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Einf¨ uhrung in L A T E X2 ε : Mathematischer Satz mit L A T E X unter Partosch E-Mail: [email protected] 30. Oktober 2002 Zusammenfassung Zielgruppe f¨ ur diese Kursunterlagen sind L A T E X-Anf¨ anger, die auf ihrem Rechner Doku- mente erstellen wollen, die mathematische Formeln enthalten. Im Kurs werden die meis- ten M¨ oglichkeiten zur Formelgestaltung und die wichtigsten Formelelemente in Standard- L A T E X vorgestellt. W¨ unschenswert sind mindestens Anfangskenntnisse in L A T E X2 ε . Inhaltsverzeichnis 1 Bemerkungen zum Setzen mathematischer Formeln 3 2 So bringe ich Mathematik in mein Dokument 3 2.1 Inline-Formeln .................................... 3 2.2 Abgesetzte Formeln ................................. 4 3 Einige Beispiele f¨ ur mathematische Formeln 5 3.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen ................... 5 3.2 Klammern ....................................... 5 3.3 Relationen und bin¨ are Operatoren ......................... 6 3.4 Mathematische Akzente und Vektoren ....................... 6 3.5 Pfeile ......................................... 7 3.6 Andere Schriften ................................... 7 3.7 Br¨ uche ......................................... 8 3.8 Wurzeln ........................................ 9 3.9 Exponenten und Indizes ............................... 9 3.10 Binominalkoeffizienten und ¨ ahnliche Konstrukte .................. 10 3.11 Symbole stapeln ................................... 10 3.12 Ableitungen ...................................... 11 Hochschulrechenzentrum (HRZ) der Justus-Liebig-Universit¨ at Gießen 1

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Einfuhrung in LATEX2ε:

Mathematischer Satz mit LATEX

Gunter Partosch∗

E-Mail: [email protected]

30. Oktober 2002

Zusammenfassung

Zielgruppe fur diese Kursunterlagen sind LATEX-Anfanger, die auf ihrem Rechner Doku-mente erstellen wollen, die mathematische Formeln enthalten. Im Kurs werden die meis-ten Moglichkeiten zur Formelgestaltung und die wichtigsten Formelelemente in Standard-LATEX vorgestellt. Wunschenswert sind mindestens Anfangskenntnisse in LATEX2ε.

Inhaltsverzeichnis

1 Bemerkungen zum Setzen mathematischer Formeln 3

2 So bringe ich Mathematik in mein Dokument 3

2.1 Inline-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Abgesetzte Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Einige Beispiele fur mathematische Formeln 5

3.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Relationen und binare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Mathematische Akzente und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Pfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.6 Andere Schriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.7 Bruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.8 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.9 Exponenten und Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.10 Binominalkoeffizienten und ahnliche Konstrukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.11 Symbole stapeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.12 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11∗Hochschulrechenzentrum (HRZ) der Justus-Liebig-Universitat Gießen

1

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INHALTSVERZEICHNIS 2

3.13 Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.14 (Unendliche) Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.15 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.16 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.17 Mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.18 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.19 Matrizen und andere rechteckige Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.20 Eigene Kommandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.21 Theorem-artige Konstrukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Und noch . . . 22

5 Und noch etwas . . . 22

A Anhang 23

A.1 Darum ging es jeweils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A.2 Und diese mathematischen LATEX-Befehle wurden benutzt . . . . . . . . . . . . 27

Vorbemerkung 1 (Nur Standard-Moglichkeiten):Wie oben schon erwahnt, werden in dieser Anleitung lediglich die Standard-Moglich-keiten fur den Mathematik-Satz in LATEX2ε behandelt. Die weitergehenden Moglich-keiten zum Formelsatz in AMS-TEX und einigen speziellen Paketen (wie beispielsweiseamsmath, amssymb, mathrsfs und wasysym) bleiben unberucksichtigt.

Vorbemerkung 2 (Konventionen):In der vorliegenden Anleitung wird versucht, an Hand zahlreicher Beispiele zu zeigen,wie mathematische Formeln in LATEX2ε gesetzt werden konnen.

• Dabei wird fur jedes Beispiel jeweils in der rechten Spalte die Eingabe und in derlinken Spalte das zugehorige Ergebnis aufgefuhrt.

• Um den Platz in der linken Spalte besser nutzen zu konnen, werden die Formeln dortlinksbundig gesetzt (durch die Option fleqn in der documentclass-Anweisung).

• Die Texte in den Beispielen wurden in ISO 8859-1 Latin-1 codiert (einschließlichder Umlaute und des Eszets); auf die Umschreibung wie beispielsweise in "a fura wurde verzichtet. Wenn die Anweisung \usepackage[latin1]fontenc in derPraambel des Dokuments verwendet wird, werden die Texte ohne Probleme korrektdargestellt.

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1 BEMERKUNGEN ZUM SETZEN MATHEMATISCHER FORMELN 3

1 Einige allgemeine Bemerkungen zum Setzen mathemati-scher Formeln

Das Setzen mathematischer Formeln unterscheidet sich in TEX und LATEX deutlich von derAufbereitung ”normaler“ Texte. Dabei gelten die folgenden Regeln (singemaß aus der LATEX-Kurzanleitung):

• Leerzeilen in der Eingabe fur eine Formel sind generell nicht zulassig.

• Leerzeichen und Zeilenwechsel haben bei der Eingabe keine Bedeutung; alle Abstandein der Formel werden automatisch nach der Logik mathematischer Ausdrucke bestimmtbzw. mussen durch spezielle Befehle wie \, oder \qquad festgelegt werden.

• Jeder einzelne Buchstabe in der Eingabe wird als Name einer Variablen betrach-tet und entsprechend gesetzt: kursiv mit zusatzlichem Abstand; so beispielsweise

”mathematischerText“ statt ”mathematischer Text“. Will man innerhalb eines ma-thematischen Kontextes normalen Text (d. h. aufrecht mit korrekten Abstanden) setzen,muss man diesen in \textrm... auffuhren.

2 So bringe ich Mathematik in mein Dokument

2.1 Inline-Formeln

Seien a und b die Katheten und c die Hypo-tenuse, dann gilt c =

√a2 + b2 (Lehrsatz des

Pythagoras).

%--inline1.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$c=\sqrta^2+b^2$ (Lehrsatz desPythagoras).

Seien a und b die Katheten und c die Hypo-tenuse, dann gilt c =

√a2 + b2 (Lehrsatz des

Pythagoras).

%--inline2.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\beginmathc=\sqrta^2+b^2\endmath(Lehrsatz des Pythagoras).

Seien a und b die Katheten und c die Hypo-tenuse, dann gilt c =

√a2 + b2 (Lehrsatz des

Pythagoras).

%--inline3.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt\( c=\sqrta^2+b^2 \)(Lehrsatz des Pythagoras).

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2 SO BRINGE ICH MATHEMATIK IN MEIN DOKUMENT 4

2.2 Abgesetzte Formeln

Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt

c2 = a2 + b2

(Lehrsatz des Pythagoras).

%--display1.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$$c^2=a^2+b^2$$ (Lehrsatz desPythagoras).

Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt

c2 = a2 + b2

(Lehrsatz des Pythagoras).

%--display2.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\begindisplaymathc^2=a^2+b^2\enddisplaymath(Lehrsatz des Pythagoras).

Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt

c2 = a2 + b2

(Lehrsatz des Pythagoras).

%--display3.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\[ c^2=a^2+b^2 \](Lehrsatz des Pythagoras).

Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt

c2 = a2 + b2 (1)

(Lehrsatz des Pythagoras).Aus (1) folgt . . .

