Epanalipriko Gen 2008 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Γ΄ ΛΥΚΕΊΟΥ ΚΑΤΕΎΘΥΝΣΗΣ

ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΒΙΒΛΙΟ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΛΟΓΉΣ Γ΄ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΊΟΥ

Κεφ 3: Μελέτη και Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

1. Θεώρημα Μέσης Τιμής: Διατύπωση και επεξήγηση γεωμετρικής σημασίας (σελ.24)

2. Ορισμοί: Αύξουσα, Φθίνουσα, Γνήσια Φθίνουσα, Γνήσια Αύξουσα, Σταθερή Συνάρτηση σε διάστημα Δ (σελ.26)

3. Θεωρήματα Μονοτονίας (Κριτήρια) Συνάρτησης (σελ.28): Διατύπωση

4. Α΄κριτήριο (με πίνακα προσήμου πρώτης παραγώγου) εύρεσης τοπικών ακρότατων: Διατύπωση και Απόδειξη (σελ.36)

5. Β΄κριτήριο (με πρόσημο δεύτερης παραγώγου) εύρεσης τοπικών ακρότατων: Διατύπωση (σελ.40)

6. Ορισμός Σημείων Καμπής διαγράμματος μιας συνάρτησης (αλλαγή από κοίλα προς τα άνω σε κοίλα προς τα κάτω και αντίστροφα) (σελ.44-45).

7. Ορισμός Κατακόρυφης Ασύμπτωτης μιας συνάρησης (σελ.54).

8. Ορισμός της Οριζόντιας Ασύμπτωτης μιας συνάρτησης (σελ.56).

Πρέπει να μπορούμε να παραστήσουμε γραφικά συναρτήσεις των μορφών:

Πολυωνυμικές συναρτήσεις

Ρητές συναρτήσεις: , όπου και πολυώνυμα

Υπερβατικές συναρτήσεις των μορφών: , και

συνδυασμούς τους, όπως , , , ,

, κ.λ.π.

Κεφ 4: Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1. Ορισμός της αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης (συνάρτηση ένα προς ένα) από τον τύπο ή τη γραφική της παράσταση.

2. Ορισμός των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, περιορίζοντας κατάλληλα το πεδίο ορισμού των αντίστοιχων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (σελ.80-81)

3. Απόδειξη των παραγώγων των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (σελ.86-87).

Κεφ 5: Αόριστο Ολοκλήρωμα

1. Ιδιότητες (αναφορά) του διαφορικού στα ολοκληρώματα:

Ομάδα Μαθηματικών 1

2. Ιδιότητες (αναφορά) του αορίστου ολοκληρώματος (σελ93):

, όπου α=σταθερά

Κεφ 6 : Ορισμένο Ολοκλήρωμα

1. Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος ως άθροισμα (σελ.127)

2. Ιδιότητες τυ ορισμένου ολοκληρώματος, αναφορά και απόδειξη (σελ127, 133)

Κεφ 6: Συνδυαστική

1. Ορισμός του

2. Αρχή της Απαρίθμησης: Διατύπωση (σελ168)

3. Μεταθέσεις ν διαφορετικών αντικιμένων: απόδειξη τύπου (σελ173)

4. Κυκλικές μεταθέσεις ν διαφορετικών αντικειμένων: απόδειξη τύπου (σελ.176-177)

5. Επαναληπτικές μεταθέσεις ν διαφορετικών αντικειμένων: απόδειξη τύπου (σελ.178)

6. Διατάξεις ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ: απόδειξη τύπου (σελ.180-181)

7. Επαναληπτικές διατάξεις ν αντικειμένων ανά κ: απόδειξη τύπου (σελ.182)

8. Συνδυασμοί ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ: απόδειξη τύπου (σελ.184)

9. Ιδιότητες συνδυασμών των ν ανά κ: απόδειξη τύπων (σελ.185)


