Esercizio 1 Quanti giorni ha mediamente un mese in un anno non bisestile? Si trovino moda, mediana e...

Esercizio 1

Quanti giorni ha mediamente un mese in un anno non bisestile?

Si trovino moda, mediana e media aritmetica

1. Indicare la moda

frequenza assolutamaggiore

la moda è“31 giorni”

giornifrequenze

assolute

xi ni

28 1

30 4

31 7

somma (Σ) 12

Esercizio 1



2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)

1. Trovare la posizione mediana: N (numero di mesi) è pari o dispari?

N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1

12/2 = 6 ; 6+1 = 7

le posizioni cercate sono 6 e 7

Esercizio 1




2. Identificare la mediana

12somma (Σ)

12731

5430

1128

Ninixi

frequenze

cumulate

frequenze

assolutegiorni le posizioni 6 e 7 si

trovano dopo la frequenza cumulata 5 e prima della frequenza

cumulata 12

la mediana è“31 giorni”

++=

Esercizio 1



3. Calcolare la media aritmetica

x

x

x365

217

120

(xi) * (ni)

prodotti

12somma (Σ)

7

4

1

nixi

frequenze

assolutegiorni

31

30

28

dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene:

365/12 = 30.42

la media aritmeticaè 30.42

28

n

iii nx

Nx

1

1

Esercizio 2

Si indaga il numero di test somministrati all’interno di una clinica privata di Milano ad un ridotto gruppo di pazienti (N=20) prima di formulare una diagnosi; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.


1. Indicare la moda

test

somministrati

frequenze

assolute

xi ni

2 8

3 8

5 3

6 1

somma (Σ) 20

frequenze assolutemaggiori

la distribuzione è bimodale;le due modalità più frequenti

sono “2 test” e “3 test”

Esercizio 2




1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari?

N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1

20/2 = 10 ; 10+1 = 11

le posizioni cercate sono 10 e 11

Esercizio 2




2. Identificare la mediana

20somma (Σ)

2016

1935

1683

882

Ninixi

frequenze

cumulate

frequenze

assolute

test

somministrati

le posizioni 10 e 11 si trovano dopo la

frequenza cumulata 8 e prima della frequenza

cumulata 16

la mediana è“3 test”

+++=

x

x

x

x

Esercizio 2



3. Calcolare la media aritmetica:

61

6

15

24

16

(xi) * (ni)

prodotti

1

20somma (Σ)

3

8

8

nixi

frequenze

assolute

test

somministrati

6

5

3

dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene:

61/20 = 3.05

la media aritmeticaè 3.05

2

n

iii nx

Nx

1

1

Esercizio 3

Si desidera conoscere quanti esami sono stati sostenuti dagli studenti (N=70) che frequentano un determinato corso; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.

Si calcolino la varianza e la deviazione standard

xi ni

7 32

9 15

10 13

11 5

12 5

somma (Σ) 70

Esami sostenuti

Esercizio 3



xi ni

7 32

9 15

10 13

11 5

12 5

somma (Σ) 70

Esami sostenuti

VARIANZA σ² =

1. calcolo la media aritmetica

n

iii nx

Nx

1

1

ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esercizio 3



xi ni (xi) * (ni)

7 32 224

9 15 135

10 13 130

11 5 55

12 5 60

somma (Σ) 70 604

Esami sostenuti

VARIANZA σ² =

1. calcolo la media aritmetica

n

iii nx

Nx

1

1

ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

604 / 70 = 8.63

la media è 8.63

Esercizio 3



xi ni Xi - X

7 32 1,63

9 15 0,37

10 13 1,37

11 5 2,37

12 5 3,37

somma (Σ) 70

Esami sostenuti

VARIANZA σ² =

2. calcolo gli scarti (in valore assoluto) (media = 8.63)

ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esercizio 3



xi ni Xi - X (Xi – X)²

7 32 1,63 2,66

9 15 0,37 0,14

10 13 1,37 1,88

11 5 2,37 5,62

12 5 3,37 11,36

somma (Σ) 70

Esami sostenuti

VARIANZA σ² =

3. calcolo il quadrato degli scarti

ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esercizio 3



xi ni Xi - X (Xi – X)² (Xi – X)² * ni

7 32 1,63 2,66 85,02

9 15 0,37 0,14 2,05

10 13 1,37 1,88 24,40

11 5 2,37 5,62 28,08

12 5 3,37 11,36 56,78

somma (Σ) 70

Esami sostenuti

VARIANZA σ² =

4. calcolo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato

ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esercizio 3



xi ni Xi - X (Xi – X)² (Xi – X)² * ni

7 32 1,63 2,66 85,02

9 15 0,37 0,14 2,05

10 13 1,37 1,88 24,40

11 5 2,37 5,62 28,08

12 5 3,37 11,36 56,78

somma (Σ) 70 196,34

Esami sostenuti

VARIANZA σ² =

5. sommo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato e divido per N

ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

La varianza è 196.34 / 70 = 2.8

Esercizio 3



DEVIAZIONE STANDARD σ =

σ = √(σ²) = √2.8 = 1.67

la deviazione standard è 1.67

n

ii xx

N 1

2)(1

ni;ּ

Si indaga il numero di pezzi acquistati da 60 soggetti che, in un supermercato di Saronno, pagano alla corsia "Max 10 pezzi"; di seguito si riportano le frequenze assolute

xi ni

2 2

3 2

5 3

6 13

7 21

8 13

9 4

10 2

Trovare:• moda• mediana• media aritmetica• varianza e deviazione standard

Esercizio 4

xi ni

2 2

3 2

5 3

6 13

7 21

8 13

9 4

10 2

MODA, modalità/valore a cui è associata la frequenza maggiore:

MODA = 7 pezzi

Esercizio 4

xi ni Ni

2 2 2

3 2 4

5 3 7

6 13 20

7 21 41

8 13 54

9 4 58

10 2 60

somma 60

MEDIANA, modalità/valore che “divide in due la distribuzione”:

Posizioni: N/2 e N/2 + 1 : 30 e 31

Esercizio 4

xi ni Ni

2 2 2

3 2 4

5 3 7

6 13 20

7 21 41

8 13 54

9 4 58

10 2 60

somma 60

MEDIANA, modalità/valore che “divide in due la distribuzione”:

Posizioni: N/2 e N/2 + 1 : 30 e 31

La MEDIANA è 7 pezzi

Esercizio 4

xi ni (xi) * (ni)

2 2

3 2

5 3

6 13

7 21

8 13

9 4

10 2

somma

n

iii nx

Nx

1

1MEDIA ARITMETICA

Esercizio 4

xi ni (xi) * (ni)

2 2 4

3 2 6

5 3 15

6 13 78

7 21 147

8 13 104

9 4 36

10 2 20

somma

n

iii nx

Nx

1

1MEDIA ARITMETICA

Esercizio 4

xi ni (xi) * (ni)

2 2 4

3 2 6

5 3 15

6 13 78

7 21 147

8 13 104

9 4 36

10 2 20

somma 410

n

iii nx

Nx

1

1MEDIA ARITMETICA

Esercizio 4

xi ni (xi) * (ni)

2 2 4

3 2 6

5 3 15

6 13 78

7 21 147

8 13 104

9 4 36

10 2 20

somma 410

n

iii nx

Nx

1

1MEDIA ARITMETICA

410 / 60 = 6,8

La MEDIA ARITMETICA è 6,8

Esercizio 4

xi ni

2 2

3 2

5 3

6 13

7 21

8 13

9 4

10 2

somma

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx

Esercizio 4

xi ni

2 2 4,8

3 2 3,8

5 3 1,8

6 13 0,8

7 21 0,2

8 13 1,2

9 4 2,2

10 2 3,2

somma

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx

Esercizio 4

xi ni

2 2 4,8

3 2 3,8

5 3 1,8

6 13 0,8

7 21 0,2

8 13 1,2

9 4 2,2

10 2 3,2

somma

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx 2)( xx

Esercizio 4

xi ni

2 2 4,8 23,36

3 2 3,8 14,69

5 3 1,8 3,36

6 13 0,8 0,69

7 21 0,2 0,03

8 13 1,2 1,36

9 4 2,2 4,69

10 2 3,2 10,03

somma

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx 2)( xx

Esercizio 4

xi ni * ni

2 2 4,8 23,36

3 2 3,8 14,69

5 3 1,8 3,36

6 13 0,8 0,69

7 21 0,2 0,03

8 13 1,2 1,36

9 4 2,2 4,69

10 2 3,2 10,03

somma

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx 2)( xx 2)( xx

Esercizio 4

xi ni * ni

2 2 4,8 23,36 46,72

3 2 3,8 14,69 29,39

5 3 1,8 3,36 10,08

6 13 0,8 0,69 9,03

7 21 0,2 0,03 0,58

8 13 1,2 1,36 17,69

9 4 2,2 4,69 18,78

10 2 3,2 10,03 20,06

somma

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx 2)( xx 2)( xx

Esercizio 4

xi ni * ni

2 2 4,8 23,36 46,72

3 2 3,8 14,69 29,39

5 3 1,8 3,36 10,08

6 13 0,8 0,69 9,03

7 21 0,2 0,03 0,58

8 13 1,2 1,36 17,69

9 4 2,2 4,69 18,78

10 2 3,2 10,03 20,06

somma 152,33

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx 2)( xx 2)( xx

Esercizio 4

xi ni * ni

2 2 4,8 23,36 46,72

3 2 3,8 14,69 29,39

5 3 1,8 3,36 10,08

6 13 0,8 0,69 9,03

7 21 0,2 0,03 0,58

8 13 1,2 1,36 17,69

9 4 2,2 4,69 18,78

10 2 3,2 10,03 20,06

somma 152,33

VARIANZA ni;ּ

n

ii xx

N 1

2)(1

xx 2)( xx 2)( xx

152,33 / 60 = 2,5

La VARIANZA è 2,5

Esercizio 4

DEVIAZIONE STANDARD = √ VARIANZA = 1,59

Esercizio 4

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