Tema4 Ejemplos Elec Pot

Control de Máquinas Eléctricas Ejemplos Tema 4

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EJEMPLOS TEMA 4: ELECTRÓNICA DE POTENCIA

Ejemplo 1.- El circuito rectificador de la figura se alimenta en corriente alterna a 230 V, 50 Hz. Si la resistencia de carga es de 100 Ω, calcular: a) Tensión de continua en la carga, b) Potencia activa consumida en la resistencia y potencia aparente suministrada por la fuente de alimentación.

Figura 1.- Rectificador de media onda con carga resistiva.

a) Tensión de continua en la carga:

Tal y como se indica en la figura, la forma de onda de la tensión de salida es la semionda positiva de la tensión alterna senoidal de la alimentación. Esta tensión tiene una componente de continua, mas una componente de alterna a la frecuencia fundamental, y una serie de armónicos:

∑=

−−

++=

==

...6,4,22

)2(cos1

12sen

2

sen2sen

n

mmmR

efmS

tnn

Vt

VVv

tVtVv

πωπ

ωπ

ωω

Por tanto, la componente de continua de la tensión de salida es:

VVVVVV

V mefm

Rcc 5'1033'325·318'0318'0230·22

======πππ

Y la componente de 50 Hz (frecuencia fundamental) tiene un valor de:

VVVVV

V efmHzfR 6'162

2

3'325

2

230·2

2

2

2)50( =====

La expresión de valores instantáneos de las tensiones de entrada y salida son:

...6cos9'54cos8'132cos0'69sen5'1625'103)(

sen3'325)(

−−−−+==

tttttv

ttv

R

S

ωωωωω


2

b) Potencia activa consumida en la resistencia:

Al ser una carga puramente resistiva, la intensidad que circule será proporcional a la tensión aplicada:

...cossen)( 21 −−+== tR

vt

R

v

R

v

R

vti RRRccR ωω

Con una resistencia de 100 Ω se tienen unos valores:

...6cos059'04cos138'02cos690'0sen625'1035'1)( −−−−+= tAtAtAtAAti ωωωω

La potencia transportada por la componente continua vale:

WAVIVP cccccc 1'107035'1·5'103· ===

Mientras que la potencia suministrada por la fuente vale:

WAVA

VIVP efefss 3'264149'1·2302

625'1·230· 11 ====

Dado que el diodo ideal no puede consumir potencia, se puede deducir que el resto de la potencia está siendo transferida por las componentes alternas de 50, 100, 200, 300 Hz, etc… Si se considera que el valor eficaz de una semionda senoidal es Vm/2, se ve que la potencia que llega a la carga es:

WVV

R

VP f

R 6'264100

)6'162(

100

)2/3'325( 222Re ==

Ω==


3

Ejemplo 2.- En el circuito rectificador de la figura la tensión eficaz de alimentación es de 100 V, 50 Hz. La resistencia de carga es de 20 Ω y la inductancia es de 0,637 Henrios. Calcular:

a) Expresión de la corriente instantánea de la carga.

b) Tiempo de apagado del diodo.

c) Tensión y corrientes medias en la carga.

d) Si se coloca un diodo de libre circulación en paralelo con la carga, determinar la expresión de la corriente instantánea en la carga en régimen permanente así como su valor medio.

Figura 2.- Rectificador de media onda con carga inductiva.

a) Expresión de la corriente instantánea de la carga.

Si la carga no es demasiado inductiva, la corriente de salida tendrá lo forma de onda que se muestra en la figura. Empezará en cero al principio de cada ciclo y el diodo dejará de conducir en un tiempo ta correspondiente a un ángulo Ψ < 2π. Su expresión temporal se deduce de la ecuación diferencial que marca el transitorio en cada periodo:

RLRLtgLRZ

eAtZ

Vtititi

iRdt

diLtV

tm

tRP

m

/;/;)(

)(sen)()()(

sen

22 ==+=

+−=+=

+=

−

τωθω

θω

ω

τ

Si la corriente inicial en cada periodo es cero, entonces la expresión temporal de la corriente de carga es:

⋅+−=

−τθθω

tm et

Z

Vti sen)(sen)(


4

Con los valores concretos de este ejemplo se tiene:

mssH

R

L

tgRLtg

ZRHzHL

8,310318,020

637,0

995,0sen;º3,84rad47,1)10()/(

201)200(20;20;200502637,011

22

==Ω

==

=====

Ω=+=Ω=Ω=⋅⋅=−−

τ

θωθπω

Por lo que la corriente del circuito toma la expresión:

[ ]t

t

etAetV

ti 45,310318,0 955,0)47,1(sen704,0955,0)47,1(sen201

1002)( −

−

⋅+−=

⋅+−

Ω⋅= ωω

b) Tiempo de apagado del diodo.

