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Seminario I

Gerardo M.Sarria M.

Motivacion

Calculos

Hybrid cc

EjemploMusical

Problemas

SEMINARIO I

Gerardo M. Sarria M.

Pontificia Universidad Javeriana

Noviembre 1 de 2006

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TIEMPO, CONCURRENCIA Y RESTRICCIONES EN LAMUSICA

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Motivacion: Informatica Musical

La composicion musical y la improvisacion son tareas complejasque implican definir y controlar actividades concurrentes.

Algunos aspectos de la composicion e improvisacion:

Actividades concurrentes (e.g. voces hablando en paralelo)

Restricciones temporales (e.g. espacio entre notas)

Sincronizacion (e.g. patrones de ritmo)

Se requiere un modelo para sistemas temporales, concurrentessıncronos y asıncronos, y con restricciones que puedan serusados como plataforma matematica para la composicion y laimprovisacion.

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Motivacion: Calculo de Procesos

Los Calculos de Procesos son formalismos para modelar yanalizar actividades concurrentes.

Dichos calculos tratan procesos de igual manera que el calculoλ trata funciones calculables:

Terminos: E.g. P‖QReglas de Reduccion: E.g.

P → P ′

P‖Q → P ′‖Q

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Problemas

Motivacion: Calculo de Procesos

Los Calculos de Procesos son formalismos para modelar yanalizar actividades concurrentes.

Dichos calculos tratan procesos de igual manera que el calculoλ trata funciones calculables:

Terminos: E.g. P‖QReglas de Reduccion: E.g.

P → P ′

P‖Q → P ′‖Q

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Calculos

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Ambient*

CHU Spaces*

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Calculo λ&

El calculo λ& es una extension del calculo λ≤, el cual es elcalculo λ tipado con una relacion de subtipos. Una descripcionformal de λ& se puede resumir en las siguientes definiciones.

Terminos

M ::= xV variable

| λxV .M funcion| M · M aplicacion de funcion| 〈`1 = M, . . . , `n = M〉 registros| M.` valor del un campo

| (M&V M) funcion de sobrecarga| M • M aplicacion de sobrecarga

donde V denota un tipo.

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Calculo λ&

El calculo λ& es una extension del calculo λ≤, el cual es elcalculo λ tipado con una relacion de subtipos. Una descripcionformal de λ& se puede resumir en las siguientes definiciones.

Terminos

M ::= xV variable

| λxV .M funcion| M · M aplicacion de funcion| 〈`1 = M, . . . , `n = M〉 registros| M.` valor del un campo

| (M&V M) funcion de sobrecarga| M • M aplicacion de sobrecarga

donde V denota un tipo.

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Calculo λ&

Reduccion

(α) λxU .M = λyU .(M[x := y ]) y /∈ FV (M)

(η) λxU .Mx = M

(β) (λxU .M)N B M[xU := N]

(β&) if N : U is closed and in normal form, and Uj = mini=1...n{Ui |U ≤ Ui}, then

(M1&{Ui→Vi}i=1...n M2) • N B

M1 • N for j < nM2 N for j = n

donde FV (M) es el conjunto de las variables libres del termino M.

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Calculo PiCO

El calculo π+ extiende el calculo π con la nocion derestricciones.

En PiCO se adiciona a π+ la nocion de objetos y paso demensajes sincronizados por restricciones.

Las restricciones y los objetos concurrentes son nocionesprimitivas al nivel del calculo.

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Calculo PiCO

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Calculo PiCO

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Calculo PiCO

La sintaxis de PiCO es la siguiente:

Normal Processes: N ::= O Inaction or null process| I C m then P Message sent by I| (φsender, δforward)B M Object with delegation

condition δforwardguarded by constraint φ

Constraint processes: R ::= tell φ then P tell process| ask φ then P ask process

Object identifiers: I , J, K ::= a, l Names| v Value| x Variable

Collection of Methods: M ::= [l1 : ( ex1)P1 & . . . & lm : (fxm)Pm ]

Messages: m ::= l : [eI ]

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Calculo PiCOReduccion

S `4 φ[I ′ sender] |eK | = |ex|〈I ′ C l : [eK ] then Q | (φsender, δforward)B [l : (ex)P& . . .]; S〉 → 〈Q | P{eK/ ex′, I ′/sender}; S〉

S `4 φ[I ′/sender] S t δ[I ′/forward] `4⊥ l /∈ Labels(M)fi„I ′ C l :[eK ] then Q |

