Ejercicios teora de colas M/M/1

Intensidad de trafico en el sistema

Numero medio de llegadas

Numero medio de atencin

Pn Probabilidad de que haya n

paquetes en el sistema

1nnP

L Numero medio de paquetes en

el sistema

W Tiempo media que un paquete

permanece en el sistema

Wq Tiempo medio de espera en la

cola.

Lq Numero medio de paquetes

medio en la cola

o Probabilidad de que no existan paquetes en el sistema

11LW

1

12

LLL oq

1

L

1WWq

En un servidor de la universidad se mandan programas de

ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor

con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecucin de

cada programa es de 5 segundos y tanto los tiempos entre

llegadas como los tiempos de ejecucin se distribuyen

exponencialmente.

a) Que proporcin de tiempo esta el servidor desocupado

b) Cual es el tiempo esperado total de salida de un programa?

c) Cual es el nmero medio de programas esperando en la cola

del sistema?

El sistema es M/M/1 con = 10 trabajos por minuto y = 12 trabajos por minuto. Se asumir que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como = 10/12 < 1, el sistema alcanzar el estado estacionario y se pueden usar las frmulas obtenidas en clase.

a)

El servidor estar ocupado

El servidor estar desocupado

del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya que el ordenador est ocupado 5 10 = 50 segundos por minuto).

6

5

12

10

6

1

6

511

b) Tiempo medio total es

por programa.

c) El nmero medio de programas esperando en la cola es

min

2

1

6

5112

1

1

1

W

trabajosLq 16,41

2

EJEMPLO

Suponga que en una estacin con un solo servidor

llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene

capacidad para atender en promedio a 60 clientes por

hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3

minutos en la cola.

Se solicita:

a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema

b) Nmero promedio de clientes en la cola

c) Nmero promedio de clientes en el Sistema en un

momento dado.

Solucin:

Se conoce la siguiente informacin:

= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos

= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) =

60/60 clientes/minutos=

Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un

cliente en la cola)

a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el

Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y .

Es decir en promedio

un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos as 3 minutos

pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

min41

1min3

1

qWW

b) Para calcular el nmero de clientes en la cola (Lq), usaremos la

frmula siguiente: Lq= Wq.

Es decir

los clculos nos muestran que en la cola puede haber ms de dos

clientes en la cola.

clientesclientes

WL qq 25,2min3min

75,0

c) Para calcular cual es el nmero de clientes en la cola (Ls). Lo

podemos hacer con la frmula: Ls= Ws.

Es decir en

promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que

solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en

servicio, por lo que los dems deben estar en la cola. Esto indica

que hay dos clientes en espera.

clientesclientes

WL 3min4min

75,0

EJEMPLO

Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y

la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora.

Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con

el modelo M/M/1.

Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el

sistema, la probabilidad de tener una cola de ms de 3

clientes y la probabilidad de esperar ms de 30 minutos

en la cola y en el sistema

Solucin:

Se conoce la siguiente informacin:

= 9 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos

= 0.2 clientes/minutos (media de llegada de los

clientes)

a) Vamos calcular el factor de desempeo del sistema calculando

.

= /= 0.15 / / 0.20 / = 0.75 = 75%. El sistema est ocupado el 75% del tiempo. O sea pasa un 25%

ocioso. Es decir la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es

cuando el sistema est vaco y eso puede ocurrir con una

probabilidad del 25%. Su clculo puede hacerse directamente con

la frmula:

%2525,020,0

15,0

20,0

15,011

00

0

P

b) La probabilidad de tener una cola de ms de 3 clientes

La probabilidad que haya ms de tres clientes en el Sistema, implica que debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La diferencia con 1.

Ser la probabilidad que hayan ms de tres.

P(Ls>3)=1 (P 0 + P1 + P2 + P3 )= 1- (0.25+0.1875+0.1406+0.1055)=1-0.6836=0.3164

2500,075,025,01 00

0

P

1875,075,025,01 11

1

P

1406,075,025,01 22

2

P

1055,075,025,01 33

3

P

c) La probabilidad de esperar ms de 30 minutos en la cola.

Primero calcularemos el tiempo promedio que un cliente espera en

la cola.

minutos (es el

tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la cola)

Ahora vamos a calcular tiempo (t) de espera sea mayor de 30

minutos.

Vamos aplicar esta ecuacin

para calcular dicha probabilidad.

(COMO PUEDE VER LA PROBABILIDAD ES BAJA)

15

15,02,02,0

15,0

qW

tq etWP

1

%7,16167,075,030 3075,012,01 eeWP tq

d) La probabilidad de esperar ms de 30 minutos en el Sistema.

Vamos aplicar esta ecuacin para

calcular dicha probabilidad.

(COMO

PUEDE VER LA PROBABILIDAD ES BAJA, pero es ms alta que la

probabilidad de que el tiempo promedio que un cliente espere

ms de 30 minutos en la cola).

ts etWP 1

%31,222231.030 3075,012,0 eWP s