El producto Cruz

Es necesario ampliar nuestros conocimientos del algebra vectorial, un nuevo concepto es el producto cruz el

cual se utiliza para el calculo de momentos producidos por fuerzas.

C = A X B , C es un vector equivalente al producto cruz de A y B..

La magnitud de C se define como C = A X B sen θ UC, en donde A X B sen θ define la magnitud y el vector

unitario UC la dirección.

La direccion se establece a traves de la regla de la mano derecha, en el cual cerrando los dedos de la mano

derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B, el pulgar apuntara entonces en la dirección y sentido de C.

En terminos de vectores cartesianos

i x j = k i x k = -j i x i = O

jxk=i jxi=-k jxj=0

kxi=j k x j = -i kxk=0

De manera general el Producto cruz de dos vectores A (Ax i + Ay j + Az K) , B (Bx i + By j + Bz K) sera:

A X B = (Ay Bz - Az By) – (Ax Bz - Az Bx) –(Ax By - Ay Bx) , esta misma ecuacion de manera mas

compacta puede expresarse.

A X B =

BzByBx

AzAyAx

kji

Momento de una fuerza.

Formulación Escalar: Una fuerza respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la

fuerza a causar la rotacion de un cuerpo alrededor de un punto. La tendecia a la rotacion provocada por la

fuerza es llamado momento. De manera general el momento puede expresarse como M = F d. donde,

M: es el momento producido el cual es una cantidad vectorial

F: Es la fuerza aplicada

d : es la distancia o brazo perpendicular desde el eje al punto de accion

Observe las siguientes figura y note que la tendencia de rotacion respecto al punto o

en la primera es sobre el eje z, en la segunda es sobre el eje x y que en la tercera no se produce tal tendencia

(Distancia perpendicular es Cero).

En un sistema de fuerza el momento resultante será la suma de todos los momentos actuantes considerando el

momento positivo en sentido antihorario. MR = ∑ F d

Dirección y sentido:

La dirección y sentido de Mo se sacara usando la

regla de la mano derecha, para hacerlo, los dedos

de la mano derecha se cierran siguiendo el sentido

de la rotacion que ocurriría si la fuerza pudiese

girar en torno a O, (Fig a)

.Entonces, el pulgar apunta a lo largo del eje de

momento señalando la dirección y el sentido del

vector de momento, hacia arriba y perpendicular

al plano que contiene F y d. I definición, el

momento Mp puede considerarse vector deslizante

y, por tanto, actúa en cualquier punto del eje de

momento. Hay que notar que la direccion del

vector de momento están especificados por el

pulgar el cual esta apuntado hacia fuera de al

pagina (fig b)

Momento de una fuerza (Formulación Vectorial): el momento de una fuerza respecto a un punto 0 y

perpendicular al plano que contiene a O y F puede expresarse por M= r X F, donde r es el vector de posición

con extremos en p y cualquier punto que este en línea de acción de F.

M = r X F =

FzFyFx

rzryrx

kji

Ejemplos

Determine el momento de la fuerza de 800N respecto a los puntos A, B, C y D

MA = - 800 N (2.50 m) = - 2000 N· m

MB = - 800 N (1.50 m) = -1200 N· m

MC = 800 N (0 ) = 0 (Línea de acción de F pasa por

el punto C)

MD= 800 N (0.50 m) = 400 N· m

Determine el Momento en O

Mo = 60 lb0 (1 sen 45 ft ) = 42.4 lb· ft

Mo = 7 KN (4 m – 1 m) = 21 KN· m

Mo = -( 13 N * 3.25 m) + (5N* 1.5 M )+ ( 10 N * 0.5 m) + (3N * 2.5 m) = -22.25 N· m

Recuerde que la distancia es perpendicular al eje del punto o. Si la fuerza estuviera inclinada saquele sus componentes.