FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción

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INTRODUCCIÓN A LA DIFRACCIÓN

MATERIAL

- Banco de óptica de 90 cm. - Diodo láser (λ =650 nm) con montura - Diapositiva con 3 Diafragmas circulares de diferente diámetro - Diapositiva con 3 rendijas de diferente anchura - Diapositiva con 3 doble rendija - red de difracción - disco compacto (CD) - Pantalla difusora - Pantalla difusora con abertura central - Soporte portaobjetos - Cinta métrica - Regla graduada metálica - 3 deslizadores - 2 Soportes

OBJETIVO

El objetivo de esta práctica es familiarizarse con el fenómeno de difracción de las ondas luminosas, obteniendo los patrones de difracción de Fraunhofer de algunas aberturas características. A partir de los patrones de difracción, se pretende medir las dimensiones geométricas elementales de estas aberturas (por ejemplo, la anchura y separación entre las dos rendijas idénticas de una doble rendija o el período de una red de difracción) así como determinar la longitud de onda del haz de luz proporcionado por un puntero láser.

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INTRODUCCIÓN

El fenómeno de la difracción es una característica de la radiación luminosa1 que se observa cuando un haz de luz encuentra a su paso un obstáculo que limita su extensión. Un ejemplo típico es el representado en la Fig. 1. En ella se muestran dos situaciones diferentes, a saber, un haz esférico ilimitado (Fig. 1a) y el mismo haz cuando interacciona con una apertura circular que limita su extensión (Fig. 1b). La distribución de intensidad observada sobre el plano focal en cada caso pone de manifiesto que, mientras que el haz ilimitado sigue las previsiones de la Óptica Geométrica (en la que la luz se describe por rayos que viajan en línea recta), ésta no sirve para explicar el resultado obtenido en el caso del haz truncado. Esta separación del modelo "geométrico" es tanto mayor cuanto menor es la extensión de la apertura que limita el haz (llamada abertura difractante) respecto de la longitud de onda de la radiación. Este efecto es, por lo tanto, una consecuencia del caracter ondulatorio de la luz. Este fenómeno juega un papel decisivo en la formación de imágenes a través de los sistemas ópticos reales, ya que el tamaño finito de los elementos que lo conforman limita necesariamente la extensión de las ondas incidentes. Esto hace que la imagen de un punto objeto no sea otro punto sino una cierta mancha de difracción, cuyas dimensiones limitan el poder de resolución de los sistemas formadores de imágenes2. Nótese también que, de acuerdo con lo indicado en el párrafo anterior, el tamaño de estas "imágenes" de un punto será tanto menor cuanto menor sea la longitud de onda de la radiación incidente.

Figura 1

1 En realidad, se trata de una propiedad de todo fenómeno ondulatorio. 2 En particular, también el ojo humano tiene limitada su resolución debido al tamaño finito de su

pupila.

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FUNDAMENTO TEÓRICO Sea una rendija vertical de lado XL , iluminada normalmente con un haz paralelo de luz monocromática de longitud de onda λ (véase la Fig. 2). La distribución de intensidad que se obtiene en un plano de observación situado a una distancia D suficientemente grande —para las dimensiones de las aberturas utilizadas en esta experiencia y para las longitudes de onda del espectro visible una distancia D de unos pocos metros es suficiente—, se conoce como el patrón de difracción de Fraunhofer de la abertura. Puede demostrarse que para la abertura considerada, la distribución de intensidades en el plano de observación viene dada por:

,sinc

),(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=/

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

00

0

si

si2

y

yD

xL

yxIx

λ

(1)

donde sinc representa la función seno cociente, definida como

.)(

)(πα

παα

sinsinc =

(2)

L X

D

Apertura

Patrón de difracción

Figura 2

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En la Fig. 3 se representa la variación con α de la función )(sinc α2 . De acuerdo con la Ec. (1), la energía difractada por la rendija se concentra a lo largo de una recta horizontal ( y =0) y la posición de los mínimos de intensidad a lo largo de dicha recta, depende de las dimensiones de la abertura difractante. De hecho, la separación entre mínimos xΔ vale

.L

DxX

λΔ = (3) -3 -2 -1 0 1 2 3

α0.0

0.5

1.0s inc2(α)

Figura 3

Obsérvese, sin embargo, que los dos mínimos que limitan el máximo central están separados una distancia .xΔ2

