Ejemplos de procesos no estacionariios

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3. Ejemplos de procesos no estacionarios. 3.1. El camino aleatorio. El camino aleatorio (random walk en inglés) tiene la siguiente ecuación: y t = y t -1 + ε t . El valor del proceso en el momento actual es igual al valor del período inmediato anterior más un término que es ruido blanco. Es un caso especial del AR (1) en el que a 0 = 0 y en el que a 1 = 1. El ejemplo inicial referido a la riqueza obtenida en el juego referido a las sucesivas tiradas de una moneda es un ejemplo de un camino aleatorio. Si y 0 es una condición inicial se ve que: y 1 = y 0 + ε 1 . Luego: y 2 = y 1 + ε 1 = y 0 + ε 1 + ε 2 . En general: y t = y 0 + ε 1 + ε 2 +…..+ ε t . Si se aplica el operador Esperanza Matemática a la ecuación precedente se ve que la media del proceso es y 0 . Por otra parte Var (y t ) = Var (y 0 )+ Var (ε 1 ) +…..+ Var( ε t ) = t . Como la varianza depende del tiempo el proceso no es estacionario. Esta varianza no estacionaria trasmite a la serie una tendencia al crecimiento o al decrecimiento, la serie se aleja de la media del proceso y no retorna a ella inmediatamente, sino que solo lo hace después de largos

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Se describen los principales procesos que aparecen en las ciencias económicas y de las finanzas:el camino aleatorio (random walk), el camino aleatorio más una tendencia determinística, los modelos Arima y los modelos estacionales. Todos analizados desde el punto de vista de las series cronológicas.

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3. Ejemplos de procesos no estacionarios.3.1. El camino aleatorio.

El camino aleatorio (random walk en ingls) tiene la siguiente ecuacin: yt = yt -1 + t . El valor del proceso en el momento actual es igual al valor del perodo inmediato anterior ms un trmino que es ruido blanco. Es un caso especial del AR (1) en el que a 0 = 0 y en el que a 1 = 1.

El ejemplo inicial referido a la riqueza obtenida en el juego referido a las sucesivas tiradas de una moneda es un ejemplo de un camino aleatorio.

Si y0 es una condicin inicial se ve que: y1 = y0 + 1 . Luego: y2 = y1 + 1 = y0 + 1 + 2. En general: yt = y0 + 1 + 2 +..+ t .

Si se aplica el operador Esperanza Matemtica a la ecuacin precedente se ve que la media del proceso es y0 . Por otra parte Var (yt) = Var (y0)+ Var ( 1 ) +..+ Var( t ) = t . Como la varianza depende del tiempo el proceso no es estacionario.

Esta varianza no estacionaria trasmite a la serie una tendencia al crecimiento o al decrecimiento, la serie se aleja de la media del proceso y no retorna a ella inmediatamente, sino que solo lo hace despus de largos paseos. Por este motivo se denomina tendencia estocstica a estos movimientos de las series hacia arriba o hacia abajo provocados por factores aleatorios similares a los que se verifican en el camino aleatorio.

Sin embargo, a partir del pgd yt = yt -1 + t se ve que yt - yt -1 = t . Esto significa que si se considera la primera diferencia de yt , o sea yt = yt - yt -1 , entonces el camino aleatorio se transforma en un proceso de ruido blanco y por ende, estacionario.

El camino aleatorio puede escribirse ( 1 L ) yt = t . Se comprueba que la raz de la ecuacin 1 L = 0 es L = 1 y por este motivo se ve que lo identifica con un proceso de raz unitaria.

Ms adelante se analizar el problema que implican las races unitarias en el contexto de las series de tiempo y cmo este problema se relaciona ntimamente con el camino aleatorio. Por estos motivos se estudiar con ms detalle este proceso.

La funcin de autocovarianzas resulta de: Cov ( y t , y t -s ) = E [ (y t - y0 ) (y t s - y0 ) ] =

E [ ( 1 + 2 +..+ t ) ( 1 + 2 +..+ t- s ) ] = (t s).

Si a la funcin de autocovarianzas se la divide por los respectivos desvos estndares, que son iguales a y a resulta la funcin de autocorrelacin: .

Este ltimo resultado tiene un rol muy importante en la deteccin de series no estacionarias. La funcin de autocorrelacin decae muy poco si s es pequeo pero decae ms si s es grande; en definitiva la funcin de autocorrelacin decae muy lentamente a partir de la unidad. Este comportamiento de la funcin de autocorrelacin coadyuva a identificar un random walk.

Analizaremos ahora la media condicional del proceso. Esta medida es importante para efectuar proyecciones y quiere detectar cul es el valor medio del proceso a partir de la informacin contenida en el presente, es decir consiste en: E (y t+1 / yt ). Por propiedades de la esperanza condicional resulta: E (y t+1 / yt ) = E (yt / yt )+ E ( t / yt ) = yt . El significado de la ltima relacin es que la mejor proyeccin del valor actual es el valor actual de modo que el proceso no aporta ninguna informacin adicional. Como el valor actual es una constante ms un agregado de ruido se puede notar que no es posible predecir el proceso y que por otra parte el ruido se ha incorporado en el camino aleatorio de manera permanente ya que representa la parte sustancial del valor presente.

A modo de ejemplo se mostrarn los resultados obtenidos mediante el Eviews correspondientes a un random walk con 500 observaciones cuyas perturbaciones se construyeron como ruido blanco normal con varianza 1. El modelo se construy de manera anloga al AR(1) con la salvedad que a 1 =1.

La serie muestra una tendencia general a crecer lo que se hace ms notorio a partir de las ltimas observaciones.