Κεφ 6: Πιθανότητες

1. Δειγματικός Χώρος ενός πειράματος τύχης: ορισμός (σελ.189)

2. Πιθανότητα Ενδεχομένου κατά Laplace: ορισμός (σελ.192)

3. Ορισμοί και Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων

Αντίθετα Ενδεχόμενα (σελ.195)

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα (σελ.196)

Ένωση Ενδεχομένων (σελ.196)

Τομή δύο Ενδεχομένων (σελ.197)

Διαφορά δύο Ενδεχομένων (σελ.197)

4. Αξιωματική Θεμελίωση Θεωρίας Πιθανοτήτων κατά Kolmogorov (σελ.199)

5. Ιδιότητες Πιθανοτήτων: Αποδείξεις

(σελ.201)

(σελ.201-202)

(σελ.202)

6. Δεσμευμένη (ή υπό συνθήκη) Πιθανότητα: Ορισμός – Τύπος του Bayes (σελ.207)

7. Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα: Ορισμός (σελ.211)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΒΙΒΛΙΟ: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Κεφ 2: Κύκλος

1. Ορισμός του Κύκλου ως γεωμετρικού τόπου και απόδειξη του τύπου (σελ.7)

2. Γενική Εξίσωση Κύκλου: αναφορά, εύρεση κέντρου και ακτίνας με τα (σελ.8).

3. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου (σελ.16).

4. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων (σελ.22).

5. Δύναμη σημείου προς κύκλο (σελ.28).

6. Παραμετρικές Εξισώσεις κύκλου με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα R (σελ.32-33)

Κεφ 3: Παραβολή

1. Ορισμός της Παραβολής ως γεωμετρικού τόπου (σελ.36)


2. Απόδειξη του τύπου της καρτεσιανής εξίσωσης της παραβολής (σελ.38)

3. Ορισμοί των στοιχείων της παραβολής: εστία, διευθετούσα, κορυφή, άξονας συμμετρίας, χορδή, ορθό πλάτος (latus rectum) (σελ.40)

4. Παραμετρικές εξισώσεις παραβολής: αναφορά (σελ.46)


Κεφ 4: Έλλειψη

1. Ορισμός της έλλειψης ως γεωμετρικού τόπου (σελ.63)

2. Απόδειξη του τύπου της καρτεσιανής εξίσωσης της έλλειψης (σελ. 63-64)

3. Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης: αναφορά (σελ.74)

Κεφ 5: Ισοσκελής Υπερβολή

1. Ισοσκελής Υπερβολή με εξίσωση: με άξονες τις ασύμπτωτες της: αναφορά (σελ.109)

2. Παραμετρικές Εξισώσεις της ισοσκελούς υπερβολής: αναφορά (σελ.110)

Κεφ 8: Πίνακες

1. Ορισμός τυχαίου πίνακα και συμβολισμός του τυχαίου στοιχείου του (σελ.207)

2. Ορισμός των μορφών πινάκων: πίνακας - στήλη, πίνακας – γραμμή, μηδενικός πίνακας, τετραγωνικός πίνακας, διαγώνιος πίνακας, συμμετρικός πίνακας, αντισυμμετρικός πίνακας (σελ.208-210)

3. Ορισμός Ισότητας Πινάκων (σελ.216)

4. Ιδιότητες πρόσθεσης πινάκων (σελ.216)

5. Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού επί πίνακα (σελ.218)

6. Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πινάκων (σελ.223)

7. Ορισμός του αντίστροφου πίνακα (σελ.227)

8. Ιδιότητες σχετικές με τον αντίστροφο πίνακα (σελ.227)


ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

I. Παράγωγοι – Ορια

1. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

I. II. III.

IV. V. VI.

VII. VIII.IX.

2. Να βρείτε τις παραγώγους και των πιο κάτω συναρτήσεων:

i. ii.

