Emissione gammaLa radiazione γ è l’emissione spontanea di quanti da parte del nucleo. Emettendo fotoni il nucleo passa da uno stato eccitato ed uno stato meno eccitato.

Vi possono essere transizioni radiative singole, quando il nucleo emette un solo quanto γ e transisce allo stato fondamentale, oppure transizioni in cascata quando l’energia di eccitazione è rimossa tramite l’emissione in cascata di due o più fotoni.

La radiazione elettromagnetica nucleare deve avere una lunghezza d’onda dell’ordine delle dimensioni del nucleo, e pertanto:

=

pγ

= cp

γc= c

Eγ

≈ R E

γ≈ c

R= c

r0A1/ 3

Per nuclei leggeri l’energia Eγ dei fotoni è dell’ordine della decina di MeV, e diminuisce al crescere di A. Il fotone porta via praticamente tutta l’energia di eccitazione, essendo trascurabile l’energia cinetica di rinculo del nucleo.

0 = P + pγ → P = pγ = Eγ T =

P2

2m=

Eγ2

2mc2 .

Per Eγ ≈ MeV, per 10 < A < 100 si ha: 5 eV < T < 50 eV. Molto spesso a seguito di un decadimento α o β, per la conservazione del momento angolare e/o della parità, il nucleo figlio non viene creato nello stato fondamentale ma in uno stato eccitato: esso transisce allo stato fondamentale tramite l’emissione di uno o più quanti γ. Per questo motivo non esistono puri emettitori α ed esistono solo pochissimi emettitori β puri (3H, 14C, 32P, 90Sr, ..).

Un nucleo eccitato emette fotoni quando l’energia di eccitazione non è sufficiente a separare un nucleone dal nucleo (circa 7÷8 MeV), e l’unico modo che esso ha per “liberarsi” dell’eccesso di energia è appunto l’emissione di quanti gamma. Se invece l’energia di eccitazione è superiore alla energia di separazione di un nucleone, solo in rari casi il nucleo si diseccita per via elettromagnetica, e questo avviene quando l’emissione di un nucleone è vietata da regole di conservazione della parità o del momento angolare.

I quanti gamma emessi dal nucleo possono possedere diversi valori del momento angolare ℓℓ =1 → radiazione di dipolo

ℓ =2 → radiazione di quadrupolo

ℓ =3 → radiazione di ottupolo

Non esiste radiazione elettromagnetica con ℓ = 0 (monopolo)Ciascuna di queste radiazioni è caratterizzata da una diversa distribuzione angolare dei fotoni emessi.

I quanti gamma di diversa multipolarità sono il risultato di diversi tipi di “oscillazioni” del fluido nucleare, sia elettriche che magnetiche. Il primo tipo di processo è causato da una ridistribuzione della carica elettrica nel nucleo, mentre il secondo da una ridistribuzione degli spin e dei momenti angolari orbitali dei nucleoni.L’emissione di un quanto gamma è associata alla transizione di un nucleone tra due livelli a particella singola (modello a shell), avendo il fotone emesso il proprio valore di energia e momento angolare. A causa del piccolo valore della costante di interazione elettromagnetica

α =

e2

c=

1137

<< 1

la probabilità P di una transizione radiativa nell’unità di tempo può essere calcolata con la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo con la solita regola d’oro:

P =

2π

Mif

2 dndE

dove Mif= ψ

f*H'ψ

idτ∫ è l’elemento di matrice dell’Hamiltoniana H’ di interazione tra il

campo elettromagnetico da una parte, e le cariche ed i momenti magnetici dei nucleoni dall’altra.Note dalla teoria (modello a shell) le funzioni d’onda del nucleo, si può calcolare la probabilità di transizione P.Il campo di radiazione delle cariche in movimento può essere rappresentato come una serie di funzioni (armoniche) sferiche.

La parte angolare , Y

m ϑ,ϕ( ) , descrive la multipolarità della transizione;

La parte radiale viene rappresentata come uno sviluppo in serie della variabile kr, essendo k = h/p il numero d’onda.

Per Eγ ≈ MeV e R ≈ 10 fm, si ha:

kr = r

λ

Rλ=

pγR

h=

EγR

2π≈ 10−2 ÷ 10−3

Quindi la serie converge rapidamente. (qui R è il raggio del nucleo e λ la lunghezza d’onda della radiazione emessa).

La parte radiale viene rappresentata come uno sviluppo in serie della variabile kr, essendo k = h/p il numero d’onda.

Per Eγ ≈ MeV e R ≈ 10 fm, si ha:

kr = r

λ

Rλ=

pγR

h=

EγR

2π≈ 10−2 ÷ 10−3

Quindi la serie converge rapidamente. (qui R è il raggio del nucleo e λ la lunghezza d’onda della radiazione emessa).Il fattore R/λ nel primo termine della serie, corrisponde alla radiazione di dipolo con momento angolare ℓ =1;Il secondo termine con ℓ =2 corrisponde a (R/λ)2 (quadrupolo);lo ℓ-esimo termine corrisponde a (R/λ)ℓ.

