DIFFUSION DE PARTICULES

DIFFUSION DE PARTICULES

Régime stationnaire

1. Sédimentation (sujet classique) On disperse N particules identiques, assimilées à des boules de masse m et de rayon a dans un bécher cylindrique de section S rempli d’eau de masse volumique ρ. On note Oz la verticale descendante. a) Une particule dispersée est soumise à son poids et à une force de frottement fluide donnée par la formule de Stokes

vafr

πη−= 6 où η est la viscosité de l’eau.

Déterminer la vitesse limite limv des particules dispersées, supposée atteinte très rapidement. On supposera par la suite que la

masse volumique des particules est très supérieure à celle de l’eau. En déduire le nombre de particules dispersées sNδ traversant une section horizontale du bécher entre les instants t et tt d+ , en

fonction notamment de la densité particulaire n(z). b) Du fait de l’existence d’un gradient de densité particulaire, un phénomène de diffusion se superpose au phénomène étudié dans la question a). Exprimer le nombre de particules dispersées dNδ diffusées à travers une section horizontale du bécher

entre les instants t et tt d+ , en fonction notamment du coefficient de diffusion D et de z

n

d

d.

c) En déduire en régime stationnaire une équation différentielle régissant n(z) et donner sa solution.

En admettant que n(z) est aussi donnée par un facteur de Boltzmann Tk

mgz

e B , en déduire une relation entre D, a, η, T et la constante de Boltzmann Bk .

On donne à K 293=T :

— les coefficients de diffusion -1211 sm 109,6 ⋅⋅= −D de l’hémoglobine dans l’eau et -129 sm 108,1 ⋅⋅= −

D du dioxygène dans l’eau, — le rayon nm 3=a d’une molécule d’hémoglobine. En déduire le coefficient de viscosité de l’eau η et le rayon d’une molécule de dioxygène.

d) La relation h

z

enzn )0()( = définit une hauteur h caractéristique de la sédimentation. Calculer h pour l’hémoglobine de masse

molaire -13hém. molg 1068 ⋅⋅=M et pour l’urée de masse molaire -1

ur. molg 60 ⋅=M .

Peut-on séparer ces deux solutés par sédimentation ?

réponse : c) z

D

v

eznzn

lim

)0()( == ; nm 115,02O =a ; Pl 100,1 3−⋅=η

2. Diffusion de particules à travers les parois poreuses d’un tube

On considère un long cylindre à base circulaire de rayon r, de longueur L, contenant des particules qui diffusent selon l’axe du

cylindre avec un coefficient de diffusion D. On note ∗0n la densité des particule 0=x ; ∗

extn en Lx = . Ces densités sont

maintenues constantes.

Les particules peuvent s’échapper du tube à travers sa paroi poreuse avec un flux surfacique en x : [ ])(ext xnnK ∗∗ − .

On se place en régime stationnaire.

Établir la loi )(xn∗ en supposant la longueur L suffisamment grande. On précisera cette condition en comparant L à une

longueur caractéristique qu’on exprimera en fonction de r, D, et K et dont on vérifiera l’homogénéité. Commenter l’influence des paramètres r, D, et K sur cette longueur. Tracer la courbe correspondante.

réponse : δ−∗∗∗∗ −+=

x

ennnxn )()( 0extext avec K

rD

2=δ

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3. Palier de diffusion

On considère la courbe intensité-potentiel obtenue pour le couple Cu(s)/Cu2+ avec une électrode inoxydable. Cette courbe

présente un palier pour des courants négatifs (lorsqu’il y a réduction) : on a [ ] KcKi −=−= +2Cu .

On cherche à justifier l’existence de ce palier en régime stationnaire. On se place à une dimension : les ions +2Cu se déplacent selon Ox orthogonalement à la cathode (de surface S). Leur concentration sur la cathode (en 0=x ) est notée 0c . On suppose

que hors d’une couche de diffusion de faible épaisseur δ dans laquelle [ ]+2Cu varie selon une loi affine, on a [ ] c=+2Cu pour δ≥x .

a) Énoncer la loi de Fick. En déduire l’expression de nJ (nombre de moles d’ions nickel qui diffusent par unité de temps et de

surface) en fonction du coefficient de diffusion D des ions nickel, de c, 0c et de δ.

b) Montrer que l’on a bien Kci −= lorsque le phénomène de diffusion devient limitant. Exprimer K en fonction de F, D, S et δ. On précisera quel est l’autre phénomène n’intervenant pas dans la cinétique car beaucoup plus rapide que la diffusion.

réponse : a) 00 <δ−−= cc

DJn b) δ

= FDSK 2

Régime transitoire

4. Réacteur nucléaire (sujet classique)

Le fonctionnement du cœur d’un réacteur nucléaire limité par deux plans d’abscisse 2

ax ±= et de section S est modélisé à 1D

par :

— une production volumique par unité de temps σ de neutron provenant des réactions de fission, avec τ

=σ∗ ),( txn

où ),( txn∗

est la densité volumique de neutrons ;

— une zone de piégeage appelée couverture : pour 2

ax ≥ ou

2

ax −≤ , on a 0=∗n .