L

D

Apertura

Patrón de difracción

Figura 4

Por otro lado, cuando la abertura difractante es una abertura circular de diámetro L (véase la Fig. 4), la distribución de intensidad correspondiente al patrón de difracción de Fraunhofer tiene simetría radial y está formada por un disco central brillante (que se conoce como disco de Airy) y una serie de anillos

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concéntricos alternativamente claros y oscuros, como muestra la Fig. 5. De nuevo, la escala de los anillos de difracción de este patrón depende del tamaño de la abertura circular, de la longitud de onda y de la distancia a la pantalla de observación. En particular, el diámetro φ del primer anillo de intensidad mínima viene dado por

.LDλφ 2

1'22=

(5)

Figura 5 Consideremos a continuación el caso de una abertura difractante doble for-mada por la repetición de dos rendijas idénticas de anchura L separadas una distancia a2 , como la mostrada en la Fig. 6.

2a

Figura 6

Ahora, el patrón de difracción de Fraunhofer viene dado por

,),(cos),( yxIDaxyxI A⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

λπ 22

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donde ),( yxI A representa el patrón de Fraunhofer de cada una de las rendijas que forman la abertura doble dado por la Ec. (1) y el término en coseno cuadrado cuyo período es

,aDp

2λ

= (7)

aparece debido a la interferencia entre los haces de luz difractados por cada una de las aberturas elementales. De este modo, la figura de difracción de Fraunhofer de una abertura doble está constituida por el patrón de franjas cosenoidales de Young moduladas por el patrón de Fraunhofer de la abertura individual correspondiente tal como se reume en la Fig.7.

Figura 7. Gráfica del patrón de difracción de una doble rendija

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Por último, consideremos el caso en que la abertura objeto es una red de difracción unidimensional, es decir, una abertura constituida por un número muy grande de rendijas idénticas muy estrechas dispuestas paralelamente y separadas una distancia constante d , generalmente muy pequeña,que se denomina periodo de la red (véase el esquema de la Fig. 8.

Figura 8

En la Fig. 9 se muestra una red de difracción, que tiene sus rendijas dispuestas perpendicularmente al plano del dibujo, iluminada por un haz plano de luz monocromática que incide normalmente sobre la red. Tal como muestra la Figura, cuando el haz de luz incide sobre una red, se producen simultáneamente dos fenómenos: por un lado, debido al pequeño tamaño de las rendijas, la luz que pasa por cada una de ellas resulta difractada y, por otro, los haces de luz difractados por las distintas rendijas interfieren entre sí. Esto ocurre porque las ondas están en fase cuando emergen de cada una de las rendijas, pero al alcanzar un punto de la pantalla (muy distante), las ondas procedentes de rendijas adyacentes han recorrido caminos distintos y pueden producir interferencias. Debido al gran número de rendijas presentes en la red, el resultado neto de la interferencia de todas las ondas elementales, sólo produce una intensidad apreciable para aquéllas direcciones en que todas estas ondas se superponen en fase. El resultado global es que la luz transmitida por la red es difractada en una serie de direcciones muy bien definidas (máximos principales) para las cuales la interferencia es constructiva. Para estas direcciones se cumplirá la condición de máximo, por lo que la diferencia de caminos Δr entre dos de estas ondas será un número entero de longitudes de onda, es decir, Δr= mλ.

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Figura 9

Como es fácil ver a partir de la Fig. 9, la diferencia de caminos Δr viene dada por Δr=dsenθ y por tanto las direcciones θ que satisfacen la condición de máximo cumplen la relación (conocida como ecuación de la red)

... 2, 1, 0, = m , m = send ±±λθ (8)

donde d, como ya se ha indicado, es la distancia entre dos rendijas consecutivas y los ángulos θ son positivos cuando al llevar la normal a la red a coincidir con la dirección que definen se va en sentido antihorario.

Red dedifracción

Órdenes dedifracción

Órdenes dedifracción

Haz monocromáticoincidente

m=+2

m=+1

m=0

m=–1

m=–2

Luzno difractada

θ

Figura 10

Como se ha representado en la Fig. 10 la luz emergente de la red consiste en una serie de haces colimados difractados en las direcciones θ que satisfacen la Ec. (8). Cada uno de estos haces difractados se denomina orden de difracción. Obsérvese que, de acuerdo con la Ec.(8), el orden asociado a m = 0 (orden cero) corresponde a un haz de luz que se propaga en la dirección de incidencia. Por

