Elementos de MatematicaExercıcios de Trigonometria - atividades didaticas de 2007

Versao compilada no dia 23 de Maio de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses SodreE-mail: ulysses@matematica.uel.br

Matematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais usados emnossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro paraas aulas e nao espero que elas venham a substituir qualquer livrosobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citadosna Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Emportugues, ha pouco material de domınio publico, mas em inglesexiste muito material que pode ser obtido na Internet. Sugiroque o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seusestudos.

Mensagem: ‘Assim diz o Senhor: Nao aprendais o caminho dasnacoes, nem vos espanteis com os sinais do ceu; porque delesse espantam as nacoes, pois os costumes dos povos sao vaidade;corta-se do bosque um madeiro e se lavra com machado pelasmaos do artıfice. Com prata e com ouro o enfeitam, com pregose com martelos o firmam, para que nao se mova. Sao como oespantalho num pepinal, e nao podem falar; necessitam de quemos leve, porquanto nao podem andar. Nao tenhais receio deles,pois nao podem fazer o mal, nem tampouco tem poder de fazer obem.’ A Bıblia Sagrada, Jeremias 10:2-5

Secao 1 Exercıcios de Trigonometria 1

1 Exercıcios de Trigonometria

1. Se 1 grau = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundos, calcular:

(a) 16(36o 24′)

(b) 13(127o 24′)

(c) 14(82o 17′)

(d) 13(73o 20′ 15′′)

2. Exprimir em radianos os seguintes angulos:

(a) 16(36o 24′)

(b) 13(127o 24′)

(c) 14(82o 17′)

(d) 13(73o 20′ 15′′)

3. Exprimir em graus os seguintes angulos:

(a) 2π3 rad

(b) 3π7 rad

(c) 2π9 rad

(d) 4π3 rad

4. Qual e o raio de uma linha ferrea circular que devera alterar a direcao em24o em um trajeto de 120 m.

5. Determinar a velocidade da Terra em uma orbita circular em torno doSol, sabendo-se que o raio da trajetoria circular e 93.000.000 milhas eque 1 ano = 365 dias. Resp: 18, 5 milhas/seg

6. Utilizando um sistema de coordenadas ortogonais, localizar cada um dospontos abaixo:

(a) A=(3,4)

(b) B=(-3,4)

(c) C=(3,-4)

(d) D=(-3,-4)

(e) E=(0,5)

(f) F=(5,0)

mostrando que todos estes pontos estao localizados sobre a circunferenciax2 + y2 = 52.

7. Obter a informacao x, y ou r que esta faltando para cada ponto P :

(a) x = 5, r = 13, P no primeiro quadrante.

(b) y = 12, r = 13, P no segundo quadrante.

(c) x = 5, y = 12, P no terceiro quadrante.

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Secao 1 Exercıcios de Trigonometria 2

8. Se existir, determinar um angulo do primeiro quadrante que seja congruoa cada angulo dado:

(a) α1 = 730o

(b) β = −730o

(c) γ = 930o

(d) δ = −930o

(e) ε = 1130o

(f) φ = −1130o

(g) η = 1330o

(h) µ = −1330o

(i) ρ = 2330o

9. Determinar o seno, o cosseno e a tangente do angulo α formado pelo eixoOX e pelo segmento de reta ligando a origem a cada ponto P dado.

(a) P=(3,4)

(b) P=(-3,4)

(c) P=(3,-4)

(d) P=(-3,-4)

(e) P=(0,5)

(f) P=(5,0)

10. Considerando que um angulo θ possui um segmento inicial OA, ondeO = (0, 0), A = (1, 0) e um segmento final OB, determinar o quadranteonde esta localizado o ponto B, se:

(a) cos(θ) < 0 e sen(θ) < 0

(b) cos(θ) < 0 e sen(θ) > 0

(c) cos(θ) > 0 e sen(θ) < 0

(d) cos(θ) > 0 e sen(θ) > 0

11. Determinar sen(θ) e tan(θ) se cos(θ) = 3/4.

12. Determinar sen(θ) e cos(θ) se tan(θ) = −3/4.

13. Determinar cos(θ) e tan(θ) se sen(θ) = 3/4.

14. Determinar os valores de todas as outras funcoes trigonometricas sesen(θ) =

√3/2 e cos(θ) = −1/2.

15. Se r > 0 e b > 0, obter os valores de cos(θ) e tan(θ) se sen(θ) =−b

r.

16. Determinar os valores de todas as funcoes trigonometricas se tan(θ) = x

e θ e um angulo do primeiro quadrante.Dica: Usar um triangulo retangulo.