En el cuadro siguiente se presentan las 20 primeras autocorrelaciones; se puede comprobar su lento decaimiento, ya que la vigsima autocorrelacin vale 0,641, un valor demasiado distante de cero.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|*******.|*******10.9840.984487.230.000

.|*******.|. |20.969-0.001960.090.000

.|*******.|. |30.952-0.0291418.10.000

.|*******.|. |40.9370.0091862.10.000

.|*******.|. |50.921-0.0132292.00.000

.|*******.|. |60.904-0.0262707.50.000

.|******|*|. |70.886-0.0703107.30.000

.|******|.|. |80.868-0.0123491.30.000

.|******|.|. |90.849-0.0203859.80.000

.|******|.|. |100.830-0.0054213.00.000

.|******|.|. |110.812-0.0194551.10.000

.|******|.|. |120.7930.0064874.80.000

.|******|.|. |130.774-0.0195183.90.000

.|***** |.|. |140.755-0.0345478.20.000

.|***** |.|. |150.735-0.0195757.90.000

.|***** |.|. |160.715-0.0056023.40.000

.|***** |.|. |170.696-0.0126275.00.000

.|***** |.|. |180.6770.0076513.60.000

.|***** |.|. |190.658-0.0026739.50.000

.|***** |.|. |200.6410.0456954.20.000

Ejercicios.

1. Construya un random walk con 500 observaciones donde las perturbaciones del modelo son ruido blanco normal con varianza 1.

2. Utilice las mismas perturbaciones del modelo anterior y elabore un proceso estacionario considerando las primeras diferencias del random walk. Grafique las observaciones.

Nota: Las primeras diferencias se pueden generar en el Eviews utilizando el comando Genr y generando por ejemplo, la serie z, es decir completndola con datos y luego utilizando otra vez ese comando y escribiendo m=z-z(-1) y modificando sample 2 500. La serie diferenciada se halla en m. Tambin una vez que se gener z se puede escribir m=d(z,1).Este ltimo procedimiento es ms general.

3. Enuncie las principales caractersticas de un camino aleatorio.

3.2. El camino aleatorio ms una tendencia determinstica.

Una tendencia determinstica aparece cuando las series se apartan de sus valores medios, creciendo o decreciendo segn una ley o relacin funcional determinstica de tipo polinmico que depende del tiempo. Por ejemplo si donde c1 y c2 son constantes y t representa el tiempo, la tendencia determinstica es lineal, si la tendencia es cuadrtica, etc.

A modo de ejemplo se construir el modelo yt = 2 + 0,50 t + t donde el trmino de perturbacin es ruido blanco con varianza unitaria. Se generarn 100 observaciones.

Los pasos son los siguientes 1) generar alea=nrnd. 2) generar y=2+0.50* @trend +alea. La expresin @trend, que representa a t, es un comando del Eviews que devuelve una serie ordenada 0,1,2,3,etc.

La lnea recta est representada por 2+0.50* @trend, las discrepancias con respecto a la recta corresponden al trmino aleatorio. La tendencia domina al trmino aleatorio y se observa que la serie no es estacionaria ya que, por ejemplo, la media depende del tiempo. En cambio, si a la serie yt se le quita la tendencia determinstica el modelo se convierte en ruido blanco.

En un problema real el analista se enfrenta siempre con un conjunto de datos, el primer paso que conviene dar es hacer un grfico de la serie. Si el grfico se asemeja al que hemos presentado se puede efectuar una regresin entre y, la variable dependiente, y el tiempo representado por @trend. Mediante la regresin se determinan los parmetros c1 y c2.

Los resultados de la regresin se presentan a continuacin. La misma estim el valor de c1 en 1,838 y el de c2 en 0,502, redondeando las cifras con tres decimales. Si a los datos originales le quitamos 1,838 + 0,502*@trend, es decir, si generamos con el Eviews la serie w donde w = y -1,838 + 0,502*@trend entonces la serie resultante es ruido blanco.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C1.8377990.1976239.2995380.0000

@TREND0.5015300.003449145.42170.0000

R-squared0.995387Mean dependent var26.66355

Adjusted R-squared0.995340S.D. dependent var14.58382

S.E. of regression0.995533Akaike info criterion2.848720

Sum squared resid97.12643Schwarz criterion2.900824

Log likelihood-140.4360Hannan-Quinn criter.2.869808

F-statistic21147.46Durbin-Watson stat2.117932

Prob(F-statistic)0.000000

Ahora bien, el modelo que resulta de agregar la constante a0 al modelo de random walk, presenta una tendencia estocstica correspondiente a este proceso y, la mecnica del mismo, debido a la introduccin de la constante, genera adems una tendencia determinstica. Por el hecho de que en su origen es un camino aleatorio e incorpora una tendencia determinstica este modelo se puede denominar camino aleatorio con tendencia determinstica, pero obviamente esta denominacin no es nica.

Se mostrar cmo se genera el modelo a partir del valor inicial y0 .

Para y1 se tendr: y1 = a0 + y0 + 1. y2 = a0 + y1 + 2 = 2 a0 + y0 + 1+ 2 .

Se observa que en cada perodo se agrega a0 y un trmino aleatorio correspondiente a la perturbacin. Para el perodo t resultar: yt = y0 + a0 t + 1+ 2 +.. + t . Los trminos y0 + a0 t representan una tendencia determinstica; la suma de trminos t una tendencia estocstica.

Es fcil ver que el valor medio de la serie es el valor de la tendencia determinstica, y0 + a0 t y que la varianza al igual que en el camino aleatorio es, t. Como la media y la varianza dependen del tiempo el proceso no es estacionario.

