EJERCICIOS DE PRÁCTICA - Matemáticas Superior · PDF filecalcular la longitud...
Transcript of EJERCICIOS DE PRÁCTICA - Matemáticas Superior · PDF filecalcular la longitud...
MATEMÁTICASNombre del estudiante: _________________________________
Grado 11
EJERCICIOS DEPRÁCTICA
PPAA 2012
Todos los derechos de reproducción y divulgación están reservados por el Departamento de Educación de Puerto Rico, 2012.
HOJA DE MATEMÁTICAS DE 11mo GRADOMedidas del círculo unitario en grados y radianes y valores del seno y del coseno
65
0°
90° 45°135°
225°
270°315°
360° 20
630°
120°
150°
330°
60°
240°
210°
300°
4
3
2
32
43
67
45
34 2
3
35
47
611
(0, -1)
(1, 0)
(0, 1)
(-1, 0)
− 12
32
,
− 22
22
,
− 32
,
− −32
,
− −22
22
,
− −12
32
,12
32
, −
22
22
, −
32
, −
32
12
,
22
22
,
12
32
,
180°
12
12
12
Fórmula paraconvertir grados aradianes
radianes ángulo
180
Fórmula paracalcular la longitudde un arco en grados
arcoángulo
diámetro
=
=360
d
d
3.14≈
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASSeno y coseno del ángulo A
sen Aa
c=
cos Ab
c=
Fórmulas para suma y resta de ángulos y dobles ángulos
sen(σ + τ) = (sen σ)(cos τ) + (cos σ)(sen τ)sen(σ − τ) = (sen σ)(cos τ) − (cos σ)(sen τ)cos(σ + τ) = (cos σ)(cos τ) − (sen σ)(sen τ)cos(σ − τ) = (cos σ)(cos τ) + (sen σ)(sen τ)sen2x = 2 sen x cos xcos2x = cos2 x − sen2x
Identidades pitagóricas
cos2 θ + sen2 θ = 1
1 + tan2 θ = sec2 θ
cot2 θ + 1 = csc2 θ
Funciones secante,cosecante, tangente ycotangente
csc θ = 1
sen �
sec θ = 1
cos �
tan θ = sen
cos
�
�
cot θ = cos
sen tan
�
� �=
1
Ley de Senos
a
A
b
B
c
Csen sen sen= =
Ley de Cosenos
a b c bc A2 2 2 2= + − cos
B
CA
a
b
c
b a c ac B2 2 2 2= + − cos
c a b ab C2 2 2 2= + − cos
A
Periodo
=
=
=−
2�
bc
b
⟨ ⟩ = ( )x y x y, ,
Amplitud
Cambio de fase
Notación vectorial
Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal. Pasa a la próxima página
Instrucciones para ennegrecer las respuestas de preguntas de selección múltiple
• Usalápiznúm.2solamente.
• Nouseslápizmecánico,tintanibolígrafo.
• Llenaelcírculoporcompleto.
• Borraporcompletocualquierrespuestaquedeseescambiar.
• Nohagasmarcasolíneasenestahoja.
Incorrecto
Incorrecto
Correcto
Instrucciones para contestar las preguntas de respuesta extendida
• Usalápizsolamente.
• Nouseslápizmecánico,tintanibolígrafo.
• Asegúratedecontestartodaslaspartesdelapregunta.
• Escribesolamentedentrodelrecuadro.
Instrucciones
Antesdeempezarlosejercicios,tumaestroomaestrateayudaráacontestarunosejemplos.Losejemplossonparaqueentiendasloquetienesquehacerunavezcomienceslosejercicios.Tambiénteindicarácómoennegrecerloscírculosdelahojadecontestacionesparaquetucontestaciónseaválida.Siguetodaslassugerenciasyleeconmuchaatención.
Acontinuaciónverásunejemplodelahojadecontestacionesyloquedebeshacerparacontestar.
Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal. PARA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
– 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
Instrucciones para las respuestas en una cuadrícula
• Resuelveelproblema.
• Escribelarespuestaenlacuadrículaqueapareceenlahojadecontestaciones.
• Llenaloscírculoscorrespondientesyasegúratedeusarelvalorposicionalcorrecto.
PARAPRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Undécimo grado Página 1
M a t e m á t i c a s
Ejemplos
Instrucciones: Lee las siguientes preguntas. En algunas preguntas debes escoger la mejor respuesta y marcarla. En otras preguntas debes usar palabras, números o dibujos para contestarlas. Recuerda que debes marcar o anotar todas tus respuestas en la hoja de contestaciones.