La diffusion dans le cœur obéit à la loi de Fick avec un coefficient de diffusion D.

a) Établir l’équation vérifiée par ),( txn∗ .

Quelle est la signification de τ ? Quelle serait l’évolution temporelle de ∗n à x fixé sans le phénomène de diffusion ? Commenter.

b) Déterminer )(xn∗ en régime permanent. En déduire qu’il existe une condition liant τ à D et a. Que se passe-t-il si τ est

inférieur à la valeur requise ?

Exprimer )(xn∗ en fonction de a, S et 0N le nombre total de neutrons dans le réacteur.

Quelle est la densité maximale des neutrons ? Déterminer le flux de neutron vers les zones de couverture. Comparer le flux total sortant à la production totale de neutron. c) Lors d’un arrêt d’urgence, des barres de piégeage plongent dans le coeur du réacteur. Le taux de production volumique

global des neutrons peut alors être négatif (si le piégeage l’emporte sur la fission) : τ′

=σ∗ ),( txn

avec τ′ algébrique.

Rechercher la solution de l’équation de diffusion sous la forme )()(),( tgxftxn =∗ . On suppose que le régime permanent était

atteint à l’instant 0=t . En déduire le type de régime obtenu selon la valeur de τ′ .

d) On note ∗pn la densité volumique des pièges et Σ la section efficace de piégeage. On suppose que les neutrons ont une

vitesse de norme constante v. Déterminer σ le nombre de neutrons piégés par unité de volume et de temps. Comparer au modèle macroscopique.

réponse : a) τ

+∂∂=

∂∂ ∗∗∗ n

x

nD

t

n2

2

b)

π= ∗∗

a

xnxn cos)( 0 si

D

a2

2

π=τ ;

Sa

Nn

20

0π=∗ ; dt

a

NDNN

20

2ap π=δ=δ c) régime

explosif si D

a2

2

0π

=τ<τ′< , stationnaire si D

a2

2

π=τ′ , sinon : 0→∗n d)

τ ′′=Σ=σ

∗∗∗ n

nnv p

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5. Évaporation de l’éther (sujet classique) Un tube cylindrique de section S contient de l’éther liquide. On note h la distance entre l’ouverture et la surface du liquide. Un point du tube est repéré par son abscisse x à partir de l’ouverture. Le renouvellement de l’air au niveau de l’ouverture du tube implique que la pression partielle en éther y est pratiquement nulle. L’évaporation est très lente et on suppose qu’il y a équilibre thermodynamique local dans le tube. La température est T = 293 K . On note ps la pression de vapeur saturante et on donne ps K bar( ) ,293 0 583= . La diffusivité de la vapeur d’éther

dans l’air est D = ⋅ ⋅−1 50 10 5, m s2 -1 . La masse molaire de l’éther est M = ⋅74 1, g mol-1 et la masse volumique de l’éther

liquide ρ = ⋅626 kg m-3 .

a) Montrer que dans l’hypothèse d’un régime quasi-stationnaire la densité moléculaire et la pression partielle de l’éther vapeur varient linéairement avec x. Montrer alors en appliquant la loi de Fick que si dn est le nombre de moles d’éther qui se vaporise

pendant dt, d

d

n

t s’exprime en fonction de D, S , ps , h, R (constante des gaz parfaits) et T.

b) Montrer qu’en exprimant la relation entre le volume et le nombre nL d’éther liquide, on aboutit à l’équation différentielle

régissant h(t). c) Résoudre cette équation différentielle. A.N : calculer la durée nécessaire pour évaporer totalement l’éther remplissant les trois-quarts d’un tube à essai de longueur totale 20 cm.

réponse : a) hRT

pD

t

n s

d

d S= b) h hDMp

RTtd ds=

ρ c) h h

DMp

RTt= +0

2 2 s

ρ, 9h j 2≈t

Compétences fondamentales : >>> Connaître les deux modes de transferts de particules (diffusion et convection), les définitions des vecteurs densité de

courants de particules associés, leur unité, leur signification, la loi de Fick pour les échanges diffusifs.

>>> Savoir effectuer un bilan de particules à 1D et 3D avec ou sans terme de production, afin d’établir une équation aux

dérivées partielles régissant ),( tMn∗ .