Como ejemplo se construirn 100 observaciones del modelo yt = 2 + 0,5 y t-1 + t donde el trmino de perturbacin es ruido blanco normal de varianza unitaria.Las instrucciones son: 1) alea=0 2) y=0 3) y=2+y(-1)+alea En sample colocar 2 100.

El grfico presenta una tendencia aleatoria superpuesta y dominada por una tendencia determinstica ya que esta prevalece en todo el recorrido de la serie. El correlograma muestra un proceso random walk.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|*******.|*******10.9700.97096.9910.000

.|*******.|. |20.940-0.028188.910.000

.|*******.|. |30.910-0.001276.000.000

.|******|.|. |40.881-0.008358.430.000

.|******|.|. |50.851-0.029436.150.000

.|******|.|. |60.821-0.015509.260.000

.|******|.|. |70.790-0.025577.760.000

.|***** |.|. |80.760-0.012641.820.000

.|***** |.|. |90.730-0.012701.590.000

.|***** |.|. |100.701-0.009757.270.000

.|***** |.|. |110.672-0.011809.000.000

.|***** |.|. |120.643-0.015856.920.000

Si uno se hallara en presencia de datos cuyo grfico y correlograma son los que se muestran podra efectuar la estimacin en dos etapas: en la primera podra estimar mediante una regresin los parmetros de la tendencia determinstica y eliminar a esta de la serie y en la segunda, efectuando el correlograma de los datos a los cuales se les quit la tendencia determinstica, podra identificar el camino aleatorio.

La regresin (con constante) en la que la variable dependiente es y y la variable independiente @trend es la que se muestra a continuacin. La ordenada al origen es 0,720558 y la pendiente es 2,019239.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C0.7205580.3484302.0680160.0413

@TREND2.0192390.006081332.07870.0000

R-squared0.999112Mean dependent var100.6729

Adjusted R-squared0.999103S.D. dependent var58.60716

S.E. of regression1.755232Akaike info criterion3.982876

Sum squared resid301.9221Schwarz criterion4.034979

Log likelihood-197.1438Hannan-Quinn criter.4.003963

F-statistic110276.2Durbin-Watson stat0.326528

Prob(F-statistic)0.000000

Para eliminar la tendencia se gener la variable w quitando a y la tendencia determinstica. Se gener la variable w como w=y-0.720558-2.019239*@trend. El grfico de la serie w se muestra seguidamente. Se observa que la tendencia determinstica fue eliminada.

Para identificar a la serie w se construy el correlograma. Puede apreciarse que se asemeja al de un camino aleatorio.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

.|******| .|******10.8360.83671.2960.000

.|***** |.|. |20.6990.001121.690.000

.|**** |*|. |30.561-0.080154.450.000

.|*** |*|. |40.421-0.094173.110.000

.|** |*|. |50.275-0.119181.180.000

.|* |.|. |60.152-0.040183.670.000

.|. |*|. |70.036-0.076183.810.000

.|. |.|. |8-0.0340.050183.940.000

*|. |.|. |9-0.085-0.002184.750.000

*|. |.|. |10-0.1110.016186.130.000

*|. |*|. |11-0.170-0.170189.410.000

**|. |*|. |12-0.226-0.109195.250.000

Para comprobar si este es el modelo que ha generado los datos se efectu la primera diferencia de la serie, es decir se gener z=w-w(-1).

El correlograma de la serie z se presenta a continuacin. Se observa que se trata de ruido blanco.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

*|. |*|. |1-0.083-0.0830.70430.401

.|. |.|. |20.003-0.0040.70540.703

.|. |.|. |30.0040.0040.70680.872

.|. |.|. |40.0350.0360.83540.934

*|. |*|. |5-0.072-0.0671.38490.926

.|. |.|. |6-0.015-0.0271.40840.965

*|. |*|. |7-0.144-0.1503.64100.820

.|. |*|. |8-0.050-0.0783.91790.864

*|. |*|. |9-0.076-0.0874.54790.872

.|* |.|* |100.0990.0855.63830.845

.|. |.|. |11-0.028-0.0065.72780.891

*|. |*|. |12-0.070-0.0916.28170.901

Daremos ahora los pasos necesarios para reconstruir el pgd. Sabemos que z es la primera diferencia de w y es ruido blanco, as que podemos escribir: z t = w t = w t - w t-1 = t .Pero w t = y t 0,72 2,02 t. Si se reemplazan estos valores en la ecuacin anterior referida a z t resulta: t = y t y t-1 2,02 o bien: y t = 2,02 + y t-1 + t cuya diferencia es mnima con relacin al pgd suministrado inicialmente.

El nfasis que debe ponerse en este ejemplo debe recaer en mostrar las diferencias existentes entre una tendencia determinstica y una tendencia estocstica y en comprobar el tratamiento particular que cada una de ellas merece. A la tendencia determinstica se la puede eliminar quitndole los resultados de una regresin tal como se mostrara en el ejemplo, a la tendencia estocstica mediante diferenciacin.

De esta manera muchos modelos no estacionarios pueden convertirse en estacionarios mediante los mtodos descritos, pero esto no significa que esto sea vlido para todos los procesos y adems, si las tendencias son estocsticas en muchos casos se requerirn diferenciaciones de mayor orden que la primera y si las tendencias son determinsticas a veces se necesitarn regresiones polinmicas en lugar de lineales.

En cada caso se debe utilizar el mtodo apropiado, pero si uno se equivoca en la identificacin y emplea un procedimiento errneo el principal perjuicio ocurre en diferenciar una tendencia determinstica ya que se puede introducir un proceso de raz unitaria.

Ejercicios.

Construya 100 observaciones del modelo cuyo pgd es y t = 1 + y t-1 + t donde t ~ N ( 0; ). Identifique el modelo y convirtalo en estacionario. A partir de los resultados reconstruya el pgd.

