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APUNTE APUNTE APUNTE APUNTE ---- UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD 8888

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Para comenzar esta unidad haremos un breve repaso de los conceptos más importantes referentes a los

efectos magnéticos.

Comenzaremos recordando la expresión del flujo magnético Φ que se produce cuando una corriente circula a

través de una bobina de N espiras y sección S:

� = ���� ∙ ��; válidasi�esconstanteentodalasección�

La expresión anterior nos relaciona el flujo magnético ϕ con la inducción magnética o densidad de flujo B y

la sección S. Podemos escribir una expresión para la inducción B en base a la experiencia de Rowland. Dicha

experiencia dice que en el anillo de Rowland se establece una inducción:

� = �� ∙ �∙��

Donde:

µ0 es la permeabilidad magnética del vacío (también del aire) y vale

�� = �� ∙ ��� !"#

N es el número de espiras.

l es la línea media magnética, que es el promedio de todas las líneas

que se establecen dentro del anillo.

A su vez, la intensidad de campo o excitación magnética H se define como:

! = � ∙ ��

Entonces la expresión de la inducción magnética B podemos escribirla de forma compacta como:

���� = �� ∙ !���

Notamos que la inducción B es proporcional a la intensidad H y que la constante de proporcionalidad es la

permeabilidad del vacío µ0.

Si en lugar de tener el anillo de Rowland contamos una bobina que se encuentra devanada

sobre un núcleo magnético de determinado material el cual se encarga de concatenar las líneas

de campo, entonces la expresión de la inducción resulta:

� = �$ ∙ �� ∙� ∙ �� → ���� = �$ ∙ �� ∙ !���

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En esta situación observamos que aparece un factor adicional de proporcionalidad que se denomina

permeabilidad relativa µr del material. Es relativa ya que está referida a la permeabilidad del vacío. La

permeabilidad relativa de un material depende de las características del mismo, sabemos que la permeabilidad

de los materiales paramagnéticos y diamagnéticos es constante, siendo variable en los materiales

ferromagnéticos. Se define la permeabilidad absoluta µ de un material como el producto en la permeabilidad del

vacío µ0 y la permeabilidad relativa del material µr es decir:

� = �� ∙ �$

De esta manera podemos reescribir la expresión para la inducción como sigue:

���� = �� ∙ �$ ∙ !��� = � ∙ !���

La relación entre la inducción B y el campo H está dada a través de la permeabilidad absoluta µ. La

ecuación anterior representa el caso más general y nos permite deducir que para los materiales donde µ es

constante la relación resulta ser lineal.

Recordemos la expresión del flujo magnético:

Φ = B ∙ S

Si reemplazamos la inducción por la expresión que obtuvimos recién nos queda:

Φ = B ∙ S = μ ∙ H ∙ S = μ ∙ N ∙ il ∙ S

Φ = N ∙ il

μ ∙ S

El denominador de la expresión anterior se conoce como reluctancia RRRR. Vemos que la misma depende de las

características constructivas y constitutivas del material. Es directamente proporcional a la longitud media

magnética e inversamente proporcional a la permeabilidad absoluta del material y la sección

El término � ∙ � recibe el nombre de fuerza magnetomotriz Fmm y es análoga a fem que estudiamos en los

circuitos eléctricos. Entonces la expresión del flujo resulta:

� = ,--.

La expresión anterior se conoce como ley de Hopkinson o ley de Ohm para los circuitos magnéticos. En

esta analogía, el flujo magnético representa a la corriente, la reluctancia a la resistencia y la fuerza

magnetomotriz a la fem.

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Una diferencia importantísima entre la resistencia y la reluctancia es que la segunda no es constante dado

que es función de la permeabilidad del material. Sólo en el caso de que estemos trabajando en el vacío (o en el

aire) podemos considerar a la reluctancia como constante, pero cualquier otro material ferromagnético la

reluctancia es variable.

Suponiendo que la excitación H es constante en cada punto de la sección del arrollamiento podemos escribir:

H = N ∙ iL

H ∙ L = N ∙ i = Fmm

Donde se conoce como tensión magnética y es análoga a la caída de tensión en los circuitos eléctricos.

En cambio si la excitación H no es constante debemos sumar todos los productos ! ∙ 2 y el resultado debe

ser � ∙ �, es decir:

3!4 ∙ 244

= � ∙ � = ,--

A la expresión anterior se la denomina ley de circuitación y nos indica que la suma de las tensiones

magnéticas debe ser igual a la fuerza magnetomotriz.