%--display4.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt\beginequation\labelPythagorasc^2=a^2+b^2\endequation(Lehrsatz des Pythagoras).\parAus (\refPythagoras) folgt \dots

f(x) = cosx (2)f ′(x) = − sinx (3)∫ x

0f(y)dy = sinx (4)

%--display5.tex---\begineqnarrayf(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & - \sin x \\\int_0^xf(y)\mathrmdy&=&\sin x\endeqnarray

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 5

3 Einige Beispiele fur mathematische Formeln

3.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen

ABΓ∆EZHΘIKΛMNΞOΠPΣTΦXYΨΩ

%--symbol1.tex---\[ \mathrmA\mathrmB\Gamma\Delta\mathrmE\mathrmZ\mathrmH\Theta\mathrmI\mathrmK\Lambda\mathrmM\mathrmN\Xi\mathrmO\Pi\mathrmP\Sigma\mathrmT\Phi\mathrmX\mathrmY\Psi\Omega \]

αβγδεζηθικλµνξoπρστφχυψω

%--symbol2.tex---\[ \alpha\beta\gamma\delta\epsilon\zeta\eta\theta\iota\kappa\lambda\mu\nu\xi\mathrmo\pi\rho\sigma\tau\phi\chi\upsilon\psi\omega \]

ε ϑ ς ϕ

%--symbol3.tex---\[ \varepsilon \quad \vartheta \quad\varpi \quad \varrho \quad \varsigma\quad \varphi \]

ℵ ∂ ∞ ∀ ∃ ¬ ∈ ♥

%--symbol4.tex---\[\aleph\quad\Re\quad\Im\quad\partial\quad\infty\quad\forall\quad\exists\quad\neg\quad\in\quad\heartsuit \]

∀ε > 0 : |f(x1)− f(x2)| < ε ∃η : |x1 − x2| < η

%--symbol5.tex---\[ \forall \varepsilon>0:|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\quad\exists\eta: |x_1-x_2|<\eta \]

3.2 Klammern

( [ [ 〈

%--klammer1.tex---\[ (\qquad\lbrack\qquad\lbrace\qquad[\qquad\lfloor\qquad\langle\qquad\\qquad\lceil \]

) ] ] 〉

%--klammer2.tex---\[ )\qquad\rbrack\qquad\rbrace\qquad]\qquad\rfloor\qquad\rangle\qquad\\qquad\rceil \]

((x+ 1)(x− 1)

)2%--klammer3.tex---\[ \Bigl( (x+1) (x-1)\Bigr) ^2 \]

((x2 + 1)(x2 − 1)

)2%--klammer4.tex---\[ \left((x^2+1) (x^2-1)\right)^2 \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 6

1 +(

11− x2

)3%--klammer5.tex---\[ 1 + \left(\frac11-x^2\right)^3 \]

26︷ ︸︸ ︷a+ b+ · · ·+ z+

26︷ ︸︸ ︷A+B + · · ·+ Z︸ ︷︷ ︸

52

%--klammer6.tex---\[ \underbrace\overbracea + b + \cdots +z^26 +\overbraceA + B + \cdots+Z^26_52 \]

m+ n m+ n

%--klammer7.tex---\[ \overlinem+n\qquad\underlinem+n \]

3.3 Relationen und binare Operatoren

x = y > z x := y x ≤ y = z%--rel1.tex---\[ x = y > z \qquad x := y \qquadx \le y \ne z \]

x ∼ y z x ≡ y ≡ z x ⊂ y ⊆ z

%--rel2.tex---\[ x \sim y \simeq z \qquadx \equiv y \not\equiv z \qquadx \subset y \subseteq z \]

x+ y − z x ∗ y/z x× y · z%--rel3.tex---\[ x + y - z \qquad x * y / z \qquadx \times y \cdot z \]

x y • z x ∪ y ∩ z x y z

%--rel4.tex---\[ x \circ y \bullet z\qquadx \cup y \cap z \qquadx \sqcup y \sqcap z \qquad \]

x ∨ y ∧ z x± y ∓ z%--rel5.tex---\[ x \vee y \wedge z\qquadx \pm y \mp z \]

3.4 Mathematische Akzente und Vektoren

a b c d e

f g h k l

%--akzent1.tex---\[ \hat a\qquad\check b\qquad\tildec \qquad \acute d \qquad \grave e \]\[ \dot f\qquad\ddot g\qquad\breveh \qquad \bar k \qquad \vec l \]

ı %--akzent2.tex---\[ \hat\imath \qquad \check\jmath \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 7

x xy xyz

x xy xyz

%--akzent3.tex---\[ \widehat x \qquad \widehatxy\qquad \widehatxyz \]\[ \widetilde x \qquad \widetildexy\qquad \widetildexyz \]

α · (x+ y) = α · x+ α · y

%--akzent4.tex---\[ \alpha \cdot(\vec x + \vec y) =\alpha \cdot \vec x +\alpha \cdot \vec y \]

x · (y · z) = (x · y) · z

x× (y × z) = (x× y)× z

%--akzent5.tex---\[ \vec x \cdot (\vec y \cdot \vec z)\not=(\vec x\cdot\vec y)\cdot \vec z \]\[ \vec x\times (\vec y\times \vec z)\not= (\vec x \times \vec y) \times\vec z \]

3.5 Pfeile

← ⇐ ↔ ⇔ ↑ ↓

←− '→

%--pfeil1.tex---\[ \leftarrow \qquad \Leftarrow \qquad\leftrightarrow \qquad \Leftrightarrow\qquad\uparrow\qquad\downarrow\qquad\nearrow \]\[ \longleftarrow\qquad\leftharpoonup\qquad \mapsto \qquad \leadsto \]

(A ⇒ B)⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A)

%--pfeil2.tex---\[ (\mathcalA \Rightarrow\mathcalB) \Longleftrightarrow(\lnot \mathcalB \Rightarrow\lnot \mathcalA) \]

3.6 Andere Schriften

∀x ∈ R : x2 ≥ 0%--zeichen1.tex---\[ \forall x\in\mathbfR: x^2\ge0\]

A · x = y

mit A = (aij)i = 1, · · · ,m; j = 1, · · · , n

x = (x1, · · · , xn) undy = (y1, · · · , ym)

%--zeichen2.tex---\begineqnarray*\mathbfA \cdot \mathbfx & = &\mathbfy \\\textrmmit \mathbfA&=&(a_ij)\\&&i=1,\cdots, m; j=1,\cdots, n\\\mathbfx & = & (x_1,\cdots, x_n)\textrm und\\\mathbfy & = & (y_1, \cdots, y_m)\\\endeqnarray*

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 8

(A ⇐⇒ B)⇐⇒ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

%--zeichen3.tex---\[ (\mathcalA \Longleftrightarrow\mathcalB)\Longleftrightarrow(\mathcalA\Rightarrow \mathcalB)\wedge(\mathcalB\Rightarrow\mathcalA)\]

3.7 Bruche

12

n+ 13

%--bruch1.tex---\[ \frac12 \qquad \fracn+13 \]

x+ y2

k + 1x+ y2

k+ 1 x+

y2

k+ 1

x+y2

k + 1x+ y

2k+1

%--bruch2.tex---\[ \fracx+y^2k+1 \qquad\fracx+y^2k + 1 \qquadx + \fracy^2k+1 \]\[ x + \fracy^2k+1 \qquadx + y^\frac2k+1 \]

ab

2ab2

%--bruch3.tex---\[ \frac\fracab2 \qquad\fraca\fracb2 \]

a/b

2a

b/2

%--bruch4.tex---\[ \fraca/b2\qquad\fracab/2 \]

a0 +1

a1 + 1a2+ 1

a3+ 1a4

%--bruch5.tex---\[ a_0 + \frac1a_1 +\frac1a_2 +\frac1a_3 +\frac1a_4 \]

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +1a4

%--bruch6.tex---\[ a_0+\frac1\displaystyle a_1 +\frac\strut 1\displaystyle a_2 +\frac\strut 1\displaystyle a_3 +\frac\strut 1a_4 \]

a

bc

d

%--bruch7.tex---\[ \displaystyle \fracab\above 1pt\displaystyle\fraccd \]

a

bc

d

%--bruch8.tex---\newcommand\dfrac[3]\displaystyle

#1\above#3 \displaystyle #2% ...\[ \dfrac\fracab%\fraccd1pt \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 9