El diodo dejará de conducir en cuanto la intensidad se vuelva negativa, y quede polarizado inversamente. La corriente antes calculada se compone de un término senoidal y otro término exponencial decreciente; y el cálculo de los pasos por cero requiere de un proceso iterativo. Si la carga no es muy inductiva, el término exponencial se reduce rápidamente, y el primer paso por cero corresponde aproximadamente el término senoidal:

ss

t

ttsenti

a

a

0147,0/rad314

rad61,4

º3,264º3,84180rad61,4rad47,114,3

0)(0)(

==Ψ=→

=+==+=+≈Ψ≈−Ψ=−⇒≈−⇒=

ω

θππθθωθω

Si se realiza el cálculo iterativo da un tiempo de apagado algo mayor, de 16,7 ms, que se corresponde con un ángulo Ψ de 5,244 radianes (299,3º). c) Tensión y corrientes medias en la carga

La tensión media en la carga corresponde al promedio de la tensión de alimentación mientras dure la conducción del diodo, por lo que:

VVVV

dsenV

V mmcc 1,11255,001,45

2

)º3,299cos1(1002

2

)cos1(

2 0=⋅=−⋅=Ψ−⋅== ∫

Ψ

ππθθ

π

Y la corriente media en la carga:

AV

R

VI cc

cc 555,020

1,11 =Ω

==

d) Corriente con diodo de libre circulación

Con el diodo de libre circulación, el diodo principal queda polarizado inversamente cuando la tensión de red se hace negativa. Así, la tensión en la carga corresponde a la semionda positiva, como en el caso de carga resistiva de la figura 1. Su desarrollo en serie de Fourier es:


5

∑=

−−

++=

==

...6,4,22

)2(cos1

12sen

2

sen2sen

n

mmmo

efmS

tnn

Vt

VVv

tVtVv

πωπ

ωπ

ωω

Y la intensidad correspondiente a cada armónico:

)º6,88(4cos0075,0)º6,88cos(4152,800

4,1412)cos(4

14

1

)4(

2

)º1,87(2cos075,0)º1,87cos(235,400

4,1412)cos(2

12

1

)2(

2

)º3,84sen(352,0)º3,84sen(2012

4,141)sen(

)(2

25,220

1002

)(cos1

1

)(

12)sen(

)(2)(

42224

22222

122

1

...6,4,2222

122

−⋅=−⋅Ω⋅

⋅=−−+

=

−⋅=−⋅Ω⋅

⋅=−−+

=

−⋅=−Ω⋅

=−+

=

=Ω⋅

==

−−+

−−+

+= ∑=

tAtV

tLR

Vi

tAtV

tLR

Vi

tAtV

tLR

Vi

AV

R

VI

tnnnLR

Vt

LR

V

R

Vti

m

m

m

mcc

nn

mmmo

ωωπ

θωωπ

ωωπ

θωωπ

ωωθωω

ππ

θωωπ

θωωπ

por lo que los primeros cuatros términos de la corriente de carga son:

)º6,88(4cos0075,0)º1,87(2cos075,0)º3,84sen(352,025,2)( −⋅−−⋅−−⋅+= tAtAtAAtio ωωω

Como se puede observar, la componente de continua es bastante mayor que el resto, incluida la componente de 50 Hz. Dado que la carga es altamente inductiva, y con la disposición del diodo volante; se puede calcular que se tiene conducción continua, con una corriente de poco rizado en régimen permanente como la que se muestra en la figura 3:

Figura 3.- Rectificador de media onda con carga inductiva y conducción continua.


6

Ejemplo 3.- Un transformador de 127/230 V, 50 Hz alimenta un puente rectificador que tiene conectada una resistencia de carga de 100 Ω. Determinar la tensión y corriente continua en la carga, así como la corriente y la potencia en el primario del transformador si éste se considera ideal.

Figura 4.- Rectificador en puente de Graetz con carga resistiva. a) Tensión y corriente continua en la carga.