17. Determinar os valores de todas as funcoes trigonometricas se θ = 45o.

18. Determinar os valores de todas as funcoes trigonometricas dos anguloscomplementares se α = 30o e β = 60o. Observe as relacoes interessantes.

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Secao 1 Exercıcios de Trigonometria 3

Definicao 1 (Altura angular). E o angulo formado entre o plano do chaoe o segmento ligando uma certa posicao ao topo de um objeto.

19. Uma arvore com 30 m de altura projeta uma sombra de 24 m. Determi-nar a altura angular ligando a extremidade sombreada ao Sol.

20. Determinar a altura de uma arvore se a altura angular varia de 20o a 40o

quando uma pessoa de desloca 25 m em direcao da base da arvore.

21. Determinar o comprimento da corda ligando dois pontos A e B de umcırculo de raio r = 20 cm de modo que o angulo AOB mede 150o.

22. Simplificar as expressoes de:

(a) cos(θ + 90o)

(b) sen(θ + 90o)

(c) tan(θ + 90o)

(d) sec(θ + 90o)

(e) csc(θ + 90o)

(f) cot(θ + 90o)

(g) cos(θ + 180o)

(h) sen(θ + 180o)

(i) tan(θ + 180o)

(j) sec(θ + 180o)

(k) csc(θ + 180o)

(l) cot(θ + 180o)

(m) cos(θ + 3π2 )

(n) sen(θ + 3π2 )

(o) tan(θ + 3π2 )

(p) sec(θ + 3π2 )

(q) csc(θ + 3π2 )

(r) cot(θ + 3π2 )

23. Deduzir as formulas de calculo para todas as funcoes trigonometricas doargumento (π

2 − θ). Simplificar as expressoes de tais formulas.

24. Deduzir as formulas de calculo para todas as funcoes trigonometricas doargumento (π − θ). Simplificar as expressoes de tais formulas.

25. Se k ∈ Z, demonstrar que para todo θ ∈ R, tem-se que

(a) cos(θ + 2kπ) = cos(θ)

(b) sen(θ + 2kπ) = sen(θ)

(c) tan(θ + 2kπ) = tan(θ)

(d) sec(θ + 2kπ) = sec(θ)

(e) csc(θ + 2kπ) = csc(θ)

(f) cot(θ + 2kπ) = cot(θ)

26. Demonstrar que para todo θ ∈ R, tem-se que

(a) cos(−θ) = cos(θ)

(b) sen(−θ) = − sen(θ)

(c) tan(−θ) = − tan(θ)

(d) sec(−θ) = sec(θ)

(e) csc(−θ) = − csc(θ)

(f) cot(−θ) = − cot(θ)

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Secao 1 Exercıcios de Trigonometria 4

27. Usando a identidade cos2(θ) + sen2(θ) ≡ 1, demonstrar que

(a) 1 + tan2(θ) ≡ sec2(θ)

(b) 1 + cot2(θ) ≡ csc2(θ)

(c) sec2(θ) csc2(θ) ≡ sec2(θ) + csc2(θ)

(d)1− sen(x)

cos(x)≡ cos(x)

1 + sen(x)

(e)sec(x)− csc(x)

sec(x) + csc(x)≡ tan(x)− 1

tan(x) + 1

(f)tan(x)− sen(x)

sen3(x)≡ sec(x)

1 + cos(x)

(g)cos(x) cot(x)− sen(x) tan(x)

csc(x)− sec(x)≡ 1 + sen(x) cos(x)

(h)tan(x) + sec(x)− 1

tan(x)− sec(x) + 1≡ tan(x) + sec(x)

(i) sen(x) sec(x) ≡ tan(x)

(j) [1− sen2(x)][1 + tan2(x)] ≡ 1

(k) [1− cos(x)][1 + sec(x)] cot(x) ≡ sen(x)

(l) csc2(x)[1− cos2(x)] ≡ 1

(m)sen(x)

csc(x)+

cos(x)

sec(x)≡ 1

(n) Se u = x sen(θ)− y cos(θ) e v = x cos(θ) + y sen(θ), entao

u2 + v2 ≡ x2 + y2

(o) Se x = 2r sen(θ) cos(θ) e y = r[cos2(θ)− sen2(θ)] entao

x2 + y2 ≡ r2

(p) Se x = r sen(θ) cos(φ), y = r sen(θ) sen(φ) e z = r cos(θ) entao

x2 + y2 + z2 ≡ r2

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