3.3. Los modelos ARIMA.

Consideremos un modelo ARMA ( p; q ) Cuya ecuacin es

yt = a1 yt -1 + a2 yt -2 + ..+ ap yt -p + t - b1 t-1 - b2 t - 2 - bq t q

Este se puede escribir:

( 1 a1 L - a2 L2 -..- ap Lp ) yt = t - b1 t-1 - b2 t - 2 - bq t q

Supongamos que los coeficientes b i cumplen con las condiciones de invertibilidad y que la ecuacin ( 1 a1 L - a2 L2 -..- ap Lp ) posee una sola raz unitaria. Como esta ecuacin se puede escribir como el producto de sus races, si denotamos a ellas mediante i , se tiene: 1 a1 L - a2 L2 -..- ap Lp = (1 - 1L ) (1 - 2 L2 ) .(1 - p Lp) .

Si la ecuacin posee una sola raz unitaria podemos suponer por ejemplo que 1= 1 y entonces se podra escribir a yt como:

(1 - 2 L2 ) .(1 - p Lp) (1 - L ) yt = t - b1 t-1 - b2 t - 2 - bq t q

Pero como ( 1- L ) yt = yt - yt-1 = yt la expresin anterior se puede escribir:

(1 - 2 L2 ) .(1 - p Lp) yt = t - b1 t-1 - b2 t - 2 - bq t q

Como 1era la nica raz unitaria la serie se convirti en estacionaria. Esto significa que, en caso de que una serie tuviera una sola raz unitaria se la puede convertir en estacionaria diferencindola, si tuviera dos races unitarias habra que diferenciarla dos veces, si tuviera d races unitarias habra que diferenciarla d veces y as siguiendo.

Por ejemplo: si 1= 1 y 2= 1 resulta (1 - 3 L3 ) .(1 - p Lp) (1 - L ) 2 yt = b( L ) t ,

donde b( L ) t = ( 1 b1 L - b2 L2 -..- bq Lq ) t = t - b1 t-1 - b2 t - 2 - -bq t q Como (1 - L ) 2 yt = 2 yt esto significa diferenciar la serie dos veces, es decir, obtener la primer diferencia de la serie diferenciada. En el Eviews esto se puede efectuar mediante el comando genr colocando el nombre de la serie donde se guardarn los datos, por ejemplo dife y escribiendo dife=d(y,2) , de esta manera se puede obtener la segunda diferencia de la serie y. Si se coloca un 3 se obtiene la tercera diferencia, etc.

Como el proceso opuesto a la diferencia es la suma y para reconstruir el proceso original yt es necesario sumar, con reminiscencias del clculo diferencial donde la operacin inversa de la diferencial es la integracin, a la operacin de suma se la denomina integracin y a todo el proceso se lo denomina ARIMA. En particular un ARIMA ( p, d, q ) es el proceso resultante ARMA ( p, q ) estacionario, obtenido diferenciando d veces un proceso ARIMA ( p, d , q ).

Tambin se puede hablar de procesos ARI y de procesos IMA; el primero es un autoregresivo integrado y el segundo un MA integrado, es decir son respectivamente, procesos autorregresivos estacionarios y de medias mviles invertibles, obtenidos mediante la diferenciacin de los procesos indicados ms arriba.

La nomenclatura empleada ms arriba en la que b( L ) t = t - b1 t-1 - - bq t q permite simplificar la escritura de los procesos ARMA y por extensin la de los ARIMA. Si el operador de rezagos L tambin se aplica a los coeficientes a i un ARIMA ( p,d, q )se puede escribir: a( L ) d y t = b( L ) t donde el operador de diferencias = 1 L y donde

a( L ) y t = ( 1 a1 L - a2 L2 -..- ap Lp ) y t = y t - a1 y t-1 - a2 yt - 2 - -ap y t p

Por ejemplo un modelo ARIMA (1, 1, 1 ) donde a1 = 0,60 y b1 = 0,50 se puede escribir:

(1- 0,60 L ) y t = t - 0,50 t-1 . O bien: (1- 0,60 L ) (y t - y t-1) = t - 0,50 t-1 . Si se efectan las operaciones del primer miembro y se expresa la ecuacin en trminos de y t queda: y t = 0,60 y t-1 + t - 0,50 t-1 . Si se reemplaza y t por y t - y t-1 y y t-1 por y t-1 - y t--2 se obtiene finalmente: y t = 1,60 y t-1 + 0,60 y t-2 + t - 0,50 t-1 .

La forma final del proceso semeja la de un ARMA (2,1) donde el coeficiente del trmino

y t-1 es (1 + a1 ).

Si se desea que el proceso contenga una constante simplemente se agrega la constante al modelo.

Se construirn mediante el Eviews 60 observaciones del modelo anterior, con perturbaciones normales de varianza unitaria. No se incluir ninguna constante y el punto de partida del proceso ser el valor 1. Los pasos donde interviene el comando genr son los siguientes: 1) alea=nrnd 2) y=1 3) y=1.60*y(-1)+0.60*y(-2)+alea-0.5*alea(-1) Sample 3 60

A continuacin se muestra el grfico del proceso. El coeficiente 1,60 trasmite al proceso un carcter explosivo. Puede observarse que en 60 observaciones del proceso la serie y alcanza valores astronmicos que imposibilitan continuar con el anlisis.

Muchas series econmicas y financieras son no estacionarias, presentan races unitarias. Se ha visto que una forma de lograr estacionariedad es diferenciando la serie, pero tambin hay otras transformaciones que producen similares resultados. Una de ellas es la diferencia de logaritmos, la que para valores no muy grandes de la serie es aproximadamente igual a la variacin porcentual.