3.8 Wurzeln

√2

%--wurzel1.tex---\[ \sqrt 2 \]

√x+ 2

%--wurzel2.tex---\[ \sqrtx+2 \]

3√

2%--wurzel3.tex---\[ \sqrt[3]2 \]

√x3 +

√α

%--wurzel4.tex---\[ \sqrtx^3 + \sqrt\alpha \]

n√xn + yn

%--wurzel5.tex---\[\sqrt[n]x^n + y^n\]

n+1√a

%--wurzel6.tex---\[ \sqrt[n+1]a \]

√a+√b+√y

√a+

√b+

√y

%--wurzel7.tex---\[ \sqrta+\sqrtb+\sqrty \qquad\sqrt\mathstrut a +\sqrt\mathstrut b +\sqrt\mathstrut y \]

3

√h′′n(αx)

%--wurzel8.tex---\[ \sqrt[3]h’’_n(\alpha x) \]

√√√√√1 +

√√√√1 +

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + x

%--wurzel9.tex---\[ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1 + \sqrt1+x \]

3.9 Exponenten und Indizes

x2 x2 x2y2%--exp1.tex---\[ x^2 \qquad x_2 \qquad x^2 y^2 \]

2F3

%--exp2.tex---\[ _2F_3 \]

x2y x2y

yx2 yx2

%--exp3.tex---\[x^2_y \qquad x^2^y \qquady_x_2 \qquad y_x^2\]

((x2)3)4 (x2)3)4

%--exp4.tex---\[ ((x^2)^3)^4 \qquad(x^2)^3)^4 \]

xy2 xy2

%--exp5.tex---\[ x^y^2 \qquad x^y^2 \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 10

x23 x23 x3141592 xzdc

yab

P 32 P 3

2

%--exp6.tex---\[ x^2_3 \qquad x_3^2 \qquadx^31415_92\qquadx_y^a_b^z_c^d \]\[ P_2^3 \qquad P_2^3 \]

3.10 Binominalkoeffizienten und ahnliche Konstrukte(n+ 1

3

) %--binom1.tex---\[ n+1 \choose 3 \]

x

y + 2

(n

k

) %--binom2.tex---\[ x \atop y + 2 \qquadn \choose k \]

(nk2

) (n

k/2

) (n12k

) %--binom3.tex---\[ n \choose \frack2 \qquadn \choose k/2 \qquadn \choose \frac12 k\]

(nk

)2

12

(n

k

) (n

k

)2

%--binom4.tex---\[ \fracn \choose k2 \qquad\frac12n \choose k \qquad\frac\displaystylen\choose k2 \]

(p

2

)x2yp−2 − 1

1− x1

1− x2%--binom5.tex---\[ p \choose 2 x^2 y^p-2 -\frac11 - x \frac11 - x^2 \]

(n+ 1

3

) %--binom6.tex---\newcommand\binom[2]%

#1 \choose #2% ...\[ \binomn+13 \]

x

y + 2

%--binom7.tex---\newcommand\ueber[2]#1 \atop #2% ...\[ \ueberxy+2 \]

3.11 Symbole stapeln

xdef= (x1, x2, . . . , xn)

%--ueber1.tex---\[ \vec x\stackrel\textrmdef=(x_1, x_2, \dots, x_n)\]

a(1)= ±

√c2 − b2

%--ueber2.tex---\[ a\stackrel(\refPythagoras)=\pm \sqrtc^2 - b^2 \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 11

∑1≤i≤p1≤j≤q

aijbji

%--ueber3.tex---\[ \sum_\scriptstyle 1 \le i \le p\atop\scriptstyle 1 \le j \le qa_ij b_ji \]

3.12 Ableitungen

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)∆x

%--ableitung1.tex---\[ f\prime(x) = \lim_\Delta x \to 0\fracf(x+\Delta x)-f(x)\Delta x \]

f(x) = cos xf ′(x) = − sinxf ′′(x) = − cosx

%--ableitung2.tex---\begineqnarray*f(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & -\sin x \\f’’(x) & = & -\cos x \\\endeqnarray*

f(x) = lnx

f (n) = (−1)n−1(n− 1)!1xn

%--ableitung3.tex---\begineqnarray*f(x) & = & \ln x\\f^(n) & = &

(-1)^n-1(n-1)!\frac1x^n\endeqnarray*

h(x) = f(x) · g(x)h(x)dx

= f(x) · g(x)dx

+f(x)dx· g(x)

%--ableitung4.tex---\begineqnarray*h(x) & = &

f(x) \cdot g(x)\\\frach(x)\mathrmdx & = &

f(x)\cdot\fracg(x)\mathrmdx+\fracf(x)\mathrmdx \cdot g(x)\endeqnarray*

d(u+ v − w)dx

=dudx

+dvdx− dw

dx

%--ableitung5.tex---\[ \frac\mathrmd(u+v-w)

\mathrmdx =\frac\mathrmdu\mathrmdx +\frac\mathrmdv\mathrmdx -\frac\mathrmdw\mathrmdx \]

d(u · v)dx

= u · dudx

+ v · dvdx

%--ableitung6.tex---\[ \frac\mathrmd(u\cdot v)

\mathrmdx = u \cdot\frac\mathrmdu\mathrmdx +v \cdot\frac\mathrmdv\mathrmdx \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 12

x =12k · t2 + v0 · t+ x0

x = k · t+ v0

x = k

%--ableitung7.tex---\begineqnarray*\mathbfx & = &

\frac12 \mathbfk \cdot t^2+ \mathbfv_0 \cdot t+ \mathbfx_0\\

\dot \mathbfx & = &\mathbfk \cdot t + \mathbfv_0\\

\ddot \mathbfx & = & \mathbfk\endeqnarray*

z(x, y) = xy

∂z

∂x= y und

∂z

∂y= x

%--ableitung8.tex---\begineqnarray*z (x, y) & = & xy\\\frac\partial z\partial x & = &

y \quad \textrmund\\\frac\partial z\partial y & = & x\endeqnarray*

z(x, y) =xy

x2 + y2(∀x, y : x2 + y2 = 0)

∂z

∂x=y(y2 − x2)(x2 + y2)2

und

∂z

∂y=x(x2 − y2)(x2 + y2)2

%--ableitung9.tex---\begineqnarray*z (x, y) & = & \fracxyx^2+y^2

\quad(\forall x,y:x^2+y^2\not=0)\\\frac\partial z\partial x & = &

\fracy(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2\qquad \textrmund\\

\frac\partial z\partial y & = &\fracx(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

\endeqnarray*

3.13 Summen

3∑i=1

z2i

%--sum1.tex---\[ \sum_i=1^3 z_i^2 \]

∑3

i=1z2i

%--sum2.tex---\[ \sum\nolimits_i=1^3 z_i^2 \]

3∑i=1

z2i

%--sum3.tex---\[\sum\limits_i=1^3 z_i^2\]

p∑i=1

q∑j=1

r∑k=1

aijbjkcki

%--sum4.tex---\[ \sum_i=1^p \sum_j=1^q\sum_k=1^r a_ijb_jkc_ki \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 13

∑1≤i≤p1≤j≤q1≤k≤r

aijbjkcki

%--sum5.tex---\[ \sum_\scriptstyle 1 \le i \le p\atop\scriptstyle 1 \le j \le q\atop\scriptstyle 1 \le k \le ra_ij b_jk c_ki \]

3.14 (Unendliche) Reihen

∞∑i=0

(−1)i1

2i+ 1= 1− 1

3+

15− · · ·

4

%--reihen1.tex---\begineqnarray*\sum_i=0^\infty(-1)^i

\frac12i+1& = &1-\frac13+\frac15-\cdots\\

& = & \frac\pi4\endeqnarray*

∞∑i=1

(−1)i+1 1i2

= 1− 122

+132− · · ·

=π2

12

%--reihen2.tex---\begineqnarray*\sum_i=1^\infty(-1)^i+1\frac1i^2 & = & 1-\frac12^2 +\frac13^2 - \cdots\\& = & \frac\pi^212\endeqnarray*

∀x ∈ R : e−x = 1− x+x2

2!− x

3

3!+ · · ·

=∞∑i=0

(−1)ixi

i!