Fuerza magnetomotriz y diferencia de potencial magnético

Es necesario diferenciar estos dos conceptos para no confundirnos a la hora de

resolver los circuitos magnéticos. Para comprender la diferencia entre ambos vamos a

considerar los dos casos que se observan en la figura de la derecha.

Tenemos dos trozos de un determinado material magnético y ambos tienen igual longitud y sección cuyos

valores conocemos. En uno de ellos se devana un arrollamiento de N espiras por el cual circula una determina

corriente I, mientras que en el otro no se realiza el devanado.

Según lo visto más arriba, la fuerza magnetomotriz ubicada entre las secciones 1-2 tiene por expresión:

Fmm5�6 = N ∙ I

Ahora bien, la diferencia de potencial magnético entre las secciones 1-2 a la suma de las fuerzas

magnetomotrices entre dichas secciones menos (ó puede llegar a ser más) las tensiones magnéticas debidas al

trabajo del vector intensidad H en ir desde la sección 1 hasta la 2, entonces:

dpm5�6 = N ∙ I − H5�6 ∙ l5�6

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Por otro lado, en el trozo limitado por las secciones 1’-2’ no hay una fuerza magnetomotriz ya que no existe

un arrollamiento sobre el mismo. Pero si existe una diferencia de potencial magnético que se debe al trabajo del

vector intensidad H al ir desde la sección 1’ hasta la 2’. Entonces resulta para este caso que:

Fmm5:�6: = 0

dpm5:�6: = H5:�6: ∙ l5:�6:

Podemos decir que determinar la dpm es equivalente a determinar la caída de potencial en una rama de un

circuito eléctrico. En la figura se puede apreciar el equivalente eléctrico de los dos circuitos magnéticos que

hemos analizado.

Resolución de circuitos magnéticos en forma analítica

Este método de resolución consta de dos casos particulares. El primero de ellos es el más sencillo dado que

el problema se resuelve de manera directa, mientras que el segundo es más difícil dado que, por lo general

requiere seguir un camino de varias iteraciones de cálculo.

Veremos el primer caso, que es el más sencillo y para ello consideremos el circuito magnético que se

observa en la figura.

Lo que hace que este caso sea el más fácil es que se conoce

el material (característica magnética), el flujo en cada una

de las ramas, la sección y la longitud de las mismas.

En la figura hemos indicado la longitud de la rama (única

en este circuito) como L1, la sección que es constante con la

letra S, el flujo con Φ y la cantidad de espiras con N. También se aprecia la característica magnética del material

empleado. Nos interesa determinar la fuerza magnetomotriz que establece dicho flujo, lo que en este ejemplo

implica determinar la corriente que circula por el arrollamiento.

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Conociendo el flujo y la sección podemos determinar la inducción empleando la siguiente ecuación:

B5 =ΦS

Ahora que conocemos el valor de la inducción podemos usar la curva para hallar el correspondiente valor del

campo o excitación H. Esto se debe a que la curva nos representa la relación:

B5 = μ ∙ H5

Bien, ya obtuvimos la inducción B1 y el campo H1 por lo que estamos en condiciones de plantear la ley de

circuitación para nuestro circuito. Esto es:

N ∙ I = 3H< ∙ L<<

Como la sección S es constante, el campo H resulta ser constante. Además nuestro circuito consta de una

única rama de longitud L1 por lo que nuestra ley de circuitación resulta

N ∙ I = H5 ∙ L5

Así despejando de la ecuación anterior obtenemos el valor de la corriente que estamos buscando:

= = !� ∙ 2��

Ahora consideremos un circuito como que se tiene en

la figura, el cual consta de dos ramas con diferentes

secciones y longitudes. Los datos que tenemos disponibles

son los indicados en la figura, es decir, la característica

magnética del material, las longitudes y secciones de cada

rama, el flujo que circula por ellas y la cantidad de espiras del arrollamiento. Nuevamente nos interesa

determinar el valor de la corriente que circula por el arrollamiento.

Como conocemos el flujo y las secciones de cada rama podemos determinar las inducciones:

B5 =ΦS5 ; B6 =

ΦS6

B

H0

Característica magnética

del material

B1

H1

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Procedemos a determinar mediante el uso de la curva los valores de campo

correspondientes, es decir de H1 y H2. Como sabemos que el flujo es el mismo en cada

rama y que la sección S1 es menor que la S2, entonces sabemos que B1 será mayor que

B2.

