ELEMENTOS DE INFERENCIA

ESTADÍSTICA

Ing. Erik E. Allcca Alca

Conceptos básicos

Población

Conjunto formado por

la totalidad de

individuos, objetos o

medidas de interés

sobre los que se

realiza un estudio.

Parámetro

Es un valor

representativo y

descriptivo de una

población, como la

media μ o la

desviación estándar σ.

Muestra

representativa

Parte de una

población, seleccionada

de manera

adecuada, que

conserva las

características más

importantes de dicha

población..

Inferencia Estadistica

La inferencia estadística tiene

como objetivo establecer las

características de una población

o proceso con base en la

información contenida en una

muestra. Por lo general, la

inferencia se divide en

estimación y prueba de

hipótesis, y se apoya en

cantidades o estadísticos

calculados de las observaciones

de la muestra.

Inferencia

estadística

Se refiere a

establecer las

características de

una población o

proceso con base

en la información

contenida en una

muestra.

Estadístico

Medidas o

funciones de los

datos muestrales

que ayudan a

caracterizar la

distribución de tales

datos.

Distribución de

una variable

aleatoria X

Relaciona el

conjunto de los

valores posibles de

X con la

probabilidad

asociada a éstos.

Estimación puntual y por intervalo

Una población se

caracteriza por una

variable aleatoria y

ésta, a su vez, por su

distribución de

probabilidad. Por lo

general, una

distribución depende

de paráme tros que, si

se desconocen, será

necesario estimarlos

con base en los da tos

muestrales.

El estimador puntual de un parámetro es un estadístico que genera un valor numérico simple, y que se utiliza para proporcionar una estimación del valor del parámetro desconocido.

La media μ del proceso (población).

La varianza σ 2 o la desviación estándar σ del proceso.

La proporción p de artículos defectuosos.

Los estimadores puntuales (estadísticos) más recomendados para estimar estos parámetros son, respectivamente:

La media muestral μˆ = X

La varianza muestral σˆ 2 = S2

La proporción de defectuosos en la muestra, pˆ =X/n , donde X es el número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n.

Estimación por intervalo

Como la estimación puntual de un parámetro se

genera a través de un estadístico, y como el

valor de éste es aleatorio porque depende de

los elementos que fueron seleccionados en la

muestra, entonces la estimación que se hace

sobre el parámetro dependerá y variará de una

muestra a otra. De esta forma, cuando se

quiere tener mayor certidumbre acerca del

verdadero valor del parámetro poblacional, será

necesario obtener la información sobre qué tan

precisa es la estimación puntual.

Una forma de saber qué tan variable es el estimador

consiste en calcular la desviación estándar o error

estándar del estadístico, visto como una variable

aleatoria.

Una forma operativa de saber qué tan precisa es la

estimación consiste en calcular un intervalo de

confianza que indique un rango “donde puede estar

el parámetro” con cierto nivel de seguridad o

confianza.

Para construir un intervalo al 100(1 − α)% de confianza

para un parámetro desconocido θ consiste en estimar

dos números (estadísticos) L y U, de manera que la

probabilidad de que θ se encuentre entre ellos sea 1 − α,

es decir:

P(L ≤ θ ≤ U) = 1 − α

donde L y U forman el intervalo de confianza buscado [L,

U].

Intervalo de confianza para una media

Si se trata de encontrar dos números L y U, tales que el parámetro μ

se encuentre entre ellos con una probabilidad de 1 − α. Esto es,

Sea xl, x2, ..., xn una muestra aleatoria de tamaño n de una

población, con una distribución normal con media μ y varianza σ 2,

ambas desconocidas. El procedimiento general para deducir el

intervalo consiste en partir de un estadístico que involucra al

parámetro de interés y que tenga una distribución conocida. En el

caso de μ, tal estadístico es:

el cual tiene una distribución T de Student con n − 1 grados de libertad.

Por lo tanto, en la tabla de esta distribución o en su gráfica se pueden

ubicar dos valores críticos tα/2 y −tα/2,

tales que:

De aquí, al despejar hasta dejar al parámetro de interés sólo en

medio de las desigualdades, se llega a que

Ejemplo

Recordemos se tiene un proceso de inyección de

plástico donde una característica de calidad del

producto (disco) es su grosor, que debe ser de 1.20

mm con una tolerancia de ±0.10 mm. Para evaluar

esta característica de calidad, durante una semana

se realiza un muestreo sistemático en una línea de

producción y se obtienen 25 muestras de tamaño 5

cada una. Por lo tanto, al final se tiene una muestra

de n = 125 y se obtiene la media muestral, X= 1.179

mm y la varianza, S2 = 0.00071.

Solución:

a) Determinar el error muestral.

b) Determinar el valos de t x/2 donde x=0,05

c) Determinar L - U

Tamaño de muestra

En ocasiones es necesario calcular el tamaño de

muestra n para lograr que la estimación de una

media poblacional μ tenga como error máximo a un

número E. En este caso, como el error de

estimación está dado por E=t(α /2, n−1)S/n, entonces

despejando n se obtiene que:

Como t (α/2, n−1) depende de n, y ésta es la incógnita,

entonces para propósitos prácticos y con tamaños

de muestra mayores que 30, el valor de t (α/2,n−1)

puede tomarse como 2. De esta manera,

Ejemplo

En el caso del grosor medio de los discos se

quisiera un error máximo de estimación de 0.004 =

E, entonces se requiere un tamaño de muestra de

Intervalo para una varianza

De manera similar a como se obtiene el intervalo

para la media es posible deducir intervalos de

confianza para cualquier parámetro. Por ejemplo, si

se desea obtener un intervalo de confianza para la

varianza σ2 poblacional, tal que:

Entonces, la distribución de referencia es una ji-

cuadrada con n – 1 grados de libertad, ya que bajo

el supuesto de que la variable o población de interés

tiene una distribución normal con media y varianza

desconocidas, el estadístico

tiene esta distribución ji-cuadrada con n – 1 grados

de libertad. Con un poco de álgebra se llega a que el

intervalo de confianza para la varianza está dado

por

Ejemplo

En el proceso de fabricación de discos para

computadoras una de las variables críticas es el

rendimiento del formato. Se toma una muestra

aleatoria de n = 10 discos de la producción del

último turno, se formatean y se reporta el

rendimiento de cada disco. Los datos obtenidos son:

96.11, 91.06, 93.38, 88.52, 89.57, 92.63, 85.20, 91.41, 89.79, 92.62

Solución:

a) Determinar la media y la desviación estándar

b) Determinar el intervalo al 95% de confianza para la

media.

c) Determinar el intervalo al 95% de confianza para la

varianza.