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esto se dice que es la luz no difractada. Además, los órdenes de difracción correspondientes al mismo valor de m pero con distinto signo, se distribuyen simétricamente respecto a la luz no difractada. Las redes de difracción que se utilizan en muchas aplicaciones, como la espectroscopia por ejemplo, no están constituidas por un conjunto de rendijas. Normalmente consisten en una lámina transparente planoparalela en la que se han efectuado una serie de surcos paralelos, "lineas", que son los que hacen las veces de rendijas. Otro tipo de redes de uso frecuente –redes holográficas– se fabrican registrando un patrón interferencial de doble haz en una placa fotográfica de alta resolución. La red que se emplea en esta práctica es de este tipo. Dejando aparte su tamaño y calidad, una red de difracción queda caracterizada por un sólo parámetro: el espaciado d entre líneas o, equivalentemente, su valor inverso, N = 1/d, que proporciona el número de líneas por unidad de longitud (y que usualmente se expresa en líneas/mm). Por esta razón la Ec. (8) tambien suele escribirse como

... 2, 1, 0, = m ,Nm d

1 m = sen ±±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λλθ (9)

Independientemente del método de fabricación, las direcciones en las que es difractada la luz que incide en una red vienen gobernadas por las ecuaciones anteriores. De acuerdo con estas ecuaciones, a partir del patrón de difracción generado por la red puede determinarse el valor de la longitud de onda de iluminación λ si se conoce el período d (o su inversa N) ó bien el espaciado entre lineas (d), si se conoce λ.

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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL El láser con el que se va a trabajar, al ser de muy baja potencia, es inofensivo. Sin embargo para evitar deslumbramientos molestos e incluso daños leves en la retina, nunca se debe mirar el haz del laser directamente. Asimismo se debe evitar que el haz del laser perturbe la realización de las prácticas de otros compañeros. Por otro lado, no se deben de tocar las superfícies de los elementos ópticos (aberturas, redes, ...) ya que las huellas dejadas pueden deteriorarlos seriamente. Por ello, estos elementos hay que manejarlos cogiéndolos por su soporte o, en su defecto, por los bordes. Para obtener los patrones de difracción de las distintas aberturas se empleará, básicamente, el dispositivo esquematizado en la Fig 11. En el camino del haz del láser se deben situar sucesivamente las diversas aberturas, procurando que éstas estén centradas sobre el haz y bien iluminadas. La luz difractada por la abertura objeto se observa sobre la pantalla difusora, que se debe situar a una distancia D de entre 2 y 3 m. De este modo, sobre la pantalla se obtiene el patrón de difracción de Fraunhofer característico de la abertura considerada.

Figura 11

Con este dispositivo se realizarán las siguientes experiencias: A) ABERTURAS RECTANGULARES A.1) Rendija de anchura variable: Determinación de la longitud de onda de la radiación emitida por el láser Como abertura difractante se utilizará un pie de rey con micrómetro digital, cuyas “hojas” actúan como una rendija de anchura variable conocida. En la fotografía de la Fig. 12 se muestra un detalle de este elemento y cómo situarlo en el dispositivo para obtener el patrón de difracción de interés.

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Detalle del pie de rey

Figura 12

En primer lugar se estudiará cualitativamente la influencia de la anchura de la rendija sobre la forma y escala del patrón de Fraunhofer. A continuación, se determinará la longitud de onda del láser, a partir de las medidas directas de XL , D y Δx que intervienen en la Ec. (3): La anchura XL se obtiene directamente de la lectura del micrómetro digital del pie de rey (se sugiere trabajar con valores de XL próximos a 0.15 mm). El valor seleccionado para la anchura no se debe modificar en todo este apartado de la práctica. La distancia D entre la abertura y la pantalla de observación se medirá empleando la cinta métrica. Por último, es necesario medir la separación xΔ entre los mínimos de intensidad de su patrón de Fraunhofer. Con objeto de mejorar la precisión de esta medida no se debe medir la separación xΔ entre dos mínimos consecutivos, sino la anchura xMΔ entre M mínimos no consecutivos con el fin de aumentar todo lo posible la precisión de la medida (véase la Fig. 13). Conviene medir la separación entre un número de mínimos M lo mayor posible, pero teniendo cuidado de que se observen con claridad. A partir de la anchura medida se obtiene la separación entre dos mínimos consecutivos xΔ .