%--reihen3.tex---\begineqnarray*\forall x \in \mathbfR:e^-x & = &1 - x + \fracx^22! -\fracx^33! + \cdots\\& = & \sum_i=0^\infty(-1)^i\fracx^ii!\endeqnarray*

∀x ∈ R : ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·

=∞∑i=0

xi

i!

%--reihen4.tex---\begineqnarray*\forall x \in \mathbfR:e^x & = &1 + x + \fracx^22! +\fracx^33! + \cdots\\&=&\sum_i=0^\infty\fracx^ii!\endeqnarray*

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 14

3.15 Integrale

∫ ∞

−∞1

1 + x2dx

%--int1.tex---\[ \int_-\infty^\infty\frac11 + x^2 \mathrmdx \]

∞∫−∞

11 + x2

dx

%--int2.tex---\[ \int_-\infty^\infty\limits\frac11 + x^2 \mathrmdx \]∫ ∫

D

f(x, y)dxdy

∫∫D

f(x, y) dxdy

%--int3.tex---\[ \int\int_D\limits f(x, y)

\mathrmdx \mathrmdy \]\[ \int\!\!\!\int_D\limits f(x, y)\,\mathrmdx\,\mathrmdy \]

∫x+ 1

x2(x− 1)(x2 + 4)dx

%--int4.tex---\[ \int\fracx + 1x^2(x-1)(x^2 + 4)\,\mathrmdx\]

∫ √1 + 4x2 dx

%--int5.tex---\[ \int\sqrt1+4x^2\,\mathrmdx \]

12

2π∫0

[a cos t · b cos t− (−a sin t) · b sin t] dt

%--int6.tex---\[ \frac12 \int_0^2\pi\limits[a\cos t \cdot b \cos t - (-a\sin t)\cdot b \sin t]\,dt \]

3.16 Produkte

n∏i=1

i = n!n∏

i=1

i = n!∏n

i=1i = n!

%--prod1.tex---\[ \prod_i=1^n i = n! \qquad\prod\limits_i=1^n i = n! \qquad\prod\nolimits_i=1^n i = n! \]

(n

k

)=

n∏i=1

i

k∏i=1

i ·n−k∏i=1

i

%--prod2.tex---\[ n \choose k =\frac\displaystyle\prod_i=1^n i\displaystyle\prod_i=1^k i\cdot\prod_i=1^n-k i \]

3.17 Mathematische Funktionen

limx→0

sinxx

= 1%--funk1.tex---\[\lim_x \to 0 \frac\sin xx=1\]

∫ dxsin ax cos ax

=1a

ln tan ax

%--funk2.tex---\[\int \frac\mathrmdx\sin a x \cos a x= \frac1a \ln \tan a x\]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 15

arcsinx =[arccos

√1− x2

] %--funk3.tex---\[ \arcsin x = \left[ \arccos\sqrt1 - x^2\right] \]

3.18 Komplexe Zahlen

Gegeben seien die komplexen Zahlen

c1 = (α1, β1)c2 = (α2, β2)

Dann gilt fur die Addition

c1 + c2 = ((c1) + (c2),(c1) + (c2))= (α1 + α2, β1 + β2)

%--complex1.tex---Gegeben seien die komplexen Zahlen\begineqnarray*c_1 & = & (\alpha_1, \beta_1) \\c_2 & = & (\alpha_2, \beta_2)\endeqnarray*Dann gilt fur die Addition\begineqnarray*c_1 + c_2 & = &

(\Re(c_1) + \Re(c_2), \Im(c_1)+ \Im(c_2))\\

& = & (\alpha_1 + \alpha_2,\beta_1 + \beta_2)

\endeqnarray*

Gegeben sei die komplexe Zahl c in den beidenDarstellungen

c = α+ βi= (cosϕ+ i sinϕ)

(0 ≤ <∞, ϕ beliebig)

Dann gelten die folgenden Beziehungen:

α = cosϕβ = sinϕ

=√α2 + β2

ϕ = arctanβ

α

%--complex2.tex---Gegeben sei die komplexe Zahl $c$in den bei"-den Darstellungen\begineqnarray*c & = & \alpha + \beta i\\& = & \varrho (\cos \varphi +i \sin \varphi)\\& & (0\le\varrho<\infty,\varphi \textrm beliebig)

\endeqnarray*Dann gelten die folgendenBeziehungen:\begineqnarray*\alpha & = & \varrho\cos\varphi\\\beta & = & \varrho\sin\varphi\\\varrho & = &\sqrt\alpha^2+\beta^2\\

\varphi & = &\arctan \frac\beta\alpha

\endeqnarray*

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 16

c1 = (α1, β1)= α1 + β1i

c2 = (α2, β2)= α2 + β2i

c1 · c2 = (α1 + β1i) · (α2 + β2i)= (α1α2 − β1β2) + (α1β2 + β1α2)i= (α1α2 − β1β2, α1β2 + β1α2)

%--complex3.tex---\begineqnarray*c_1 & = & (\alpha_1, \beta_1)\\

& = & \alpha_1 + \beta_1 i\\c_2 & = & (\alpha_2, \beta_2)\\

& = & \alpha_2 + \beta_2 i\\c_1 \cdot c_2 & = & (\alpha_1 +

\beta_1 i) \cdot(\alpha_2 + \beta_2 i)\\

& = & (\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1\beta_2)+(\alpha_1\beta_2+\beta_1 \alpha_2) i \\

& = & (\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1 \beta_2,\alpha_1\beta_2 + \beta_1\alpha_2)

\endeqnarray*

c = 1 +√

3i= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

= 2eπ3i

%--complex4.tex---\begineqnarray*c & = & 1 + \sqrt3 i \\

& = & 2(\cos\frac\pi3 +i \sin\frac\pi3)\\& = & 2 e^\frac\pi3i

\endeqnarray*

3.19 Matrizen und andere rechteckige Anordnungen

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a21...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

%--matrix1.tex---\[ \beginarray|cccc|a_11 & a_12 & \cdots & a_1n \\a_21 & a_22 & \cdots & a_21 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_m1 & a_m2 & \cdots & a_mn\endarray \]

Γ11 Γ12 · · · Γ1n

Γ21 Γ22 · · · Γ2n...

.... . .

...Γm1 Γm2 · · · Γmn

%--matrix2.tex---\begindisplaymath\left\\beginarraycccc\Gamma_11 & \Gamma_12 & \cdots &

\Gamma_1n\\\Gamma_21 & \Gamma_22 & \cdots &

\Gamma_2n\\\vdots & \vdots & \ddots &

\vdots\\\Gamma_m1 & \Gamma_m2 & \cdots &

\Gamma_mn\endarray\right\\enddisplaymath

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 17

|x| =x fur x ≥ 0−x fur x < 0

%--matrix3.tex---\[ |x|= \left\ \beginarrayllx & \textrmfur x \ge 0\\

-x & \textrmfur x < 0\\\endarray\right. \]

a11 a12a21 a22

0 0

0b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

0

0 0c11 c12c21 c22

%--matrix4.tex---\[\left(\beginarrayc@c@c\beginarray|cc|\hlinea_11 & a_12 \\a_21 & a_22 \\\hline\endarray & 0 & 0 \\0 & \beginarray|ccc|

\hlineb_11 & b_12 & b_13\\b_21 & b_22 & b_23\\b_31 & b_32 & b_33\\\hline\endarray & 0 \\

0 & 0 & \beginarray|cc|\hlinec_11 & c_12 \\c_21 & c_22 \\\hline\endarray \\

\endarray\right)\]

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

x11 x12 · · · x1j

x21 x22 · · · x2j...

