ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR T C E F Lc · PDF fileNº 2 Trazado I Ingº D.G....

Esc. Tec. Vial Nac. Nº 2 Trazado I Ingº D.G. Fernández Castro

1

ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR

Estos elementos, definidos en relación a un arco de circunferencia y teniendo como datos el radio

“R” y el ángulo al centro “Δ”(delta), son los siguientes (ver dibujo al final):

T: la tangente de la curva – Segmento comprendido entre el punto extremo del arco ( PC o FC) y

el P.I. (punto de intersección) de las alineaciones rectas

C: cuerda – es el segmento comprendido entre los puntos extremos del arco (PC – FC)

E: externa – es el segmento que va desde el P.I. hasta el C.C. (punto central de la curva)

F: flecha – es el segmento que va desde el C.C. hasta el punto medio de la cuerda (M)

Lc: longitud del arco, medido desde el PC hasta el FC, siguiendo la curva

Aclaración: cuando nos referimos a un “segmento”, es un tramo de recta, con principio y fin. Cuando

hablamos de “arco” es similar a un segmento, pero perteneciendo a una circunferencia.-

Para calcular una curva circular, generalmente son datos el radio R de la curva, y el ángulo ∆ (delta)

que forman las alineaciones rectas en el punto de intersección de las mismas (el P.I.)

Este ángulo ∆ está directamente relacionado con los acimuts (θ – thita) de las alineaciones:

∆ = θ2 – θ1

Una vez trazado el arco de circunferencia de radio “R”, de tal manera que en sus extremos (PC – FC)

sea tangente a las alineaciones rectas, se forma un dibujo que tiene ciertas proporciones y

propiedades perfectamente definidas. Por tal motivo, es posible deducir expresiones que vinculan a

todos los elementos de la curva circular con el radio “R” y el ángulo “∆”


2

Vemos que el ángulo “∆” aparece también como “ángulo al centro” de la curva. Eso se comprueba

muy fácilmente ya que en el cuadrilátero O-PC-PI-FC la sumatoria de los ángulos internos es 360˚

por lo tanto y considerando que los radios en PC y FC son normales a las respectivas tangentes (90˚)

entonces el ángulo que completa el cuadrilátero es el suplementario de ∆. Entonces es el mismo

ángulo que forman las alineaciones en P.I.


3

Este es el mismo dibujo, pero ahora se muestran las tangentes de la curva “T”, la cuerda “C”, y la

línea recta que une O (centro de curvatura) con P.I. .Su intersección con la cuerda es el punto “M”

y su intersección con la curva es el punto CC o “centro de curva”

Con respecto a la cuerda PC – FC la línea O-PI es una mediatriz, o sea que el punto “M” divide a la

cuerda en dos mitades, en una intersección a 90°.-

Considerando que el triángulo PC-FC-O es isósceles, y que el punto M divide a su base en dos

mitades, vemos que la línea O-PI es también bisectriz del ángulo ∆, por eso indicamos en el dibujo

los respectivos ∆/2 definidos por la bisectriz.-


4

Aquí hemos remarcado el triángulo PC – PI – O. Vemos que se trata de un triángulo rectángulo, ya

que el ángulo en PC es 90 ˚

Sus catetos entonces son T y R, y considerando el ángulo ∆/2, los catetos quedan relacionados por

la siguiente relación trigonométrica:

Tg (∆/2) = Cateto opuesto/ Cateto adyacente = T / R

Por lo tanto despejando a “T” quedaría:

T = R . tg(∆/2)


5

Aquí tenemos otro triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es entre la cuerda y la mediatriz, o

sea en el punto “M”

En este triángulo, el cateto opuesto al ángulo ∆/2 (que es la mitad de la cuerda “C”) , y el radio “R”

(que en este caso sería la hipotenusa del triángulo) se relacionan de la siguiente manera:

Sen (∆/2) = cateto opuesto / hipotenusa = (C/2) /R

Despejando C/2 = R . sen (∆/2)

Y finalmente

C = 2 R . sen (∆/2)


6

Ahora analizamos nuevamente el triángulo rectángulo PC-PI-O

Formando la hipotenusa O-PI vemos a la externa “E” (segmento CC-PI) en línea punteada, más el

radio R

Entonces se ve fácilmente que la externa se obtiene restando “R” a la hipotenusa

E = (hipotenusa) – R

Esta hipotenusa, por el teorema de Pitágoras, se expresa en función de los catetos:

Hipotenusa = (E + R ) = R2 + T2

Entonces despejando la externa

E = R2 + T2 - R

Y reemplazando “T” por su expresión ya demostrada T = R tg (∆/2)

E = R2 + (R tg (∆/2))2 - R

E = R2 + R2 tg2 (∆/2) - R

Sacando factor común “R2” dentro de la raíz

E = R2 (1+ tg2 (∆/2)) - R

Aplicando la propiedad distributiva de la radicación respecto al producto


7

E = R2 . (1+ tg2 (∆/2)) - R

E = R . (1+ tg2 (∆/2)) - R

Y finalmente sacando factor común “R” a toda la expresión

E = R ( 1+ tg2 (∆/2) - 1 )

Ahora analizamos la flecha “F” (el segmento que va desde CC hasta M, en línea de puntos):

En el dibujo hemos resaltado además el triángulo rectángulo O-PC-M, y vemos que el cateto mayor

O-M de este triángulo sumado a la flecha, es igual al radio, o sea:

F + OM = R

Entonces despejando la flecha:

F = R – OM


8

Respecto al ángulo ∆/2 , se da la relación :

Cos (∆/2) = cateto adyacente /hipotenusa = OM / R

Entonces despejando el cateto

OM = R . cos (∆/2)

Y reemplazando en la expresión de la flecha

F = R – OM = R - R . cos (∆/2)

Sacando factor común “R”

F = R (1 - cos (∆/2)

Finalmente para completar esta descripción de los elementos que forman la curva circular,

analizamos la longitud del arco (Lc). La hemos resaltado en la figura anterior. En base a la definición

de la unidad del sistema radial, el Radian, que sabemos es el ángulo formado cuando la longitud del

arco es igual a la longitud del radio, o sea:


9

1 radián = Lc / R (cuando Lc = R)

Podemos deducir fácilmente que cuando Lc es el doble que el radio entonces se forman 2 radianes,

igualmente cuando Lc = 3 R entonces se forman 3 radianes, etc, etc….

Entonces cuando Lc = ∆ . R el ángulo formado es precisamente “∆” en radianes….. y esa es la

relación que estábamos buscando:

Lc = ∆ . R (con ∆ en radianes)

Conviene tener presente los factores de conversión entre grados sexagesimales y radianes:

π/180˚ (para convertir grados a radianes)

180˚/π (para convertir radianes a grados)

Este apunte “Elementos de la curva circular” es un esfuerzo de la cátedra tendiente a facilitar la

comprensión del tema. De ninguna manera reemplaza al dictado de clases en el aula, sino que lo

complementa. Se recomienda, por lo tanto, la asistencia al 100 % de las clases, aunque se

disponga del presente apunte.- Ing. D.F.C.

ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR T C E F Lc · PDF fileNº 2 Trazado I Ingº D.G....

Documents

Transcript of ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR T C E F Lc · PDF fileNº 2 Trazado I Ingº D.G....