3. Δίνεται η καμπύλη με παραμετρικές εξισώσεις:

i. Να εξετάσετε αν το σημείο ανήκει στην καμπύλη

ii. Να εξετάσετε αν ορίζεται συνάρτηση

iii. Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση της καμπύληςiv. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τιμών της συνάρτησηςv. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της καμπύλης με τη βοήθεια

πίνακα τιμών

4. Καμπύλη ορίζεται από τις εξισώσεις: , με .

i. Να βρείτε τις παραγώγους και

ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης της καμπύλης

στο σημείο της με

5. Αν και , να δείξετε ότι και να βρέιτε

την τιμή της για .

6. Αν και , να δείξετε ότι:

7. Δίνεται η συνάρτηση . Αν το διάγραμμα της περνά

από το σημείο και η εφαπτομένη του διαγράμματος στο σημείο της με

τετμημένη , είναι παράλληλη με την ευθεία , να υπολογίσετε τα α και β.

8. Να βρείτε τα όρια:


i. ii. iii.

iv. v. vi.

vii. viii. ix.

x. xi. xii.

II. Γραφικές παραστάσεις Συναρτήσεων

1. Η συνάρτηση , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο

. Να υπολογίσετε τις τιμές των α και β.

2. Η συνάρτηση , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο


3. Η συνάρτηση , παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο .

Να υπολογίσετε τις τιμές των α και β.

4. Η συνάρτηση , παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο


5. Δίνεται η συνάρτηση . Να δείξετε ότι τα δύο ακρότατα σημεία της και το σημέιο καμπής της είναι συνευθειακά.

6. Αν η συνάρτηση έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία και

κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία , να βρείτ τις τιμές των κ καιλ. Στη συνέχεια να βρείτε α σημεία τομής της καμπύλης με τους άξονες συντεταγμένων.

7. Να βρείτε τις ασύμπτωτες των πιο κάτω συναρτήσεων:i.

ii. iii. iv.

8. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i. ii.iii. iv.

v. vi. vii.

viii.ix. x.

xi.

9. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση . Στη

συνέχεια να δείξετε ότι: .

III. Προβλήματα Μεγίστων- Ελαχίστων


1. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν . Να βρείτε τις διαστάσεις του έτσι ώστε να

έχει ελάχιστη περίμετρο.

2. Να υπολογίσετε το μέγιστ εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου με υοτείνουσα .

3. Ποιός θετικός αριθμός δίνει ελάχιστο άθροισμα όταν προστεθεί με τον αντίστροφό του;

4. Να δείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο , το τετράγωνο έχει τη μικρότερη διαγώνιο.

5. Από όλα τα ισοσκελή με περίμετρο , να βρείτε εκείνο με το μέγιστο εμβαδόν.

6. Θέλουμε να κατασκευάσουμε από λαμαρίνα μια κλειστή κυλινδρική δεξαμενή με

όγκο . Αν θέλουμε να χρησιμοποιηθεί η ελάχιστη λαμαρίνα, να βρείτε

την ακτίνατης βάσης της δεξαμενής.

7. Δίνεται η καμπύλη . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της με

όπου , τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ γίνεται ελάχιστο για

.

8. Κωνικό δοχέιο έχει γενέτειρα . Ποιό πρέπει να είναι το ύψος του δοχείου ώστε να έχει μέγιστο όγκο.

9. Δίνεται σύρμα μήκους . Το χωρίζουμε σε δύο κομμάτια και κατασκευάζουμε μ’ αυτά ένα τετράγωνο και ένα κύκλο. Να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι ελάχιστο αν ο λόγος των δύο

τεμαχίων είναι ίσος με .

10. Δίνεται φύλλο χαρτιού σε ορθογώνιο σχήμα με διαστάσεις και . Από κάθε γωνία του χαρτιού αφαιρούμε ένα τετράγωνο πλευράς χ και διπλώνουμε έτσι που να κατασκευάσουμε ανοικτό κουτί. Να υπολογίσετε το μέγεθος της χ έτσι ώστε το κουτί να έχει μέγιστο όγκο.