.... . .

...xi1 xi2 · · · xij

∫11

∫12 · · · ∫

1n∫21

∫22 · · · ∫

2n...

.... . .

...∫m1

∫m2 · · · ∫mn

%--matrix5.tex---\newcommand\A[5]\left#1\beginarraycccc#2_11 & #2_12 & \cdots &

#2_1#4\\#2_21 & #2_22 & \cdots &

#2_2#4\\\vdots & \vdots & \ddots &

\vdots \\#2_#31 & #2_#32 & \cdots &

#2_#3#4\endarray\right#5% ...\[ \A(amn) \]\[ \A[xij] \]\[ \A\\intmn\ \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 18

3.20 Eigene Kommandos

x

y + 2

(n+ 1

3

)%--command1.tex---\newcommand\binom[2]%

#1 \choose #2\newcommand\ueber[2]%

#1 \atop #2% ...\[ \ueberxy+2\qquad\binomn+13 \]

A \ (B ∪C) = (A \B) ∩ (A \ C)

A ∪B = A ∩B

%--command2.tex---\newcommand\Komplement[1]%

\overline#1\newcommand\Durchschnitt\cap\newcommand\vereinigt\cup% ...\[ A \setminus (B \vereinigt C) =

(A \setminus B) \Durchschnitt(A \setminus C) \]

\[ \Komplement A \vereinigt B=\KomplementA \Durchschnitt\KomplementB \]

a

bc

d

%--command3.tex---\newcommand\dfrac[3]%

\displaystyle#1\above#3 \displaystyle #2

% ...\[ \dfrac\fracab%\fraccd1pt \]

(A =⇒ B)⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)

(A ∧ B) ∨ C ⇐⇒ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)

%--command4.tex---\newcommand\und\wedge\newcommand\oder\vee\newcommand\entwederoder\oplus\newcommand\aequivalent%

\Longleftrightarrow\newcommand\darausfolgt%

\Longrightarrow% ...\[ (\mathcalA \darausfolgt

\mathcalB) \aequivalent(\lnot \mathcalB \darausfolgt\lnot \mathcalA) \]

\[ (\mathcalA \und \mathcalB)\oder \mathcalC \aequivalent(\mathcalA \oder \mathcalC) \und(\mathcalB \oder \mathcalC) \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 19

h : R1 → R1 mit h(r) = 2r, r ∈ R1

%--command5.tex---\newcommand\Abbildung\rightarrow\newcommand\R[1]\mathbfR^#1% ...\[ h: \R1 \Abbildung \R1\textrm mit h(r)=2r, r \in \R1 \]

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 20

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3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 21

3.21 Theorem-artige Konstrukte

Definition 1 (Geordneter Korper) EinKorper heißt geordnet, wenn eine Bezie-hung > 0 (großer Null) definiert ist mit denfolgenden Eigenschaften:

1. Fur x ∈ K gilt genau eine der Beziehun-gen x = 0, x > 0 oder −x > 0.

2. Aus x > 0, y > 0 folgt x+ y > 0.

3. Aus x > 0, y > 0 folgt x · y > 0

Im Falle x > 0 heißt x positiv, im Falle x < 0heißt x negativ.

Definition 2 (Absoluter Betrag) Es sei Kein geordneter Korper. Unter dem absolutenBetrag eines Elementes x ∈ K versteht man

|x| =x fur x ≥ 0−x fur x < 0

%--satz1.tex---\newtheoremDefDefinition\beginDef%[Geordneter Korper]

Ein Korper heißt \emphgeordnet,wenn eine Beziehung $>0$ (großerNull) definiert ist mit denfolgenden Eigenschaften:\beginenumerate\item Fur $x\in K$ gilt genau eine

der Beziehungen $x=0$, $x>0$oder $-x > 0$.

\item Aus $x>0,y>0$ folgt $x+y>0$.\item Aus $x > 0,y > 0$ folgt

$x \cdot y > 0$\endenumerateIm Falle $x > 0$ heißt $x$\emphpositiv,im Falle $x < 0$ heißt $x$\emphnegativ.\endDef\beginDef[Absoluter Betrag]Es sei $K$ ein geordneter Korper.Unter dem \emphabsoluten Betrageines Elementes $x\in K$ verstehtman\[ |x|= \left\ \beginarrayllx & \textrmfur x \ge 0\\

-x & \textrmfur x < 0\\\endarray\right. \]\endDef

Fur unsere weiteren Betrachtungen sind diebeiden folgenden Satze von Interesse:

Satz 1 (Regeln fur Absolutbetrag) Furbeliebige x, y ∈ K gelten folgende Gesetze:

1. |x| = | − x| ≥ 0

2. x ≤ |x|; −x ≤ |x|3. |x| = 0⇐⇒ x = 0

4. |x · y| = |x| · |y|

Satz 2 (Dreiecksungleichung)∀x, y ∈ K : |x+ y| ≤ |x|+ |y|

%--satz2.tex---\newtheoremsatzSatzFur unsere weiteren Betrachtungensind die beiden folgenden Satzevon Interesse:\beginsatz%[Regeln fur Absolutbetrag]

Fur beliebige $x,y \in K$ geltenfolgende Gesetze:\beginenumerate\item $|x| = |-x| \ge 0$\item $x \le |x|;\quad -x \le |x|$\item $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$\item $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$\endenumerate\endsatz\beginsatz[Dreiecksungleichung]\[\forall x,y\in K:|x+y|\le|x|+|y|\]\endsatz

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4 UND NOCH . . . 22

4 Und noch . . .

Im WWW ist die jeweils aktuelle Fassung dieser Kursunterlagen unter dem URL

http://www.uni-giessen.de/~g029/TeX/kurse/Mathe-Beispiele/m-beisp.x(x=tex, dvi, pdf)

zu finden. Beispiele fur mathematische Ubungsblatter finden Sie im WWW unter

http://www.uni-giessen.de/~g029/TeX/kurse/Uebungen/math1 x.y(x = 1, . . . , 13; y = tex, dvi, pdf).

5 Und noch etwas . . .

Diese Kursunterlagen wurden von mir zwar mit großer Sorgfalt erstellt, konnen aber trotzdemFehler enthalten. Wenn Sie also Anregungen, Verbesserungsvorschlage oder Fehlerkorrekturenhaben, so melden Sie sich bitte per E-Mail bei

[email protected]

oder per ”gelber Post“ bei

Gunter PartoschHochschulrechenzentrumJustus-Liebig-Universitat GießenHeinrich-Buff-Ring 4435392 Gießen

Schon ’mal vielen Dank.