Figura 13

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Con objeto de garantizar la validez de estos resultados, todas estas medidas experimentales, así como las que se realicen en los apartados siguientes, deben de repetirse al menos tres veces. Sin embargo, para simplificar el proceso de toma de datos, bastará con realizar una sola medida de la magnitud D , tal y como se recuerda en las hojas de resultados. De acuerdo con la Ec. (3), el valor de la longitud de onda se puede obtener a partir de estas medidas con ayuda de la relación

.XL xD

λ Δ=

(10)

El resultado obtenido para λ se debe comparar con el valor más preciso dado al principio de este guión. Nótese que el método propuesto permite determinar de modo muy simple una magnitud microscópica (inferior de hecho a una micra) característica de la luz. La precisión obtenida no es muy elevada, debido a que se requiere la medida de tres longitudes (de escala macroscópica) independientes. Como resumen, puede decirse que gracias a la difracción y con la ayuda de una regla, podemos medir la longitud de onda de la luz. A.2) Determinar de la anchura de una de las rendijas, identificada como “B” Ahora, utilizando la Ec. (3) se va a determinar la anchura de una rendija. Para ello, es necesario medir, procediendo como en el apartado anterior, la separación

xΔ entre los mínimos de intensidad de su patrón de Fraunhofer y la distancia D. El valor del ancho XL de la rendija problema se obtiene a partir de la Ec. (3), utilizando como dato conocido el valor de referencia (650 nm) de la longitud de onda del láser.

B) DOBLE RENDIJA En primer lugar, obtendremos el patrón de Fraunhofer de la doble rendija identificada como “A”. En la fotografía de la Fig. 14 se puede ver el aspecto típico del patrón correspondiente a una rendija doble. Comparando este patrón con el obtenido para una rendija sencilla, identificar los ceros de intensidad debidos a la interferencia destructiva entre los haces de luz difractados por cada una de las rendijas que componen la apertura doble. Después, con ayuda de las Ecs. (3) y (7), determinar tanto la anchura XL de cada rendija como la separación a2 entre ellas. Para ello es necesario determinar, aparte de la distancia D, la separación p entre los ceros de interferencia y la distancia xΔ entre los mínimos de difracción. La medida de p

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se debe realizar sobre los mínimos de interferencia que están localizados en el lóbulo más intenso del patrón de difracción.

Figura 14

C) REDES DE DIFRACCIÓN. C.1) Red de difracción unidimensional

Utilizando ahora como objeto la red de difracción unidimensional se realizarán las siguientes experiencias:

En primer lugar, situando la pantalla de observación en el extremo libre del banco de óptica, se comprobará que el patrón obtenido tiene el aspecto de la fotografía de la Fig.15, verificando además, al desplazar la pantalla, que la escala del patrón depende directamente de la distancia a la que se sitúe la misma.

Figura 15

A continuación, se procederá a determinar, de nuevo la longitud de onda del

láser. Para ello, se medirá la posición xm, respecto del orden central, de otro cualquiera de los órdenes de difracción de la red y la distancia D entre la red y la pantalla. De acuerdo con la Fig 16 se verifica la relación

tan =

mm

xD

θ ,

que proporciona la posición angular mθ del orden de difracción elegido.

Sustituyendo el valor así obtenido para mθ en la ecuación de la red, y sabiendo

que la red empleada es de N=100 mm-1, se obtendrá el valor de la longitud de

onda.

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Figura 16

C.2) ¿Un CD es una red de difracción? Un disco compacto o CD , al igual que un DVD, posee una estructura de microsurcos (véase la Fig.17) gracias a la cual puede almacenar diferentes tipos de archivos de información (imágenes, texto o música por ejemplo). Los microsurcos del CD se comportan como las rendijas de una red de difracción y, debido a ello, al iluminar un CD con un haz de luz se produce un patrón de difracción anólogo al generado por una red unidimensional. Este patrón se genera por reflexión debido a que el soporte del CD está recubierto de una pintura plateada que es opaca a la luz. Sin embargo, si se quita la capa de pintura, entonces se puede observar el espectro de difracción por transmisión, al igual que con una red convencional. En ambos casos, la ecuaciones que relacionan la distancia entre máximos del patrón generado por el CD con el periodo de la red, (ahora la distancia entre los microsurcos), la longitud de onda de iluminación y la distancia a la pantalla de observación son las mismas que las correspondientes a una red de difracción convencional.