IV. Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1. Να υπολογίσετε τις τιμές των πιο κάτω παραστάσεων:i. ii. iii. iv.

2. Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω συναρτήσεων

i. ii.

iii. iv.

3. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω όρια:

i. ii.

4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή και να βρέιτε

την τιμή της.

5. Δίνεται η καμπύλη με παραμετρικές εξισώσεις: και .


Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: .

V. Αόριστο Ολοκλήρωμα

1. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα:i.

ii. iii.

iv.

v.

2. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα:

i. ii.

iii. iv.

3. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα

i. ii. iii.

iv. v. vi.

vii.


i. ii. iii.


i. ii. iii.

iv. v.vi.


i. ii. iii.

iv. v. vi.

vii.

7. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας τις αντικαταστάσεις που δίνονται

i. , , ii. , ,


iii. , , iv. ,

v. , vi. , t=εφχ

VI. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

1. Αν με να βρείτε την τιμή του α.

2. Αν να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα να δείξετε ότι:

i. ii.

iii. Αν επί πλέον η f έχει την ιδιότητα , να δείξετε ότι:

και στη συνέχεια να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

.


και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: .

5. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση να αποδείξετε ότι:

, και στη συνέχεια να βρείτε την κοινή τιμή

των ολοκληρωμάτων.

6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής να δείξετε ότι:

i. , f είναι συνεχής

ii. , f είναι συνεχής

iii. , f είναι συνεχής

iv. , f είναι συνεχής



και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

8. Να αποδειχτεί ότι: . Αν , να υπολογίσετε

τον αριθμό μ αν

9. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα αν ισχύει και .


.

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: .

11. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό να δείξετε ότι το ολοκλήρωμα

είναι ίσο με το ολοκλήρωμα . Στη συνέχεια να

υπολογίσετε το και το .

12. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από την καμπύλη

και την ευθεία .

13. Δίνεται η καμπύλη με και η ευθεία . Να υπολογίσετε το

εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, την ευθεία και τον άξονα των ψ.

14. Δίνεται η καμπύλη και το σημείο της Α .

iv. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο Α είναι: .v. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, την

εφαπτομένη της στο Α και τον άξον Οψ.vi. Να υπλογίσετε τον όγκο του στερεού που αράγεται από την πλήρη περιστροφή του

πιο πάνω χωρίου γύρω από τον άξονα Οψ.

15. Δίνεται η καμπύλη με και η ευθεία . Να υπολογίσετε:

i. Το εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από την καμπύλη και την ευθεία.ii. Τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου

γύρω από τον άξονα Οχ.

16. Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη , την ευθεία και τον άξονα των ψ στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των ψ και παράγει

όγκο . Το ίδιο χωρίο, όταν στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των χ

παράγει όγκο . Να υπολογίσετε την τιμή του α αν .

17. Δίνεται η καμπύλη .i. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στην αρχή των αξόνων

είναι η .ii. Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη , την εφαπτομένη και την ευθεία

περιστρέφεται κατά γύρω από τον άξονα Οχ. Να υπολογίσεται τον όγκο του στερεού που παράγεται.


18. Χωρίο Τ περικλείεται από την καμπύλη , τις ευθείες , και τον

άξονα Οχ. Να προσδιορίσετε την ευθεία που χωρίζει το Τ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

19. Δίνεται η καμπύλη και η ευθεία με .

i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, τον

άξονα Οχ και την ευθεία .

ii. Αν να βρείτε την τιμή του .

iii. Αν να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου γύρω από τον άξον Οψ.

20. Χωρίο Τ περικλείεται από τις καμπύλες , και τον άξονα των

ψ.i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Τ καιii. Να εκφράσετε με τη βοήθεια ολοκληρωμάτων τον όγκο του στερεού που παράγεται

από την πλήρη περιστροφή του Τ από (α) τον άξονα των Οχ και (β) τον άξονα Οψ.