● A ¿Qué propiedad explica que 20 × 25 = 25 × 20?
A propiedad asociativa
B propiedad distributiva
C propiedad del inverso
* D propiedad conmutativa
● B Cecilia fue a la bolera con 5 amigas. Ella pagó $12.50 por la entrada de todas las amigas y ellas le iban a pagar después. Una amiga le pagó su entrada con $5. ¿Cuánto le debe dar Cecilia de cambio?
Anota tu respuesta en la cuadrícula que está en la hoja de contestaciones. No olvides llenar los círculos correspondientes.
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Página 2 Undécimo grado - Matemáticas
Pasa a la próxima página
Instrucciones: Lee las siguientes preguntas. En algunas preguntas debes escoger la mejor respuesta y marcarla. En otras preguntas debes usar palabras, números o dibujos para contestarlas. Recuerda que debes marcar o anotar todas tus respuestas en la hoja de contestaciones.
l1 Analiza la siguiente proposición.
En el �ABC AB AC, si ,>, si �ABC AB AC, si ,> , entonces m C m B∠ > ∠ .
¿Cuál es la validez de la proposición y su recíproco?
A Ambos son falsos.
B Ambos son verdaderos.
C La proposición es verdadera, pero el recíproco es falso.
D La proposición es falsa, pero el recíproco es verdadero.
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Undécimo grado - Matemáticas Página 3
Pasa a la próxima página
l2 De acuerdo con una reciente inspección de control de calidad, el ancho de los tornillos que produce una fábrica tiene una distribución normal.
• Lamediadelanchoesde4.0mm.• Ladesviaciónestándaresde0.04mm.
¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de los tornillos que produce la fábrica sea MENORde4.12mm?Usalagráficadeladistribución normal para contestar las preguntas.
34.1%
13.65%
34.1%
2.1%
0.15% 0.15%
2.1%
13.65%
µ−1σ 1σ 2σ 3σ −2σ−3σ
A 63.65%
B 97.75%
C 99.85%
D 100%
l3 ¿Cuál función tiene una gráfica con las siguientes propiedades?
• amplitudde5• periodode180°• cambiodefasede290°
A f x x( ) = +
5
1
290sen
B f x x( ) ( )= +5 2 180sen
C f x x( ) ( )= −5 90sen
D f x x( ) ( )= +sen 5 180
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Página 4 Undécimo grado - Matemáticas
Pasa a la próxima página
l4 Larepresentacióngeométricadelosvectoresa, b y c se muestra a continuación en el plano cartesiano.
b
a
c
y
x1234567
−2−3−4−5−6−7
21 3 4 5 6 7−1 −4−5−6−7 −3 −2 −1 0
A. ¿Cuáles son los componentes de a b�� ��
+ ? Demuestra el procedimiento utilizado para determinar tu respuesta.
B. Si , a b c d�� �� �� ��
+ += ¿cuáles son los componentes del d��
? Demuestra el procedimiento utilizado para determinar tu respuesta.
No olvides contestar todas las partes de la pregunta en la hoja de contestaciones.
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Undécimo grado - Matemáticas Página 5
Pasa a la próxima página
l5 Juliana recostó el extremo superior de una escalera contra una pared que es perpendicular al suelo.
• Ellargodelaescaleramide25pies.• Elángulodeinclinaciónentrela
escaleraylaparedmide40°.
¿Cuál expresión representa la distancia en pies del suelo al punto donde la escalera está recostada contra la pared?
A 25
40tan °
B 25sen °40
C 25
40sen °
D 25 40cos °
l6 ¿Cuál es una característica que tienen en común las funciones que se muestran a continuación?
f x x g x x( ) ( )= =2
A Tienen el mismo alcance.
B Tienen el mismo dominio.
C Están indefinidas cuando x < 0.
D Sus gráficas tienen una asíntota horizontal en y = 0.
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Página 6 Undécimo grado - Matemáticas
Pasa a la próxima página
l7 LaseñoraGalindotieneunalistaquemuestra las calificaciones de sus 20estudiantesenelexamenfinal.
¿QuétipodegráficaeselMÁSapropiadopara representar todos los valores exactos de este conjunto de datos?
A histograma
B gráfica circular
C diagrama de caja
D diagrama de tallo y hoja
l8 El siguiente dibujo muestra el AB� cuyo vérticeeselpunto P.
P
B
A3 cm
30°
¿Cuántos centímetros mide la longitud
del AB�? Redondea tu respuesta a las
centésimasdecentímetro.(Usa = 3 14. ).