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A ANHANG 23

A Anhang

A.1 Darum ging es jeweils

ableitung1.texBeispiel (Ableitung einer Funktion alsGrenzwert eines Differenzenquotienten);\prime als Ableitungszeichen

ableitung2.texBeispiel (erste und zweite Ableitung voncosx); Darstellung durch Apostroph(e)

ableitung3.texBeispiel (n-te Ableitung von lnx); Darstel-lung durch geklammerten Exponenten

ableitung4.texBeispiel (Differenzierungsregel fur das Pro-dukt zweier Funktionen); Darstellung durchDifferentialquotienten

ableitung5.texBeispiel (Differenzierungsregel fur die Sum-me dreier Funktionen); Darstellung durchDifferentialquotienten

ableitung6.texBeispiel (Differenzierungsregel fur das Pro-dukt zweier Funktionen, Alternative zumBeispiel ableitung4.tex); Darstellungdurch Differentialquotienten

ableitung7.texBeispiel (Bewegungsgleichung in Mechanik,erste und zweite Ableitung nach der Zeit);Anwendung von \dot und \ddot

ableitung8.texpartielle Ableitungen einer Funktion zweierVariablen

ableitung9.texpartielle Ableitungen einer Funktion zweierVariablen

akzent1.texmathematische Akzente

akzent2.texmathematische Akzente und punktlose Ma-thematik-Varianten von ”i“ und ”j“

akzent3.texanpassbare mathematische Akzente mit\widehat oder \widetilde

akzent4.texBeispiel (Multiplikation einer Vektorsummemit einem Skalar)

akzent5.texBeispiele (Assoziativgesetze bei der Skalar-und Vektormultiplikation dreier Vektorengelten nicht!)

binom1.texeinfacher Binominalkoeffizient

binom2.texUbereinanderstapeln von Ausdrucken; ein-facher Binominalkoeffizient

binom3.texDarstellungsmoglichkeiten von Binominal-koeffizienten

binom4.texunterschiedliche Klammerungen bei Bino-minalkoeffizienten

binom5.texBeispiel mit Bruchen und Binominalkoeffi-zient

binom6.texeigenes Kommando \binom zum Darstellenvon Binominalkoeffizienten

binom7.texeigenes Kommando \ueber zum Ubereinan-derstapeln von Ausdrucken

bruch1.texeinfache Bruche

bruch2.texVarianten von Bruchen durch unterschiedli-che Klammerung

bruch3.texMehrfachbruche

bruch4.texMehrfachbruche; alternative Darstellungen

bruch5.texKettenbruch

bruch6.texKettenbruch; wie bruch5.tex, aber

”schonere“ Darstellung

bruch7.texDoppelbruch mit dickerem Hauptbruch-strich

bruch8.texeigenes Kommando fur die Darstellung vonDoppelbruchen mit einem dickeren Haupt-bruchstrich

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A ANHANG 24

command1.texeigene Kommandos \binom und \ueber

command2.texeigene LATEX-Kommandos \Komplement,\Durchschnitt und \vereinigt

command3.texeigenes Kommando \dfrac

command4.texeigene LATEX-Kommandos \entwederoder,\darausfolgt, \oder, \aequivalent und\und

command5.texeigene Kommandos \Abbildung und \R

complex1.texBeispiel (Addition zweier komplexen Zah-len); Darstellung als Wertepaarte; Imaginar-teil und Realteil

complex2.texBeispiel (”normale“ und trigonometrischeDarstellung einer komplexen Zahl); Bezie-hungen zwischen den beiden Moglichkeiten

complex3.texBeispiel (Multiplikation zweier komplexenZahlen); Normal-Darstellung und in Formvon Wertepaaren

complex4.texNormal-, trigonometrische und Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl

display1.texabgesetzte Formel; Methode mit $$ . . . $$;Formel wird zentriert, da sie nicht von derLATEX-Option fleqn beeinflusst

display2.texabgesetzte Formel; Methode mit derdisplaymath-Umgebung

display3.texabgesetzte Formel; Methode mit \[ . . .\]

display4.texnummerierte Formel mit der equation-Um-gebung; Vereinbarung eines Verweisziels;Verweis auf diese Formel mittels \ref

display5.texausgerichtete nummerierte Formeln mit Hil-fe der eqnarray-Umgebung; 1. Ableitung

exp1.texeinfache Exponenten und Indizes

exp2.texvorangestellter Index

exp3.texExponenten/Indizes mit Index/Exponent

exp4.texExponenten und Klammerung

exp5.texExponenten und Klammerung

exp6.texAusdrucke mit Exponenten und Indizes;vertikale Ausrichtung von Exponent und In-dex durch Einfugen von

funk1.texBeispiel (Grenzwert einer Funktion); Limesund Sinus

funk2.texBeispiel (Integral einer Funktion); Sinus,Cosinus, naturlicher Logarithmus, Tangens

funk3.texBeispiel (Beziehung zwischen arcsinx undarccosx)

inline1.texInline-Formel; Methode mit $ . . . $

inline2.texInline-Formel; Methode mit der math-Um-gebung

inline3.texInline-Formel; Methode mit \( . . . \)

int1.texeinfaches Integral mit Integrationsgrenzen

int2.texeinfaches Integral; Grenzen explizit nichtneben dem Symbol

int3.texDoppelintegral; ohne und mit visueller Kor-rektur (\, und \!)

int4.texIntegral einer gebrochen rationalen Funkti-on

int5.texIntegral eines Wurzelausdrucks

int6.texIntegral eines Ausdrucks mit trigonometri-schen Funktionen; explizite Multiplikations-punkte

klammer1.texverschiedene linke Klammersymbole

klammer2.texverschiedene rechte Klammersymbole

klammer3.texKlammern mit explizit verschiedenen Gro-ßen

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A ANHANG 25

klammer4.texautomatische Großenanpassung bei ge-schachtelten Klammern

klammer5.texautomatische Großenanpassung bei ge-schachtelten Klammern

klammer6.texwaagerechte geschweifte Klammern

klammer7.texUberstreichung bzw. Unterstreichung

matrix1.texeinfache rechteckige Anordnung mit indi-zierten Elementen

matrix2.texeinfache rechteckige Anordnung mit anderenindizierten Elementen und anderen Begren-zungen

matrix3.texBeispiel (Definition der Betragsfunktion);einseitig geklammerte rechteckige Anord-nung

matrix4.texMatrix mit Untermatrizen

matrix5.texeigenes Kommando fur die vereinfache Dar-stellung rechteckiger Anordnungen

pfeil1.texverschiedene mathematische Pfeile

pfeil2.texBeispiel (Umkehrung einer logischen Aussa-ge); kalligrafische Mathematik-Schrift

prod1.texeinfaches Produkt mit Produktgrenzen;Grenzen explizit nicht neben (\limits)dem Symbol bzw. Grenzen explizit neben(\nolimits) dem Symbol

prod2.texBeispiel (Binominalkoeffizient in Produkt-darstellung)

reihen1.texBeispiel (unendliche Reihe zur Darstellungvon π

4 )

reihen2.texBeispiel (unendliche Reihe zur Darstellungvon π2

12 )

reihen3.texBeispiel (Entwicklung der Funktion e−x ineine unendliche Reihe)

reihen4.texBeispiel (Entwicklung der Funktion ex in ei-ne unendliche Reihe)

rel1.texRelationen

rel2.texRelationen

rel3.texbinare Operatoren

rel4.texbinare Operatoren

rel5.texbinare Operatoren

satz1.texBeispiele (Definition eines geordneten Kor-pers; Definition fur Absolutbetrag); eigeneTheorem-artige Umgebung Def mit dem Ti-tel Definition

satz2.texBeispiele (Regeln fur Absolutbetrag; Drei-ecksungleichung); eigene Theorem-artigeUmgebung satz mit dem Titel Satz

sum1.texeinfache Summe mit Summationsgrenzen

sum2.texeinfache Summe; Grenzen explizit nebendem Symbol

sum3.texeinfache Summe; Grenzen explizit nicht ne-ben dem Symbol

sum4.texDreifachsumme

sum5.texDreifachsumme; alternative Darstellung mitdreifach ubereinander gestapelten Summati-onsgrenzen

symbol1.texgriechische Großbuchstaben; einige habendas gleiche Aussehen wie die entsprechen-den lateinischen Buchstaben

symbol2.texgriechische Kleinbuchstaben

symbol3.texVarianten zu einigen griechischen Klein-buchstaben

symbol4.texeinige spezielle Zeichen

symbol5.texBeispiel (Stetigkeit-Definition); mathemati-sche Sonderzeichen

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A ANHANG 26

ueber1.texAnwendung von \stackrel; Text uber ei-nem Gleichheitszeichen

ueber2.texAnwendung von \stackrel; Angabe einesVerweises uber einem Gleichheitszeichen

ueber3.texAnwendung von \atop; Angabe der Sum-mationsgrenzen einer Doppelsumme

wurzel1.texeinfache Wurzel

wurzel2.texeinfache Wurzel

wurzel3.texWurzel zu einer anderen Potenz

wurzel4.texSchachtelung von Wurzeln

wurzel5.texWurzel zu einer anderen Potenz; Ausdruckenthalt einen Exponenten

wurzel6.texWurzel zu einer anderen Potenz

wurzel7.texAusrichtung der Große von Wurzeln

wurzel8.texeinfache Wurzel; Ausdruck enthalt einen In-dex

wurzel9.texMehrfachschachtelung von Wurzeln

zeichen1.texBeispiel (Quadrat einer reellen Zahl ist po-sitiv); mathematische Fett-Schrift

zeichen2.texBeispiel (lineares Gleichungssystem); ma-thematische Fett-Schrift; Normaltext imMathematik-Modus; eqnarray*-Umgebung(ohne Nummerierung der Formeln!)