En este caso tenemos dos secciones diferentes por lo que el campo H no es el mismo en ambas ramas, y

además las longitudes de las ramas son diferentes. Entonces la ley de circuitación resulta en este caso:

N ∙ I = 3H< ∙ L<<

N ∙ I = H5 ∙ L5 + H6 ∙ L6

Finalmente despejamos de la expresión anterior el valor de corriente que estamos buscando

= = !� ∙ 2� + !? ∙ 2?�

Consideremos el circuito de la figura como último ejemplo. En este caso el circuito consta de 3 ramas que,

como se aprecia en la figura todas las longitudes y secciones son diferentes. Además notamos la presencia de un

entrehierro de longitud δ. Los datos disponibles se muestran en la figura. Vale aclarar que en este caso sólo

contamos en el flujo en la rama 3 y que nos interesa determinar la fuerza magnetomotriz.

En la representación del entrehierro hemos exagerado su longitud. Notar además que el entrehierro tiene una

sección Sδ diferente de S3.

S1

N I.

L1Φ3

B

H0

Característica magnética

del material

L2

S2

S3

L3

δ Sδ

Conociendo el flujo de la rama 3 y las secciones correspondientes podemos calcular las inducciones, es decir

B@ =ΦA

S@

; BA =ΦA

SA

El valor del campo H3 lo obtenemos de la curva. Para el caso del entrehierro determinamos el valor del

campo empleando la permeabilidad del vacío ya que como vimos anteriormente la relación entre la inducción y

el campo resulta ser lineal para un entrehierro. Esto es:

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B@ = μB ∙ H@ → H@ =B@μB

Con los datos obtenidos podemos calcular la diferencia de potencial magnético correspondiente a la rama 3

la cual debe ser igual para todas las ramas por tratarse de un circuito “paralelo”. Entonces tenemos

dpmCDEDA = H@ ∙ δ + H5 ∙ L5

Ahora que conocemos el valor de dpmrama3 podemos determinar el campo en la rama 2, es decir:

dpmCDEDA = H6 ∙ L6 → H6 =dpmCDEDA

L6

Conociendo el valor del campo H2 podemos hallar el valor de inducción B2 usando la curva, ya que

necesitamos conocer la inducción en dicha rama para poder calcular el valor del flujo en la misma. Entonces, una

vez obtenida la inducción B2, el flujo en la rama 2 lo obtenemos mediante la expresión:

Φ6 = B6 ∙ S6

Recordemos que el flujo es análogo a la corriente en un circuito eléctrico, entonces si deseamos conocer el

flujo en la rama 1 sólo debemos sumar los flujos 2 y 3 para obtenerlo. Entonces resulta:

Φ5 = Φ6 +ΦA

Ahora que conocemos el valor del flujo en la rama 1 podemos determinar la inducción en dicha rama, para

luego usar la curva y obtener el valor del campo. Es decir:

B5 =ϕ5S5 → H5obtengodelacurva

Finalmente escribimos la ley de circuitación para nuestro circuito y despejamos el valor de la corriente.

N ∙ I = H5 ∙ L5 + H6 ∙ L6 = H5 ∙ L5 + H@ ∙ δ + HA ∙ LA = H5 ∙ L5 + dpmCDEDA

Entonces

= = !� ∙ 2� + LM-$N-NO�

Hemos distinguido con color gris las distintas formas de escribir la ley de circuitación para este ejemplo.

Esto es posible dado que se trata de un circuito paralelo donde, la diferencia de potencial en la rama 2 y la rama 3

debe ser igual.

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Resolución de circuitos magnéticos en forma gráfica o indirecta

Las resoluciones gráficas se emplean cuando no se conocen las distribuciones de flujo en las distintas ramas

del circuito y el dato generalmente es la fuente. Es un método similar al de recta de carga y al ser un método

gráfico el resultado es aproximado.

Recordemos la analogía que obtuvimos anteriormente entre los circuitos magnéticos y los eléctricos:

Entonces para el caso de tener un trozo de material de

longitud L sobre el cual se ha devanado una bobina de N espiras

y por el cual pasa un vector campo entre las secciones del

material tenemos que es equivalente a un circuito eléctrico

compuesto por una fuente real. Por otro lado si sólo tenemos un

trozo de material de longitud L por el cual pasa un vector campo el equivalente eléctrico es una resistencia.

Ahora nos interesa construir las curvas para cada uno de los casos anteriores, es decir, para el circuito

magnético que consta de una Fmm y para el circuito magnético que no posee Fmm.