Por ejemplo la variacin porcentual entre 2,10 y 2,20 es 100* ( 0,10 / 2,10 ) = 4,545% en tanto que 100*(ln 2,20 ln 2,10 ) = 4,652.

En las series no estacionarias, con tendencias estocsticas tanto la diferenciacin de la serie como la diferencia de logaritmos son dos herramientas idneas para lograr estacionariedad.

3.4. Los modelos estacionales.

El enfoque tradicional de las series de tiempo, iniciado a fines del siglo XIX y comienzos del siglo XX, consideraba que estas estaban integradas por componentes: la componente cclica, la de tendencia, la estacional y la irregular. Consista en un anlisis estructural de la serie.

La componente cclica es un movimiento de largo plazo de las series econmicas y financieras y corresponde a los movimientos o fluctuaciones de naturaleza ondulatoria que peridicamente ocurren en el mundo de los negocios. Por ejemplo, la gran depresin de los aos 30 fue seguida de un auge en los 40 y en la posguerra, la crisis de 2008 fue otro movimiento hacia abajo y posiblemente en 2010 se inicie la recuperacin de las economas. La tendencia es otro movimiento de largo plazo, las series suben o bajan o se mantienen estacionarias y a ellas nos hemos referido con anterioridad. Algunos autores engloban estas dos componentes en una sola y la denominan tendencia-ciclo.

Las otras dos componentes son de corto plazo. La estacionalidad se refiere a los movimientos que ocurren en las series dentro del ao producto de las estaciones; la cantidad de turistas es diferente en julio o en enero que en abril o septiembre, tambin es bastante estacional la venta de cerveza o de bebidas gaseosas, etc.

La componente irregular engloba tanto a fenmenos no habituales como por ejemplo una huelga o el nmero de feriados en un mes o trimestre y a movimientos aleatorios.

Estas componentes suelen combinarse en forma aditiva cuando el analista considera que son independientes o en forma multiplicativa cuando considera que no lo son, es decir el movimiento de una componente influye sobre el movimiento de la otra. Por ejemplo, la tendencia puede influir sobre la estacionalidad, esta sobre la irregular, etc.

Un modelo aditivo es: Y = T + S + I donde Y es el valor observado de la serie, T es la componente de tendencia ciclo, S es la componente estacional e I es la componente irregular.

Un modelo multiplicativo es Y = T * S * I. Este modelo se aplica a la mayora de las series econmicas y financieras e implica por ejemplo, que si la tendencia crece tambin aumenta la componente estacional. El ajuste estacional o desestacionalizacin se calcula dividiendo el valor de la serie Y por una estimacin de la componente estacional denominada factor o coeficiente de estacionalidad. En los modelos aditivos la desestacionalizacin se obtiene mediante una diferencia entre el valor observado y la estimacin de la componente estacional.

Con menor frecuencia se postulan modelos mixtos como por ejemplo: Y = T * S + I en el que la tendencia ciclo y la estacionalidad se influencian pero son independientes de la componente irregular.

El objetivo de este punto es ver en qu consiste la estacionalidad, de qu manera se la puede detectar es decir, cules son los mtodos para reconocerla y cmo se la puede eliminar. Como la estacionalidad se manifiesta dentro del ao las series consideradas son mensuales o trimestrales, aun cuando, por ejemplo, puede haber una estacionalidad diaria o en las semanas de un mes. La gente concurre a los centros de compra con ms asiduidad los fines de semana y tal vez las dos primeras semanas del mes generen los mayores volmenes de compra,etc.

El reconocimiento de la estacionalidad y su deteccin reside en el conocimiento de las series y en su representacin grfica: las series estacionales presentarn picos y cadas en perodos ms o menos iguales en el trascurso de los aos. En forma ms simple el comportamiento de la serie dentro del ao calendario se repite con el trascurso de los aos. Si uno superpone los datos mensuales de una serie durante algunos aos comprobar movimientos muy parecidos en los mismos meses, por ejemplo el consumo de cerveza crecer en los meses de verano y descender en los meses de invierno, otro tanto ocurrir con las bebidas gaseosas y hay muchas series con comportamientos similares.

Estos casos son de estacionalidad estable. Pero puede suceder que por diversos factores los perodos en los que se producen picos y cadas no se mantengan estables en el curso de los aos y este tipo de estacionalidad es ms difcil de detectar.

Pero adems de los mtodos grficos existen procedimientos analticos para detectar la estacionalidad. El ms importante es el ideado por el Departamento de Comercio de los Estados Unidos ( Bureau of Census ) que desde 1930 aproximadamente est perfeccionando estos mtodos. Actualmente est vigente la versin X 12 ARIMA y este procedimiento es usado por las oficinas estadsticas de casi todo el mundo.

Est basado en promedios mviles y filtros que someten a las series a continuas depuraciones de manera que como resultado se obtienen las componentes, los denominados factores de estacionalidad y las series desestacionalizadas. El Eviews ha incorporado este mtodo.

El programa originalmente no contena la denominacin ARIMA, por ejemplo era X-11 a secas e iba incorporando modificaciones fruto del anlisis, los estudios acadmicos y las experiencias concretas. Pero, debido a que el procedimiento est basado en promedios mviles tena problemas de estimacin de las componentes estacionales en las primeras y las ltimas observaciones de las series ya que careca de suficientes datos en ambos extremos y produca pobres perfomances. Entonces, se trat de evitar esta falencia proyectando las series mediante los mtodos ARIMA y de all el agregado de esta sigla. El mtodo X-12 es una actualizacin del X-11.

En Espaa se utiliza un mtodo denominado TRAMO-SEATS tambin incluido entre los procedimientos del Eviews.