zeichen3.texBeispiel (logische Aquivalenz); kalligrafischeMathematik-Schrift

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A ANHANG 27

A.2 Und diese mathematischen LATEX-Befehle wurden benutzt

$$...$$Umgebung fur den Display-Mathematik-Modus in TEX/LATEX

$...$Umgebung fur den Inline-Mathematik-Mo-dus in TEX/LATEX

&trennt in der array-, eqnarray- undeqnarray*-Umgebung die einzelnen Be-standteile einer Zeile

^exponentstellt im Mathematik-Modus exponent hoch;auch noch bei \int, \sum, \prod und\overbrace

indexstellt im Mathematik-Modus index tief;auch noch bei \int, \sum, \prod,\underbrace und \lim

~

”geschutztes“ Leerzeichen

(linkes Klammersymbol: (; analog gibt es )

[linkes Klammersymbol: [; analog gibt es ]

\!negativer schmaler Zwischenraum

\(...\)Umgebung fur den Inline-Mathematik-Mo-dus in LATEX

\,schmaler Zwischenraum: | |

\[...\]Umgebung fur den Display-Mathematik-Modus in LATEX

\\[abstand]Zeilenwechsel in der array-, eqnarray- undeqnarray*-Umgebung

\linkes Klammersymbol: ; analog gibt es \

\Abbildungeigenes Kommando: $f\Abbildung g$:f → g

\aboveBruch mit definierbarer Bruchstrichdicke:$\frac12%\above 1pt \frac34$:

12

34

\acutemathematischer Akzent: $\acute a$: a

\aequivalenteigenes Kommando: $\mathcalA%\aequivalent\mathcalB$:A ⇐⇒ B (Aussagenlogik)

\alephmathematisches Symbol: ℵ

\alphagriechischer Kleinbuchstabe: α

\arccosmathematische Funktion:$\arccos x$: arccosx

\arcsinmathematische Funktion:$\arcsin x$: arcsinx

\atopubereinander: $n\atop m$: n

m

\barmathematischer Akzent: $\bar a$: a

\beginarraymuster ...\endarrayUmgebung zum Erzeugen rechteckiger An-ordnungen (Matrizen, Determinanten) imMathematik-Modus in LATEX

\begindisplaymath ...\enddisplaymathUmgebung fur den Display-Mathematik-Modus in LATEX

\beginenumerate ...\endenumerateUmgebung fur Aufzahlungslisten

\begineqnarray* ...\endeqnarray*wie die Umgebung eqnarray, jedoch ohneNummerierung der Formeln

\begineqnarray ...\endeqnarrayUmgebung fur die Darstellung mehrzeiligernummerierter Herleitungsketten

\beginequation ...\endequationUmgebung zum Generieren einer numme-rierten Display-Formel

\beginmath ...\endmathUmgebung fur den Inline-Mathematik-Mo-dus in LATEX

\betagriechischer Kleinbuchstabe: β

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A ANHANG 28

\Bigleine explizite Großenangabe (hier leicht ver-großert) fur eine linke Klammer:$$\Bigl( (a + b)(c + d) \Bigr)$$:(

(a+ b)(c+ d))

\Bigreine explizite Großenangabe (hier leicht ver-großert) fur eine rechte Klammer; siehe auch\Bigl

\binomobenunteneigenes Kommando: $\binomnk$:

(nk

)(Binominalkoeffizient)

\brevemathematischer Akzent: $\breve a$: a

\bulletbinarer mathematischer Operator:$a \bullet b$: a • b

\capbinarer mathematischer Operator:$A \cap B$: A ∩B

\cdotbinarer mathematischer Operator:$a \cdot b$: a · b

\cdotszentrierte Auslassungspunkte: · · ·

\checkmathematischer Akzent: $\check a$: a

\chigriechischer Kleinbuchstabe: χ

\chooseBinominalkoeffizient:$n \choose m$:

(nm

)\circ

binarer mathematischer Operator:$a \circ b$: a b

\cosmathematische Funktion: $\cos x$: cosx

\cupbinarer mathematischer Operator:$A \cup B$: A ∪B

\darausfolgteigenes Kommando:$\mathcalA%\darausfolgt \mathcalB$:A =⇒ B (Aussagenlogik)

\ddotmathematischer Akzent: $\ddot a$: a

\ddotsdiagonale Auslassungspunkte:

. . .

\Deltagriechischer Großbuchstabe: ∆

\deltagriechischer Kleinbuchstabe: δ

\dfracobenuntendickeeigenes Kommando zum Darstellen vonDoppelbruchen mit einem Hauptbruchstrichder Dicke dicke :$\dfrac\frac12%\frac341pt$:

1234

\displaystyleerzwingt im Mathematik-Modus die Mathe-matik-Standardschriftgroße

\dotmathematischer Akzent: $\dot a$: a

\dotsAuslassungspunkte: . . .

\downarrowmathematischer Pfeil nach unten: ↓

\Durchschnitteigenes Kommando: ∩ (Mengenlehre)

\emphtext(leichte) Hervorhebung im Normaltext

\entwederodereigenes Kommando: $\mathcalA%\entwederoder \mathcalB$:A⊕ B (Aussagenlogik)

\epsilongriechischer Kleinbuchstabe: ε

\equivmathematische Relation:$a\equiv b$: a ≡ b

\etagriechischer Kleinbuchstabe: η

\existsmathematisches Symbol: ∃ (”es gibt“)

\forallmathematisches Symbol: ∀ (”fur alle“)

\fraczaehlernennerBruch: $\frac1920$: 19

20

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A ANHANG 29

\Gammagriechischer Großbuchstabe: Γ

\gammagriechischer Kleinbuchstabe: γ

\gemathematische Relation:$a \ge b$: a ≥ b

\gravemathematischer Akzent: $\grave a$: a

\hatmathematischer Akzent: $\hat a$: a

\heartsuitSymbol: ♥

\hlinewaagerechte Linie in einer array-Umgebung

\Immathematisches Symbol: (Imaginarteil ei-ner komplexen Zahl)

\imathkleines mathematisches ”i“ ohne Punkt:$\vec\imath$:ı

\inmathematisches Symbol: ∈ (”ist Elementaus“)

\inftymathematisches Symbol: ∞ (unendlich)

\int ugrenze^ogrenzegroßer Operator (Integralzeichen) mit un-terer Grenze ugrenze und oberer Grenzeogrenze

\iotagriechischer Kleinbuchstabe: ι

\itemein einzelner Eintrag in einer nummeriertenListe

\jmathkleines mathematisches ”j“ ohne Punkt:$\vec\jmath$:

\kappagriechischer Kleinbuchstabe: κ

\Komplementmengeeigenes Kommando zum Darstellen desKomplements: $\KomplementM$:M (Aussagenlogik, Mengenlehre)

\labelzielKennzeichnung des aktuellen Objekts alsVerweisziel

\Lambdagriechischer Großbuchstabe: Λ

\lambdagriechischer Kleinbuchstabe: λ

\langlelinkes Klammersymbol: 〈

\lbracelinkes Klammersymbol:

\lbracklinkes Klammersymbol: [

\lceillinkes Klammersymbol:

\lemathematische Relation: $\le b$: a ≤ b

\leadstospezieller mathematischer Pfeil nach rechts: (aus dem Package latexsym)

\leftautomatische Großenanpassung eines linkenKlammersymbols:\[ \left( (x^2 + 1)%(x^2 - 1) \right)^2 \]:((x2 + 1)(x2 − 1)

)2\leftarrow

mathematischer Pfeil nach links: ←\Leftarrow

mathematischer Doppelpfeil nach links: ⇐\leftharpoonup

mathematischer Pfeil (Harpune) nach links:

\leftrightarrowmathematischer Pfeil nach links und rechts:↔

\Leftrightarrowmathematischer Doppelpfeil nach links undrechts: ⇔

\lfloorlinkes Klammersymbol:

\lim untenmathematischer Grenzwert (Limes)

\limitsbewirkt bei

∑bzw.