Primero veamos como obtener la curva para el circuito sin Fmm. Es necesario conocer la característica

magnética del material empleado, la cual se puede obtener de tablas normalizadas para los distintos materiales

que se usan en los circuitos magnéticos. Entonces, conociendo la característica magnética, la sección del material

y la longitud del mismo podemos hallar la curva del flujo como función de la dpm, ya que:

� = � ∙ �

La diferencia entre la característica magnética (curva de magnetización) y la curva de Φ = f(dpm) es que

la primera es válida para todo elemento que se construya con dicho material mientras que la segunda es

válida únicamente para ese material de sección S y longitud L.

Pasemos a ver como construimos la curva para el caso del circuito con Fmm. El razonamiento para la

construcción de esta curva es similar al que se realiza para construir la recta de carga de una fuente, es decir se

necesita conocer la corriente de cortocircuito y la tensión a circuito abierto que son los cortes a los ejes. En los

circuitos magnéticos estos dos puntos son teóricos, ya que no existe realmente la condición de circuito abierto

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debido a que si dejamos el circuito magnético abierto el campo se cierra a través del aire. Por otro lado, un flujo

de cortocircuito implicaría doblar el material para que sus secciones extremas se unan cosa que no resulta fácil de

realizar. Por dichos motivos los cortes a los ejes son teóricos en los circuitos magnéticos.

Entonces la curva para este caso resulta:

De esta forma hemos construido las curvas para los dos casos mencionados. Si prestamos atención podremos

notar la analogía con el método de recta de carga, donde las fuentes estaban representadas por rectas de pendiente

negativa que cortaban a los ejes en ICC y E mientras que las cargas estaban dadas por rectas con pendiente

positiva y que partían del origen. En el caso de los circuitos magnéticos no son rectas porque como vimos

anteriormente la reluctancia no es constante debido a que la permeabilidad en los materiales ferromagnéticos no

lo es, sólo resulta constante la reluctancia del aire, de los materiales diamagnéticos y paramagnéticos. Entonces la

curva de un entrehierro sí resultará una recta ya que es el aire el material que lo constituye.

Consideremos el siguiente circuito magnético,

el cual consta de la unión de los dos trozos de

material que hemos analizado recién, es decir que

tenemos un trozo sobre el cual hay devanado una

bobina de N espiras y otro trozo que no posee

devanado. Así tenemos dos ramas, la rama 1 de

sección S1 y longitud L2, y la rama 2 de sección S2

y longitud L2. Ambas ramas son del mismo material y conocemos la curva de magnetización o característica

magnética del mismo.

A partir de la curva de magnetización podemos

construir una tabla donde indicaremos los valores de

inducción B con sus correspondientes valores de campo H,

es decir que haremos varias mediciones para obtener dichos

valores y mientras más mediciones hagamos más

aproximado será el resultado.

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Ahora estamos en condiciones de construir las curvas de cada una de las ramas de nuestro circuito. Para la

rama 1 construimos una tabla similar a la anterior, sólo que multiplicaremos las inducciones por la sección S1 de

manera de obtener flujos, y multiplicaremos los campos por la longitud L1 para obtener dpm.

Sabemos que la rama 1 se comporta como fuente por lo tanto para que la construcción sea directa, es decir

que no tengamos que espejarla, conviene tirar una línea vertical en � ∙ = y luego tener en cuenta la expresión

LM- = � ∙ = − ! ∙ 2�. Entonces para cada valor de flujo le vamos a restar a � ∙ = la correspondiente tensión

magnética ! ∙ 2� y así vamos a construir la curva para la rama de forma directa sin necesidad de espejarla. La

forma indirecta sería partiendo desde el origen y graficando los ! ∙ 2� para los distintos valores de flujo, luego

espejar la curva y ubicarla en su correspondiente � ∙ =. Es decir:

Para construir la curva de la segunda rama el razonamiento es similar. En este caso la rama no posee un

devanado por lo cual resulta ser una carga. Así obtenemos:

Ahora podemos graficar en un mismo par de ejes ambas curvas y así determinar el punto de funcionamiento

de nuestro circuito magnético para así conocer el flujo total y la dpmA-A’ .

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Si consideramos ahora que las secciones son iguales, es decir que � = �� = �?, y además que ya conocemos

la curva de la rama 2 podemos a partir de ésta construir la curva de la rama 1. Esto se debe a que si las secciones

de ambas ramas es la misma la reluctancia pasa a depender únicamente de la longitud según la expresión de la

reluctancia . =�

�∙� ya que además dijimos que las ramas son del mismo material.