Otros procedimientos se basan en series trigonomtricas empleando funciones de naturaleza ondulatoria tales como el seno y el coseno, otros emplean tcnicas lineales de regresin con variables de valor 0, para indicar la ausencia de estacionalidad o 1, para indicar su presencia, (cada par se aplica en cada perodo del ao menos uno para evitar multicolinealidad) y otros se basan en anlisis de tipo estructural. Pero estos mtodos son poco utilizados.

Los investigadores que emplean modelos de series cronolgicas como los que nos ocupan tambin han propuesto mtodos basados en los modelos ARIMA para captar la estacionalidad. Esta se detecta mediante el correlograma; tanto las funciones de autocorrelacin como las de autocorrelacin parcial de las series estacionales presentan comportamientos particulares: cada cuatro perodos en las series trimestrales y cada doce perodos en las series mensuales. Es posible reconocer para estos perodos estacionales, modelos similares a los ya considerados: AR, MA, ARMA, ARIMA, etc. Pero estos son modelos referidos exclusivamente a la estacionalidad y a la par de ellos, junto a ellos, acompandolos, interactan los patrones no estacionales de las series que hemos considerados anteriormente. En sntesis, en las series estacionales se requiere una estimacin conjunta: una para los patrones estacionales y otra para los movimientos no estacionales y esto complica la identificacin prctica del modelo.

Se puede presentar un problema adicional referido al nmero de datos: en una serie con 60 datos mensuales analizar el comportamiento estacional requiere observar el comportamiento del correlograma en los perodos 12, 24, 36, 48 y 60, solo se cuenta con cinco medidas para determinar la naturaleza del modelo estacional y este nmero es presumiblemente, bastante exiguo.

Los modelos estacionales de series cronolgicas propuestos tambin son aditivos o multiplicativos, ( aunque por lo general estos ltimos son los ms utilizados),as por ejemplo para series trimestrales:

Estacionalidad aditiva.

Modelo MA estacional yt = a1 yt -1 + t - b1 t-1 - b4 t - 4 .

Modelo AR estacional yt = a1 yt -1 + a 4 y t - 4 + t - b1 t-1 . El primer modelo es un modelo ARMA( 1, 1) con un trmino estacional. La estacionalidad se capta por el trmino b4 t - 4 . El segundo modelo tambin es un modelo ARMA ( 1, 1 ) con el trmino a 4 y t 4 que trata de captar la estacionalidad. Si las series hubieran sido mensuales los trminos estacionales hubieran incorporado el subndice 12.

Estacionalidad multiplicativa.

Modelo MA estacional ( 1 - a1 L ) yt = ( 1 - b1 L ) (1 - b4 L4 ) t .

Modelo AR estacional ( 1 - a1 L ) (1 - a4 L4 ) yt = ( 1 - b1 L ) t .

Tambin son modelos ARMA (1, 1) con componentes estacionales multiplicativas MA y AR, (1 - b4 L4 ) y (1 - a4 L4 ), que se aplican a t y a yt respectivamente.

Si las series estacionales presentan races unitarias o son no estacionarias y por lo tanto, necesitan ser diferenciadas, conviene diferenciarlas en el perodo estacional, es decir hacer yt - y t - 4 en el caso de las series trimestrales y yt - y t - 12 en el caso de las series mensuales. Esto se puede explicar por el hecho de que los cambios de las series en los perodos estacionales, por ejemplo enero contra enero, febrero contra febrero, etc., sern menores a causa de la estacionalidad, que los cambios de enero contra febrero, marzo contra abril, etc. y puesto que tendrn menor varianza sern estimados con mayor precisin. Adems, puede observarse que: (1 L4 ) = ( 1- L ) (1 + L) (1 i) (1 + i) es decir (1 L4 ) contiene a (1 L), esto significa que cuando se efecta la diferencia yt - y t - 4 en cierta forma se est efectuando tambin la diferencia yt - y t - 1 . Otro tanto ocurre con (1 L12 ) que tambin contiene a (1 L).

Sintetizando lo expuesto acerca de los mtodos para desestacionalizar series econmicas y financieras los mtodos ms empleados son el Census X- 11 ARIMA o X-12 ARIMA, utilizado por la gran mayora de las oficinas estadsticas del mundo y los mtodos de series cronolgicas que generalmente estn restringidos a los anlisis acadmicos. Desde estos mbitos si bien se reconoce la practicidad del Census, sus calidades de procedimiento estandarizado y su utilidad para las oficinas estadsticas que deben desestacionalizar cientos o miles de series durante un ao, se seala que este mtodo puede no eliminar toda la estacionalidad de la serie y se indica que el procedimiento que debe ser adoptado cuando se emplea el programa del Bureau de Census: desestacionalizar primero la serie y luego proceder a la identificacin de los modelos de series cronolgicas puede no ser el adecuado porque los modelos estacionales y los modelos ARMA se identifican mejor cuando la estimacin se efecta de manera conjunta.

A modo de ejemplo se analizar el PBI a precios bsicos, base 1993 = 100 desde el I trimestre de 1985 hasta el IV trimestre de 2005. Los datos, trascriptos por columna son los que se consignan en el cuadro siguiente.

160.218182.433179.983213.877231.723214.421

170.271183.920204.200215.739253.432216.428

167.096169.709199.993206.854244.208204.093

175.837171.816198.493230.113249.402240.224

161.297163.680190.227229.832231.522235.522

181.209174.139213.765235.105252.262240.297

188.503148.618212.792223.772243.093225.444

185.055165.261215.916247.224245.297256.304

168.241172.120203.859247.219226.832254.752

189.477178.419226.365251.917252.681261.564

193.787160.640223.019236.240232.746241.838

186.807184.711227.351264.321222.461282.408

176.863188.202209.234255.084194.317277.362

188.356195.251219.436251.363223.787283.983

El grfico de los mismos muestra que la serie es no estacionaria, tiene tendencia y presenta estacionalidad: en el segundo y el tercer trimestre el pbi por lo general crece, muchas veces lo hace tambin en el cuarto, en tanto que en el primer trimestre decrece.

