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Elektrotechnik Formelsammlung

Ersatzschaltbilder und Zeigerdiagramme des einphasigen Transformators

jXσ1

R1

jXσ2

' R2'

jXh

RF

e

U1

U2'U

q

I0

Iµ

IFe

I1

I2'

1) Vollständiges T-Ersatzschaltbild, Grundformeln

U1

Primärspannung R1

Wicklungswiderstand primär

U2

Sekundärspannung R2

Wicklungswiderstand sekundär

Uq

Quellenspannung Xh

Hauptinduktivität

RFe

Eisenverlustwiderstand

I1

Primärstrom

I2

Sekundärstrom Xσ1

Streureaktanz primär

Xσ2

Streureaktanz sekundär

I0

Leerlaufstrom

Iµ

Magnetisierungsstrom Φh

Hauptfluss

IFe

Eisenverluststrom Φσ

Streufluss

Spannungsgleichung

U 1=R1 I 1 jX 1 I 1 jX h I 1 I 2

' U 2

' =R2

'I 2

' jX 2'

I 2

' jX h I 1 I 2

'

Leerlaufstrom

I 0=I 1I 2

'

I 0=I I Fe

'

U 2

' =U 2⋅N 1

N 2

I 2

' = I 2⋅N 2

N 1

R2

'=R2⋅ N 1

N 2

2

X2' =X

2⋅ N 1

N 2

2ü=

N 1

N 2

R1≈R2

'

X 1≈X 2'

U q1=4,44⋅ f⋅N 1⋅h

U q2=4,44⋅ f⋅N 2⋅h

ht =h⋅sin t

N 1

N 2

≈U 1

U 2

● Die Bemessungsspannung ist laut VDE primärseitig die für die Auslegung zugrunde-gelegte Spannung, sekundärseitig die Leerlaufspannung

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2) Leerlauf

jXσ1

R1

jXh

RF

e

U1

Uq

Iµ

IFe

I0

U 1=R1 I 0 jX 1⋅I 0U q

I 0= II Fe

'

70°U

q

Φh

Iµ

IFe

I0

jX1σ

I0

R1I0

U1

φ0

Vereinfachung:

jXh

RF

e

U1

Iµ

IFe

I0

Φh

Iµ

IFe

I0

Uq=U

1

φ0

● Der Leerlaufstrom dient hauptsächlich der Magnetisierung und enthält eine kleine ohmsche Komponente zur Deckung der Eisenverluste (ca. 10%)

● Der Leerlaufstrom hat einen Anteil von 1-5% am Bemessungsstrom. Der geschlossene Eisenkern (kein Luftspalt) hält den Magnetisierungsstrom klein.

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3) Belastung

ohmsche Belastung

Primäre und sekundäre Wicklung bilden gemeinsam die Magnetisierungsdurchflutung zur Erzeugung des Hauptfeldes.

I 0= I 1 I 2

' und I 0≈ I

⇒⇒⇒⇒ I≈ I 1I 2⋅N 2

N 1

N1I ≈≈≈≈N

1I

1N

2I

2

U 1=R1 I 1 jX 1 I 1 jX h I 1 I 2

'

U q

U 2

'=R2

'I 2

' jX 2

'I 2

' jX h I 1 I 2

'

U q

Uq

Φh

Iµ

IFe

I0

jX1σ

I1

R1I1U

1

I1

I2'

R2'I

2'

jX2σ

'I2'

U2'

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3) Belastung (Forts.)

ohmsch-induktive Belastung

ohmsch-kapazitive Belastung

U 1=R1 I 1 jX 1 I 1 jX h I 1 I 2

'

U q

U 2

'=R2

'I 2

' jX 2

'I 2

' jX h I 1 I 2

'

U q

Uq

ΦhI

µ

IFe

I0

jX1σ

I1

R1I1

U1

I1

I2'

R2'I

2'

jX2σ

'I2'

U2'

U 1=R1 I 1 jX 1 I 1 jX h I 1 I 2

'

U q

U 2

'=R2

'I 2

' jX 2

'I 2

' jX h I 1 I 2

'

U q

Uq

Φh

Iµ

IFe

I0

jX1σ

I1

R1I1

U1

I1

I2'

R2'I

2'

jX2σ

'I2'

U2'

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4) Vereinfachtes Ersatzschaltbild für Belastung

jXσ1

R1

jXσ2

' R2'

U1

U2'

I1

I2'

I 1=�I 2

'

R1K=R1R2

'

X 1K=X 1X 2

'

jX1K

R1K

U1

U2'

I1

I2'

U1

=I1⋅R1K

jX1KU

2

'

=I 1⋅Z 1KU 2

'

U1

U2'

I1

jX1K

I1

R1K

I1

Z1K

I1

φ2

U1

U2'

I1

jX1K

I1

R1K

I1

Z1K

I1

φ1

ohmsch-kap.Belastung

ohmsch-ind.Belastung

Kappsches Dreieck

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5) Kurzschluss

Kurzschlussversuch

U 2

' =0

U 1K=R1K I 1K jX 1K I 1K

Z1K=R

1K

2X1K

2; tan

K=

X K

RK

Die Kurzschlussspannung UK ist eine wichtige Kenngröße. Sie ist die Spannung, die

an einen Transformator mit kurzgeschlossener Sekundärwicklung angelegt werden

muss, damit der Bemessungsstrom fließt.

Die relative Kurzschlussspannung uK ist auf die Bemessungsspannung bezogen.

U 1K= I 1N⋅Z 1K

uK=

U 1K

U 1N

=I 1N⋅Z 1K

U 1N

=Z 1K

U 1N/ I1N

≈≈≈≈ 0,04 ...0,12

wenn U 1K=U 1N I 1K=U 1N

Z 1K

I 1K

I1N

=U 1N

Z1K⋅I

1N

=1

uK

⇒ I 1K uK====4% ====25⋅⋅⋅⋅I 1N

U1K

I1KR

1KI1K

jX1K

I1K

Thaleskreis

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6) Spannungsänderung

Die beiden Klemmenspannungen U1 und U

2' unterscheiden sich durch ein Spannungs-

dreieck, dass als Kappsches Dreieck bezeichnet wird. Dieses Dreieck hat für einen

bestimmten Stromwert konstante Größe und rotiert lediglich - je nach Phasenlage des

Stromes - um die Spitze der Primärspannung.

Für konstante Belastung und beliebigen Leistungsfaktor cos φ ergibt sich also als

Ortskurve des Zeigers U2' ein Kreis um die Primärspannung U

1, welcher den Radius r

besitzt.

r= I 1⋅Z 1K=I 1⋅R1

2X 1K

2

Der Unterschied zwischen U1 und U

2' wird als Spannungsänderung U

1φ bezeichnet,

diese ist laut VDE definiert als Unterschied zwischen Leerlauf- und Volllastspannung auf

der Abgangsseite bei I2N

.

Die relative Spannungsänderung u1φ

ist auf die Bemessungsspannung bezogen.

U1

U2'

I1

jX1K

I1

R1K

I1

Z1K

I1

φ2

Ortskurve von U2'

U 1=U 1�U 2

2

u1=U 1�U 2

'

U 1

=1�U 2

'

U 1

u1 =I 1

I 1N

⋅ R1K

Z N

⋅cos±X 1K

Z N

⋅sin=

I 1

I1N

⋅ uR⋅cos± uX ⋅sin

für induktive Belastung

���� für kapazitive Belastung

mit ZN=

U 1N

I 1N

Nennimpedanz, Basisimpedanz