Elementos de inferencia

download Elementos de inferencia

of 21

  • date post

    10-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    555
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of Elementos de inferencia

Elementos de inferencia estadistica

ELEMENTOS DE INFERENCIAESTADSTICAIng. Erik E. Allcca Alca

Conceptos bsicosPoblacinConjunto formado por la totalidad de individuos, objetos o medidas de inters sobre los que se realiza un estudio.ParmetroEs un valor representativo y descriptivo de una poblacin, como la media o la desviacin estndar .Muestra representativaParte de una poblacin, seleccionada de manera adecuada, que conserva las caractersticas ms importantes de dicha poblacin..

Inferencia EstadisticaLa inferencia estadstica tiene como objetivo establecer las caractersticas de una poblacin o proceso con base en la informacin contenida en una muestra. Por lo general, la inferencia se divide en estimacin y prueba de hiptesis, y se apoya en cantidades o estadsticos calculados de las observaciones de la muestra.

Inferencia estadsticaSe refiere a establecer las caractersticas de una poblacin o proceso con base en la informacin contenida en una muestra.EstadsticoMedidas o funciones de los datos muestrales que ayudan a caracterizar la distribucin de tales datos.Distribucin de una variable aleatoria XRelaciona el conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a stos.

Estimacin puntual y por intervaloUna poblacin se caracteriza por una variable aleatoria y sta, a su vez, por su distribucin de probabilidad. Por lo general, una distribucin depende de parme tros que, si se desconocen, ser necesario estimarlos con base en los da tos muestrales.

El estimador puntual de un parmetro es un estadstico que genera un valor numrico simple, y que se utiliza para proporcionar una estimacin del valor del parmetro desconocido.La media del proceso (poblacin).La varianza 2 o la desviacin estndar del proceso.La proporcin p de artculos defectuosos.Los estimadores puntuales (estadsticos) ms recomendados para estimar estos parmetros son, respectivamente:La media muestral = XLa varianza muestral 2 = S2La proporcin de defectuosos en la muestra, p =X/n , donde X es el nmero de artculos defectuosos en una muestra de tamao n.

Estimacin por intervaloComo la estimacin puntual de un parmetro se genera a travs de un estadstico, y como el valor de ste es aleatorio porque depende de los elementos que fueron seleccionados en la muestra, entonces la estimacin que se hace sobre el parmetro depender y variar de una muestra a otra. De esta forma, cuando se quiere tener mayor certidumbre acerca del verdadero valor del parmetro poblacional, ser necesario obtener la informacin sobre qu tan precisa es la estimacin puntual.Una forma de saber qu tan variable es el estimador consiste en calcular la desviacin estndar o error estndar del estadstico, visto como una variable aleatoria.

Una forma operativa de saber qu tan precisa es la estimacin consiste en calcular un intervalo de confianza que indique un rango donde puede estar el parmetro con cierto nivel de seguridad o confianza.Para construir un intervalo al 100(1 )% de confianza para un parmetro desconocido consiste en estimar dos nmeros (estadsticos) L y U, de manera que la probabilidad de que se encuentre entre ellos sea 1 , es decir:

P(L U) = 1

donde L y U forman el intervalo de confianza buscado [L, U].Intervalo de confianza para una mediaSi se trata de encontrar dos nmeros L y U, tales que el parmetro se encuentre entre ellos con una probabilidad de 1 . Esto es,

Sea xl, x2, ..., xn una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin, con una distribucin normal con media y varianza 2, ambas desconocidas. El procedimiento general para deducir el intervalo consiste en partir de un estadstico que involucra al parmetro de inters y que tenga una distribucin conocida. En el caso de , tal estadstico es:

el cual tiene una distribucin T de Student con n 1 grados de libertad. Por lo tanto, en la tabla de esta distribucin o en su grfica se pueden ubicar dos valores crticos t/2 y t/2,tales que:

De aqu, al despejar hasta dejar al parmetro de inters slo en medio de las desigualdades, se llega a que

EjemploRecordemos se tiene un proceso de inyeccin de plstico donde una caracterstica de calidad del producto (disco) es su grosor, que debe ser de 1.20 mm con una tolerancia de 0.10 mm. Para evaluar esta caracterstica de calidad, durante una semana se realiza un muestreo sistemtico en una lnea de produccin y se obtienen 25 muestras de tamao 5 cada una. Por lo tanto, al final se tiene una muestra de n = 125 y se obtiene la media muestral, X= 1.179 mm y la varianza, S2 = 0.00071.Solucin:

Determinar el error muestral.Determinar el valos de t x/2 donde x=0,05Determinar L - UTamao de muestraEn ocasiones es necesario calcular el tamao de muestra n para lograr que la estimacin de una media poblacional tenga como error mximo a un nmero E. En este caso, como el error de estimacin est dado por E=t( /2, n1)S/n, entonces despejando n se obtiene que:

Como t (/2, n1) depende de n, y sta es la incgnita, entonces para propsitos prcticos y con tamaos de muestra mayores que 30, el valor de t (/2,n1) puede tomarse como 2. De esta manera,

EjemploEn el caso del grosor medio de los discos se quisiera un error mximo de estimacin de 0.004 = E, entonces se requiere un tamao de muestra deIntervalo para una varianzaDe manera similar a como se obtiene el intervalo para la media es posible deducir intervalos de confianza para cualquier parmetro. Por ejemplo, si se desea obtener un intervalo de confianza para la varianza 2 poblacional, tal que:

Entonces, la distribucin de referencia es una ji-cuadrada con n 1 grados de libertad, ya que bajo el supuesto de que la variable o poblacin de inters tiene una distribucin normal con media y varianza desconocidas, el estadstico

tiene esta distribucin ji-cuadrada con n 1 grados de libertad. Con un poco de lgebra se llega a que el intervalo de confianza para la varianza est dado por

EjemploEn el proceso de fabricacin de discos para computadoras una de las variables crticas es el rendimiento del formato. Se toma una muestra aleatoria de n = 10 discos de la produccin del ltimo turno, se formatean y se reporta el rendimiento de cada disco. Los datos obtenidos son:96.11, 91.06, 93.38, 88.52, 89.57, 92.63, 85.20, 91.41, 89.79, 92.62

Solucin:Determinar la media y la desviacin estndarDeterminar el intervalo al 95% de confianza para la media.Determinar el intervalo al 95% de confianza para la varianza.