Entonces veamos cómo construir la curva de la rama 1 a partir de la curva de la rama 2 para este caso. Como

dijimos las secciones son iguales pero no así las longitudes entonces podemos considerar a modo de ejemplo que

2? = ? ∙ 2�. Si L2 es el doble de L1 es evidente que para un valor dado de flujo la tensión magnética en la rama

2 será el doble que la tensión magnética en la rama 1, esto se aprecia mejor en la siguiente tabla:

Entonces para hallar la curva de la rama 1 debemos dividir a la mitad los segmentos que forman las

tensiones magnéticas de la rama 2 para los distintos valores de flujo, ya que la longitud de la rama 1 es la mitad

de la longitud de la rama 2. Luego de marcar los puntos procedemos a unirlos para formar la curva, después la

espejamos y ubicamos el corte en el correspondiente � ∙ = es decir:

Es evidente que si además de ser las secciones iguales, las longitudes también lo son, las curvas serían

exactamente iguales con la única diferencia que una va a estar espejada.

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Pasemos a analizar un circuito más complejo como el de la figura. Podemos ver que consta de tres ramas y

un entrehierro, además sabemos que dichas ramas son del mismo material y contamos con la curva de la rama 2.

Nos interesa determinar el flujo en cada una de las ramas.

Como las secciones son iguales podemos construir las curvas de la rama 1 y 3 a partir de la curva de la rama

2 con el procedimiento que vimos recién. Como las longitudes de las ramas 1 y 3 son iguales las curvas serán

iguales ya que las secciones también lo son y por ende las reluctancias de dichas ramas. Entonces tenemos:

Nos falta incluir la curva del entrehierro la cual resulta ser una recta dado que la reluctancia es lineal en el

aire o vacío porque la permeabilidad es constante en dichos casos. Dicha recta se obtiene de tablas normalizadas

para los diferentes materiales. Nosotros supondremos una hipotética. Así el diagrama queda:

Nos queda por determinar el punto de funcionamiento. Para ello el

razonamiento es similar al que usamos en recta de carga, es decir que

tenemos que sumar todas las curvas pertenecientes a las cargas para hallar su

equivalente y así la intersección de la curva equivalente con la curva de la

fuente será el punto de funcionamiento.

Entonces lo primero que hacemos es sumar en “serie” la curva 3 con la

curva δ, sumando dpm a flujo constante.

2

0

Φ = B S.

dpm

31

N I.

δ

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Una vez obtenida la curva equivalente 3δ lo siguiente es sumar en “paralelo” las curvas 2 y 3δ, es decir que

sumaremos los flujos a dpm constante. Esto es lo que se observa en la figura:

2

0

Φ = B S.

dpm

31

N I.

δ 3δ

Φ1

2

0

Φ = B S.

dpm

3

1

N I.

δ 3δ

23δ

dpmAA’

PFSumamos en serie

Sumamos en paralelo

De esta forma hemos encontrado la curva equivalente de las cargas que la hemos llamado 23δ, la

intersección de la misma con la curva 1 nos determina el punto de funcionamiento de nuestro circuito. Las

proyecciones del PF sobre los ejes nos determinan el flujo Φ1 y la dpmAA’ .

Nos queda determinar los flujos en las demás ramas, es decir el flujo Φ2 y Φ3. Si conocemos la dpmAA’ que

es la dpm que existe en las tres ramas podemos determinar los flujos que estamos buscando ya que las

intersecciones de las curvas de cada rama con la vertical de dpmAA’ constante nos dará el flujo en cada rama. Es

decir:

Notar que el flujo Φ3 pasa a través de la rama equivalente 3δ y

es común para el entrehierro como para el material de longitud L 3

porque como se observa en el circuito se trata de una rama con “dos

elementos en serie”. Por esto podemos decir que la curva real de la

rama 3 debe ser la curva 3δ, siendo la curva 3 la correspondiente a

uno de los elementos de la serie.

Si quisiéramos determinar la tensión magnética en

cada elemento de la serie que forman la rama 3 debemos

proyectar sobre el eje horizontal las intersecciones de las

curvas 3 y δ con la del flujo Φ3 y así determinar las

correspondientes dpm en cada “elemento”. En la figura se

muestra, aumentada, se indica lo dicho.