Poiché la probabilità P di emissione di un quanto gamma è proporzionale a |Mif|2, la probabilità P di emissione di un quanto gamma di multipolarità ℓ sarà:

P∝ R / λ( )2 ∝ A2/ 3

E2

Così, come ℓ cresce di un’unità, l’intensità di radiazione decresce di un fattore

P+1

P

∝R / λ( )2 +1( )

R / λ( )2= R

λ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

≈ 10−5

Questo significa che il primo termine non nullo della serie (che può anche non corrispondere a ℓ =1 a causa delle regole di selezione) è quello decisivo.

Le stesse conclusioni possono essere tratte a proposito dei multipoli magnetici.

Per lo stesso valore di ℓ comunque l’intensità della radiazione magnetica è (d/µ)2 volte più bassa di quella elettricad e µ rappresentano rispettivamente il momento di dipolo elettrico e magnetico dei nuclei. Come ordine di grandezza si può dire che:

dµ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

≈eR

e / 2mNc

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

=2m

Nc2 ⋅R

c

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

≈ 102 ÷ 103

dove R al solito è il raggio del nucleo e mN la massa di un nucleone.

Le transizioni elettriche e magnetiche vengono indicate con i simboli Eℓ ed Mℓ, dove ℓ sta a indicare il momento angolare del gamma uscente: così si parla di transizioni di dipolo elettrico E1 e di dipolo magnetico M1, di quadrupolo elettrico E2 e quadrupolo magnetico M2, di ottupolo elettrico E3 e ottupolo magnetico M3, di esadecupolo, e così via.

L’insieme di possibili valori di ℓE e ℓM è determinato dalle regole di selezione del momento angolare e della parità. Secondo la prima regola, il momento angolare portato via dalla radiazione elettromagnetica ed i momenti angolari iniziale e finale dello stato nucleare devono essere legati dalla seguente relazione: |Ji -Jf| ≤ ℓ ≤ Ji +Jf

La parità di una transizione elettromagnetica vale −1( )E se la transizione è di tipo

elettrico, e −1( )M +1

se la transizione è di tipo magnetico.

In base al principio di conservazione della parità, i momenti angolari E e M della radiazione elettrica o magnetica devono essere legati alle parità iniziale (Πi) e finale (Πf) dello stato nucleare dalle seguenti relazioni:

Π

f= Π

i⋅ −1( )E

Πf= Π

i⋅ −1( )M +1

Da queste regole segue che, per esempio, le transizioni E1 sono possibili solo tra stati nucleari a parità opposta, mentre la parità degli stati deve essere la stessa nel caso di transizioni M1; in entrambi i casi i momenti angolari del nucleo devono soddisfare la relazione ∆J = 0, ±1 (con l’eccezione 0 → 0).Le regole di selezione della parità possono ovviamente essere ottenute considerando la struttura dell’elemento di matrice

Mif= ψ

f*H'ψ

idτ∫

Nel caso di transizione E1, H’ contiene il momento di dipolo elettrico, che si trasforma come un vettore polare per inversione delle coordinate; per una transizione M1, H’ contiene il momento di dipolo magnetico che ha invece le proprietà di un vettore assiale.

Riassumendo quanto detto finora, le caratteristiche principali delle transizioni elettromagnetiche sono:

1) una decrescita nella probabilità di transizione al crescere di ℓ;

2) una relativamente piccola probabilità delle transizioni magnetiche rispetto a quelle elettriche per lo stesso valore di ℓ;

3) esistenza di regole di selezione del momento angolare e della parità.Tenendo conto dei punti precedenti, arriviamo alle seguenti conclusioni:

il ruolo dominante nelle transizioni radiative tra due stati nucleari di dati valori di Πi, Πf e ΔJ è giocato dai multipoli elettrici e/o magnetici con il più basso valore di E e M che soddisfino le regole di selezione di parità e momento angolare:ℓ =|ΔJ| e ℓ =|ΔJ|+1Uno di questi multipoli deve essere elettrico, l’altro magnetico.

La tabella seguente riassume la situazione.

Πi⋅ Πf ΔJ0 1 2 3

-1+1

E1, M2M1, E2

E1, M2M1, E2

M2, E3E2, M3

E3, M4M3, E4

In genere una delle due transizioni (quella con ℓ più basso) domina largamente sull’altra, data la forte dipendenza della probabilità di transizione dalla multipolarità.

Nella tabella che segue sono riportate le varie transizioni Eℓ e Mℓ in funzione dei parametri di spin e momento angolare dei nuclei.