21.

i. Να δείξετε ότι: ,

ii. Θέτοντας ναδείξετε ότι:

iii. Χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω ή με άλλο τρόπο να υπολογίσετε την τιμή του

ολοκληρώματος:

VII. Συνδυαστική

1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. ii.

2. Δίνονται τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου να υπολογίσετε:

i. Πόσοι τετραψήφιοι μπορούν να σχηματιστούνii. Πόσοι άρτιοι τετραψήφιοι μπορούν να σχηματιστούνiii. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του 3000 μπορούν να σχηματιστούν

3. Μια τάξη έχει 20 μαθητές, 12 αγόρια και 8 κορίτσια.i. Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε μια ομάδα 5 ατόμων;ii. Πόσες από τις πιο πάνω ομάδες έχουν 3 αγόρια και 2 κορίτσια;iii. Πόσες από τις πιο πάνω ομάδες έχουν το πολύ 2 κορίτσια;iv. Πόσεσ από τις πιο πάνω ομάδες έχουν ένα συγκεκριμμένο αγόρι;

4. Δίνεται η λέξη «ΑΣΦΑΛΕΙΑ»i. Πόσοι αναγραμματισμοί υπάρχουν;ii. Πόσοι από αυτούς αρχίζουν με σύμφωνο;iii. Πόσοι αναγραμματισμοί έχουν τα σύμφωνα σε συνεχόμενες θέσεις;iv. Πόσοι αναγραμματισμοί αρχίζουν και τελειώνουν με Α;v. Πόσες λέξεις των 4 γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν;

5. Δίνονται τα ψηφία: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου να


υπολογίσετε:

i. Πόσοι τριψήφιοι σχηματίζονται;ii. Πόσοι περιττοί τετραψήφιοι σχηματίζονται;iii. Πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 5000 σχηματίζονται;

6. Δίνεται η λέξη «ΔΗΜΟΨΗΦΙΣΜΑ».i. Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν;ii. Πόσοι αναγραμματισμοί αρχίζουν και τελειώνουν με το ίδιο γράμμα;iii. Πόσοι αναγραμματισμοί έχουν έχουν όλα τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις;iv. Πόσοι αναγραμματισμοί έχουν τα φωνήεντα εναλλάξ με τα σύμφωνα;v. Πόσες λέξεις με 4 φωνήεντα και ένα σύμφωνο σχηματίζονται;

7. Σε μια δεξίωση κάθε παρευρισκόμενος έκανε χειραψία με όλους τους άλλους. Έγιναν 45 χειραψίες.

i. Να δείξετε ότι στη δεξίωση υπήρχαν 10 άτομαii. Τα 10 άτομα θα καθίσουν για δείπνο σε δύο στρογγυλά τραπέζια με 6 και 4 θέσεις

αντίστοιχα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η τοποθέτησή τους;

8. Να υπολογίσετε το πλήθος των αριθμών που βρίσκονται μεταξύ του 7000 και 9000 και έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα σειρά.


VIII. Πιθανότητες

1. Να δείξετε ότι:

i.

ii.

2. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω δίνονται οι πιθανότητες:

και .

i. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: (α) , (β) , (γ) και (δ)

ii. Να εξετάσετε αν: (α) τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα (β) τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.

3. Δίνονται τα Α και Β δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω.

i. Να δείξετε ότι:

ii. Αν και , να υπολογίσετε τις πιθανότητες: (α) και (β)

4. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χωρου Ω και και

, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: (α) και (β)

5. Από τα 88 γραπτά της Γ΄ τάξης ενός λυκείου, τα 30 είναι του τμήματος Γ1, τα 28 του τμήματος Γ2 και τα 30 του τμήματος Γ3. Από αυτά βαθμολογήθηκαν κάτω από τη βάση, το 20% των γραπτών του Γ1, το 35% των γραπτών του Γ2 και το 10% των γραπτών του Γ3. Παίρνυμε στην τύχη ένα γραπτό.

i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα το γραπτό να έχει βαθμό κάτω της βάσης.ii. Αν το γραπτό είναι κάτω από την βάση να υπολογίσετε την πιθανότητα να ανήκει στο

Γ2.

