Emboitement des surfaces de Fermi

44 LECTURE 4. ITINERANT ELECTRONS

ky

kx

(a) ky

kx

(b)

kx

(c)

Figure 4.2: Possible scenarios for nesting in 2D. (a) Typical,

circular Fermi surface, for which a given wavevector only cou-

ples isolated points on the Fermi surface. (b) Half filling, so

(±π,±π)/alattice wavevector generically leads to nesting. (c)

Fermi surface in which a region is nested, so that the same spin-

density-wave wavevector couples many points on the Fermi surface

4.3 Reduction of interaction for strongcorrelations

The other main objection to mean field theory ferromagnetism is that,

as discussed in lecture 1, interactions that are strong enough to favour

ferromagnetism should also be strong enough to distort the wavefunction.

What we have done in our mean field theory is like first order perturbation

theory, we must therefore now consider the next order effect, which means

mixing of wavefunctions.

We will proceed in two steps, first considering the changes of wave-

function for two electrons, and then using the method found in this simple

problem to discuss the many electron case.

Two-particle scattering matrix

We consider the same Hamiltonian as always, but choose yet another way

to rewrite the interaction term for convenience:

Hint =U

V

�

q

nq↑n−q↓, nqσ =

�

k

a†k+qσakσ.

We are interested in the possible energetic gain of a ferromagnetic state,

and although for two particles the ground state is a singlet, to understand

ferromagnetic type wavefunctions we should instead consider triplet wave-

!p+Q = !!pclef: emboitement autour de EF

Cas 2D

•  dépend de la topologie de la surface de Fermi •  souvent plusieurs bandes au niveau de Fermi: emboîtement entre bandes différentes

vecteurs d’onde d’instabilité?

onde de densité de spin

n!j =n2+"(! )m0 cos(Q

!". j")

terme de Hubbard champ moyen HCMU =U n!j n j

!! !U nj! nj

!!

j"

j,!"

!Un 2

4!m0

2 (1+ cos(2Q!". j"))

2j" = !UN

n 2

4!m02

2

#

$%%

&

'((= E0

=U nj! n2+"(!! )m0 cos(Q

!". j")

"

#$

%

&'

j,!( !U

n 2

4!m2

0 cos2(Q!". j")

"

#$$

%

&''j

(

champ moyen: potentiel périodique du à l’autre population de spins

les électrons « up » sont sous l’effet d’un potentiel périodique dus aux électrons « down »

V

j

HUCM =U nj

! n2!"(! )m0 cos(Q

!". j")

"

#$

%

&'

j,!( +E0

description de la phase onde densité de spin à Q

onde de densité de spin sinusoidale

VQ ( j)

! =! /"!(!) = +1!(!) = "1

nouvelle ZB

onde de densité de spin

nouvelle périodicité: nouvelle zone de Brillouin

repliement de bandes sur la nouvelle ZB

HCM = !kck+ck

k! + nj

"VQ ( j)j,"! +E0

interaction entre les bandes: croisement évité

gain en énergie si demi-remplissage (EF=0)

Cas 1D AF: périodicité 2a

nouvelle zone de Brillouin: k ! "!2a, !2a

#

$%&

'(

!k = !2t cos(ka)

repliement

dispersion de départ

k ±Q! k

!Um0

N!(" )cos(Q

!". j")ck1

+ck2ei j".(k"1!k"2 )

k1k2 , j,!" +E0

onde de densité de spin

HUCM =U

n21N

ck1+ck2e

i j!.(k!1!k!2 )

k1k2

"j,!"

nj = cj+cj =

1N

ck1+ck2e

i j!.(k!1!k!2 )

k1k2

"

calculs des nouvelles bandes dans l’espace k

=Un2

ck+ck

k,!!

électrons dans un potentiel périodique HUCM =U nj

! n2!"(! )m0 cos(Q

!". j")

"

#$

%

&'

j,!( +E0

= !Um0

2N!(" )ck1

+ck2 (ei j!.(k!1!k!2!Q"!)

k1k2 j,!" + ei j

!.(k!1!k!2+Q"!) )

= !Um0

2!(" ) ck

+ck!Q + ck+ck+Q"# $%

k,"&

HUCM =

U n2

ck+ck

k,!! "

Um0

2"(! ) ck+Q

+ ck + ck+ck+Q#$ %&

k,!! +E0

couplage entre états k et k+Q

onde de densité de spin

dk = ck+Q

HUCM =

U n2

ck+ck

k,!

NZB

! + dk+dk "Um0 "(! ) dk

+ck + ck+dk#$ %&

k,!

NZB

! +E0

nouvelle zone de Brillouin (NZB): 2 fois plus petite dans le cas AF (commensurable)

H = !kck+ck +!k+Qdk

+dkk,"

NZB

! +HUCM +E0 = Hk" +E0

k,"

NZB

!

Hk! = Ekck+ck +Ek+Qdk

+dk !Um0"(! ) dk+ck + ck

+dk"# $%

Hamiltonien total

opérateur « bande-repliée »

Ek = !k +U n2

Ek+Q = !k+Q +U n2

2 bandes d’électrons libres et un terme de couplage

HUCM =

U n2

ck+ck

k,!! "

Um0

2"(! ) ck+Q

+ ck + ck+ck+Q#$ %&

k,!! +E0

onde de densité de spin

Hk! = Ekck+ck +Ek+Qdk

+dk !Um0"(! ) dk+ck + ck

+dk"# $%

on peut diagonaliser dans l’espace des ck, dk

H =Ek !Um0!(" )

!Um0!(" ) Ek+Q

"

#

$$

%

&

''

Hk! =!+H! avec

! k = (ck,dk )

(Ek !!)(Ek+Q !!)! Um0( )2 = 0

!± =12Ek +Ek+Q ± Ek +Ek+Q( )2 + 4 Um0( )2 ! 4EkEk+Q"#$

%&'

Ek = !k +U n2

Ek+Q = !k+Q +U n2Ek !Ek+Q( )2 + 4 Um0( )2

!± =12"k +"k+Q +U n ± "k !"k+Q( )2 + 4 Um0( )2"#$

%&'

nouvelles bandes

onde de densité de spin

!± =12"k +"k+Q +U n ± "k !"k+Q( )2 + 4 Um0( )2"#$

%&'

!k = !2t cos(ka) !k = !!k+Q

!± =U n2

± "k2 + Um0( )2

au niveau de Fermi (en εκ=0 pour le demi-remplissage)

!k = !+ "!" = 2 " 2k + Um0( )2à l’anticroisement un gap s’ouvre:

!0 = 2Um0

Δ0 Paramètre d’ordre SDW

Cas 1D AF: périodicité 2a

Si emboîtement parfait et demi-remplissage: isolant Généralement imparfait : métal

emboîtement parfait

exemple d’ondes de densité de spin

χ0(q) =�

Kµν

[f(�Kν)− f(�K−qµ)]

�K−qµ − �Kν + iδ· |�Kν|eiqr|K− qµ�|2 .

q

Iχ0(q) ≥ 1 .

q

q

EF

d

Γ H

Γ H

Chrome: bande d demi-remplie TN=311K

Bonne emboîtement

exemple d’ondes de densité de spin système multibandes 2D: supraconducteur au Fer (BaFe2As2)

susceptibilité χ(Q) (calcul)

coupe à EF (photoémission)

exemple d’ondes de densité de spin

aimantation

résistivité

chaleur spécifique

exemple d’ondes de densité de spin destruction partielle de la surface de Fermi

Coexistence supraconductivité et onde de densité de spin