Según se aprecia en la figura, la tensión de salida es el valor absoluto de la onda senoidal de entrada. Su desarrollo en serie de Fourier es:

∑= −

−=...6,4,2

2cos

1

142

n

mmR tn

n

VVv ω

ππ

Y su componente de continua vale:

VVVVV

V mm

cc 1,2073,325637,02302637,0637,02

=⋅=⋅⋅=⋅==π

Por tanto, la intensidad que circule por la carga será:

AV

R

VI

tnnR

V

R

V

R

vi

cccc

n

mmRR

07,2100

1,207

cos1

142

...6,4,22

=Ω

==

−⋅−

⋅== ∑

=

ωππ

Y la potencia transportada por las componentes de continua vale:

WAVIVP cccccc 9,42807,21,207 =⋅=⋅=


7

b) Corriente y potencia en el primario del transformador:

La tensión y la intensidad en el secundario del transformador son perfectamente senoidales cuando la carga es resistiva, y la relación entre sus valores eficaces es:

WAVIVP

AV

R

VI

SSS

efef

5293,2230

3,2100

230

=⋅=⋅=

=Ω

==

Y en el primario se tiene:

WAVIVP

AA

a

II

PPP

SP

52916,4127

16,4230/127

3,2

=⋅=⋅=

===

Ejemplo 4.- El puente rectificador de la figura se alimenta a 220 V, 50 Hz; y la impedancia de carga es de 100 Ω, 1 H. Calcular: a) la expresión instantánea de la corriente de salida, b) el desarrollo en serie de Fourier de la corriente de entrada, su valor eficaz total y el del armónico fundamental.

Figura 5.- Rectificador en puente de Graetz con carga muy inductiva.

a) Expresión instantánea de la intensidad de salida i0:

Según se aprecia en la figura, la tensión de salida es el valor absoluto de la onda senoidal de entrada. Su desarrollo en serie de Fourier es:

∑= −

−=...6,4,2

20 cos1

142

n

mm tnn

VVv ω

ππ


8

Y su componente de continua vale:

VVVVV

V mm

cc 1,1981,311637,02202637,0637,02

=⋅=⋅⋅=⋅==π

La intensidad que circule por la carga será función de la impedancia correspondiente a cada armónico:

∑=

−−

⋅⋅

−⋅

=...6,4,2

2)(cos

1

1142

nn

n

mmR tn

nZ

V

R

Vi ϕω

ππ

donde,

nnZLnjR ϕω ∠=+=nZ

Los valores de las impedancias complejas de los tres primeros armónicos son:

º96,867,886.1884.11006

º45,85260.1256.11004

º95,809,6356281002

6

4

2

∠Ω=+=+=∠Ω=+=+=

∠Ω=+=+=

jLjR

jLjR

jLjR

ωωω

Z

Z

Z

Y la intensidad correspondiente a cada armónico:

)º96,86(6cos006,0)º96,86cos(6357,886.1

1,3114)cos(6

16

14

)º45,85(4cos021,0)º45,85cos(415260.1

1,3114)cos(4

14

14

)º95,80(2cos208,0)º95,80cos(239,635

1,3114)cos(2

12

14

98,1100

1,31122

626

6

424

4

222

2

−⋅=−⋅Ω⋅

⋅=−

−=

−⋅=−⋅Ω⋅

⋅=−

−=

−⋅=−⋅Ω⋅

⋅=−

−=

=Ω⋅

⋅=

⋅=

tAtV

tZ

Vi

tAtV

tZ

Vi

tAtV

tZ

Vi

AV

R

VI

m

m

m

mcc

ωωπ

ϕωπ

ωωπ

ϕωπ

ωωπ

ϕωπ

ππ

por lo que los primeros cuatros términos de la corriente de carga son:

)º96,86(6cos006,0)º45,854cos(021,0)º95,80(2cos208,098,1)( −⋅−−⋅−−⋅−= tAtAtAAtio ωωω

El resultado indica que la intensidad es prácticamente constante, donde el mayor armónico es el de 100 Hz, con una amplitud de un 10,5% de la componente de continua. b) Desarrollo en serie de Fourier de la corriente de entrada iS, su valor eficaz total y el del armónico fundamental:

Si se considera constante la intensidad en el lado de continua, entonces la intensidad en el lado de alterna es una onda cuadrada con conmutaciones en los pasos por cero de la tensión. Y su desarrollo en serie de Fourier es:

+++== ∑=

LtttI

tnn

Ii cc

n

ccS ωωω

πω

π5sen

5

13sen

3

1sen

4sen

14

...5,3,1

El valor eficaz de esta corriente es igual a la propia amplitud Icc:


9

AIdtIT

I cc

T

ccS 98,11

0

2 === ∫

Y la amplitud y valor eficaz del primer armónico:

AII

IAI

I ccS

efScc

S 78,1900,02

;52,24 1

11 =⋅====π

La diferencia está en el resto de componentes armónicos, que han de circular por las líneas pero no transportan potencia neta a la carga.

ccefSefSefSefSSef IIIIII =++++= L27

25

23

21

Ejemplo 5.- El rectificador trifásico de la figura alimenta a una carga resistiva de 100 Ω. Las tensiones de fase a neutro en el secundario del transformador son de 230 V, 50 Hz. Calcular:

a) Expresión de la tensión instantánea en la carga y su componente de continua.

b) Potencia total consumida por la carga y potencia transportada por la componente de continua.

c) Si se desprecia el rizado de la corriente de salida, calcular la expresión instantánea de la corriente en el lado de alterna del convertidor y el valor eficaz de su componente fundamental.

a) Expresión de la tensión instantánea en la carga y su componente de continua.

Como se puede ver en la figura 6, la tensión de salida es la máxima de las tensiones senoidales de alimentación durante cada sexta parte del ciclo (60º). Su desarrollo en serie de Fourier es:

−−= ∑

= ...18,12,62

cos6

cos1

21

33

n

mR tn

n

n

Vv ωπ

π

En este caso, su componente de continua y los primeros armónicos valen:

[ ]tttVv

VVVV

VVVV

VVVV

VVVV

V

R

ccccccR

ccccccR

ccccccR

efmcc

ωωω

π

π

ππππ

18cos0062,012cos014,06cos057,01538

00619,0323

2

6

18cos

118

2

014,0143

2

6

12cos

112

2

057,035

2

6

6cos

16

2

0,53823023323333

212

212

26

+−+=

=−⋅=⋅−

⋅=

=⋅=⋅−

⋅=

−=−⋅=⋅−

⋅=

====


10

Figura 6.- Rectificador trifásico de diodos de onda completa. b) Potencia total consumida por la carga y potencia transportada por la componente de continua.

La potencia consumida por la carga resistiva se puede calcular con los valores eficaces de tensión e intensidad:

R

VIVP fe

fefe

2

=⋅=

En este caso, el valor eficaz de la tensión de salida es:

( ) VVVdsenVdttvT

V mmm

T

Ref 45,5386554,14

39

2

33

3)(

1 3/2

3/

2

0

2 ==+=== ∫∫ πθθ

ππ

π


11

Y la potencia consumida por la carga vale:

WV

R

VIVP fe

fefe 899.2100

45,538 22

=Ω

==⋅=

Por otro lado, la potencia transportada por la componente de continua es:

WV

R

VIVP cc

cccccc 894.2100

538 22

=Ω

==⋅=

En este caso ambos valores son muy similares, dada la pequeña distorsión que se tiene en la tensión de salida.

c) Corriente de entrada y componente fundamental.

Si se considera constante al corriente de salida, esta se reparte en tramos regulares entre las tres fases del lado de alterna, durante los pulsos de conmutación (Ver figura 6). Las corrientes de alimentación se componen de bloques alternos de un tercio de ciclo (120º), y su desarrollo en serie de Fourier toma la expresión:

∑=

=...5,3,1 6

cos14

n

ccS tnsen

n

n

Ii ωπ

π

En este caso, su componente de continua y los primeros armónicos valen:

++−−=

⋅=⋅

⋅=⋅⋅=

=⋅⋅=

−⋅=⋅

−⋅=⋅⋅=

−⋅=⋅

−⋅=⋅⋅=

=⋅⋅=

==⋅=⋅⋅=

LtsentsentsentsenAi

IIII

II

IIII

IIII

II

AIII

I

S

ccccccS

ccS

ccccccS

ccccccS

ccS

ccccccS

ωωωω

πππ

π

ππ

πππ

π

πππ

π

ππ

πππ

π

1111

17

7

15

5

1693,5

11

132

112

34

6

11cos

11

14

06

9cos

9

147

132

72

34

6

7cos

7

14

5

132

52

34

6

5cos

5

14

06

3cos

3

14

93,532

2

34

6cos

1

14

11

9

7

5

3

1

Y la potencia transportada por estas corrientes:

WAVA

VIVP fefe 894.219,423032

93,523033 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=


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Ejemplo 6.- El rectificador monofásico controlado de la figura se utiliza para controlar la velocidad de un motor de continua de 150 V, 1.500 rpm; con excitación independiente. El convertidor se alimenta de una red monofásica de 220 V, 50 Hz. El inducido del motor tiene una resistencia de 0,5 Ω y una inductancia de 5 mH. Se supone que el motor tiene un circuito magnético lineal y que la constante de la f.c.e.m. del motor es de 0,1 V/rpm. Calcular:

a) Funcionamiento del convertidor como rectificador controlado, máquina de continua en modo motor: La máquina funciona como motor girando a 1.500 rpm y consume una corriente de inducido de 50 A. Suponiendo que el rizado de la corriente de inducido es despreciable, por su alta inductancia, determinar: 1) El ángulo α de encendido que requieren los tiristores; 2) Potencia eléctrica absorbida por el motor; 3) factor de potencia que presenta el grupo convertidor-motor a la red de corriente alterna.

b) Funcionamiento del convertidor en modo inversor, frenado por recuperación de energía. Se cambia la polaridad de la f.c.e.m. del motor invirtiendo la corriente del devanado de campo. 1) Determinar el ángulo de encendido de los tiristores para mantener la corriente de inducido en 50 A con una velocidad de 1.500 rpm; 2) Calcular la potencia que se devuelve a la red para la velocidad de 1.500 rpm.

Figura 7.- Convertidor monofásico en puente completo con carga inductiva.


13

a) Funcionamiento del convertidor como rectificador controlado, máquina de continua en modo motor.

1) Ángulo de encendido de los tiristores

Para que el motor funcione a 1.500 rpm consumiendo 50 A, se necesita una tensión promedio de alimentación de:

VVVArpmrpmVRIEV cc 17525150505,0500.1/1,00 =+=⋅Ω+⋅=+=

Por tanto, el ángulo de encendido de los tiristores ha de ser:

º93,27cos22022

cos2

175 =⇒⋅=== ααπ

απ

VVVV m

cc

2) Potencia absorbida por el motor

La potencia absorbida desde el circuito de inducido (aparte del consumo del circuito de campo) es:

WAVIVP cccc 750.850175 =⋅=⋅=

3) Factor de potencia del conjunto

El factor de potencia a la entrada del convertidor controlado con carga inductiva es:

795,0)º93,27cos(9,0cos9,0cos2

4coscos.. 1

1111 =⋅=≈==== αφπ

φφS

S

SS

SS

I

I

IV

IV

S

Ppdf

b) Funcionamiento del convertidor como inversor, frenado por recuperación de energía.

1) Ángulo de encendido de los tiristores

En el momento en que se cambia la polaridad del circuito de campo, la velocidad sigue siendo de 1.500 rpm, con la que la tensión inducida mantiene el mismo valor. Pero la tensión en bornes cambia, según el sentido de las tensiones e intensidades:

VAVRIEV cc 125505,01500 −=⋅Ω+−=+=

Por tanto, el ángulo de encendido de los tiristores ha de ser:

º13,129cos22022

cos2

125 =⇒⋅==−= ααπ

απ

VVVV m

cc

Figura 8.- Convertidor monofásico en puente completo con carga inductiva y modo inversor.


14

2) Potencia entregada a la red por la máquina

En el momento inicial del frenado, la máquina de continua convierte una potencia de:

WAVIEP ccCONV 500.750150 =⋅=⋅=

Y entrega a la red una potencia:

WAVIVP AAe 250.650125 =⋅=⋅=

La diferencia son las pérdidas por efecto Joule en la resistencia del inducido.

WAIRP AACu 250.1)50(5,0 22 =⋅Ω=⋅=

Ejemplo 7.- El rectificador trifásico controlado de la figura se alimenta desde una red con 230V, 50 Hz entre fase y neutro. La carga está compuesta por una resistencia de 100 Ω y una inductancia suficientemente alta para considerar una corriente de salida constante en régimen permanente. Calcular:

a) Tensión promedio en el lado de continua si el ángulo de disparo es de cero grados.

b) Tensión promedio en el lado de continua si el ángulo de disparo es de sesenta grados.

c) Corriente de salida y potencia suministrada.

d) Intensidad de línea, valor eficaz y factor de potencia.