(φsender,δforward)BM

fi„local J in tell δ[J/forward] then (JC l :[eK ] then Q) |

(φsender,δforward)BM

fl〈tell φ then P; S〉 → 〈P; S ∧ φ〉

S `4 φ

〈ask φ then P; S〉 → 〈P; S〉,

S `4 ¬φ

〈ask φ then P; S〉 → 〈O; S〉

〈P; S〉 → 〈P′; S′〉〈Q | P; S〉 → 〈Q | P′; S′〉

x /∈ fv(S), 〈P; S � {x}〉 → 〈P′; S′〉〈local x in P; S〉 → 〈P′; S′〉

a /∈ fv(S), 〈P; S � {a}〉 → 〈P′; S′〉〈local a in P; S〉 → 〈P′; S′〉

〈P1; S1〉 ≡P 〈P′1 ; S′1〉〈P2; S2〉 ≡P 〈P′2 ; S′2〉〈P1; S1〉 → 〈P2; S2〉〈P′1 ; S′1〉 → 〈P′2 ; S′2〉

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Concurrent Constraint Programming

Concurrent constraint programming (CC) es un modelo paraespecificar sistemas concurrentes en terminos de restricciones.

Una restriccion es una formula de primer orden que representainformacion parcial sobre variables compartidas del sistema.

La informacion sobre las variables recide en un store, el cual esna conjuncion de todas las restricciones aplicadas a lasvariables. Este store puede ser accesado por agentes (procesosque interactuan con el store) con dos operaciones basicas: asky tell.

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Un sistema de restricciones es un dominio donde lasrestricciones son parametrizadas.

Consiste:

Una signatura Σ – i.e. un conjunto de funciones,constantes y sımbolos de predicado con igualdad

Una teorıa ∆ – i.e. un conjunto de sentencias sobre Σ conun modelo

Por ejemplo, el sistema de restricciones de conjuntos finitospuede tener una signatura que incluya los sımbolos{0, succ ,+,×,=} y cuya teorıa es el conjunto de sentenciasvalidas en aritmetica.

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Una extension de cc es el calculo tcc, el cual ha sido creadopara modelar y programar sistemas reactivos temporales.

Este modelo extiende cc con las operaciones delay y time-out.

En sistemas reactivos el tiempo esta dividido en intervalosdiscretos y en cada intervalo un proceso recibe un estımulo(restricciones) del ambiente y produce una respuesta:

P1(c1,d1)

======⇒ P2(c2,d2)

======⇒ . . . Pi(ci ,di )

======⇒ Pi+1(ci+1,di+1)

=========⇒ . . .

El tiempo es un conjunto de puntos que actuan comomarcadores que distinguen un momento del siguiente.

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Problemas

P1(c1,d1)

======⇒ P2(c2,d2)

======⇒ . . . Pi(ci ,di )

======⇒ Pi+1(ci+1,di+1)

=========⇒ . . .

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Problemas

P1(c1,d1)

======⇒ P2(c2,d2)

======⇒ . . . Pi(ci ,di )

======⇒ Pi+1(ci+1,di+1)

=========⇒ . . .

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Problemas

P1(c1,d1)

======⇒ P2(c2,d2)

======⇒ . . . Pi(ci ,di )

======⇒ Pi+1(ci+1,di+1)

=========⇒ . . .

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The syntax of this model can be summarize as follows:

| XA Hiding| P Nested Program| g Procedure Call

g ::= p(t1, . . . , tn) ProcedureP ::= {D.A} ProgramD ::= g :: A Definition

| D.D Conjuntion

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La semantica operacional esta dada en terminos deconfiguraciones.

Una configuracion es un conjunto Γ de agentes.

Existen dos relaciones de transicion −→, sobre lasconfiguraciones. −→ representa transiciones dentro de uninstante de tiempo, mientras representa una transicion deun instante de tiempo al siguiente.

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Reduccion

(Γ, skip) −→ Γ(Γ, abort) −→ abort

(Γ, A ‖ B) −→ (Γ, A, B)

(Γ, XA) −→ (Γ, A[Y /X ]) (Y not free in Γ)(Γ, p(t1, . . . , tn)) −→ (Γ, A[X1 7→ t1, . . . , Xn 7→ tn ])

σ(Γ) ` c

(Γ, now c then A) −→ (Γ, A)

σ(Γ) ` c

(Γ, now c else B) −→ Γ

∆, {now ci else Ai | i < n} −→/

∆, {now ci else Ai | i < n}, {next Bj | j < m}, {Ai | i < n}, {Bj | j < m}

donde σ(Γ) representa el store y ∆ el rango de los conjunto de agentes que no contienen Timed Negative

Asks o Unit Delays.

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Hybrid cc

Otra extension de cc es Default cc la cual permite procesosno monotonicos y la expresion de procesos por defecto, esdecir, informacion negativa (i.e. en el caso en que no seaposible deducir algo del store entonces algunos procesos seranejecutados).