Anota tu respuesta en la cuadrícula que está en la hoja de contestaciones. No olvides llenar los círculos correspondientes.
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Undécimo grado - Matemáticas Página 7
Pasa a la próxima página
l9 ¿Cuál de las siguientes respuestas sirve como contraejemplo para demostrar que la proposición que se muestra a continuación es inválida?
Si p y q son rectas paralelas y t es una transversal, entonces los ángulos adyacentes tienen medidas diferentes.
A un par de ángulos opuestos por el vértice
B si t es perpendicular a p y q
C un par de ángulos correspondientes
D No existe ningún contraejemplo porque la proposición es válida.
l10 A continuación se muestran dos funciones.
f x x g x x( ) ( )= − = −2 4 2
¿Cuál ecuación representa a f
gx
( )?
A f
gx x x
( ) = + ≠2 2;
B f
gx
xx
( ) =
+≠ −
1
22;
C f
gx x x
( ) = − ≠ −2 2;
D f
gx
xx
( ) =
−≠
1
22;
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Página 8 Undécimo grado - Matemáticas
Pasa a la próxima página
l11 ¿Cuál de las gráficas representa MEJOR una distribución normal de los datos?
A
B
C
D
38% 38.5%
9% 7%
4%0.3%0.2%
3.5%
1714 20 23 26118
35% 25%
15% 13%
6.5%0.5%0.5%
4.5%
1714 20 23 26118
34% 34.3%
13.4% 13.1%
2.3%0.2%0.2%
2.5%
1714 20 23 26118
40% 40%
5% 5%
3%2%2%
3%
1714 20 23 26118
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Undécimo grado - Matemáticas Página 9
Pasa a la próxima página
l12 A continuación se muestra la gráfica de la función g xx
( ) .= −3
3
y
x123456789
−1−2−3−4−5−6−7 −8 −9
−4−5−6−7−8−9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
A. ¿Cuántas soluciones reales tiene la función g(x)? Demuestra con palabras, números o símbolos cómo obtuviste tu respuesta.
B. ¿Enquéintervalosdex es g x( ) ?> 0 Demuestra con palabras, números o símbolos cómo obtuviste tu respuesta.
No olvides contestar todas las partes de la pregunta en la hoja de contestaciones.
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Página 10 Undécimo grado - Matemáticas
Pasa a la próxima página
l13 Observa la figura que se presenta y su demostración parcial.
Demostración
Enunciado
1. ∠Y ≅ ∠Z, XY ≅ WZ
2. ∠1 ≅ ∠2
3. YUX ≅ ZUW
4. YU ≅ ZU
Dado
Razón
Ángulos opuestospor el vértice soncongruentes.
Partescorrespondientesde triánguloscongruentes soncongruentes.
X
Y
Z
U 2
W
Dado:
1 2
Demostrar: YU ≅ ZU
∠Y ≅ ∠Z
XY ≅ WZ
¿Quérazónjustificaelpaso3?
A postulado LLL
B postulado ALA
C postulado AAL
D postulado LAL
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.
Undécimo grado - Matemáticas Página 11
Pasa a la próxima página
l15 El siguiente diagrama de dispersión muestra la correlación entre las ausencias y la calificación final de los estudiantes en un curso de Matemáticas. Lalíneadeajuste de estos datos es f (x) 5 23.1x 190.8.
Correlación entre ausencias y calificaciones
Cal
ifica
ción
fina
l 100
80
60
40
20
02 4 6 8 10 12 14 16 18
x
y
Número de ausencias
Si un estudiante estuvo ausente cuatro días enelsemestre,¿quécalificaciónesMÁSprobable que haya recibido de acuerdo con la línea de ajuste?
A 70
B 75
C 78
D 84
l14 ¿Cuál es el valor de tan ?7
4
A 21
B − 2
2
C 0
D 1
Página 12 Undécimo grado - Matemáticas
PRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal. PARA
l16 ¿Cuál de las siguientes igualdades se puede usar para calcular la medida en centímetros del lado AC?
100°
35°
A
B C
7 cm
A
b�
sen 35°
7
sen 100°
B
b
sen 45°
7
sen 100°�
C
b�
sen 100°
7
sen 35°
D
b�
sen 100°
7
sen 45°
l17 A continuación se muestra la gráfica de una función cúbica.
y
x123456789
−1−2−3−4−5−6−7 −8 −9
−4−5−6−7−8−9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
g(x)
¿Cuántas soluciones imaginarias tiene la función g x( )?
A 0
B 1
C 2
D 3