∫bzw.

∏, dass die

Grenzen explizit nicht neben das Symbol ge-setzt werden

\lnmathematische Funktion: $\ln x$: lnx

\lnotNegation: ¬ (logisches ”nicht“)

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A ANHANG 30

\longleftarrowlanger mathematischer Pfeil nach links:←−

\Longleftrightarrowlanger mathematischer Doppelpfeil nachlinks und rechts: ⇐⇒

\Longrightarrowlanger mathematischer Doppelpfeil nachrechts: =⇒

\mapstospezieller mathematischer Pfeil nach rechts:'→

\mathbfausdruckFettschrift im Mathematik-Modus

\mathcalausdruckkalligrafische Schrift im Mathematik-Modus

\mathrmausdruckNormalschrift im Mathematik-Modus

\mathstruterzwingt im Mathematik-Modus einen Min-destzeilenabstand

\mpbinarer mathematischer Operator:$a\mp b$: a∓ b

\mugriechischer Kleinbuchstabe: µ

\nemathematische Relation: $a\ne b$: a = b

\nearrowmathematischer Pfeil nach rechts oben:

\negmathematisches Symbol: ¬ (Negation)

\newcommandkmd[anzahl]definitionstextLATEX-Kommando zum Vereinbaren des ei-genen Kommandos kmd mit anzahl Parame-tern und der Definition definitionstext

\newtheoremnametitelVereinbarung einer eigenen Theorem-arti-gen Umgebung name mit der Titelzeile titel

\nolimitsbewirkt bei

∑bzw.

∫bzw.

∏, dass die

Grenzen explizit neben das Symbol gesetztwerden

\notNegation der nachfolgenden Relation:$\not=$: =

\nugriechischer Kleinbuchstabe: ν

\odereigenes Kommando: ∨ (Aussagenlogik)

\Omegagriechischer Großbuchstabe: Ω

\omegagriechischer Kleinbuchstabe: ω

\oplusbinarer mathematischer Operator:$a \oplus b$: a⊕ b

\overBruch (TEX): $a \over b$: a

b

\overbraceausdruck indexwaagerechte geschweifte Klammer uberausdruck

\overlineausdruckuberstreicht ausdruck

\parAbsatzende/Absatzwechsel

\partialmathematisches Symbol: ∂ (partielle Ablei-tung)

\Phigriechischer Großbuchstabe: Φ

\phigriechischer Kleinbuchstabe: φ

\Pigriechischer Großbuchstabe: Π

\pigriechischer Kleinbuchstabe: π

\pmbinarer mathematischer Operator:$a \pm b$: a± b

\primeerzeugt ein Ableitungszeichen:f\prime(x): f ′(x)

\prod ugrenze^ogrenzeerzeugt den großen Produktoperator (Pro-duktzeichen) mit unterer Grenze ugrenzeund oberer Grenze ogrenze

\Psigriechischer Großbuchstabe: Ψ

\psigriechischer Kleinbuchstabe: ψ

\quadhorizontaler Leerplatz : | |

\qquadhorizontaler Leerplatz : | |

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A ANHANG 31

\Rdimensioneigenes Kommando: $\R2$: R2 (Korperder reellen Zahlen)

\ranglerechtes Klammersymbol: 〉

\rbracerechtes Klammersymbol:

\rbrackrechtes Klammersymbol:

\rceilrechtes Klammersymbol:

\Remathematisches Symbol: (Realteil einerkomplexen Zahl)

\refzielVerweis auf ein vorher vereinbartes Verweis-ziel

\rfloorrechtes Klammersymbol:

\rhogriechischer Kleinbuchstabe: ρ

\rightautomatische Großenanpassung eines rech-ten Klammersymbols; siehe \left

\Rightarrowmathematischer Doppelpfeil nach rechts:⇒

\rightarrowmathematischer Pfeil nach rechts: →

\scriptstyleerzwingt im Mathematik-Modus die fur Ex-ponenten und Indizes der ersten Stufe ubli-che Schriftgroße

\setminusMengendifferenz: $A\setminus B$: A \B

\Sigmagriechischer Großbuchstabe: Σ

\sigmagriechischer Kleinbuchstabe: σ

\simmathematische Relation: $a \sim b$:a ∼ b

\simeqmathematische Relation: $a \simeq b$:a b

\sinmathematische Funktion:$\sin x$: sinx

\sqcapbinarer mathematischer Operator:$A \sqcap B$: A B

\sqcupbinarer mathematischer Operator:$A \sqcup B$: A B

\sqrt[potenz]radikantmathematische Wurzel: $\sqrt[3]a+x$:3√a+ x

\stackrelobenuntensetzt oben uber die Relation unten:$x\stackrel\textrmdef= y$:

xdef= y

\struterzwingt einen Mindestzeilenabstand

\subsetmathematische Relation: $A \subset B$:A ⊂ B

\subseteqmathematische Relation: $A \subseteq B$:A ⊆ B

\sum ugrenze^ogrenzegroßer Operator (Summenzeichen) mit un-terer Grenze ugrenze und oberer Grenzeogrenze

\tanmathematische Funktion: $\tan x$: tanx

\taugriechischer Kleinbuchstabe: τ

\textrmtextaufrechter Normaltext

\Thetagriechischer Großbuchstabe: Θ

\thetagriechischer Kleinbuchstabe: θ

\tildemathematischer Akzent: $\tilde a$: a

\timesbinarer mathematischer Operator:$a \times b$: a× b

\tokleiner mathematischer Pfeil nach rechts:→

\ueberobenunteneigenes Kommando: $\uebermn$: m

n

\undeigenes Kommando: ∧ (Aussagenlogik)

\underbraceausdruck indexwaagerechte geschweifte Klammer unterausdruck

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A ANHANG 32

\underlineausdruckunterstreicht ausdruck

\uparrowmathematischer Pfeil: ↑

\upsilongriechischer Kleinbuchstabe: υ

\varepsilongriechischer Kleinbuchstabe: ε (Variante zuε)

\varphigriechischer Kleinbuchstabe: ϕ (Variante zuφ)

\varrhogriechischer Kleinbuchstabe: (Variante zuρ)

\varsigmagriechischer Kleinbuchstabe: ς (Variante zuσ)

\varthetagriechischer Kleinbuchstabe: ϑ (Variante zuθ)

\vdotsvertikale Auslassungspunkte:

...

\vecmathematischer Akzent: $\vec a$: a

\veebinarer mathematischer Operator:$\mathcalA \vee \mathcalB:A ∨ B

\vereinigteigenes Kommando: ∪ (Mengenlehre)

\wedgebinarer mathematischer Operator:$\mathcalA \wedge \mathcalB:A ∧ B

\widehatanpassbarer mathematischer Akzent:$\widehatx, \widehatxyz$: x, xyz

\widetildeanpassbarer mathematischer Akzent:$\widetildex, \widetildexyz$:x, xyz

\Xigriechischer Großbuchstabe: Ξ

\xigriechischer Kleinbuchstabe: ξ

\zetagriechischer Kleinbuchstabe: ζ