∆I nucleo| IA-IB |

∆S nucleo

parity change

radiaz.dominante

debole misturadi

pari (≠ 0) 0 No E∆I M(∆I+1); assente se:IA opp. IB = 0

zero 0 No M1 E2; assente se:IA = IB = 1/2

dispari 0 Sì E∆I M(∆I+1); assente se:IA opp. IB = 0

pari (≠ 0) ±1 Sì M∆I E(∆I+1); assente se:IA opp. IB = 0

zero ±1 Sì E1 M2; assente se:IA = IB = 1/2

dispari ±1 No M∆I E(∆I+1); assente se:IA opp. IB = 0

Conversione interna

Oltre alla emissione di quanti gamma vi è un altro meccanismo di diseccitazione: l’emissione di elettroni di conversione interna. La teoria mostra come l’energia di eccitazione in questo processo è direttamente, senza cioè alcuna emissione intermedia di quanti gamma, trasferita ad un elettrone orbitale (a causa della sovrapposizione spaziale delle funzioni d’onda nucleare ed elettronica).

In questo meccanismo vengono emessi elettroni monoenergetici, la cui energia cinetica Te è determinata, oltre che dalla energia di eccitazione E, anche dall’energia di legame B dell’elettrone nella shell atomica. Il processo di conversione interna ha la più alta probabilità per elettroni della shell K, nel qual caso: Te = E - BK

Comunque, se E < BK, si può osservare conversione elettronica dalla shell L. In ogni caso il fenomeno di conversione è sempre accompagnato da emissione di raggi X caratteristici della shell atomica interessata ed elettroni Auger.

conversione interna effetto Auger

Gli elettroni di conversione possono essere osservati assieme alla radiazione gamma, oppure senza di essa (p.es. nel caso di transizioni 0→0).Il rapporto del numero di elettroni di conversione emessi rispetto al numero di fotoni è detto coefficiente di conversione interna, ed è definito come:

α =

Ne

Nγ

= αK+ α

L+ α

M+ ....

qui

αK=

Ne( )

K

Nγ

è il coefficiente di conversione parziale per gli elettroni della shell K, e

così via.

La teoria mostra che il coefficiente di conversione:a) decresce all’aumentare della energia della transizione;b) cresce con il numero atomico Z del nucleo;c) decresce con il raggio della shell atomica dalla quale l’elettrone è emesso;d) cresce con la multipolarità della corrispondente transizione gamma.

Isomerismo nucleare

Le regole di selezione precedentemente descritte possono rallentare le transizioni elettromagnetiche ad un punto tale che lo stato eccitato viene ad avere una vita media molto lunga (dove “molto lunga” significa da una frazione di secondo a molti anni).

In questo caso lo stato eccitato è detto metastabile o stato isomerico, in analogia con gli isomeri chimici.

Si hanno in natura transizioni gamma con vite medie che vanno da 10-16 a 108 secondi, ed il punto da cui uno stato si comincia a chiamare “metastabile” è piuttosto arbitrario.

Spesso l’isomeria nucleare si accompagna alle transizioni beta.

Nella figura (a) la transizione isomerica tra i livelli A e B è molto probabile in confronto alla transizione beta tra A e C.

Se τiab << τβac e τiab >> τβbc la sostanza mostra lo spettro beta tipico del livello B con la costante di decadimento λiab (equilibrio secolare).

In caso contrario il livello metastabile si “svuota” velocemente e ha luogo il decadimento beta con la costante di decadimento tipica del nucleo.

Possono anche esistere più livelli metastabili nello stesso nucleo: il 80Br presenta questo caso, e il suo diagramma di livelli è illustrato in figura.

il diagramma a livelli del 80Br

In altri casi (figura b) i livelli A e B decadono come sostanze indipendenti.

Le transizioni isomeriche, essendo altamente proibite, devono corrispondere a grandi ΔJ e piccole energie: entrambe le condizioni favoriscono una elevata conversione interna.

Per essere metastabile, un livello eccitato deve differire dai livelli di energia più bassa per almeno tre unità nel valore di J: la radiazione emessa è quindi E3, M3 o di multipolarità più elevata.

Anche ad A più elevati, gli stati isomerici nucleari non sono distribuiti uniformemente tra tutti i nuclei, ma sono di preferenza concentrati in “isole” con Z o N dispari proprio al di sotto dei numeri magici 50, 82, 126 ed A pari.

Isomeri con N e Z entrambi pari sono molto rari.

Un altro esempio di isomerismo nucleare è fornito dal nucleo 60Co, come illustrato in figura, dove è indicato il livello isomero eccitato a 58.6 keVQuesto stato isomero è caratterizzato da I∏ = 2+, lo stato fondamentale del 60Co da I∏ = 5+.