Drehachse und Drehwinkel - imng.uni-stuttgart.de · Drehachse und Drehwinkel Jede Drehung Q im R3...

Drehachse und Drehwinkel

Jede Drehung Q im R3 besitzt eine Drehachse, d.h. lasst einenEinheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einenWinkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene.

Bezuglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v ,w besitzt Q dieMatrixdarstellung

Q =

1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ

.

Insbesondere gilt fur den Drehwinkel

cosϕ =1

2(SpurQ − 1) .

Drehachse und Drehwinkel 1-1




Q =


.


cosϕ =1

2(SpurQ − 1) .


Beweis:

Orthogonalitat der Drehmatrix Q =⇒

Q−1 = Qt , | det Q| = 1

|λi | = 1 und λ1λ2λ3 = det Q = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ = 1,denn bei geeigneter Numerierung

λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1

oderλi ∈ {−1, 1}

Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1


Beweis:


Q−1 = Qt , | det Q| = 1

|λi | = 1 und λ1λ2λ3 = det Q = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ = 1,

denn bei geeigneter Numerierung

λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1

oderλi ∈ {−1, 1}



Beweis:


Q−1 = Qt , | det Q| = 1


λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1

oderλi ∈ {−1, 1}



orthonormales Rechtssystem u, v ,w

Qu = u

Qv = αv + βw

Qw = γv + δw

Qv ,Qw haben keine u-Komponente, wegen der Winkeltreue orthogonalerMatrizen:

x ⊥ u =⇒ Qx ⊥ Qu = u

Matrixform obiger Gleichungen

Q(u, v ,w︸︷︷︸P

) = (u, v ,w)

1 0 00 α γ0 β δ

︸︷︷︸

Q



Qu = u

Qv = αv + βw

Qw = γv + δw


x ⊥ u =⇒ Qx ⊥ Qu = u


Q(u, v ,w︸︷︷︸P

) = (u, v ,w)

1 0 00 α γ0 β δ

︸︷︷︸

Q


Q = P−1QP orthogonal mit det Q = detQ = 1 =⇒(α γβ δ

)=

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)

Invarianz der Spur unter Ahnlichkeitstransformationen:

SpurQ = Spur Q = 1 + 2 cosϕ


Q = P−1QP orthogonal mit det Q = detQ = 1 =⇒(α γβ δ

)=

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)Invarianz der Spur unter Ahnlichkeitstransformationen:

SpurQ = Spur Q = 1 + 2 cosϕ


Beispiel:

Die Matrix

Q =1

2

1 −√2 1√

2 0 −√2

1√2 1

ist eine Drehmatrix, denn

QtQ =1

4

4 0 00 4 00 0 4

= E ⇔ Qt = Q−1

und

detQ =1

8det

1 −√2 1√

2 0 −√2

1√2 1

= +1


(i) Drehachse:

Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1

1

2

−1 −√2 1√

2 −2 −√2

1√2 −1

︸︷︷︸

Q−E

u1u2u3

=

000

=⇒ u =

√2/20√2/2

(ii) Drehwinkel:

cosϕ =1

2(SpurQ − 1) =

1

2(1− 1) = 0

=⇒ ϕ = ±π2


(i) Drehachse:Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1

1

2

−1 −√2 1√

2 −2 −√2

1√2 −1

︸︷︷︸

Q−E

u1u2u3

=

000

=⇒ u =

√2/20√2/2

(ii) Drehwinkel:

cosϕ =1

2(SpurQ − 1) =

1

2(1− 1) = 0

=⇒ ϕ = ±π2



1

2

−1 −√2 1√

2 −2 −√2

1√2 −1

︸︷︷︸

Q−E

u1u2u3

=

000

=⇒ u =

√2/20√2/2

(ii) Drehwinkel:

cosϕ =1

2(SpurQ − 1)

=1

2(1− 1) = 0

=⇒ ϕ = ±π2



1

2

−1 −√2 1√

2 −2 −√2

1√2 −1

︸︷︷︸

Q−E

u1u2u3

=

000

=⇒ u =

√2/20√2/2

(ii) Drehwinkel:

cosϕ =1

2(SpurQ − 1) =

1

2(1− 1) = 0

=⇒ ϕ = ±π2


(iii) Orientierung:

Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:

w tQv = w t(cosϕv + sinϕw) = sinϕ

wahle als Rechtssystem

u =

√2/20√2/2

, u ⊥ v =

010

, w = u × v =

−√2/20√2/2

Bilden des Produktes w tQv

sinϕ = (−√2/2, 0,

√2/2)

−√2/20√2/2

︸︷︷︸

Qv

= 1 ,

d.h. ϕ = π2


(iii) Orientierung:Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:



u =

√2/20√2/2

, u ⊥ v =

010

, w = u × v =

−√2/20√2/2


sinϕ = (−√2/2, 0,

√2/2)

−√2/20√2/2

︸︷︷︸

Qv

= 1 ,

d.h. ϕ = π2



w tQv = w t(cosϕv + sinϕw)

= sinϕ


u =

√2/20√2/2

, u ⊥ v =

010

, w = u × v =

−√2/20√2/2


sinϕ = (−√2/2, 0,

√2/2)

−√2/20√2/2

︸︷︷︸

Qv

= 1 ,

d.h. ϕ = π2





u =

√2/20√2/2

, u ⊥ v =

010

, w = u × v =

−√2/20√2/2


sinϕ = (−√2/2, 0,

√2/2)

−√2/20√2/2

︸︷︷︸

Qv

= 1 ,

d.h. ϕ = π2


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