6. Σε μια πόλη το 40% των κατοίκων διαβάζουν συχνά εφημερίδες, το 30% διαβάζουν συχνά περιοδικά και το 10% διαβάζουν συχνά εφημερίδες και περιοδικά. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα κάτοικο, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

i. Να διαβάζει συχνά εφημερίδες ή περιοδικάii. Να διαβάζει συχνά εφημερίδες αλλά όχι περιοδικάiii. Να διαβάζει συχνά μόνο εφημερίδες ή μόνο περιοδικάiv. Να μή διαβάζει συχνά εφημερίδες ούτε περιοδικά

7. Οι οδηγοί αυτοκινήτων κατά 90% φοράνε ζώνη ασφαλείας. Το 60 % όσων είχαν δυστύχημα και δεν φορούσαν ζώνη ασφαλείας σκοτώθηκαν, και το 10% όσων είχαν δυστύχημα και φορούσαν ζώνη ασφαλέιας σκοτώθηκαν. Να υπολογίστε την πιθανότητα των ενδεχομένων

i. Να σκοτωθεί ένας οδηγός σε δυστύχημαii. Οδηγός που σκοτώθηκε σε δυστύχημα να φορούσε ζώνη ασφαλείας.

8. Ένα κουτί περιέχει 2 πράσινους, 2 μπλέ και 1 κόκκινο μαρκαδόρο. Παίρνουμε στην τύχη 2 μαρκαδόρους μαζί. Αν Ρ είναι η πιθανότητα να έχουμε πάρει ένα μπλε και ένα πράσινο,

i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρii. Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν προσθέτοντας ένα μαρκαδόρο στο κουτί να αυξηθεί η

πιθανότητα Ρ.

9. Ρίχνουμε διαδοχικά ένα ζάρι τρεις φορές και σημειώνουμε τα αποτελέσματ αμε την σειρά που εμφανίζονται. Ποια η πιθανότητα να έχουμε:


i. Τρία ίδια αποτελέσματαii. Μόνο μια φορά το 6iii. Τρία αποτελέσματα κατά αύξουσα σειρά.


IX. Πίνακες

1. Αν και , να βρείτε τους πίνακες:

i. ii. iii. iv.

2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και αν ισχύει:

3. Δίνονται οι πίνακες και . Να βρείτε τον πίνακα στις πιο κάτω

εξισώσεις: (α) (β)

4. Αν είναι πίνακες τύπου και ο είναι αντιστρέψιμος, να δείξετε ότι:

i.

ii.

5. Αν ισχύει και , να βρείτε τον πίνακα .

6. Αν , να δέιξετε ότι:

7. Δίνεται ο πίνακας . Να δείξετε ότι:

i. ii. iii.

8. Να βρείτε όλους τους πίνακες για τους οποίους ισχύει: .

9. Δίνεται το συστημα: . Να λυθεί με χρήση πινάκων.

X. Κύκλος

1. Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που έχει:

i. κέντρο το και ακτίνα

ii. κέντρο το και ακτίνα

iii. κέντρο το και περνά από το σημείο

iv. κέντρο το και εφάπτεται της ευθείας

v. άκρα διαμέτρου τα σημεία και

2. Δίνεται ο κύκλος: . Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του.

ii. Τη θέση του σημείου προς αυτόν.

iii. Την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του

3. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ευθεία: εφάπτεται στον κύκλο

Στη συνέχεια να βρέιτε τα σημεία επαφής.

4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται

προς αυτόν από το σημείο .