Figura 17. Imagen de los microsurcos de un CD (izquierda) y un DVD (derecha) En este apartado de la práctica se comprobará que un CD se comporta, en efecto, como una red de difracción y, a partir de su patrón de difracción se

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determinará la distancia entre los microsurcos que forman el CD. Para mayor sencillez, se utilizará un CD al que se le ha quitado parte de la pintura metálica de su soporte con lo cual, como ya se ha explicado anteriormente, se podrá obtener el patrón de difracción por transmisión. Para obtener dicho patrón se situará el CD de modo que el haz láser incida perpendicularmente sobre él, tal como muestra la Fig.18

Figura 18 Sobre la pantalla difusora, que debe situarse a una distancia pequeña del CD para poder observar sobre ella varios máximos, se obtendrá el patrón de difracción del CD. Midiendo la posición de los máximos de este patrón y la distancia entre la pantalla y el CD, es posible deducir el valor de la distancia d entre los microsurcos del CD (y de su inversa N) procediendo del mismo modo a como se hizo con la red de difracción sin más que sustituir ahora 650 nmλ = en la ecuación de la red y. despejar el valor de d. D) OTRAS POSIBILIDADES D.1) Aberturas circulares Observar cualitativamente la forma y escala de la figura de difracción correspondiente a las tres aberturas circulares de que se dispone. D.2) Obstáculo lineal Observar la forma y escala de la figura de difracción correspondiente a un alambre (y/o un cabello). Como se puede observar en la fotografía de la Fig. 19,

Patrón de difracción

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el patrón de difracción es análogo al proporcionado por una rendija (de igual anchura) salvo por la mayor intensidad del máximo central (debida a la mayor cantidad de luz no difractada por este tipo de abertura). A partir de este patrón se puede determinar el espesor del alambre, siguiendo el procedimiento descrito para las aberturas rectangulares. En la práctica se sugiere utilizar, en lugar del alambre, un cabello (que difracta la luz del mismo modo) y medir su grosor.

Figura 19 D.3) Red de difracción bidimensional Situar dos redes de difracción simultáneamente en el camino del haz, de modo que sus lineas estén orientadas en direcciones perpendiculares. De este modo la abertura objeto se convierte en una red de difracción bidimensional. Observar la distribución de luz difractada por esta red que tendrá el aspecto de la fotografía de la Fig. 20. Este patrón puede observarse para dos posiciones de la pantalla, comprobando así que el tamaño del patrón de difracción también depende de la distancia entre el plano de la abertura y la pantalla de observación.

Figura 20

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HOJAS DE RESULTADOS

Nombre: _________________________________________________________ A) ABERTURAS RECTANGULARES A1) Rendija de anchura variable (pie de rey): Determinación de la longitud de onda de la radiación emitida por el láser. Valor de XL , medido con el pie de rey: Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica:

MEDIDAS EXPERIMENTALES

Separación mínimos de difracción: ΔM (mm)

1ª medida

2ª medida

3ª medida

Valor medio

Valor obtenido de xΔ : Valor obtenido para la longitud de onda del láser λ :

A2) Anchura de la rendija, identificada como “B” Longitud de onda del láser: λ =650 nm. Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica (si no ha cambiado tomar el valor de D del apartado A1; en caso contrario medirlo de nuevo una sola vez): D =

MEDIDAS EXPERIMENTALES

Separación mínimos de difracción: ΔM (mm)

1ª medida

2ª medida

3ª medida

Valor medio

Valor obtenido de xΔ : Valor obtenido de XL :

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B) DOBLE RENDIJA identificada como “A” Longitud de onda del láser: λ =650 nm. Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica (si no ha cambiado tomar el valor de D del apartado A1; en caso contrario medirlo de nuevo una sola vez): D =

MEDIDAS EXPERIMENTALES

Separación mínimos de difracción

xMΔ (mm)

Separación mínimos de interferencia

pM ' (mm)

1ª medida

2ª medida

3ª medida

Valor medio

Valor obtenido de xΔ : Valor obtenido de p :

Valor obtenido de XL : Valor obtenido de a2 :

C) REDES DE DIFRACCIÓN C.1) Red de difracción unidimensional: Determinación de la longitud de onda de la radiación emitida por el láser Número de líneas/mm de la red: N=100 mm-1, Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica:

MEDIDA EXPERIMENTAL

1ª medida 2ª medida 3ª medidaValor medio

mx

mx

CALCULOS A REALIZAR

tan =

mm

xD

θ mθ msen θ

msenmN

θλ =

Valor medio obtenido para la longitud de onda del láser λ :

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C.2) ¿Un CD es una red de difracción? Determinación de la distancia entre los microsurcos del CD Longitud de onda del láser: λ =650 nm. Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica:

MEDIDA EXPERIMENTAL

1ª medida 2ª medida 3ª medidaValor medio

mx

mx

CALCULOS A REALIZAR

tan =

mm

xD

θ mθ msen θ m

mdsen

λθ

=

Valor medio obtenido de d:

Valor medio obtenido de 1Nd

= :