La tendencia se considera aleatoria, caracterstica comn de muchas series econmico- financieras lo que origina races unitarias. Se observa un movimiento ascendente continuo desde 1990 hasta 1998 aproximadamente, estancamiento y cada hasta el 2002 y un nuevo impulso hacia arriba a partir de esta ltima fecha.

La estacionalidad es bastante marcada y los picos y cadas dentro del ao se repiten durante todo el perodo considerado. Pareciera, merced a la observacin del grfico, que la estacionalidad es estable, pero como se refiriera anteriormente ms all de la simple observacin se requieren pruebas analticas para aceptar o rechazar las hiptesis estadsticas.

Para eliminar la tendencia de la serie se consideraron variaciones porcentuales, o sea se defini una nueva variable pbi1 como: pbi1 = 100 * ( pbi- pbi ( - 1 ) ) / pbi1 ( - 1 ). En el grfico de la serie que se presenta a continuacin se puede observar que la serie del pbi es aproximadamente estacionaria y que presenta picos estacionales.

El correlograma de la serie presenta picos en las funciones de autocorrelacin en los rezagos cuarto, octavo, doceavo, etc.. El grfico parece mostrar que la funcin de autocorrelacin parcial presenta un solo pico significativo en el cuarto rezago y que la estacionalidad sigue un proceso autoregresivo. Como por otra parte tambin parece que la estacionalidad permanece constante, es decir no aumenta con el tiempo, se puede pensar que se trata de un modelo estacional autoregresivo aditivo.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

****| . |****| . |1-0.511-0.51121.4160.000

. |*. | .*| . |20.200-0.08324.7400.000

***| . |****| . |3-0.463-0.53742.7630.000

. |******| . |***** |40.8340.689102.180.000

****| . | .*| . |5-0.535-0.082126.900.000

. |*. | . | . |60.209-0.052130.710.000

***| . | .*| . |7-0.456-0.193149.210.000

. |***** | .*| . |80.691-0.153192.300.000

****| . | . | . |9-0.4890.051214.120.000

. |*. | .*| . |100.205-0.092218.030.000

***| . | .*| . |11-0.451-0.133237.200.000

. |***** | . |*. |120.6480.103277.280.000

Con respecto a los movimientos no estacionales se ensay en primera instancia un modelo ARMA (2, 2 ) pero los estadsticos t_ Student no resultaron significativos tanto para la constante, como para el MA ( 2 ) y el AR (2) motivo por el cual fueron eliminados de la estimacin. Los resultados de la misma se presentan a continuacin.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

AR(1)-0.1827250.068352-2.6732980.0093

AR(4)0.7979930.06450112.371750.0000

MA(1)0.3602030.1273562.8283180.0061

R-squared0.785173Mean dependent var0.908396

Adjusted R-squared0.779206S.D. dependent var7.367622

S.E. of regression3.461951Akaike info criterion5.360720

Sum squared resid862.9276Schwarz criterion5.453419

Log likelihood-198.0270Hannan-Quinn criter.5.397734

Durbin-Watson stat2.078906

Los residuos de esta regresin se muestran en el grfico siguiente. Se puede apreciar que son ruido blanco y que solo presenta un pico significativo en el lag 8.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

. | . |. | . |1-0.064-0.0640.31600.574

.*| . |.*| . |2-0.122-0.1271.49400.474

. |*. |. |*. |30.1230.1082.70220.440

. | . |. | . |4-0.000-0.0012.70220.609

.*| . |.*| . |5-0.195-0.1735.84360.322

. | . |. | . |6-0.003-0.0405.84420.441

. | . |. | . |7-0.001-0.0465.84430.558

**| . |.*| . |8-0.221-0.20310.0520.261

. | . |. | . |90.017-0.01610.0780.344

. | . |.*| . |100.003-0.08010.0790.434

. | . |. | . |11-0.031-0.01410.1640.516

. | . |.*| . |12-0.034-0.06810.2700.592

Para eliminar el pico del lag 8 se incorpor al modelo un trmino MA (8), pero como esto no mejor la perfomance, puesto que se mantuvo el alto valor de la autocorrelacin en ese lag y los criterios de Akaike y de Schwarz presentaron valores ms altos se mantuvo el modelo en su forma previa.

En definitiva el modelo estimado fue: z t = - 0,183 z t-1 + 0,798 z t-4 + t + 0,360 t -1 donde z es la variacin porcentual del PBI.

Con el propsito de comparar el procedimiento descrito anteriormente con los resultados del Census X-12 ARIMA y el posterior anlisis mediante los mtodos de Box Jenkins los datos del pbi fueron procesados mediante este programa.

Como se haba sealado anteriormente el Census posee una serie de filtros basados en promedios mviles que procuran estimar las componentes de una serie: la tendencia-ciclo, la estacional y la irregular. A partir de estimaciones iniciales estos filtros son usados repetidamente y mejoran continuamente esas estimaciones en sucesivas etapas del programa. Debido a la extensin y la complejidad de este procedimiento solo se consignarn los resultados ms importantes. Bibliografa adicional se puede hallar en la pgina web del Bureau of Census o bien se puede recurrir al texto The econometric anlisis of time series,E. Ghysels y D. R. Osborn, Cambridge 2001.