Ομάδα Μαθηματικών

i. ii.

iii.

17

5. Να βρείτε τις εξισώσει των εφαπτομένων του κύκλου που είναι

παράλληλες με την ευθεία

6. Δίνεται ο κύκλος . Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ.

7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα Οψ στο σημείο

και έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία

8. Δίνεται ο κύκλος και το μέσο της χορδής του . Να

υπολογίσετε το μήκος της χορδής .

9. Δίνεται ο κύκλος και το σημείο του . Η εφαπτομένη του

κύκλου στο σημείο τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε:

i. Το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ευθύγαμμου τμήματος ΒΓii. Την τιμή της γωνίας έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να είναι ίσο με

τ.μ.

10. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που περνά από τα σημεία: , και η

εφαπτομένη του στο σημείο περνά από το σημείο .

XI. Παραβολή

1. Δίνεται η παραβολή . Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες της εστίας και την εξίσωση της διευθετούσας

ii. Τη θέση του σημείου προς την παραβολή

iii. Την τιμή του έτσι ώστε η ευθεία να εφάπτεται της παραβολής, και να βρείτε το σημείο επαφής.

2. Δίνεται η παραβολή και το σημείο . Να δείξετε ότι το είναι σημείο εκτός της παραβολής και να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται από το Α προς την παραβολή.

3. Η εφαπτομένη και η κάθετη της παραβολής στο σημείο της

τέμνουν τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΑΒ.

4. Η κάθετη της παραβολής στο σημείο , τέμνει τον άξονα των Οχ

στο Β. Στην προέκταση της ΒΡ παίρνουμε τμήμα ΡΓ=ΡΒ. Να βρείτε:i. Την εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Γii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ για

5. Δίνεται η παραβολή και τα σημεία της και .

i. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο Ρ είναι

ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Σ, στο οποίο τέμνονται οι εφαπτομένες στα σημεία Ρ και Τ.

iii. Αν να δείξετε ότι η εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γ.τ. του

Σ είναι η καμπύλη .

6. Η κάθτη της παραβολής στο σημείο τέμνει τον άξονα των ψ στο

σημείο Α. Να βρείτε την εξίσωση του γ.τ. του σημείου τομής, των υψών του τριγώνου ΟΡΑ.

7. Δίνεται η παραβολή .

i. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της


είναι η .

ii. Η πιο πάνω εφαπτομένη τέμνει τον άξονα των χ στο Α και τον άξονα των ψ στο Β.

Αν , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης.

XII. Έλλειψη

1. Δίνεται η έλλειψη . Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες των κορυφών και των εστιώ τηςii. Την εκκεντρότητά τηςiii. Τις εξισώσεις των διευθετουσών τηςiv. Την εστιακή απόσταση ΕΕ΄

v. Τη θέση του σημείου ως προς την έλλειψη

vi. Την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο

vii. Τη θέση της ευθείας ως προς την έλλειψηviii.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της ε΄λλειψης που είναιπαράλληλες με

την ευθεία .

2. Δίνεται η έλλειψη: με .

i. Αν η γωνία είναι ορθή να δείξετε ότι η έλλειψη έχει εκκεντρότητα

ii. Αν επιπλέον το εμβαδόν του τριγώνου είναι τ.μ. να βρείτε την εξίσψση της έλλειψεις και να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου.

3. Δίνεται η έλλειψη με και το σημέιο της . Η

εφαπτομένη της έλλειψης στο Ρ τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημέια Α και Β αντίστοιχα. Η κάθετη στο Ρ τέμνει τον άξονα Οχ στο Γ.

i. Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης στο Ρ είναι η

ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ.iii. Να βρείτ τον γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΒΓ.

iv. Να βρείτε τις τιμές του θ για τις οποίες τα τρίγωνα ΟΡΑ και ΟΡΒ είναι

ισεμβαδικά (Ο η αρχή των αξόνων).