La operacion if a else A es permitida en este modelo. Ellaimpone la restriccion A a menos que el resto del sistemaimponga la restriccion a.

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Hybrid cc

Otra extension de cc es Default cc la cual permite procesosno monotonicos y la expresion de procesos por defecto, esdecir, informacion negativa (i.e. en el caso en que no seaposible deducir algo del store entonces algunos procesos seranejecutados).

La operacion if a else A es permitida en este modelo. Ellaimpone la restriccion A a menos que el resto del sistemaimponga la restriccion a.

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Hybrid cc

Time Default cc extiende Default cc en un tiempodiscreto.

Como cc no tiene el concepto de tiempo, este es dividido enticks discretos (como en tcc).

De esta manera, next A (A sera ejecutado en el siguiente tick)y always A (A sera ejecutado por siempre) son adicionados almodelo.

Todas las reglas de transicion que definen la semanticaoperacional en Default cc son las mismas que en cc. La reglafaltante (que corresponde al negative ask) es la siguiente:

Γ, if b else B →a Γ,B

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Hybrid cc

Hybrid concurrent constraint programming es una extension deDefault cc sobre tiempo continuo.

Un solo constructor temporal, llamado hence, es agregado alas operaciones de Default cc. hence A impone la restriccionA en todo instante de tiempo despues del actual.

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Hybrid cc

Reduccion

(a, (Γ, henceA), ∆) −→b,rhcc

(a, (Γ, A), (∆, A, henceA))

(a, (Γ, (A, B)), ∆) −→b,rhcc

(a, (Γ, A, B), ∆)

(a, (Γ, new X in A), ∆) −→b,rhcc

(a, (Γ, A[Y /X ]), ∆)(Y not free in a, A, ∆, Γ)

a, cont(σ(Γ)) `r a′

(a, (Γ, if a′ then B), ∆) −→b,rhcc

(a, (Γ, B), ∆)

a, cont(b) 0r a′

(a, (Γ, if a′ else B), ∆) −→b,rhcc

(a, (Γ, B), ∆)

donde cont(b) es un token que si se mantiene en el tiempo t ∈ R+, significa que b esta en todo tiempo

r > t.

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El calculo NTCC extiende tcc con las nociones de asincronıa yno determinismo.

Sintaxis

P ::= tell(c) Communication|

Pi∈I when ci do Pi Nondeterminism

donde c es una restriccion y x es una variable.

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El calculo NTCC extiende tcc con las nociones de asincronıa yno determinismo.

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P ::= tell(c) Communication|

Pi∈I when ci do Pi Nondeterminism

donde c es una restriccion y x es una variable.

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Reduccion

〈tell(c), d〉 → 〈skip, d ∧ c〉

i∈I when ci do Pi , d〉 → 〈Pj , d〉if d |= cj , j ∈ I

〈P, c〉 → 〈P′, d〉〈P‖Q, c〉 → 〈P′‖Q, d〉

〈unless c next P, d〉 → 〈skip, d〉if d |= c

〈P, c ∧ ∃xd〉 → 〈P′, c′〉〈(local x, c)P, d〉 → 〈(local x, c′)P′, d ∧ ∃x c′〉

〈?P, d〉 → 〈nextn P, d〉if n ≥ 0

〈!P, d〉 → 〈P‖ next !P, d〉

γ1 → γ2

γ′1 → γ′2if γ1 ≡ γ2 and γ

′1 ≡ γ

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Ejemplo Musical

Improvisacion simple controlada (y sincronizada):

Mdef= !(when (go = 1) do

(tell (note = 60) + tell(note = 64)))‖ unless end = 1 next tell(go = 1)

Cdef= tell(go = 1) ‖ ? ! tell(end = 1)

initdef= M‖C

Se pueden modelar sistemas de improvisacion mas complejoscon n musicos y un conductor de esta manera:

initdef= M1‖M2‖ . . . ‖Mn‖C

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Improvisacion simple controlada (y sincronizada):

Mdef= !(when (go = 1) do

(tell (note = 60) + tell(note = 64)))‖ unless end = 1 next tell(go = 1)

Cdef= tell(go = 1) ‖ ? ! tell(end = 1)

initdef= M‖C

Se pueden modelar sistemas de improvisacion mas complejoscon n musicos y un conductor de esta manera:

initdef= M1‖M2‖ . . . ‖Mn‖C

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Tiempo Real

Procesos rıtmicos (patrones)

Modulaciones metricas

Modelos probabilısticos (solucionado con SNTCC)

Lenguajes de programacion

Maquinas abstractas de los calculos

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Tiempo Real

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Tiempo Real

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