– T a pessoa tem tuberculose
– NT a pessoa não tem tuberculose
P (T ) =1
10= 0, 1
P (NT ) =9
10= 0, 9
P (A|T ) = 0, 8⇒ P (N |T ) = P (Ac|T ) = 1− P (A|T ) = 1− 0, 8 = 0, 20
P (A|NT ) = 0, 3⇒ P (N |NT ) = P (Ac|NT ) = 1− P (A|NT ) = 1− 0, 30 = 0, 70
P (A) = P (T ∩ A) + P (NT ∩ A) = P (A|T )P (T ) + P (A|NT )P (NT )
= 0, 80× 0, 10 + 0, 30× 0, 90 = 0, 08 + 0, 27 = 0, 35
P (T |A) =P (T ∩ A)
P (A)=
0, 08
0, 35= 0, 2286
b) Qual a probabilidade de que essa pessoa não tenha tuberculose, se reagiu negativamenteao teste?
2.4 EXERCÍCIOS
2.4.1 Teóricos
2.1) Mostre que para quaisquer A1, A2, .., An ∈ F
P
(n⋃
i=1
Ai
)≤
n∑i=1
P (Ai)
2.2) Mostre que:
a)
P (A1∪A2∪A3) = P (A1)+P (A2)+P (A3)−P (A1∩A2)−P (A1∩A3)−P (A2∩A3)+P (A1∩A2∩A3)
Probabilidade 9
b)
P (A1 ∪ A2 ∪ .. ∪ An) =n∑
j=1
P (Ai)−∑∑
i<j
P (Ai ∩ Aj) +∑∑∑
i<j<k
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak)− ...
+(−1)n+1P (A1 ∩ A2 ∩ .. ∩ An)
c)
P
(n⋂i
Ai
)= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2)...P (An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1)
2.3) Seja A ∈ B. Expresse as seguintes probabilidades da forma mais simples possível.
P (A|B), P (A|Bc), P (B|A), P (B|Ac)
2.4) Se Ai, i = 1, 2, 3, ... são mutuamente exclusivos, mostre que:
P
(∞⋃i=1
Ai|B
)=∞∑i=1
P (Ai|B)
2.5) Seja P uma probabilidade sobre um espaço amostral e suponha que A é um evento com0 < P (A) < 1. Mostre que A e B são independentes se e somente se P (B|A) = P (B|Ac).
2.6) Os eventos A,B e C são independentes. Prove que P (B|A∩C) = P (B|A∪C) = P (B).
2.7) Demonstre ou dê um contra exemplo:
a) Se A é independente de B, e A é independente de C, então A é independente de B ∪ C
b) Se A é independente de B, e A é independente de C, com B ∩ C = ∅ então A éindependente de A ∪B
2.8) Seja A um evento qualquer, mostre que:
a) A e ∅ são independentes
b) A e Ω são independentes
2.9) Demonstre que se P (B|Ac) = P (B|A), então P (B|A) = P (B)
2.4.2 Práticos
2.1) Considere um círculo inscrito em um triângulo equilátero. Pergunta-se
a) Se um inseto pousar no círculo, qual a probabilidade de que tenha pousado também notriangulo?
Probabilidade 10
b) Se um inseto pousar no triangulo, qual a probabilidade de que tenha pousado também nocirculo?
2.2) Durante um período de 24 h, em algum momento X , uma chave é posta na posição "li-gada". Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada paraa posição "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, como início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par denúmeros (X, Y ).
a) Descreva o espaço amostral.
b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:
1. O circuito está ligado por uma hora ou menos.
2. O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h.
3. O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (t1 < t2) são2 instantes durante o período de 24 h especificado).
4. O circuito permanece ligado 2 vezes mais tempo do que desligado
2.3) A probabilidade de um estudante ter o cartão de credito A é 0,5, de ter o cartão de creditoB é 0,4 e de ter ambos os cartões é 0,25. Determine a probabilidade de:
a) Um estudante ter pelo menos um dos dois cartões.
b) Um estudante não ter nenhum dos dois cartões.
2.4) Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmaschances de vencer e, cada um, e tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Qual aprobabilidades de A ou C vencer?.
2.5) Escolha um ponto, ao acaso, no círculo unitário com centro na origem. Qual é a probabi-lidade da distância desse ponto à circunferência, que limita o círculo, ser inferior a 1/2.
2.6) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se aprobabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência deA for igual a 0,4 determine a probabilidade da ocorrência de B.
2.7) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P (A) = 0, 4
enquanto P (A ∪B) = 0, 7. Seja P (B) = p.
a) Para qual valor de p, A e B serão mutuamente excludentes?
b) Se A e B não são disjuntos, para qual valor de p, A e B são independentes?
Probabilidade 11
2.8) As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança,depois de beber, são de 1
3, 1
4e 1
5, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, depois de
beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? Qual aprobabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo?
2.9) Sendo P (A) = 12
e P (A ∪B) = 34, determine P (B) no seguintes casos:
a) A e B são independentes
b) A e B são disjuntos
c) A está contido em B
2.10) A probabilidade de fechar o i-ésimo rele em um circuito é dado por pi, i = 1, 23, 4 e 5.Se todos os reles funcionam independentemente. Qual a probabilidade da corrente passar entreos pontos A e B.
2.11) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dis duas en que faz bomtempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade dechover?
2.12) Considere dois eventos A e B tais que:
P (A) =1
4, P (B|A) =
1
2, P (A|B) =
1
4
a) A e B são mutuamente excludentes?
b) A e B são independentes?
c) Determine P (Ac|Bc), P (Ac|B) + P (A|B) e P (A|Bc)
2.13) Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9; 0,8 e0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou3 não funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultâneade 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionemindependentemente, calcular a confiabilidade do sistema.
2.14) Uma válvula a vácuo pode provir de 3 fabricantes, com probabilidade 0,25; 0,50 e 0,25.As probabilidades de que , durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são,respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4, para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de queuma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado.
Probabilidade 12
2.15) Um treinador de basquete tem duas jogadas em mente que podem ser úteis em momentosdecisivos de uma partida. Ele acha que a probabilidade de que a jogada de ataque dê certo é de0.5. Se a jogada de ataque dá certo, a chance do time roubar a bola na defesa é de 0,75; casocontrário, a probabilidade se reduz a 1/3. Determine:
a) a probabilidade do time conseguir sucesso nas duas jogadas;
b) a probabilidade de ambas jogadas darem errado;
c) a probabilidade de somente a jogada de defesa ser bem sucedida.
2.16) Considere três conjuntos A, B e C, sendoP (A) = P (B) = P (C) = 1/4, P (A ∩ B) =
1/8, P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0. Determine a probabilidade de:
a) somente um dos eventos ocorrer
b) todos os eventos ocorrerem
c) nenhum dos eventos ocorrer.