Figura 9.- Convertidor trifásico en puente completo con carga inductiva.


15

a) Tensión promedio en el lado de continua si el ángulo de disparo es de cero grados.

Como se puede ver en la figura 9, la tensión de salida con un ángulo de disparo de 0º es la misma que se obtiene con un puente trifásico de diodos. Su valor medio es:

VVV

tdtsenVV mmcc 0,538º0cos0,538cos

33)(3

33

2

3

=⋅=== ∫+

+α

πωω

π

πα

πα

b) Tensión promedio en el lado de continua si el ángulo de disparo es de 60º.

Ahora cambia la forma de onda y su valor medio, según se observa en la figura 10. El nuevo valor medio será:

VVVV cccc 269º60cos0,538cos0 =⋅=⋅= α

Figura 10.- Convertidor trifásico en puente completo con carga inductiva y ángulo de disparo de 45º. c) Corriente de salida y potencia suministrada.

Si se considera constante la corriente de salida, su valor se puede calcular como:

AV

R

VI cc

cc 69,2100

269 =Ω

==

Y la potencia suministrada a la carga:

WAVIVP cccccc 61,72369,2269 =⋅=⋅=


16

d) Intensidad de línea, valor eficaz y factor de potencia.

Según se observa en la figura 10, la intensidad de entrada está compuesta por bloques uniformes de un tercio de ciclo. Si se toma como referencia de fase la tensión vRN, el desarrollo en serie de Fourier de la intensidad es:

∑=

−=...5,3,1

)(3

14

n

ccR ntnsen

nsen

n

Ii αωπ

π

Y la componente fundamental de 50 Hz vale:

)º60(966,2)º60(32

)(º601

141 −=−⋅=−⋅⋅⋅= tsenAtsen

Itsensen

Ii cccc

R ωωπ

αωπ

Esta componente es la única que transportará potencia en el lado de alterna, pues se consideran las tensiones perfectamente senoidales. Su valor eficaz, así como las potencias activa y reactiva debidas a la componente fundamental valen:

VArVAsenAVsenIVQ

WVAAVIVP

AAI

i

ff

ff

RefR

253.1833,0447.1º60097,223033

6,7235,0447.1º60cos097,22303cos3

097,22

966,2

2

1

1

11

=⋅=⋅⋅⋅==

=⋅=⋅⋅⋅==

===

ϕϕ

Por último se calcula el factor de potencia en función de las componentes fundamentales, así como las distorsiones de corriente producidas por el convertidor.

AAIItdII

donde

I

I

I

I

IV

IV

S

Ppdf

ccccccefR

cc

cc

efR

efR

efRf

efRf

196,269,2816,03

2

3

21)(

1

477,05,0955,0cos3

3

2

cos6

cos

3

cos3...

26

5

6

2

11

=⋅====

=⋅======

∫+

+

ππ

ωπ

απ

απαα

πα

πα


17

Ejemplo 8.- El circuito chopper de la figura tiene los siguientes parámetros: VS = 120 V, E = 30 V, L = 2 mH, R = 0,4 Ω. El control del transistor de potencia recibe pulsos de conexión de 1ms, cada 2,5 ms. Calcular la tensión y corriente media en la carga, así como los valores máximo y mínimo de la intensidad en los ciclos de disparo.

Figura 11.- Convertidor DC/DC reductor con carga tipo motor. a) Tensión y corriente promedio en la carga.

La tensión promedio viene marcada por el ciclo de trabajo del convertidor:

VVT

tVV ON

Scc 485,2

1120 =⋅==

Y la corriente promedio que circula hacia el motor:

AVV

R

EVI cc

cc 454,0

3048 =Ω

−=−=

b) Rizado de la intensidad de salida:

La corriente entre cada dos conmutaciones corresponde a un transitorio de primer orden alimentado por la diferencia de tensiones interna y externa del motor. La intensidad parte de cero al inicio del funcionamiento y va aumentando hasta establecer un régimen permanente en el que el aumento de intensidad en el periodo de aplicación de tensión se iguala a la disminución cuando el transistor está desconectado, tal y como se aprecia en la figura 11. La forma de onda de la intensidad en el primer tramo (tON) es:

)1()( //min0

ττ tSt eR

EVeIti −− −−+=

Y para t = tON debe alcanzar el valor de Imax:


18

)1()( //minmax0

ττ ONON tStON e

R

EVeIItti −− −

−+===

De igual manera, durante el periodo de bloqueo, la intensidad toma la expresión:

)1()( //max0

ττ tt eR

EeIti −− −−=

Donde la referencia de tiempos es a partir de tON. Para t’ = T - tON debe alcanzar el valor de Imin:

)1()( /)(/)(maxmin0

ττ ONON tTtTON e

R

EeIItTti −−−− −−==−=

Despejando las dos incógnitas de las ecuaciones se tiene:

AV

V

e

eV

V

E

e

e

R

VI

AV

V

e

eV

V

E

e

e

R

VI

msmH

R

L

ST

t

S

ST

t

S

ON

ON

21,63120

30

1

1

4,0

120

1

1

39,27120

30

1

1

4,0

120

1

1

54,0

2

5

5,2

5

1

max

5

5,2

5

1

min

=

−−

−Ω

=

−−

−=

=

−−

−Ω

=

−−

−=

=Ω

==

−

−

−

−

τ

τ

τ

τ

τ

Dado que la corriente mínima es mayor que cero, la conducción es continua. De hecho se puede calcular cual es el tiempo de encendido t’ON para que la corriente mínima llegue a cero, y se tenga conducción discontinua:

mseV

Et

V

E

e

e

R

VI

T

SON

ST

t

S

ON

81,0)1(1ln'

1

10

'

min =

−+⋅=⇒

−−

−== τ

τ

ττ

Y el valor promedio de la tensión de salida correspondiente:

Vms

msV

T

tVV ON

Scc 9,385,2

81,0120 =⋅==


19

Ejemplo 9.- Se dispone de un chopper de dos cuadrantes como el indicado en la figura 12 para controlar la velocidad de un motor de continua con excitación independiente. El inducido tiene una resistencia de 0’2 Ω y con la corriente de campo nominal se obtiene una tensión inducida de 0’1 V/rpm. La inductancia del circuito se considera lo suficientemente elevada para contemplar que la corriente de carga es plana y de amplitud constante en régimen permanente. La frecuencia del convertidor es de 1 kHz y la tensión de alimentación es de 100 V.

a) El transistor S1 y el diodo D1 se emplean para hacer trabajar a la máquina como motor, a 500 rpm y con una corriente de carga media de 100 A. Calcular el tiempo de encendido del transistor, la potencia desarrollada por el motor y la potencia consumida por la red.

b) El transistor S2 y el diodo D2 se emplean para hacer que la máquina funcione en modo de frenado regenerativo, a la misma velocidad y con una corriente de – 100 A. Calcular el tiempo de encendido de S2, la potencia desarrollada por la máquina y la potencia que se devuelve a la red.

Figura 12.- Convertidor DC/DC de dos cuadrantes con carga tipo motor. a) Funcionamiento como motor:

Para que funcione a 500 rpm y absorba 100 A, la tensión aplicada debe ser:

VArpmrpmVRIEV cccc 7020501002,0500/1,0 =+=⋅Ω+⋅=+=

Por tanto, el ciclo de trabajo es:

7,0100

70 ===V

V

V

V

T

t

S

ccON

Dado que la frecuencia de trabajo es de 1 kHz, el periodo T es de 1 ms. Por tanto:

msmsTV

Vt

S

ccON 7,017,0 =⋅==


20

La potencia mecánica desarrollada por el motor y la potencia consumida desde la red son:

WAVIVP

WAVIEP

cc

ccCONV

000.710070

000.510050

00 =⋅=⋅==⋅=⋅=

b) Funcionamiento como generador:

Para que funcione a 500 rpm y ceda 100 A, la tensión aplicada debe ser:

VArpmrpmVRIEV cccc 3020501002,0500/1,0 =−=⋅Ω−⋅=−=

Por tanto, el ciclo de trabajo y el tiempo de encendido son:

mstV

V

V

V

T

tON

S

ccON 3,03,0100

30 =⇒===

La potencia eléctrica desarrollada por el generador y la potencia cedida a la red son:

WAVIVP

WAVIEP

cc

ccCONV

000.3)100(30

000.5)100(50

00 −=−⋅=⋅=−=−⋅=⋅=

Es decir, de la potencia convertida de mecánica a eléctrica en el interior de la máquina, una parte se transforma en pérdidas Joule en el devanado de inducido y el resto se entrega a la red con un rendimiento del 60%.

Tema4 Ejemplos Elec Pot

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