Las variaciones porcentuales del pbi fueron procesadas mediante el programa Census X 12 Arima en su versin aditiva. Este programa contiene pruebas estadsticas en las que emplea tests F-Snedecor y no paramtricos (Krhuskal-Wallis), tendientes a determinar por una parte, la existencia de estacionalidad y por otra, si esta es estable. En ambos casos la respuesta fue afirmativa, lo que confirm las presunciones que se tenan y que fueron originadas en la observacin del grfico de la serie. Entre otras salidas el Census suministra, la serie desestacionalizada, los trminos estacionales y la tendencia ciclo. La serie desestacionalizada se obtiene deduciendo de la serie original los trminos estacionales, si el modelo hubiera sido multiplicativo la serie desestacionalizada se obtiene multiplicando la serie original por el factor estacional.

Para determinar el modelo ARMA correspondiente a la serie de tiempo desestacionalizada se efectu el correlograma, el que se presenta a continuacin.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

. |*. |. |*. |10.1430.1431.67690.195

. | . |. | . |2-0.017-0.0381.69980.427

. |** |. |** |30.3140.3299.98340.019

. |*. |. | . |40.093-0.00710.7230.030

**| . |**| . |5-0.256-0.27216.3830.006

. |*. |. |*. |60.1260.13617.7650.007

. |*. |. | . |70.074-0.01518.2520.011

***| . |**| . |8-0.405-0.32633.0640.000

.*| . |. | . |9-0.0870.00933.7540.000

. |*. |. | . |100.0810.00834.3580.000

.*| . |. | . |11-0.1630.06636.8480.000

.*| . |.*| . |12-0.180-0.11939.9340.000

Se comprueba que se elimin en buena parte el pico estacional en el cuarto rezago pero an persiste bastante alto en los lags 8 y 12. Para eliminar el pico estacional del lag 8 se incorpor en el modelo el trmino MA (8).

El correlograma muestra tambin un posible modelo ARMA con bastante intensidad en el tercer rezago. Por este motivo se ensayaron diversos modelos obtenindose los mejores resultados con el que se expone a continuacin.

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C0.7878920.1748494.5061280.0000

AR(3)0.2258530.1096602.0595750.0430

MA(8)-0.5840070.095726-6.1008000.0000

R-squared0.271166Mean dependent var0.802154

Adjusted R-squared0.251198S.D. dependent var2.680792

S.E. of regression2.319779Akaike info criterion4.559495

Sum squared resid392.8405Schwarz criterion4.651497

Log likelihood-170.2608Hannan-Quinn criter.4.596263

F-statistic13.57998Durbin-Watson stat1.699979

Prob(F-statistic)0.000010

El correlograma de los residuos que se expone a continuacin muestra que son ruido blanco. En particular el test Q y el de Bartlett muestran que los residuos no son significativamente distintos de cero.

AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb

. |*. |. |*. |10.1390.1391.52380.217

. | . |. | . |20.0590.0401.79810.407

. | . |. | . |3-0.001-0.0141.79820.615

. | . |. | . |40.0500.0502.00000.736

.*| . |.*| . |5-0.148-0.1643.83030.574

. | . |. | . |60.0300.0723.90870.689

. | . |. | . |70.0220.0243.95110.785

. | . |. | . |80.0730.0594.41700.818

. | . |. | . |9-0.043-0.0484.57840.869

. | . |. | . |100.0480.0274.78940.905

. | . |. | . |11-0.033-0.0294.88770.936

.*| . |.*| . |12-0.181-0.1907.93170.790

En sntesis el segundo modelo puede escribirse: w t = 0,788 + 0,226 w t-3 + t - 0,584 t-8 donde w denota la serie desestacionalizada, mediante el mtodo Census X 12 ARIMA, de las variaciones porcentuales del pbi.

Los desarrollos que hemos presentado pretenden ilustrar cmo operan los dos procedimientos analizados. El mtodo basado en los modelos Box-Jenkins efecta una estimacin conjunta del modelo estacional y del modelo ARMA referido a la parte de la serie que no es estacional, el Census se aplica para desestacionalizar la serie y el modelo de series cronolgicas se obtiene a partir de la serie desestacionalizada. Mediante el correlograma habr que discernir cul es la perfomance de cada uno y, por otra parte, la eleccin de algn mtodo debe estar basada en el problema concreto que se deba resolver, por ejemplo el Census constituye una buena eleccin si uno desea solamente obtener factores estacionales o series desestacionalizadas, si uno requiere estimaciones conjuntas y ms estilizadas pareciera que los mtodos de series cronolgicas son ms satisfactorios pero, en ltima instancia lo ms efectivo parece desarrollar ambos procedimientos y comparar los resultados.

En el caso que nos ocupa el segundo procedimiento que incluye 76 observaciones presenta valores ms bajos de los criterios de Akaike y de Schwarz que el primero, que incluye a 75 observaciones. Sin embargo, si bien esta comparacin no sera estrictamente vlida porque ambos modelos no poseen igual nmero de observaciones, como ellas son prcticamente iguales y el modelo que posee ms observaciones tiene residuos ms bajos, se puede concluir que las pruebas estadsticas hacen preferible al modelo que emplea el Census.

Ejercicio. Utilice los datos del pbi, utilizando una transformacin distinta a las variaciones porcentuales, para efectuar una estimacin de la serie y proyecciones. Aplique el mtodo Census y el de series de tiempo. Compare los resultados y halle el valor del pbi para el primer trimestre del 2005 si se prev (con respecto al cuarto trimestre de 2004): a) un aumento del 2% en la serie desestacionalizada y b) una cada de 0,7% en la serie con estacionalidad.

_1318584587.unknown

_1318584774.unknown

_1318597526.unknown

_1318601803.unknown

_1318665484.unknown

_1318597323.unknown

_1318584691.unknown

_1318583720.unknown