4. Να βρεθεί σημείο Μ της έλλειψης τέτοιο ώστε η γωνία ΑΜΟ να είναι ορθή.

5. Οι εφαπτομένες της έλλειψης στα σημεία της και

τέμνονται στο σημείο Ρ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Ρ.

6. Δίνεται η έλλειψη .

i. Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της στο σημείο είναι η

.ii. Η κάθετη στο Ρ τέμνει τον Οχ άξονα στο σημείο Α. Από το Ρ φέρω τη ΡΒ κάθετη στον

Οχ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΡΑΒ είναι τ.μ., να υπολο΄γισετε την τιμή της

γωνίας θ, αν το Ρ βρίσκεται στο α΄ τεταρτημόριο.

7. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της


είναι η .

Η πιο πάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Γ και Α αντίστοιχα, και η κάθετη στο Ρ τέμνει τον άξονα Οχ στο Β.

i. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σημεία Ρ, Β, Γ.ii. Να βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του μέσου Μ του ΑΒ.

8. Δίνεται η έλλειψη και το σημείο της . Να δείξετε ότι το Ρ είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης και να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το Ρ.

9. Δίνεται η έλλειψη και το σημείο της ..

i. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι η: .

ii. Αν η χορδή ΡΤ της έλλειψης, με , περνά από την εστία Ε της

έλλειψης, να δείξετε ότι: όπου ε η εκκεντρότητα της

έλλειψης.iii. Ν αδείξετε ότι οι εφαπτομένες στα άκρα της χορδής ΡΤ τέμνονται στην αντίστοιχη

διευθετούσα.

10. Δίνεται η έλλειψη και ένα σημείο της Ρ. Φέρουμε τις χορδές ΡΑ και ΡΑ΄ (όπου Α, Α΄ κορυφές της έλλειψης στον Οχ άξονα). Οι κάθετες στις ΡΑ και ΡΑ΄ στο Ρ τέμνουν τον Οχ άξονα στα σημεία Μ και Μ΄ αντίστοιχα. Να δέιξετε ότι:

XIII. Ισοσκελής Υπερβολή

1. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή: . Να βρείτε:i. Τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της.

ii. Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της που άγονται από το σημείο .

iii. Τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β των πιο πάνω εφαπτομένων.iv. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΡ.

2. Δίνεται ισοσκελής υπερβολή . Αν ΑΒ είναι μια μεταβλητή χορδή της με κλίση , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ της.

3. Δίνεται ισοσκελής υπερβολή . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των

χορδών της που περνούν από το σημείο

4. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή και τα σημεία της και . Η

κάθετη από το Β στον άξονα Οχ συναντά τον άξονα στο σημείο Γ. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο Α περνά από το Γ.

i. Να δείξετε ότι:

ii. Να δείξετε ότι: το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό.iii. Αν η κάθετη της υπερβολής στο Α τέμνει τον ΟΨ στο σημείο Δ, να βρείτε το

γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ της ΓΔ.

5. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή . Η εφαπτομένη και η κάθετη στο σημείο της

τέμνουν τον άξονα Οχ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το

εμβαδόν του τριγώνου ΑΡΒ είναι ίσο με: .

6. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή και τα σημεία της: και .


i. Να δέιξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α είναι: .

ii. Να δέιξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ είναι η .

iii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Σ των εφαπτομένων στα Α και Β.

iv. Αν η χορδή ΑΒ περνά από το σημείο να δείξετε ότι: .

v. Να δέιξετε ότι ο γ.τ. του σημείου Σ έχει εξίσωση .

vi. Αν είναι σημείο της υπερβολής τέτοιο ώστε , να δείξετε ότι η

εφαπτομένη της καμπύλης σο Τ είναι κάθετη στην ΑΒ.


Epanalipriko Gen 2008 2009

Documents

Transcript of Epanalipriko Gen 2008 2009